四川省重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

四川省重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為A． B． C． D．2．已知空間中兩點(diǎn)和的距離為6，則實(shí)數(shù)的值為（）A．1 B．9 C．1或9 D．﹣1或93．如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F，且，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是A．B．C．三棱錐的體積為定值D．4．不等式所表示的平面區(qū)域是()A． B．C． D．5．已知是奇函數(shù)，且.若，則（）A．1 B．2 C．3 D．46．圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圓的方程為()A． B．C． D．7．已知在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則等于()A． B． C． D．8．從1，2，3，…，9這個(gè)9個(gè)數(shù)中任取5個(gè)不同的數(shù)，則這5個(gè)數(shù)的中位數(shù)是5的概率等于（）A．57 B．59 C．29．已知單位向量，，滿足.若點(diǎn)在內(nèi)，且，，則下列式子一定成立的是（）A． B．C． D．10．已知，且，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．從甲、乙、丙、丁四個(gè)學(xué)生中任選兩人到一個(gè)單位實(shí)習(xí)，余下的兩人到另一單位實(shí)習(xí)，則甲、乙兩人不在同一單位實(shí)習(xí)的概率為________.12．某工廠甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)了同種產(chǎn)品，數(shù)量分別為90件，60件，30件，為了解它們的產(chǎn)品質(zhì)量是否存在顯著差異，采用層抽樣方法抽取了一個(gè)容量為的樣本進(jìn)行調(diào)查，其中從乙車間的產(chǎn)品中抽取了2件，應(yīng)從甲車間的產(chǎn)品中抽取______件.13．已知為鈍角，且，則__________.14．函數(shù)的值域是________15．已知向量為單位向量，向量，且，則向量的夾角為__________．16．已知向量與的夾角為，且，；則__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．若不等式的解集為.（1）求證：；（2）求不等式的解集.18．已知.（1）若對(duì)任意的，不等式上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）解關(guān)于的不等式.19．已知是遞增數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，且，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)；（Ⅱ）是否存在使得成立？若存在，寫出一組符合條件的的值；若不存在，請說明理由；（Ⅲ）設(shè)，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，求正整數(shù)的最大值．20．已知的頂點(diǎn)都在單位圓上，角的對(duì)邊分別為，且.（1）求的值；（2）若，求的面積.21．等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求的值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】每個(gè)同學(xué)參加的情形都有3種，故兩個(gè)同學(xué)參加一組的情形有9種，而參加同一組的情形只有3種，所求的概率為p=選A2、C【解析】

利用空間兩點(diǎn)間距離公式求出值即可。【詳解】由兩點(diǎn)之間距離公式，得：，化為：，解得：或9，選C。【點(diǎn)睛】空間兩點(diǎn)間距離公式：。代入數(shù)據(jù)即可，屬于基礎(chǔ)題目。3、D【解析】可證，故A正確；由∥平面ABCD，可知，B也正確；連結(jié)BD交AC于O，則AO為三棱錐的高，，三棱錐的體積為為定值，C正確；D錯(cuò)誤。選D。4、D【解析】

根據(jù)二元一次不等式組表示平面區(qū)域進(jìn)行判斷即可．【詳解】不等式組等價(jià)為或則對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)镈，

故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次不等式組表示平區(qū)域，比較基礎(chǔ)．5、C【解析】

根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，變形可得：，結(jié)合題意計(jì)算可得的值，進(jìn)而計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，是奇函數(shù)，則，變形可得：，則有，即，又由，則，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解析】

根據(jù)已知圓的方程可得其圓心，進(jìn)而可求得其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)，利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.【詳解】由圓，則圓心為，半徑，圓心為關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)為，所以圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圓的方程為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)圓心與半徑求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

由題意變形，運(yùn)用余弦定理，可得cosB，再由同角的平方關(guān)系，可得所求值．【詳解】2b2﹣2a2＝ac+2c2，可得a2+c2﹣b2ac，則cosB，可得B＜π，即有sinB．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的運(yùn)用，考查同角的平方關(guān)系，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．8、C【解析】試題分析：設(shè)事件為“從1，2，3，…，9這9個(gè)數(shù)中5個(gè)數(shù)的中位數(shù)是5”，則基本事件總數(shù)為種，事件所包含的基本事件的總數(shù)為：，所以由古典概型的計(jì)算公式知，，故應(yīng)選.考點(diǎn)：1.古典概型；9、D【解析】

設(shè)，對(duì)比得到答案.【詳解】設(shè)，則故答案為D【點(diǎn)睛】本題考查了向量的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.10、C【解析】

根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及兩角和差的正弦公式計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)椋驗(yàn)?，所以．因?yàn)椋?，所以．所以．故選：【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和差的正弦公式，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、.【解析】

求得從甲、乙、丙、丁四個(gè)學(xué)生中任選兩人的總數(shù)和甲、乙兩人不在同一單位實(shí)習(xí)的方法數(shù)，由古典概型的概率計(jì)算公式可得所求值．【詳解】解：從甲、乙、丙、丁四個(gè)學(xué)生中任選兩人的方法數(shù)為種，甲、乙兩人不在同一單位實(shí)習(xí)的方法數(shù)為種，則甲、乙兩人不在同一單位實(shí)習(xí)的概率為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率計(jì)算公式，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12、.【解析】

根據(jù)分層抽樣中樣本容量關(guān)系,即可求得從甲車間的產(chǎn)品中抽取數(shù)量.【詳解】根據(jù)分層抽樣為等概率抽樣,所以乙車間每個(gè)樣本被抽中的概率等于甲車間每個(gè)樣本被抽中的概率設(shè)從甲車間抽取樣本為件所以,解得所以從甲車間抽取樣本件故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣的特征及樣本數(shù)量的求法,屬于基礎(chǔ)題.13、.【解析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.【詳解】由為鈍角，且，所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，同時(shí)考查了象限角的三角函數(shù)的符號(hào)，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的定義域求解即可．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，，函數(shù)是增函數(shù)，所以函數(shù)的最小值為：，最大值為：．所以函數(shù)的值域?yàn)椋?，．故答案為，．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的值域的求法，考查計(jì)算能力．15、【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，則.16、【解析】

已知向量與的夾角為，則，已知模長和夾角代入式子即可得到結(jié)果為故答案為1．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）由已知可得是的兩根，利用韋達(dá)定理，化簡可得結(jié)論；（2）結(jié)合（1）原不等式可化為，利用一元二次不等式的解法可得結(jié)果.【詳解】（1）∵不等式的解集為∴是的兩根,且∴∴，所以;（2）因?yàn)椋?所以，即,又即，解集為【點(diǎn)睛】本題考查了求一元二次不等式的解法，是基礎(chǔ)題目．若，則的解集是；的解集是.18、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）參變分離后可得在上恒成立，利用基本不等式可求的最小值，從而得到參數(shù)的取值范圍.（2）原不等式可化為，就對(duì)應(yīng)方程的兩根的大小關(guān)系分類討論可得不等式的解集.【詳解】（1）對(duì)任意的，恒成立即恒成立.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以即.（2）不等式，即，①當(dāng)即時(shí)，；②當(dāng)即時(shí)，；③當(dāng)即時(shí)，.綜上：當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為.【點(diǎn)睛】含參數(shù)的一元二次不等式，其一般的解法是：先考慮對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的開口方向，再考慮其判別式的符號(hào)，其次在判別式大于零的條件下比較兩根的大小，最后根據(jù)不等號(hào)的方向和開口方向得到不等式的解．一元二次不等式的恒成立問題，參變分離后可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值進(jìn)行討論，后者可利用基本不等式來求.19、（1）（2）不存在（3）1【解析】

（Ⅰ），得，解得，或．由于，所以．因?yàn)椋?故，整理，得，即．因?yàn)槭沁f增數(shù)列，且，故，因此．則數(shù)列是以2為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.所以.………………5分（Ⅱ）滿足條件的正整數(shù)不存在，證明如下：假設(shè)存在，使得，則．整理，得，①顯然，左邊為整數(shù)，所以①式不成立．故滿足條件的正整數(shù)不存在．……1分（Ⅲ），不等式可轉(zhuǎn)化為．設(shè)，則.所以，即當(dāng)增大時(shí)，也增大．要使不等式對(duì)于任意的恒成立，只需即可．因?yàn)?，所?即.所以，正整數(shù)的最大值為1．………14分20、（1）；（2）【解析】分析：（1）由正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知可得，又，即可求得的值；（2）由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，由于的頂點(diǎn)都在單位圓上，利用正弦定理可得，可求，利用余弦定理可得的值，利用三角形面積公式即可得解.詳解：（1）∵，由正弦定理得：，，又∵，，∴，所以.（2）由