第五章 5.1 5.1.2 課后課時精練

A級：“四基”鞏固訓練一、選擇題1．下列各式中正確的是()A．π＝180 B．π＝3.14C．90°＝eq\f(π,2)rad D．1rad＝π答案C解析A項，πrad＝180°，故錯誤；B項，π≈3.14，故錯誤；C項，90°＝eq\f(π,2)rad，故正確；D項，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°，故錯誤．故選C.2．扇形的半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，而弧長也增加為原來的兩倍，則()A．扇形的面積不變B．扇形圓心角不變C．扇形面積增大到原來的2倍D．扇形圓心角增大到原來的2倍答案B解析由弧度制定義，等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，所以一扇形所在圓的半徑增加為原來的2倍，弧長也增加到原來的2倍，弧長與半徑之比不變，所以，扇形圓心角不變，故選B.3．把－eq\f(11π,4)表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ為()A．－eq\f(3π,4)B.eq\f(π,4)C.eq\f(3π,4)D．－eq\f(π,4)答案A解析∵－eq\f(11π,4)＝－2π－eq\f(3π,4)，∴θ＝－eq\f(3π,4).又－eq\f(11π,4)＝－4π＋eq\f(5π,4)，∴θ＝eq\f(5π,4).∴使|θ|最小的θ＝－eq\f(3π,4).4．若α＝2kπ－eq\f(35,4)，k∈Z，則角α所在象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案C解析∵－9<－eq\f(35,4)<－8，∴－3π<－eq\f(35,4)<－3π＋eq\f(π,2).∴－eq\f(35,4)在第三象限，故α也在第三象限．5．若一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)的絕對值為()A.eq\f(π,3)B.eq\f(2π,3)C.eq\r(3)D．2答案C解析設(shè)所在圓的半徑為r，圓內(nèi)接正三角形的邊長為2rsin60°＝eq\r(3)r，所以弧長eq\r(3)r的圓心角的弧度數(shù)為eq\f(\r(3)r,r)＝eq\r(3).二、填空題6．將－1485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式為________．答案－10π＋eq\f(7π,4)解析－1485°＝－1485×eq\f(π,180)＝－eq\f(33π,4)＝－10π＋eq\f(7π,4).7．扇形AOB，半徑為2cm，AB＝2eq\r(2)cm，則eq\x\to(AB)所對的圓心角弧度數(shù)為________．答案eq\f(π,2)解析∵OA＝OB＝2，AB＝2eq\r(2)，∴∠AOB＝90°＝eq\f(π,2).8．若角α的終邊與eq\f(8π,5)角的終邊相同，則在[0,2π]上，終邊與eq\f(α,4)角的終邊相同的角是________________．答案eq\f(2π,5)，eq\f(9π,10)，eq\f(7π,5)，eq\f(19π,10)解析由題意，得α＝eq\f(8π,5)＋2kπ，∴eq\f(α,4)＝eq\f(2π,5)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)．令k＝0,1,2,3，得eq\f(α,4)＝eq\f(2π,5)，eq\f(9π,10)，eq\f(7π,5)，eq\f(19π,10).三、解答題9．用弧度制表示終邊在圖中陰影區(qū)域內(nèi)角的集合(包括邊界)，并判斷2019°是不是這個集合的元素．解∵150°＝eq\f(5π,6)，∴終邊在陰影區(qū)域內(nèi)角的集合為S＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋2kπ≤β≤\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z)))).∵2019°＝219°＋5×360°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(219π,180)＋10π))rad，又eq\f(5π,6)<eq\f(219π,180)<eq\f(3π,2)，∴2019°∈S.10．扇形AOB的周長為8cm.(1)若這個扇形的面積為3cm2，求圓心角的大??；(2)求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小和弦長AB.解(1)設(shè)扇形的圓心角為θ，扇形所在圓的半徑為R.依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2R＋Rθ＝8，,\f(1,2)θ·R2＝3，))解得θ＝eq\f(2,3)或6.即圓心角的大小為eq\f(2,3)弧度或6弧度．(2)設(shè)扇形所在圓的半徑為xcm，則扇形的圓心角θ＝eq\f(8－2x,x).于是扇形的面積是S＝eq\f(1,2)x2·eq\f(8－2x,x)＝4x－x2＝－(x－2)2＋4.故當x＝2cm時，S取到最大值．此時圓心角θ＝eq\f(8－4,2)＝2弧度，弦長AB＝2·2sin1＝4sin1(cm)．即扇形的面積取得最大值時圓心角等于2弧度，弦長AB等于4sin1cm.B級：“四能”提升訓練1．已知一扇形的中心角是α，所在圓的半徑是R，若扇形的周長是一定值C(C＞0)，該扇形的最大面積為()A.eq\f(C,4)B.eq\f(C2,4)C.eq\f(C2,16)D.eq\f(C2,2)答案C解析設(shè)扇形的半徑為R，則扇形的弧長為C－2R，則S＝eq\f(1,2)(C－2R)R＝－R2＋eq\f(C,2)R＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R－\f(C,4)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,4)))2，當R＝eq\f(C,4)，即α＝eq\f(C－2R,R)＝2時，扇形的面積最大，最大面積為eq\f(C2,16).故選C.2．如圖所示，動點P，Q從點A(4,0)出發(fā)沿圓周運動，點P按逆時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)eq\f(π,3)弧度，點Q按順時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)eq\f(π,6)弧度，求P，Q第一次相遇所用的時間及P，Q各自走過的弧長．解設(shè)P，Q第一次相遇時所用的時間為t秒，則t·eq\f(π,3)＋t·e