《10.3 頻率與概率》復習教案與課后作業(yè)

《10.3頻率與概率》復習教案10.3.1頻率的穩(wěn)定性學習目標核心素養(yǎng)結合實例，會用頻率估計概率．(重點、難點)1.通過對頻率和概率聯(lián)系和區(qū)別的學習，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng)．2．通過利用隨機事件的頻率估計其概率，培養(yǎng)學生數(shù)學運算素養(yǎng).【自主預習】1．頻率的穩(wěn)定性一般地，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)，我們稱頻率的這個性質為頻率的穩(wěn)定性．2．頻率穩(wěn)定性的作用可以用頻率fn(A)估計概率P(A)．思考：頻率和概率有什么區(qū)別和聯(lián)系？[提示]區(qū)別：(1)在相同的條件下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事件A出現(xiàn)的頻率．(2)概率是度量隨機事件發(fā)生的可能性大小的量(3)頻率是一個變量，隨著試驗次數(shù)的變化而變化，概率是一個定值，是某事件的固有屬性．聯(lián)系：對于給定的隨機事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估計概率P(A)．1．某人將一枚硬幣連擲10次，正面朝上的情況出現(xiàn)了8次，若用A表示“正面朝上”這一事件，則A的()A．概率為eq\f(4,5) B．頻率為eq\f(4,5)C．頻率為8 D．概率接近于8B[做n次隨機試驗，事件A發(fā)生了m次，則事件A發(fā)生的頻率為eq\f(m,n).如果多次進行試驗，事件A發(fā)生的頻率總在某個常數(shù)附近擺動，那么這個常數(shù)才是事件A的概率．故eq\f(8,10)＝eq\f(4,5)為事件A的頻率．]2．每道選擇題有4個選項，其中只有1個選項是正確的，某次考試共12道選擇題，某同學說：“每個選項正確的概率是eq\f(1,4)，若每題都選擇第一個選項，則一定有3道題的選擇結果正確”．這句話()A．正確 B．錯誤C．有一定道理 D．無法解釋B[從四個選項中正確選擇選項是一個隨機事件，eq\f(1,4)是指這個事件發(fā)生的概率，實際上，做12道選擇題相當于做12次試驗，每次試驗的結果是隨機的，因此每題都選擇第一個選項可能沒有一個正確，也可能有1個，2個，3個，…，12個正確．因此該同學的說法是錯誤的．]3．經(jīng)過市場抽檢，質檢部門得知市場上食用油合格率為80%，經(jīng)調查，某市市場上的食用油大約有80個品牌，則不合格的食用油品牌大約有()A．64個B．640個C．16個D．160個C[由題意得80×(1－80%)＝80×20%＝16個．]【合作探究】頻率和概率的區(qū)別和聯(lián)系【例1】下列說法正確的是()A．由生物學知道生男生女的概率約為0.5，一對夫婦先后生兩個小孩，則一定為一男一女B．一次摸獎活動中，中獎概率為0.2，則摸5張票，一定有一張中獎C．10張票中有1張獎票，10人去摸，誰先摸則誰摸到獎票的可能性大D．10張票中有1張獎票，10人去摸，無論誰先摸，摸到獎票的概率都是0.1D[一對夫婦生兩個小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正確；中獎概率為0.2是說中獎的可能性為0.2，當摸5張票時，可能都中獎，也可能中一張、兩張、三張、四張，或者都不中獎，所以B不正確；10張票中有1張獎票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即無論誰先摸，摸到獎票的概率都是0.1，所以C不正確，D正確．]理解概率與頻率應關注的三個方面(1)概率是隨機事件發(fā)生可能性大小的度量，是隨機事件A的本質屬性，隨機事件A發(fā)生的概率是大量重復試驗中事件A發(fā)生的頻率的近似值．(2)由頻率的定義我們可以知道隨機事件A在一次試驗中發(fā)生與否是隨機的，但隨機中含有規(guī)律性，而概率就是其規(guī)律性在數(shù)量上的反映．(3)正確理解概率的意義，要清楚概率與頻率的區(qū)別與聯(lián)系．對具體的問題要從全局和整體上去看待，而不是局限于某一次試驗或某一個具體的事件．1．“某彩票的中獎概率為eq\f(1,100)”意味著()A．買100張彩票就一定能中獎B．買100張彩票能中一次獎C．買100張彩票一次獎也不中D．購買彩票中獎的可能性為eq\f(1,100)D[某彩票的中獎率為eq\f(1,100)，意味著中獎的可能性為eq\f(1,100)，可能中獎，也可能不中獎．]用隨機事件的頻率估計其概率【例2】某公司在過去幾年內(nèi)使用了某種型號的燈管1000支，該公司對這些燈管的使用壽命(單位：時)進行了統(tǒng)計，統(tǒng)計結果如下表所示：分組[0，900)[900，1100)[1100，1300)[1300，1500)[1500，1700)[1700，1900)[1900，＋∞)頻數(shù)4812120822319316542頻率(1)將各組的頻率填入表中；(2)根據(jù)上述統(tǒng)計結果，估計燈管使用壽命不足1500小時的概率．[思路探究]根據(jù)頻率的定義計算，并利用頻率估計概率．[解](1)頻率依次是0.048,0.121,0.208,0.223，0.193，0.165,0.042.(2)樣本中使用壽命不足1500小時的頻數(shù)是48＋121＋208＋223＝600.所以樣本中使用壽命不足1500小時的頻率是eq\f(600,1000)＝0.6，即燈管使用壽命不足1500小時的概率約為0.6.1．頻率是事件A發(fā)生的次數(shù)m與試驗總次數(shù)n的比值，利用此公式可求出它們的頻率，頻率本身是隨機變量，當n很大時，頻率總是在一個穩(wěn)定值附近擺動，這個穩(wěn)定值就是概率．2．解此類題目的步驟：先利用頻率的計算公式依次計算頻率，然后用頻率估計概率．2．某保險公司利用簡單隨機抽樣的方法，對投保的車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結果統(tǒng)計如下：賠償金額(元)01000200030004000車輛數(shù)(輛)500130100150120(1)若每輛車的投保金額為2800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；(2)在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4000元的概率．[解](1)設A表示事件“賠付金額為3000元”，B表示事件“賠付金額為4000元”，以頻率估計概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12，由于投保額為2800元，賠付金額大于投保金額的情形是賠付3000元和4000元，A與B互斥，所以所求概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)設C表示事件“投保車輛中新司機獲賠4000元”，由已知，樣本車輛中車主是新司機的有0.1×1000＝100(位)，而賠付金額為4000元的車輛中車主為新司機的有0.2×120＝24(位)，所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4000元的頻率為eq\f(24,100)＝0.24，由頻率估計概率得P(C)＝0.24.游戲的公平性[探究問題]1．判斷某種游戲規(guī)則是否公平的標準是什么？[提示]如果參加比賽的雙方獲勝(或失敗)的概率是一樣的，那么就說明這個游戲規(guī)則是公平的；否則就是不公平的．2．小明和小紅通過抓鬮決定誰代表班級參加學校舉行的演講比賽，規(guī)則如下：在一個不透明的盒子里有三個質地完全相同的小卡片，上面分別寫有“參加”“不參加”“謝謝參與”，小明和小紅分別從中摸取一個小卡片，摸到“參加”者代表班級參加學校舉行的演講比賽．這個游戲規(guī)則公平嗎？請說明理由．[提示]公平．因為每個人摸到“參加”的概率都是eq\f(1,3).【例3】某校高二年級(1)(2)班準備聯(lián)合舉行晚會，組織者欲使晚會氣氛熱烈、有趣，策劃整場晚會以轉盤游戲的方式進行，每個節(jié)目開始時，兩班各派一人先進行轉盤游戲，勝者獲得一件獎品，負者表演一個節(jié)目．(1)班的文娛委員利用分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7的兩個轉盤(如圖所示)，設計了一種游戲方案：兩人同時各轉動一個轉盤一次，將轉到的數(shù)字相加，和為偶數(shù)時(1)班代表獲勝，否則(2)班代表獲勝．該方案對雙方是否公平？為什么？[思路探究]計算和為偶數(shù)時的概率是否為eq\f(1,2)，概率是eq\f(1,2)就公平，否則不公平．[解]該方案是公平的，理由如下：各種情況如表所示：和45671567826789378910由表可知該游戲可能出現(xiàn)的情況共有12種，其中兩數(shù)字之和為偶數(shù)的有6種，為奇數(shù)的也有6種，所以(1)班代表獲勝的概率P1＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，(2)班代表獲勝的概率P2＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，即P1＝P2，機會是均等的，所以該方案對雙方是公平的．1．在例3中，若把游戲規(guī)則改為：兩人各自轉動轉盤一次，轉盤停止后，兩個指針指向的兩個數(shù)字相乘，如果是偶數(shù)，那么(1)班代表獲勝，否則(2)班代表獲勝．游戲規(guī)則公平嗎？為什么？[解]不公平．因為乘積出現(xiàn)奇數(shù)的概率為eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，而出現(xiàn)偶數(shù)的概率為eq\f(8,12)＝eq\f(2,3).2．若在例3中，轉盤被平均分成10等份(如圖所示)，轉動轉盤，當轉盤停止后，指針指向的數(shù)字即為轉出的數(shù)字．游戲規(guī)則如下：兩個人參加，先確定猜數(shù)方案，甲轉動轉盤，乙猜，若猜出的結果與轉盤轉出的數(shù)字所表示的數(shù)字相符，則乙獲勝，否則甲獲勝．猜數(shù)方案從以下兩種方案中選一種：A．猜“是奇數(shù)”或“是偶數(shù)”；B．猜“不是4的整數(shù)倍數(shù)”．請回答下列問題：(1)如果你是乙，為了盡可能獲勝，你會選哪種猜數(shù)方案？(2)為了保證游戲的公平性，你認為應選哪種猜數(shù)方案？[解](1)為了盡可能獲勝，乙應選擇方案B.猜“不是4的整數(shù)倍”，這是因為“不是4的整數(shù)倍”的概率為eq\f(8,10)＝0.8，超過了0.5，故為了盡可能獲勝，選擇方案B.(2)為了保證游戲的公平性，應當選擇方案A，這是因為方案A是猜“是奇數(shù)”和“是偶數(shù)”的概率均為0.5，從而保證了該游戲的公平性．游戲公平性的標準及判斷方法(1)游戲規(guī)則是否公平，要看對游戲的雙方來說，獲勝的可能性或概率是否相同．若相同，則規(guī)則公平，否則就是不公平的．(2)具體判斷時，可以求出按所給規(guī)則雙方的獲勝概率，再進行比較．1．概率與頻率的區(qū)別：頻率是一個變量，隨著試驗次數(shù)的變化而變化，概率是一個定值，是某事件的固有屬性．2．概率與頻率的關系：對于一個事件而言，概率是一個常數(shù)，頻率則隨試驗次數(shù)的變化而變化，次數(shù)越多頻率越接近其概率，因此可以用隨機事件的頻率來估計其概率．【課堂達標練習】1．判斷正誤(1)隨機事件的頻率和概率不可能相等．()(2)隨機事件的頻率和概率都隨著試驗次數(shù)的變化而變化．()(3)概率能反映隨機事件發(fā)生可能性的大小，而頻率則不能．()[提示](1)錯誤．二者可能相等．(2)錯誤．頻率會發(fā)生變化，是變量，而概率是不變的，是客觀存在的．(3)錯誤．頻率和概率都能反映隨機事件發(fā)生的可能性的大?。甗答案](1)×(2)×(3)×2．給出下列3種說法：①設有一大批產(chǎn)品，已知其次品率為0.1，則從中任取100件，必有10件是次品；②做7次拋硬幣的試驗，結果3次出現(xiàn)正面，因此，拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率是eq\f(3,7)；③隨機事件發(fā)生的頻率就是這個隨機事件發(fā)生的概率．其中正確說法的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3A[由頻率與概率之間的聯(lián)系與區(qū)別知，①②③均不正確．]3．設某廠產(chǎn)品的次品率為2%，估算該廠8000件產(chǎn)品中合格品的件數(shù)可能為()A．160 B．7840C．7998 D．7800B[次品率為2%，故次品約8000×2%＝160(件)，故合格品的件數(shù)可能為7840.]4．試解釋下面情況中概率的意義：(1)某商場為促進銷售，舉辦有獎銷售活動，凡購買其商品的顧客中獎的概率為0.20；(2)一生產(chǎn)廠家稱，我們廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格的概率是0.98.[解](1)指購買其商品的顧客中獎的可能性是20%.(2)是說該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格的可能性是98%.《10.3.1頻率的穩(wěn)定性》課后作業(yè)[合格基礎練]一、選擇題1．某地氣象局預報說：明天本地降水的概率為80%，則下列解釋正確的是()A．明天本地有80%的區(qū)域降水，20%的區(qū)域不降水B．明天本地有80%的時間降水，20%的時間不降水C．明天本地降水的可能性是80%D．以上說法均不正確C[選項A，B顯然不正確，因為明天本地降水的概率為80%不是說有80%的區(qū)域降水，也不是說有80%的時間降水，而是指降水的可能性是80%.故選C.]2．某中學要在高一年級的二、三、四班中任選一個班參加社區(qū)服務活動，有人提議用如下方法選班：擲兩枚硬幣，正面向上記作2點，反面向上記作1點，兩枚硬幣的點數(shù)和是幾，就選幾班．按照這個規(guī)則，當選概率最大的是()A．二班 B．三班C．四班 D．三個班機會均等B[擲兩枚硬幣，共有4種結果：(2,2)，(2,1)，(1,2)，(1,1)，故選四班的概率是eq\f(1,4)，選三班的概率為eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，選二班的概率為eq\f(1,4)，故選B.]3．給出下列四個命題：①設有一批產(chǎn)品，其次品率為0.05，則從中任取200件，必有10件是次品；②做100次拋硬幣的試驗，結果51次出現(xiàn)正面朝上，因此，出現(xiàn)正面朝上的概率是eq\f(51,100)；③隨機事件發(fā)生的頻率就是這個隨機事件發(fā)生的概率；④拋擲骰子100次，得點數(shù)是1的結果有18次，則出現(xiàn)1點的頻率是eq\f(9,50).其中正確命題有()A．① B．②C．③ D．④D[①錯，次品率是大量產(chǎn)品的估計值，并不是針對200件產(chǎn)品來說的；②③混淆了頻率與概率的區(qū)別．④正確．]4．投擲一枚普通的正方體骰子，四位同學各自發(fā)表了以下見解：①出現(xiàn)“點數(shù)為奇數(shù)”的概率等于出現(xiàn)“點數(shù)為偶數(shù)”的概率；②只要連擲6次，一定會“出現(xiàn)1點”；③投擲前默念幾次“出現(xiàn)6點”；投擲結果“出現(xiàn)6點”的可能性就會加大；④連續(xù)投擲3次，出現(xiàn)的點數(shù)之和不可能等于19.其中正確的見解有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個B[①擲一枚骰子，出現(xiàn)奇數(shù)點和出現(xiàn)偶數(shù)點的概率都是eq\f(1,2)，故①正確；②“出現(xiàn)1點”是隨機事件，故②錯誤；③概率是客觀存在的，不因為人的意念而改變，故③錯誤；④連續(xù)擲3次，每次都出現(xiàn)最大點數(shù)6，則三次之和為18，故④正確．故選B.]5．甲、乙兩人做游戲，下列游戲中不公平的是()A．拋一枚骰子，向上的點數(shù)為奇數(shù)則甲勝，向上的點數(shù)為偶數(shù)則乙勝B．同時拋兩枚相同的骰子，向上的點數(shù)之和大于7則甲勝，否則乙勝C．從一副不含大、小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色則甲勝，是黑色則乙勝D．甲、乙兩人各寫一個數(shù)字，若是同奇或同偶則甲勝，否則乙勝B[對于A，C，D，甲勝、乙勝的概率都是eq\f(1,2)，游戲是公平的；對于B，點數(shù)之和大于7和點數(shù)之和小于7的概率相等，但點數(shù)等于7時乙勝，所以甲勝的概率小，游戲不公平．]二、填空題6．某制造商今年3月份生產(chǎn)了一批乒乓球，隨機抽取100個進行檢查，測得每個乒乓球的直徑(單位：mm)，將數(shù)據(jù)分組如下：分組頻數(shù)頻率[39.95,39.97)100.10[39.97,39.99)200.20[39.99,40.01]500.50[40.01,40.03)200.20合計1001.00若用上述頻率近似概率，已知標準乒乓球的直徑為40.00mm，則這批乒乓球的直徑誤差不超過0.03mm的概率約為．0．90[標準尺寸是40.00mm，并且誤差不超過0.03mm，即直徑需落在[39.97,40.03]范圍內(nèi)．由頻率分布表知，所求頻率為0.20＋0.50＋0.20＝0.90，所以直徑誤差不超過0.03mm的概率約為0.90.]7．小明和小展按如下規(guī)則做游戲：桌面上放有5支鉛筆，每次取1支或2支，最后取完鉛筆的人獲勝，你認為這個游戲規(guī)則．(填“公平”或“不公平”)不公平[當?shù)谝粋€人第一次取2支時，還剩余3支，無論是第二個人取1支還是取2支，第一個人在第二次取鉛筆時，都可取完，即第一個人一定能獲勝，所以不公平．]8．種子發(fā)芽率是指在規(guī)定條件和時間內(nèi)長成的正常幼苗數(shù)占供檢種子數(shù)的百分率．種子發(fā)芽率的測定通常是在實驗室內(nèi)進行，隨機取600粒種子置于發(fā)芽床上，通常以100粒種子為一個重復，根據(jù)不同種類的種子控制相應的溫度、水分、光照等條件，再到規(guī)定的時間鑒定正常幼苗的數(shù)量，最后計算出種子的發(fā)芽率．下表是獼猴桃種子的發(fā)芽試驗結果：種子粒數(shù)100100100100100100發(fā)芽粒數(shù)797881798082發(fā)芽率79%78%81%79%80%82%根據(jù)表格分析獼猴桃種子的發(fā)芽率約為．80%[由表格中的數(shù)據(jù)可知，該獼猴桃種子的發(fā)芽率約為80%.]三、解答題9．某射手在同一條件下進行射擊，結果如下表所示：射擊次數(shù)n102050100200500擊中靶心次數(shù)m8194492178455擊中靶心的頻率eq\f(m,n)(1)填寫表中擊中靶心的頻率；(2)這個射手射擊一次，擊中靶心的概率約是多少？[解](1)表中依次填入的數(shù)據(jù)為：0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.(2)由于頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.89附近，所以這個射手射擊一次，擊中靶心的概率約是0.89.10．某種油菜籽在相同條件下的發(fā)芽試驗結果如下表：每批粒數(shù)251070130700150020003000發(fā)芽的粒數(shù)24960116637137017862709發(fā)芽的頻率(1)請完成上述表格(保留3位小數(shù))；(2)該油菜籽發(fā)芽的概率約為多少？[解](1)填入題表中的數(shù)據(jù)依次為1.000,0.800，0.900，0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903.填表如下：每批粒數(shù)251070130700150020003000發(fā)芽的粒數(shù)24960116637137017862709發(fā)芽的頻率1.0000.8000.9000.8570.8920.9100.9130.8930.903(2)由(1)估計該油菜籽發(fā)芽的概率約為0.900.[等級過關練]1．在調查運動員是否服用過興奮劑的時候，給出兩個問題作答，無關緊要的問題是：“你的身份證號碼的尾數(shù)是奇數(shù)嗎？”敏感的問題是：“你服用過興奮劑嗎？”然后要求被調查的運動員擲一枚硬幣，如果出現(xiàn)正面，就回答第一個問題，否則回答第二個問題．由于回答哪一個問題只有被測試者自己知道，所以應答者一般樂意如實地回答問題．如我們把這種方法用于300個被調查的運動員，得到80個“是”的回答，則這群人中服用過興奮劑的百分率大約為()A.4.33% B.3.33%C.3.44% D.4.44%B[因為擲硬幣出現(xiàn)正面向上的概率為eq\f(1,2)，大約有150人回答第一個問題，又身份證號碼的尾數(shù)是奇數(shù)或偶數(shù)是等可能的，在回答第一個問題的150人中大約有一半人，即75人回答了“是”，另外5個回答“是”的人服用興奮劑．因此我們估計這群人中大約有3.33%的人服用過興奮劑．]2．下面有三種游戲規(guī)則：袋子中分別裝有大小相同的球，從袋中取球，游戲1游戲2游戲33個黑球和1個白球1個黑球和1個白球2個黑球和2個白球任取兩個球取1個球任取兩個球取出的兩個球同色→甲勝取出的球是黑球→甲勝取出的兩個球同色→甲勝取出的兩個球不同色→乙勝取出的球是白球→乙勝取出的兩個球不同色→乙勝問其中不公平的游戲是()A．游戲1 B．游戲1和游戲3C．游戲2 D．游戲3D[游戲1中取2個球的所有可能情況有：(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)，所以甲勝的概率為eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，所以游戲1是公平的．游戲2中，顯然甲勝的概率是0.5，游戲是公平的．游戲3中取2個球的所有可能情況有(黑1，黑2)，(黑1，白1)，(黑1，白2)，(黑2，白1),(黑2，白2)，(白1，白2)，所以甲勝的概率為eq\f(1,3)，所以游戲3是不公平的．]3．某工廠為了節(jié)約用電，規(guī)定每天的用電量指標為1000度，按照上個月的用電記錄，在30天中有12天的用電量超過指標，若這個月(按30天計)仍沒有具體的節(jié)電措施，則該月的第一天用電量超過指標的概率約是．0．4[由頻率的定義可知用電量超過指標的頻率為eq\f(12,30)＝0.4，由頻率估計概率知第一天用電量超過指標的概率約是0.4.]4．從某自動包裝機包裝的白糖中隨機抽取20袋，測得各袋的質量分別為(單位：g)：492496494495498497501502504496497503506508507492496500501499根據(jù)頻率分布估計總體分布的原理，該自動包裝機包裝的袋裝白糖質量在497.5～501.5g之間的概率約為．0．25[易知袋裝白糖質量在497.5～501.5g之間的袋數(shù)為5，故其頻率為eq\f(5,20)＝0.25，即其概率約為0.25.]5．某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)01234≥5保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機調查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況，得到如下統(tǒng)計表：出險次數(shù)01234≥5頻數(shù)605030302010(1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”，求P(A)的估計值．(2)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”．求P(B)的估計值．(3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值．[解](1)事件A發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)小于2的頻率為eq\f(60＋50,200)＝0.55，故P(A)的估計值為0.55.(2)事件B發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4的頻率為eq\f(30＋30,200)＝0.3，故P(B)的估計值為0.3.(3)由所給數(shù)據(jù)得保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05調查的200名續(xù)保人的平均保費為0．85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.因此，續(xù)保人本年度平均保費的估計值為1.1925a.10.3.2隨機模擬學習目標核心素養(yǎng)1.了解隨機數(shù)的意義．2．會用模擬方法(包括計算器產(chǎn)生隨機數(shù)進行模擬)估計概率．3．理解用模擬方法估計概率的實質．(重點、難點)1.通過對利用隨機模擬的方法估計事件的概率，培養(yǎng)學生數(shù)學建模素養(yǎng)．2．通過學習事件概率的計算，培養(yǎng)學生數(shù)學運算素養(yǎng).【自主預習】1．產(chǎn)生隨機數(shù)的方法(1)利用計算器或計算機軟件產(chǎn)生隨機數(shù)．(2)構建模擬試驗產(chǎn)生隨機數(shù)．2．蒙特卡洛方法利用隨機模擬解決問題的方法為蒙特卡洛方法．思考：用頻率估計概率時，用計算機模擬試驗產(chǎn)生隨機數(shù)有什么優(yōu)點？[提示]用頻率估計概率時，需做大量的重復試驗，費時費力，并且有些試驗具有破壞性，有些試驗無法真正進行．因此利用計算機進行隨機模擬試驗就成為一種很重要的替代方法，它可以在短時間內(nèi)多次重復地來做試驗，不需要對試驗進行具體操作，可以廣泛應用到各個領域．1．擲兩枚骰子，用隨機模擬方法估計出現(xiàn)點數(shù)之和為9的概率時，產(chǎn)生的整數(shù)值隨機數(shù)中，每幾個數(shù)字為一組()A．1B．2C．9D．12B[由于擲兩枚骰子，所以產(chǎn)生的整數(shù)值隨機數(shù)中，每2個數(shù)字為一組．]2．下列不能產(chǎn)生隨機數(shù)的是()A．拋擲骰子試驗B．拋硬幣C．計算器D．正方體的六個面上分別寫有1,2,2,3,4,5，拋擲該正方體D[D項中，出現(xiàn)2的概率為eq\f(2,6)，出現(xiàn)1,3,4,5的概率均是eq\f(1,6)，則D項不能產(chǎn)生隨機數(shù)．]3．已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示未命中；再以每三個隨機數(shù)為一組代表三次投籃的結果．經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為()A．0.35 B．0.25C．0.20 D．0.15B[易知20組隨機數(shù)中表示恰有兩次命中的數(shù)據(jù)有191,271,932,812,393，所以P＝eq\f(5,20)＝0.25.]【合作探究】隨機數(shù)的產(chǎn)生方法【例1】要產(chǎn)生1～25之間的隨機整數(shù)，你有哪些方法？[解]法一：可以把25個大小形狀相同的小球分別標上1,2,3，…，24,25，放入一個袋中，把它們充分攪拌，然后從中摸出一個，這個球上的數(shù)就稱為隨機數(shù)，放回后重復以上過程，就得到一系列的1～25之間的隨機整數(shù)．法二：可以利用計算機產(chǎn)生隨機數(shù)，以Excel為例：(1)選定A1格，輸入“＝RANDBETWEEN(1,25)”，按Enter鍵，則在此格中的數(shù)是隨機產(chǎn)生的；(2)選定A1格，點擊復制，然后選定要產(chǎn)生隨機數(shù)的格，比如A2至A100，點擊粘貼，則在A2至A100的格中均為隨機產(chǎn)生的1～25之間的數(shù)，這樣我們就很快得到了100個1～25之間的隨機數(shù)，相當于做了100次隨機試驗．隨機數(shù)產(chǎn)生的方法比較方法抽簽法用計算器或計算機產(chǎn)生優(yōu)點保證機會均等操作簡單，省時、省力缺點耗費大量人力、物力、時間，或不具有實際操作性由于是偽隨機數(shù)，故不能保證完全等可能1．某校高一年級共20個班，1200名學生，期中考試時如何把學生分配到40個考場中去？[解]要把1200人分到40個考場，每個考場30人，可用計算機完成．(1)按班級、學號順序把學生檔案輸入計算機．(2)用隨機函數(shù)按順序給每個學生一個隨機數(shù)(每人都不相同)．(3)使用計算機的排序功能按隨機數(shù)從小到大排列，可得到1200名學生的考試號0001,0002，…，1200，然后0001～0030為第一考場，0031～0060為第二考場，依次類推.簡單的隨機模擬試驗的應用【例2】一個袋中有7個大小、形狀相同的小球，6個白球，1個紅球，現(xiàn)任取1個，若為紅球就停止，若為白球就放回，攪拌均勻后再接著取，試設計一個模擬試驗計算恰好第三次摸到紅球的概率．[解]用1,2,3,4,5,6表示白球，7表示紅球，利用計算器或計算機產(chǎn)生1到7之間(包括1和7)取整數(shù)值的隨機數(shù)．因為要求恰好第三次摸到紅球的概率，所以每三個隨機數(shù)作為一組．如下，產(chǎn)生20組隨機數(shù)：666743671464571561156567732375716116614445117573552274114662就相當于做了20次試驗，在這些數(shù)組中，前兩個數(shù)字不是7，第三個數(shù)字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是紅球，它們分別是567和117，共兩組，因此恰好第三次摸到紅球的概率約為eq\f(2,20)＝0.1.在設計隨機模擬試驗時，注意以下兩點：(1)要根據(jù)具體的事件設計恰當?shù)脑囼?，使試驗能夠真正地模擬隨機事件．(2)注意用不同的隨機數(shù)來表示不同的隨機事件的發(fā)生．2．在一個盒中裝有10支圓珠筆，其中7支一級品，3支二級品，任取一支，用模擬方法求取到一級品的概率．[解]設事件A：“取到一級品”．(1)用計算機的隨機函數(shù)RANDBETWEEN(1,10)或計算器產(chǎn)生1到10之間的整數(shù)隨機數(shù)，分別用1,2,3,4,5,6,7表示取到一級品，用8,9,10表示取到二級品．(2)統(tǒng)計試驗總次數(shù)N及其中出現(xiàn)1至7之間數(shù)的次數(shù)N1.(3)計算頻率fn(A)＝eq\f(N1,N)，即為事件A的概率的近似值．較復雜的隨機模擬試驗的應用[探究問題]1．若事件A發(fā)生的概率為0.6，如何設計模擬試驗的隨機數(shù)？[提示]產(chǎn)生10個隨機數(shù)0到9，可以用數(shù)字0,1,2,3,4,5表示事件A發(fā)生，用數(shù)字6,7,8,9表示事件不發(fā)生．2．若某隨機試驗連續(xù)進行4次，如何設計隨機數(shù)？[提示]產(chǎn)生4組隨機數(shù)，代表4次隨機試驗．【例3】種植某種樹苗，成活率為0.9，請采用隨機模擬的方法估計該樹苗種植5棵恰好4棵成活的概率．寫出模擬試驗的過程，并求出所求概率．[思路探究]用計算機產(chǎn)生10個隨機數(shù)，用其中9個代表成活，1個代表沒成活，5個隨機數(shù)一組即可計算．[解]先由計算機隨機函數(shù)RANDBETWEEN(0,9)，或計算器的隨機函數(shù)RANDI(0,9)產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1至9的數(shù)字代表成活，0代表不成活，再以每5個隨機數(shù)為一組代表5次種植的結果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生隨機數(shù)，例如，如下30組隨機數(shù)：698016609777124229617423531516297472494557558652587413023224374454434433315271202178258555610174524144134922017036283005949765617334783166243034401117這就相當于做了30次試驗，在這些數(shù)組中，如果恰有一個0，則表示恰有4棵成活，共有9組這樣的數(shù)，于是我們得到種植5棵這樣的樹苗恰有4棵成活的概率近似為eq\f(9,30)＝0.3.在例3中若樹苗的成活率為0.8，則5棵樹苗至少有4棵成活的概率是多少？[解]利用計算器或計算機可以產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，我們用0和1代表不成活，2到9的數(shù)字代表成活，這樣可以體現(xiàn)成活率是0.8.因為是種植5棵，所以每5個隨機數(shù)作為一組，例如，產(chǎn)生20組隨機數(shù)：2306537052890213443577321336740145612346227890245899274226541843590378392021743763021673102016512328這就相當于做了20次試驗，在這些數(shù)組中，如果至多有一個是0或1的數(shù)組表示至少有4棵成活，共有15組，于是我們得到種植5棵樹苗至少有4棵成活的概率近似為15÷20＝0.75.利用隨機模擬估計概率應關注三點用整數(shù)隨機數(shù)模擬試驗估計概率時，首先要確定隨機數(shù)的范圍和用哪些數(shù)代表不同的試驗結果．我們可以從以下三方面考慮：(1)當試驗的基本事件等可能時，基本事件總數(shù)即為產(chǎn)生隨機數(shù)的范圍，每個隨機數(shù)代表一個基本事件；(2)研究等可能事件的概率時，用按比例分配的方法確定表示各個結果的數(shù)字個數(shù)及總個數(shù)；(3)當每次試驗結果需要n個隨機數(shù)表示時，要把n個隨機數(shù)作為一組來處理，此時一定要注意每組中的隨機數(shù)字能否重復．1．隨機模擬試驗的步驟：(1)設計概率模型；(2)進行模擬試驗；(3)統(tǒng)計試驗結果．2．計算器和計算機產(chǎn)生隨機數(shù)的方法：構建模擬試驗產(chǎn)生隨機數(shù)或計算機的隨機函數(shù)RANDBETWEEN(a，b)，可以產(chǎn)生從整數(shù)a到整數(shù)b的取整數(shù)值的隨機數(shù)．【課堂達標練習】1．判斷正誤(1)在用計算器模擬拋硬幣試驗時，假設計算器只能產(chǎn)生0～9之間的隨機數(shù)，則可以用4,5,6,7,8,9來代表正面．()(2)用隨機模擬試驗估計事件的概率時，試驗次數(shù)越多，所得的估計值越接近實際值．()[提示](1)錯誤．正面出現(xiàn)的概率是eq\f(1,2)，所以應該用其中的五個數(shù)表示正面．(2)正確．[答案](1)×(2)√2．利用拋硬幣產(chǎn)生隨機數(shù)1和2，出現(xiàn)正面表示產(chǎn)生的隨機數(shù)為1，出現(xiàn)反面表示產(chǎn)生的隨機數(shù)為2.小王拋兩次，則出現(xiàn)的隨機數(shù)之和為3的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,5)A[拋擲硬幣兩次，產(chǎn)生的隨機數(shù)的情況有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)共四種，其中隨機數(shù)之和為3的情況有(1,2)，(2,1)兩種，故所求概率為eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).]3．甲、乙兩支籃球隊進行一局比賽，甲獲勝的概率為0.6，若采用三局兩勝制舉行一次比賽，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計乙獲勝的概率．先利用計算器或計算機生成0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，用0,1,2,3,4,5表示甲獲勝；6,7,8,9表示乙獲勝，這樣能體現(xiàn)甲獲勝的概率為0.6.因為采用三局兩勝制，所以每3個隨機數(shù)作為一組．例如，產(chǎn)生30組隨機數(shù)：034743738636964736614698637162332616804560111410959774246762428114572042533237322707360751據(jù)此估計乙獲勝的概率約為．0．367[產(chǎn)生30組隨機數(shù)，就相當于做了30次試驗．如果6,7,8,9中恰有2個或3個數(shù)出現(xiàn)，就表示乙獲勝，它們分別是738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707，共11個．所以采用三局兩勝制，乙獲勝的概率約為eq\f(11,30)≈0.367.]4．盒中有大小、形狀相同的5個白球、2個黑球，用隨機模擬法求下列事件的概率：(1)任取一球，得到白球；(2)任取三球，都是白球．[解]用1,2,3,4,5表示白球，6,7表示黑球．(1)步驟：①利用計算器或計算機可以產(chǎn)生1到7的整數(shù)隨機數(shù)，每一個數(shù)一組，統(tǒng)計組數(shù)n；②統(tǒng)計這n組數(shù)中小于6的組數(shù)m；③任取一球，得到白球的概率估計值是eq\f(m,n).(2)步驟：①利用計算器或計算機可以產(chǎn)生1到7的整數(shù)隨機數(shù)，每三個數(shù)一組(每組數(shù)字不重復)，統(tǒng)計組數(shù)a；②統(tǒng)計這a組數(shù)中，每個數(shù)字均小于6的組數(shù)b；③任取三球，都是白球的概率估計值是eq\f(b,a).《10.3.2隨機模擬》課后作業(yè)[合格基礎練]一、選擇題1．已知某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格率為90%.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計4件產(chǎn)品中至少有3件為合格品的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0表示不是合格品，1,2,3,4,5,6,7,8,9表示是合格品；再以每4個隨機數(shù)為一組，代表4件產(chǎn)品．經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：75270293704098570347437386366947141746980301623326168045600136619597742476104001據(jù)此估計，4件產(chǎn)品中至少有3件合格品的概率為()A.eq\f(3,4)B.eq\f(5,20)C.eq\f(1,4)D.eq\f(4,5)D[∵4件產(chǎn)品中有1件或2件合格品的有：7040,0301,6001,4001，∴所求概率P＝1－eq\f(4,20)＝eq\f(4,5).]2．某種心臟手術，成功率為0.6，現(xiàn)采用隨機模擬方法估計“3例心臟手術全部成功”的概率：先利用計算器或計算機產(chǎn)生0～9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，由于成功率是0.6，故我們用0,1,2,3表示手術不成功，4,5,6,7,8,9表示手術成功；再以每3個隨機數(shù)為一組，作為3例手術的結果．經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生如下10組隨機數(shù)：812,832,569,683,271，989,730,537,925,907.由此估計“3例心臟手術全部成功”的概率為()A．0.2 B．0.3C．0.4 D．0.5A[由10組隨機數(shù)知，4～9中恰有三個的隨機數(shù)有569,989兩組，故所求的概率為P＝eq\f(2,10)＝0.2.]3．已知某射擊運動員每次擊中目標的概率都是0.8.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員射擊4次，至少擊中3次的概率：先由計算器產(chǎn)生0～9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0,1表示沒有擊中目標，2,3,4,5,6,7,8,9表示擊中目標；因為射擊4次，故以每4個隨機數(shù)為一組，代表射擊4次的結果．經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：57270293714098570347437386369647141746980371623326168045601136619597742467104281據(jù)此估計，該射擊運動員射擊4次至少擊中3次的概率為()A．0.85 B．0.8192C．0.8 D．0.75D[該射擊運動員射擊4次至少擊中3次，考慮該事件的對立事件，故看這20組數(shù)據(jù)中含有0和1的個數(shù)多少，含有2個或2個以上的有5組數(shù)，故所求概率為eq\f(15,20)＝0.75.]4．在一個袋子中裝有分別標注數(shù)字1,2,3,4,5的五個小球，這些小球除標注的數(shù)字外完全相同，現(xiàn)從中隨機取出兩個小球，則取出的小球標注的數(shù)字之和為3或6的概率是()A.eq\f(3,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,10)D.eq\f(1,12)A[隨機取出兩個小球有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10種情況，和為3只有1種情況(1,2)，和為6可以是(1,5)，(2,4)，共2種情況，∴P＝eq\f(3,10).]5．現(xiàn)有5根竹竿，它們的長度(單位：m)分別為2.5,2.6，2.7，2.8,2.9，若從中一次隨機抽取2根竹竿，則它們的長度恰好相差0.3m的概率為()A．0.2 B．0.8C．0.4 D．0.7A[由5根竹竿一次隨機抽取2根竹竿的種數(shù)為4＋3＋2＋1＝10，它們的長度恰好相差0.3m的是2.5和2.8、2.6和2.9兩種，則它們的長度恰好相差0.3m的概率為P＝eq\f(2,10)＝0.2.]二、填空題6．在利用整數(shù)隨機數(shù)進行隨機模擬試驗中，整數(shù)a到整數(shù)b之間的每個整數(shù)出現(xiàn)的可能性是．eq\f(1,b－a＋1)[[a，b]中共有b－a＋1個整數(shù)，每個整數(shù)出現(xiàn)的可能性相等，所以每個整數(shù)出現(xiàn)的可能性是eq\f(1,b－a＋1).]7．通過模擬試驗產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：68303013705574307740442278842604334609526807970657745725657659299768607191386754如果恰好有三個數(shù)在1,2,3,4,5,6中，表示恰好有三次擊中目標，則四次射擊中恰好有三次擊中目標的概率約為．0．25[表示三次擊中目標分別是3013,2604,5725,6576,6754，共5組數(shù)，而隨機數(shù)總共20組，所以所求的概率近似為eq\f(5,20)＝0.25.]8．從1,2,3,4,5這5個數(shù)中任取兩個，則這兩個數(shù)正好相差1的概率是．eq\f(2,5)[從5個數(shù)中任取兩個，共有10種取法，兩個數(shù)相差1的有1,2；2,3；3,4；4,5四種，故所求概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).]三、解答題9．某籃球愛好者做投籃練習，假設其每次投籃命中的概率是60%，若該籃球愛好者連續(xù)投籃4次，求至少投中3次的概率．用隨機模擬的方法估計上述概率．[解]利用計算機或計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，用1,2,3,4,5,6表示投中，用7,8,9,0表示未投中，這樣可以體現(xiàn)投中的概率是60%，因為投籃4次，所以每4個隨機數(shù)作為1組．例如5727,7895,0123，…，4560,4581,4698，共100組這樣的隨機數(shù)，若所有數(shù)組中沒有7,8,9,0或只有7,8,9,0中的一個數(shù)的數(shù)組的個數(shù)為n，則至少投中3次的概率近似值為eq\f(n,100).10.