充要條件教案 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

課程基本信息學(xué)科高中數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)期秋季課題1.4.2充要條件教科書(shū)書(shū)名：普通高中數(shù)學(xué)必修一教材A版出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月教學(xué)目標(biāo)理解充要條件的意義，數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系。結(jié)合具體命題，掌握命題條件的充要性判定及證明方法。能根據(jù)給出的充要條件求相關(guān)參數(shù)的值或范圍。初步使用常用邏輯用語(yǔ)進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)、論證和交流，提高邏輯推理素養(yǎng)。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象：通過(guò)對(duì)典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充要條件的意義，理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系。邏輯推理：能對(duì)某些命題的充要條件進(jìn)行證明。直觀想象：能從集合的觀點(diǎn)理解充要條件。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：理解充要條件的概念；學(xué)會(huì)對(duì)命題進(jìn)行充要性的判斷。教學(xué)難點(diǎn)：充分性與必要性的推導(dǎo)順序及充要條件的證明。教材分析1.教材來(lái)源本節(jié)課是新版教材人教4版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修1第一章第4節(jié)《充分條件和必要條件》第2課時(shí)。2.地位與作用常用邏輯用語(yǔ)是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的重要組成部分，是數(shù)學(xué)表達(dá)和交流工具，是邏輯思維的基本語(yǔ)言，充分條件、必要條件和充要條件是數(shù)學(xué)中常用的邏輯用語(yǔ)。在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，數(shù)學(xué)定義、判定定理和性質(zhì)定理是重要的組成部分，它們都可以用邏輯用語(yǔ)表達(dá)。每一條數(shù)學(xué)定義都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充要條件;每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件;每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)必要條件。運(yùn)用常用邏輯用語(yǔ)進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)、論證和交流，可以提高交流的嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性。充要條件是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)概念之一，它主要討論了命題之間的邏輯關(guān)系，目的是為數(shù)學(xué)推理的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。學(xué)情分析1.認(rèn)知基礎(chǔ)學(xué)生已經(jīng)掌握了由判斷“若p，則q”命題的真假來(lái)判斷p是q的充分條件，必要條件。學(xué)生會(huì)判斷一些簡(jiǎn)單命題的真假。2.認(rèn)知障礙充要條件的證明，容易混淆條件和結(jié)論。教學(xué)方法小組合作、自主學(xué)習(xí)、問(wèn)答式、討論式等。教學(xué)工具希沃白板、課件教學(xué)過(guò)程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖溫故知新教師展示《1.4.1充分條件與必要條件》知識(shí)匯總表格，讓學(xué)生把命題、充分條件與必要條件的空缺內(nèi)容補(bǔ)充完整。思考回憶討論交流及時(shí)復(fù)習(xí)上節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，加深學(xué)生記憶。情景引入在如圖所示電路圖中（整個(gè)電路和燈泡一切正常），我們閉合開(kāi)關(guān)S1，燈泡L1就會(huì)亮起。條件p：閉合開(kāi)關(guān)S1；條件q：燈泡L1亮起。請(qǐng)判斷：p是q的充分條件嗎？p是q的必要條件嗎？教師組織學(xué)生小組討論，并進(jìn)行引導(dǎo)：“若p，則q”是哪種命題形式？“若q，則p”是哪種命題形式？教師帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)（“若p，則q”為原命題，“若q，則p”為原命題的逆命題）。小組討論分享答案歸納總結(jié)通過(guò)物理電路情景問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。新知探究一充要條件的概念請(qǐng)判斷下列“若p，則q”形式的命題的真假，寫(xiě)出它們的逆命題并判斷逆命題的真假。（1）若兩個(gè)三角形的兩角和其中一角所對(duì)的邊分別相等，則這兩個(gè)三角形全等。（2）若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等。（3）若一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則ac﹤0。（4）若AUB是空集，則A與B均是空集。教師引導(dǎo)學(xué)生判斷上述命題及其逆命題的真假，發(fā)現(xiàn)上述命題中命題（1）（4）和它們的逆命題都是真命題；命題（2）是真命題，但它的逆命題是假命題；命題（3）是假命題，但它的逆命題是真命題。獨(dú)立思考探究問(wèn)題從學(xué)生熟悉的具體命題出發(fā)，通過(guò)分析命題及其逆命題的真假，引入充要條件的概念。教師提問(wèn)：對(duì)于上述的命題，p是q的什么條件？q是p的什么條件？哪些命題中p既是q的充分條件也是q的必要條件？教師給出充要條件的概念：如果“若p，則q是真命題,則記作pq。如果它的逆命題“若q，則p”是真命題，則記作qp。此時(shí)，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說(shuō)p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱為充要條件，記作pq。顯然，如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件。如果pq，那么p與q互為充要條件。思考：“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區(qū)別在哪里？思考回答理解定義通過(guò)問(wèn)題探究，使學(xué)生深入理解充要條件的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。新知探究二充要條件的判斷例1.下列各組命題中，哪些p是q的充要條件？（1）p：四邊形是正方形，q：四邊形的對(duì)角線互相垂直且平分；（2）p：兩個(gè)三角形相似，q：兩個(gè)三角形三邊成比例；（3）p：xy>0，q：x>0，y>0；（4）p：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根，q：a+b+c=0(a≠0)。教師總結(jié)：判斷充分條件、必要條件及充要條件的三種方法。(1)定義法：直接判斷“若p，則q”以及“若q，則p”的真假。(2)集合法：即利用集合的包含關(guān)系判斷。(3)傳遞法：充分條件和必要條件具有傳遞性，即由p1?p2?…?pn，可得p1?pn；充要條件也有傳遞性。獨(dú)立思考探究問(wèn)題歸納總結(jié)鞏固練習(xí)通過(guò)例題及練習(xí)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解條件與結(jié)論的推出關(guān)系，強(qiáng)化邏輯推理的核心素養(yǎng)。從集合的角度看充分、必要條件：練一練：指出下列各組命題中，p是q的什么條件(“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分又不必要條件”)。（1）p：x2>0，q：x>0；（2）p：a能被6整除，q：a能被3整除；【答案】（1）p：x2>0，則x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要不充分條件。（2）p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分不必要條件。思考理解鞏固做題新知探究三充要條件與數(shù)學(xué)定義教師組織學(xué)生小組討論：通過(guò)上面的學(xué)習(xí)，你能給出“四邊形是平行四邊形”的充要條件嗎？(1)兩組對(duì)邊分別平行；(2)兩組對(duì)角分別相等；(3)兩組對(duì)邊分別相等；(4)一組對(duì)邊平行且相等；(5)對(duì)角線互相平分。上面這些充要條件從不同角度刻畫(huà)了“平行四邊形”這個(gè)概念，由此我們可以給出平行四邊形的其他定義形式.例如：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形叫做平行四邊形；對(duì)角線互相平分的四邊形叫做平行四邊形。類似地，利用“兩個(gè)三角形全等”的充要條件，可以給出“三角形全等”的其他定義形式（SSS、SAS、AAS、ASA、HL），這些定義相互等價(jià)，等等。小組討論分享答案小組討論，探究數(shù)學(xué)定義與充要條件之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的合作學(xué)習(xí)能力。新知探究四充要條件的證明例2.已知：O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，求證：d=r是直線l與O相切的充要條件。教師總結(jié)：充要條件證明的兩個(gè)思路(1)直接法：證明p是q的充要條件，首先要明確p是條件，q是結(jié)論；其次推證p?q是證明充分性，推證q?p是證明必要性.(2)集合思想：記p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，則p與q互為充要條件。練一練：求證：一元二次方程ax2+bx+c=0證明：證明必要性：若“一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一負(fù)根”成立，由韋達(dá)定理可得，x1x證明充分性：若“ac<0”成立，此時(shí)一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一負(fù)根.所以“一元二次方程ax2+bx+c=0問(wèn)題探究總結(jié)歸納鞏固練習(xí)通過(guò)學(xué)習(xí)充分條件的探求與證明，使學(xué)生明確充分性、必要性的推導(dǎo)方向，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理的核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力。項(xiàng)目探究記a：開(kāi)關(guān)A閉合，b：燈泡B亮，則圖1、圖2、圖3、圖4中，a依次為b的條件、條件、條件、條件(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中選出一個(gè))。教師提問(wèn)：請(qǐng)同學(xué)們思考一下，如何解答此題？教師給出題目后，留給學(xué)生足夠的時(shí)間，讓他們充分思考、觀察、分析后，教師根據(jù)課前批改導(dǎo)學(xué)案的情況，指定小組回答，并給予適時(shí)的點(diǎn)撥。教師帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)條件關(guān)系判定的常用結(jié)論：?jiǎn)栴}探究小組討論展示分享教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)生活實(shí)例的分析、探究，加深學(xué)生對(duì)“充分”、“必要”含義的理解，并體現(xiàn)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活的道理。高考題目1.(2023天津,2,5分,易)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件2.(2021天津,2,5分,易)已知a∈R,則“a>6”是“a>36”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件教師隨機(jī)提問(wèn)學(xué)生，并讓學(xué)生板書(shū)展示。思考做題通過(guò)題目訓(xùn)練幫助學(xué)生理解集合與充分、必要條件的關(guān)系，并學(xué)會(huì)使用集合法進(jìn)行判斷