山西省呂梁交城市2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

山西省呂梁交城市2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試

題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

A.（%-2）2=1B.（x-2）2=-1C.（x-4）2=1D.（x-2）2=-1

3.已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,-4）與（-2,間），則加的值為（）

A.-4B.4C.-8D.8

4.下列關(guān)于二次函數(shù)丁=-加+2辦-1（°>0）的圖象和性質(zhì)說法正確的是（）

A.該函數(shù)的圖象開口向上

B.該函數(shù)的圖象對稱軸為直線x=-l

C.該函數(shù)的最大值為y=a-l

D.若點(diǎn)（T%）和（2,%）是該函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn)，則

5.在一個不透明的袋子中裝有4個紅球和若干個白球，它們除顏色外其余都相同.通

過多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在04附近.則估計(jì)袋子中的白球有（）

A.6個B.8個C.10個D.12個

6.如圖,將矩形A5CD繞著點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形A'B'CD',此時點(diǎn)笈恰好落在邊AD

上，若點(diǎn)8'是AO的中點(diǎn)，則/DCD'的度數(shù)為（）

A.30°B.45°C.60°D.80°

7.如圖，ABCD,AC,相交于點(diǎn)。，若OA=1,OC=3,BO=7,則OD的長為（）

A

D

B

7

A.-B.4cD.5

2-7

8.二次函數(shù)》=以2+廄的圖象如圖所示，則關(guān)于x的方程62+6無+5=0的解為（）

A.—0,x2—6B.X]=%=3

C.玉=一2,工2=8D.此方程無解

CD3

9.如圖，在.ABC中，DE//AB,b為A5的中點(diǎn)，CF交DE于點(diǎn)、G,且——=-,則

BD2

CE333

DG=EG°CDG

A.C.io

AE2BT5°CBA

10.如圖，已知菱形ABCD的對角線AC,3。交于點(diǎn)。，NABC=120。，AB=4,以點(diǎn)

。為圓心，03為半徑作圓，分別與菱形ABC。的邊相交形成如圖所示的陰影部分，則

陰影部分的面積為（）

C.?D.-士兀

3

試卷第2頁，共6頁

二、填空題

11.請寫出一個二次函數(shù)的表達(dá)式，使其圖象的對稱軸為直線x=i,與y軸的正半軸有

交點(diǎn)，可以是.

12.如圖，是。的直徑，弦AD平分NBAC,過點(diǎn)。作。的切線交AC于點(diǎn)E,

若/BAD=23°,則4DE=

-7k

13.如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=；(x<0)的圖象上，點(diǎn)3在反比例函數(shù)丁二'(％〉0)的

圖象上，AB〃x軸，點(diǎn)C是x軸上的一點(diǎn)，若aABC的面積為g,則上的值為.

14.如圖，四邊形A3C。為矩形，A5=4,BC=6,點(diǎn)P是邊8c上一動點(diǎn)，點(diǎn)、M為線

段"上一點(diǎn)，且/4ZW=ZR4B,則的最小值為.

15.如圖，在Rt^ABC中，NA=30。，ZACB=90°,BC=2,將.ABC繞著點(diǎn)C順時

針旋轉(zhuǎn)30。得到△A8C,線段AC與AB交于點(diǎn)。，與3c交于點(diǎn)E,連接OE,

則DE2的值為.

三、解答題

16.(1)解方程：尤2+3尤—15=尤；

(2)求拋物線y=2xZ-12x+20的頂點(diǎn)坐標(biāo).

17.如圖，一次函數(shù)>=履+2與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)A(2,w),與y軸

交于點(diǎn)8,與x軸交于點(diǎn)C(T,O).

⑴求反比例函數(shù)的解析式；

(2)點(diǎn)P是x軸上的一個動點(diǎn)，當(dāng)4必5的面積為4時，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

18.某校為了提高課后延時服務(wù)的質(zhì)量，自主研發(fā)了書法(A),閱讀(8),足球(C),

器樂(。)四門選修課程供學(xué)生選擇，每門課程被選到的機(jī)會均等.

(1)學(xué)生小李計(jì)劃選修兩門課程，他所有可能的選法共有種；

(2)若學(xué)生小李和小杜各計(jì)劃選修一門課程，求他們兩人恰好選到同一門課程的概率.

19.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,點(diǎn)。是A8邊上一動點(diǎn)，過點(diǎn)。作DEL3c于

點(diǎn)、E,DPIAC于點(diǎn)尸，AF=6,BE=2A/6.

⑴設(shè)DE=x,DF=y,請確定x與y的關(guān)系式(用x表示y),并直接寫出四邊形DECF

的面積；

(2)當(dāng)=時，求的長度.

20.如圖，是。的直徑，AC是弦，點(diǎn)。是：。上一點(diǎn)，ODLAB,連接CD交A2

于點(diǎn)E,尸是A8延長線上的一點(diǎn)，且CF=EF.

⑴求證：CF是。的切線;

試卷第4頁，共6頁

⑵若Cb=8,BF=4,求弧2。的長度.

21.閱讀與思考

下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)論文，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

利用網(wǎng)格構(gòu)造數(shù)學(xué)圖形

我們知道，由許多邊長為1的正方形組成如圖1所示的圖形叫做網(wǎng)格，每一個小正

方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).利用這樣的網(wǎng)格不僅可以構(gòu)造具有位置關(guān)系的圖形，還可以構(gòu)造

某種數(shù)量關(guān)系的圖形.

在圖1的網(wǎng)格中，連接格點(diǎn)A3和8交于點(diǎn)E,則ABLCD.理由如下：

根據(jù)網(wǎng)格的特征可知：AF=2,BP=4,DG=1,CG=2,ZAFB=ZDGC=90°,

..DG\CG21

AF~2'BF~4~2

圖1

任務(wù):

（1）請把小宇證明ABLCD的過程補(bǔ)充完整;

（2）請求出圖1中AE的長度;

（3）在以上解答的啟發(fā)下，請你作出圖2中線段A3的三等分點(diǎn).

圖2

22.綜合與實(shí)踐

問題情境

在.ABC中，AB=AC,點(diǎn)。是3c的中點(diǎn)，D為ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接班）,DO,將線

段DO繞著點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)180°得到FO,連接CF.

探究證明

（1）如圖1,延長8。交AC于點(diǎn)E,若班，AC.求證：FC1AC；

（2）如圖2,連接AF,交3。的延長線于點(diǎn)G,連接OG,若OG=OD,用等式表示

線段AF,AB,由）之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

拓展提升

(3)如圖3,在(2)的條件下，"與BC交于點(diǎn)H,若/BAC=90。，AB=13,DG=7,

請求出G8的長度(直接寫出答案).

23.綜合與探究

如圖1,拋物線y=f+或+c經(jīng)過點(diǎn)8(4,0)和C(0,2),與x軸的另一個交點(diǎn)為A,連

接AC,BC.

(1)求該拋物線的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

⑵如圖1,點(diǎn)。是線段AC的中點(diǎn)，連接80.點(diǎn)E是拋物線上一點(diǎn)，若SBE=SABCD，

設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為x,請求出尤的值；

(3)試探究在拋物線上是否存在一點(diǎn)尸，使得NP8O+NOBC=45。？若存在，請直接寫

出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

1.D

【分析】本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，

圖形兩部分折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合；

根據(jù)中心對稱圖形的定義和軸對稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可.

【詳解】A、可以找到一條對稱軸，使圖形沿對稱軸折疊重合，屬于軸對稱圖形，找不到任

何一點(diǎn)對稱中心，令旋轉(zhuǎn)180度重合，不是中心對稱圖形，故選項(xiàng)不符合題意；

B、可以找到一點(diǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度重合，是中心對稱圖形，但找不到任何一條對稱軸，

使圖形沿對稱軸折疊重合，不是軸對稱圖形,，故選項(xiàng)不符合題意；

C、可以找到一條對稱軸，使圖形沿對稱軸折疊重合，是軸對稱圖形，找不到任何一點(diǎn)對稱

中心，令旋轉(zhuǎn)180度重合，不是中心對稱圖形，故選項(xiàng)不符合題意；

D、可以找到四條對稱軸，使圖形沿對稱軸折疊重合，是軸對稱圖形，也找到任何一點(diǎn)對稱

中心，令旋轉(zhuǎn)180度重合，也是中心對稱圖形，故選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

2.B

【分析】本題主要考查了配方法解一元二次方程，解題關(guān)鍵是熟練掌握配方法解一元二次方

程的步驟.原方程等號兩邊同時減1,然后配方即可.

【詳解】解：X2-4X+5=0,

x?-4x+5—1=0—1,

X2-4x+4=-1,

，配方后，可得（x-2）~=-1.

故選：B.

3.B

【分析】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，根據(jù)條件求出反比例函數(shù)解析式的比例

系數(shù)上的值，代入x=-2,求出機(jī)即可.

k

【詳解】解：設(shè)反比例函數(shù)解析式為：y=-,

X

代入點(diǎn)（2,T）,解得：上=一8,

代入（-2,曲,解得：根=4,

故選B.

答案第1頁，共21頁

4.C

【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷,

是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：<」=-加+2依:-1（。>0）,

—a<0，對稱軸為x=-------=1,

-2a

.??拋物線的開口向下，故A,B選項(xiàng)錯誤；

當(dāng)x=l時，該函數(shù)的最大值為y=a-i,故C選項(xiàng)正確，

:拋物線開口向下，

.?.拋物線上的點(diǎn)離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，

?-1-1-11>12-^

；?%<%，故D選項(xiàng)錯誤；

故選：C.

5.A

【分析】本題主要考查了頻率估計(jì)概率，根據(jù)概率公式計(jì)算數(shù)量，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得

出摸到紅球的概率為0.4.

【詳解】解：：摸到紅球的頻率穩(wěn)定在。4附近，

???摸到紅球的概率為0.4,

:袋子中裝有4個紅球，

；?球的總個數(shù)為：4+0.4=10（個），

.??白球的個數(shù)為：10-4=6（個），

故選：A.

6.C

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的知

識是解題的關(guān)鍵.由矩形的性質(zhì)得/BCD=90。，BC=AD,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得

/BCD=ZS'CD'=90。,B'C=BC,然后利用銳角三角函數(shù)的知識即可求解.

【詳解】解：；四邊形ABCD是矩形，

ZBCD=90°,BC=AD.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得NBCD=ZB'CD'=90°,B'C=BC.

答案第2頁，共21頁

:點(diǎn)5'是AD的中點(diǎn),

，B'D=-AD=-B'C.

22

H力i

VsinZB'CD=——=-,

B'C2

ZB'CD=30°,

：.ZDCD=90°-30°=60°.

故選C.

7.C

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定.先證明進(jìn)而得到器=g,

—即可求出。。二目.

BD44

【詳解】解：???A3CD,

:.AOBs一COD,

.OB_OA

''~db~~oc"

???OA=1,OC=3,

.OB_1

"'OD~3f

.OD_3

??茄

BD=7,

.OD3

??亍―"

：.OD=—,

4

故選：C.

8.B

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，直接根據(jù)圖象即可確定方程的根，從而得出答案.

【詳解】ax2+/?x+5=0

/.ax2+bx=-5

由圖象可知，當(dāng)玉=%=3時，,=一5

故選B.

9.D

答案第3頁，共21頁

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相

交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似是解題的關(guān)鍵.

由得出△EDCSAABC,NECGKACF,ABCF^ADCG,根據(jù)相似三角形的

性質(zhì)進(jìn)行判斷.

【詳解】DE//AB,

AEDCsAABC,NECG^NACF,ABCF^ADCG,

.DECD_CECE_EGDGCD

,BA-CF-CA?CA-AF?~BF~~CB,

CD_3

而一5'

.CDCECD3

'~CB~~CA~CD+BD~1＞，

??CF?C當(dāng)F故3A選項(xiàng)正確，不符合題意；

AECA-CE2

DF3

=7==，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；

BA5

產(chǎn)為A3的中點(diǎn)，

=BF,%ACr-S/\BCF=]S4ABe,

八DGCDCEEGCDCE

Q=，=,=，

BFCBCAAFCBCA

DGEG

,BF-AF

，DG=￡G故C選項(xiàng)正確，不符合題意；

CD_3

~CB~5

.QACDGSMDG_CD_9

2-故D選項(xiàng)不正確，符合題意;

SyeBA2SycBF~2CB50

故選：D

10.D

【分析】如圖，設(shè)。與菱形的邊A3、AD分別交于點(diǎn)￡、F,連接。E、OF,由菱形的

性質(zhì)可以證得是等邊三角形，進(jìn)而可以證得都是等邊三角形，由等邊三

角形的性質(zhì)可以求得NEO尸=60。,然后根據(jù)陰影部分的面積=2x

(SABD~SDFO_SBEO扇形OEF)代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖，

答案第4頁，共21頁

設(shè)，:。與菱形的邊AB、分別交于點(diǎn)區(qū)F,連接QE、OF,

???四邊形ABC。是菱形，/ABC=120。，

AAC.LBD,BO=DO,OA=OC,AB=AD,ZZMB=60°,

???△ABD是等邊三角形，

AAB=BD=4,ZABD=ZADB=60°f

：.BO=DO=2,

???以點(diǎn)。為圓心，。3長為半徑畫弧，

/.BO=OE=OD=OF,

??..BEO,NO是等邊三角形，

???ZDOF=ZBOE=60°,

：.ZEOF=60°

陰影部分的面積=2x(SABD—SDF0—SBE0—S^j^OEF)

c'l”“君'cc6Ice百60x萬x2?、“r-4"

=2x(—x4x4x--------x2x2x--------x2x2x-------------------)=4,3-----

2222223603

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)以及扇形面積的計(jì)算等知識，正

確添加輔助線、明確求解的方法、熟練掌握菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

11.答案不唯一，如：y=x2-2x+2

h

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，寫出函數(shù)解析式滿足-9=1,c>0,由此舉例得出

答案即可.

【詳解】解：設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為：y=a^+bx+c(a^.

函數(shù)圖象的開口題目未規(guī)定，所以?？梢匀≌梢匀∝?fù)，可取。=1；

對稱軸是直線x=l,

b1,口，一

「?---=1,付b=—2^z=—2；

2a

答案第5頁，共21頁

函數(shù)圖象與y軸的正半軸有交點(diǎn),

c>0,可取c=2；

???函數(shù)解析式可以為：y=d-2x+2.

故答案為：y=x2-2x+2.

12.67

【分析】本題考查切線的性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵.

【詳解】連接OD,

過點(diǎn)D作O的切線交AC于點(diǎn)E,

0

：./ODE=90°,

又：OA=OD,

：./OZM=/(MD=23°,

ZADE=90°-ZODA=90°-23°=67°,

故答案為：67.

13.3

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義，正確理解反比例函數(shù)的幾何意義是解答本題的

關(guān)鍵，連結(jié),設(shè)A3與y軸相交于點(diǎn)。，由AB〃x軸可得SAOB=SACB=SAOD+SBOD,

再根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義，即可求得答案.

【詳解】連結(jié)。4,OB,設(shè)與y軸相交于點(diǎn)。，

QAB〃》軸，

.c_c5

一uAOB一°ACB=_2'

=X

SAOD_H=1,SABO。=5%,

解得k=3,

故答案為：3.

答案第6頁，共21頁

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，軌跡，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題

的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題.

取AD的中點(diǎn)0,連接OM.證明/AMD=90。，推出OM=；AO=2,點(diǎn)M的運(yùn)動軌

跡是以。為圓心，2為半徑的：O.利用勾股定理求出0B,可得結(jié)論.

【詳解】解：如圖，取AD的中點(diǎn)。，連接02,OM.

ZBAD=90°,AD=BC=6,

ZBAP+ZDAM=9Q°,

ZADM=ZBAP,

ZADMZDAM=90°,

ZAMD=90°f

AO=OD=3,

答案第7頁，共21頁

:.OM=-AD=3,

2

???點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡是以。為圓心，3為半徑的「O.

OB=-JAB2+AO2=V42+32=5，

.-.BM>OB-OM=5-3=2,

的最小值為2.

故答案為：2.

15.7-2百

【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到全等

三角形是解題的關(guān)鍵，過點(diǎn)。做止±BC于F,由旋轉(zhuǎn)可得VABC/VAQC,再利用等面

積法可得CE=g,再利用勾股定理即可得到DE2的值.

【詳解】解：過點(diǎn)。做。尸，5c于尸，如圖所示：

,/ABC繞著點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)30°得到△AEC,

VABC^VA'B'C,

AZACA'=30°,ZA=30°,

'：ZACB^90°,

：.ZDCB=60。,

：./CE4'=90。，

在Rt^ABC中，ZA=3O°,ZACB=90°,

/3=60。，

/-△￡＞底為等腰三角形，

BC=2,

DC=2,

在RtAOFC中，NDCB=60°,

：.ZCDF=30°

:.DF=6FC=1,

答案第8頁，共21頁

-XA'B'CE=-xB'CA'C,

22

解得：CE=百，

EF=EC-FC=6-I,

RtADFE中，DE2=DF2+EF2，

D￡2=(A/3)2+(^-1)2=3+3-2^+1=7-2A/3,

故答案為：7-2出.

16.(1)菁=-5,3=3；(2)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2).

【分析】本題考查了解一元二次方程及求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(1)方程整理為一元二次方程的一般形式后，再用因式分解法求解即可；

(2)把二次函數(shù)配方后，即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】(1)解：/+3%-15=尤

整理得：爐+2尤_15=0,

分解因式得：(x+5)(x-3)=0,

x+5=0或x-3=0,

..芯=-5,x?--3■

(2)解：y=2x2-l2x+20,

y=2(x2—6.x)+20

=2(/一6x+9-9)+20

=2(尤-3)2+2；

gPy=2(%-3)2+2

.??頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2).

17.⑴

X

(2)6(4,0),^(-12,0)

【分析】本題考考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，掌握函數(shù)圖像性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想

答案第9頁，共21頁

解題是關(guān)鍵；

(1)利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式；

(2)設(shè)P(x,O),然后根據(jù)三角形面積公式列方程求得C點(diǎn)坐標(biāo)，從而利用待定系數(shù)法求解

函數(shù)解析式.

【詳解】(1)把C(T,O)代入丁=履+2中

得：-4%+2=0,

解得：4=

，一次函數(shù)的解析式為y=；》+2；

把A(2,〃)代入y=gx+2中

n=3,

A(2,3),

k

設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=*,

X

k

把A(2,3)代入y=￡中

得左=6,

???反比例函數(shù)的解析式為y=J

X

(2)設(shè)尸(X，O)

當(dāng)尤=0時，y=2,

8(0,2),

WB=2,

c(y0),

CP=\x-(-4^=\x+4\,

■■^AFAE=S&PEC-S&FEC=4,

g|x+4|x3-Jx+4|x2=4,

|%+4|=8,

&=4,x2=-12,

.?.《(4,0),￡(T2,0)

答案第10頁，共21頁

18.(1)6

嗎

【分析】本題主要考查的是用列表法或樹狀圖法求概率，列表法可以重復(fù)不遺漏的列出所有

可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件，用到的知

識點(diǎn)為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

(1)利用直接列舉得到所有的情況即可得出答案；

(2)列表得出所有等可能的結(jié)果數(shù)，再從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，然后再用概率公式求

解即可.

【詳解】(1)解：學(xué)生小李計(jì)劃選修兩門課程，他所有可能的選法有：AB,AC,AD,BC、

BD、CD,共6種，

故答案為：6；

(2)解：根據(jù)題意列表如下：

/

杜

ABcD

/

李

A(A⑷(B，A)(C，A)。A)

B(AB)(B，B)(C，B)①，B)

C(AC)(B，C)(C,C)(D0

D(40(B，0(C，0。0

由列表可知：共有16種情況，并且它們出現(xiàn)的機(jī)會均等，其中恰好選到同一門課程的情況

有4種：(AA),(B,B),(C,C),(D,D),

41

???P(恰好選到同一門課程)

164

答案第11頁，共21頁

(2)9.

【分析】(1)證明曲s.AED,利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求出x與y的關(guān)系式；

(2)把x=2石代入丫=逑中求出了=布，然后利用勾股定理分別求出8。和AD的長即

X

可求解.

【詳解】(1)?：DEIBC,DFLAC

：.NDEB=ZAFD=90。

：.NB+NBDE=90。

???ZC=90°

.'.ZB+ZA=90°

:.ZBDE=ZA

：?_DEBs二AFD

.DEBE

**AF-DF

.x_2\/6

FF

xy=6A/2

.60

?,y=-----

X

四邊形DECF的面積為6&

(2)當(dāng)OE=2G時

把x=2垢代入丫=述中

X

得y=巫

,DF=y/6

在RtABDE中

BD=^BE2+DE2=6

同理：A￡)=3

AB^BD+AD^9

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，余角的性質(zhì)，勾股定理，求函數(shù)解析式等知

答案第12頁，共21頁

識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

20.⑴見解析；

(2)3萬.

【分析】本題考查了切線的判定，求弧長；

(1)如圖，連接OC,OD,證明NOCF=90。即可；

(2)設(shè)。的半徑為一,在RtACO廠中，勾股定理可得r=6,再根據(jù)弧長公式可解決問

題.

【詳解】(1)證明：連接OC

CF=EF

.\ZCEF=ZECF

OD1AB

:,ZDOE=90°,

;./ODE+/OED=90°,

OD=OC,

:./ODE=/OCD,

ZCEF=ZOED,

;./OED=/ECF,

ZOCD+AECF=9Q0,

即/OCF=90。,

/.OC1CF,

.?.CF是O的切線.

D

第20題圖

(2)設(shè)。的半徑為

答案第13頁，共21頁

BF=4,

：.OF=r+4,

在RtOC/中，

OF2=OC2+CF2,

A(r+4)2=r2+82,

解得：r=6,

,-.rrr八-rmr90^x60

??弧BD的校為——-==3萬.

18ulol)

21.(1)見解析；(2)|A/5；(3)見解析.

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，格點(diǎn)作圖

(1)證明,CDGsBAF,得到NC=/B,推出/3+/CDG=90。，即/阻＞=90。，即可;

4rAP

(2)勾股定理求出A3的長，證明△ACESABDE,得到一=一二：,進(jìn)一步求解即可;

BDBE2

(3)仿照題干給定的方法，進(jìn)行構(gòu)造即可.

解題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，確定線段之間的數(shù)量關(guān)系.

【詳解】解：(1):瓷=!CG21

AF2BF42

.DGCG

??AF~BF'

9：ZAFB=ZDGC=90°,

：?_CDGsBAF,

：.NC=ZB,

???NC+NCDG=90。，

：.ZB+ZCDG=90%

：./BED=90。,

：.AB±CD；

⑵在RtAB尸中AB=VAF2+BF2=2A/5，

AC//BF,

:.△ACEs/\BDE,

.AC_AE_3

??茄—蔗―5'

答案第14頁，共21頁

3

AE=-AB,

5

2A—

AE=±x2占

55

.?.點(diǎn)M,N就是A3的三等分點(diǎn).

84

22.(1)見解析；⑵AB2=AF2+BD2,證明見解析；⑶—.

【分析】(1)證明COF(SAS),推出NDBO=ZFCO,得到屈〃FC,即可證明

FCYAC-,

(2)證明/DG尸=90。，推出NAFC=90。，利用勾股定理求得4c?=4尸2+cP,等量代

換即可得解；

(3)證明AASG四△CAF,推出AG=CF=3D,在Rt^ABG中，由勾股定理求得AG=5,

證明△BGZ/s^cFH,利用相似三角形的性質(zhì)求得逑，在Rt^HBG中，由勾股

17

定理即可求解.

【詳解】解：(1):尸。是線段。。繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。得到的，

DO=FO,NBOD=ZCOF,

是8C的中點(diǎn),

BO=CO,

答案第15頁，共21頁

??.BOD^COF(SAS),

:.ZDBO=ZFCOf

：.BE//FC,

9：BEVAC,

：.ZBEC=90°,

：.ZFCE=9Q09

：.FC±AC；

⑵AB2=AF2+BD2^

圖2

由(1)可知：DO=FO,ABOD白△COF,BD//FC,

：.BD=CF,

?：OG=OD,

:.OG=OD=OF,

：.ZODG=ZOGD,ZOFG=ZOGFf

:ZODG+ZOGD+ZOFG-^-ZOGF=180°,

???ZOGD+ZOGF=90°,

即NOG尸=90。，

,:BD〃FC,

：.ZAFC=90°,

JAC2=AF2+CF2,

*：AB=AC,

:.AB2=AF2+BD2；

(3)VZBAC=90°,ZBGA=ZAFC=90°,

答案第16頁，共21頁

???ZABG=90°-ZBAG=ZCAF,

*：AB=AC,

：.△ABG且ZXC4F,

???AG=CF,

:.AG=CF=BD,

在Rt^ABG中，由勾股定理得AB2=AG2+"2,gpi32=AG2+(7+AG)2,

解得AG=5（負(fù)值已舍）,

:.AG=CF=BD=5,

BG〃FC,

：.AGBH=ZFCH,ZBGH=ZCFH,

△BGHs/^CFH,

CFCH

ZBAC=90°,AB=AC=13,

?'-BC=V132+132:130，

51342-BH

577-BH

解得="逑

17

在Rt^HBG中，由勾股定理得GH=，552—BG?=/156近］_122=84.

t17JI?

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與

性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，二次根式的混合運(yùn)算.正確引出輔助線解決問

題是解題的關(guān)鍵.

13

23.(l)y=—QX9+—x+2,(—1,0)；

(2)3+'萬或3一J萬或3+屈成3-屈

2222

517113

⑶存在,)

【分析】（1）利用待定系數(shù)法解得該拋物線解析式，然后再計(jì)算點(diǎn)A的坐標(biāo);

答案第17頁，共21頁

13

(2)根據(jù)題意，可得點(diǎn)E(x,-：/+。工+2),首先解得ABC的面積，然后結(jié)合三角形中線的

性質(zhì)可得SBCD=；SABC=：，易知SABE=：X5X_；Y+；X+2=1,然后求解即可獲得答

案；

(3)分兩種情況討論：①當(dāng)線段3P在y軸下方時，過點(diǎn)C作CWL3P于點(diǎn)H,過點(diǎn)H作

軸，過點(diǎn)B作3NLMH交的延長線于點(diǎn)N,首先證明,MCHqNHB,由全

等三角形的性質(zhì)可得MW=NS,CM=HN,設(shè)點(diǎn)小。力)，貝!]CM=2-6,MH=a,

HN=4-a,NB=—b,易得「一“：4一"，求解可得點(diǎn)H的坐標(biāo)，進(jìn)一步利用待定系數(shù)法

[a=-b

解得直線3尸的解析式，然后將將直線成的解析式和拋物線解析式聯(lián)立，消去并整理并

求解，即可確定點(diǎn)尸坐標(biāo)；②當(dāng)線段3P在y軸上方時，取點(diǎn)a關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)H，，作直

線即/'交拋物線與點(diǎn)P,由對稱的性質(zhì)易得點(diǎn)"'坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法解得直線的

解析式，然后將將直線3尸'的解析式和拋物線解析式聯(lián)立，消去y,并整理并求解，即可確

定點(diǎn)p坐標(biāo).

【詳解】(1)解：將點(diǎn)8(4,0)、CQ2)代入拋物線＞=一：工2+陵+。，

(1(3

0=——%492+4b+c.,b=—

可得＜2,解得＜2,

2=cc=2

13

；?該拋物線解析式為J=--%2+|X+2,

13

令y=o,貝ij有一/2+5》+2=(),

解得占=T,尤2=4,

.,.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0)；

(2)的橫坐標(biāo)為x,

.13

??E(x,—X27—%+2),

22

?.?A(-l,0),B(4,0),C(0,2),

AAB=5,OC=2,

：.S,?=-ABxOC=-x5x2=5,

ABrC22

。是AC的中點(diǎn)，

答案第18頁，共21頁

?c__Lc__

,?uBCD-2ABC-2，

1

-1x5,x—x2H-3x+。2=5—.

2222

--x2+—x+2=1,

22

iQ13

——%2+―%+2=1或——x2+—x+2=-1,

2222

即X的值為2±且或近或三叵或三