備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第一、二章

課件園PAGE課堂過關(guān)第一章集合與常用邏輯用語第1課時集合的概念(對應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)1～2頁)考情分析考點新知了解集合的含義；體會元素與集合的“屬于”關(guān)系；能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的數(shù)學(xué)對象或數(shù)學(xué)問題；了解集合之間包含與相等的含義；能識別給定集合的子集；了解全集與空集的含義．學(xué)會區(qū)分集合與元素，集合與集合之間的關(guān)系.學(xué)會自然語言、圖形語言、集合語言之間的互化.集合含義中掌握集合的三要素.④不要求證明集合相等關(guān)系和包含關(guān)系.1.(必修1P10第5題改編)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，則m＝________答案：－eq\f(3,2)解析：因為3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.當(dāng)m＋2＝3，即m＝1時，2m2＋m＝3，此時集合A中有重復(fù)元素3，所以m＝1不合題意，舍去；當(dāng)2m2＋m＝3時，解得m＝－eq\f(3,2)或m＝1(舍去)，此時當(dāng)m＝－eq\f(3,2)時，m＋2＝eq\f(1,2)≠3滿足題意．所以m＝－eq\f(3,2).2.(必修1P7第4題改編)已知集合{a|0≤a<4，a∈N}，用列舉法可以表示為________．答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1，2，3))解析：因為a∈N，且0≤a<4，由此可知實數(shù)a的取值為0，1，2，3.3.(必修1P17第6題改編)已知集合A＝[1，4)，B＝(－∞，a)，AB，則a∈________．答案：[4，＋∞)解析：在數(shù)軸上畫出A、B集合，根據(jù)圖象可知．4.(原創(chuàng))設(shè)集合A＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，B＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，則A、B的關(guān)系是________．答案：A＝B解析：化簡得A＝{x|x≥1}，B＝{y|y≥1}，所以A＝B.5.(必修1P17第8題改編)滿足條件{1}M{1，2，3}的集合M的個數(shù)是________．答案：4個解析：滿足條件{1}M{1，2，3}的集合M有{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}，共4個．1.集合的含義及其表示(1)集合的定義：一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對象的全體構(gòu)成一個集合．其中集合中的每一個對象稱為該集合的元素．(2)集合中元素的特征：確定性、互異性、無序性．(3)集合的常用表示方法：列舉法、描述法、Venn圖法．(4)集合的分類：若按元素的個數(shù)分類，可分為有限集、無限集、空集；若按元素的屬性分類可分為點集、數(shù)集等．應(yīng)當(dāng)特別注意空集是一個特殊而又重要的集合，解題時切勿忽視空集的情形．(5)常用數(shù)集及其記法：自然數(shù)集記作N；正整數(shù)集記作N或N＋；整數(shù)集記作Z；有理數(shù)集記作Q；實數(shù)集記作R；復(fù)數(shù)集記作C．2.兩類關(guān)系(1)元素與集合之間的關(guān)系包括屬于與不屬于關(guān)系，反映了個體與整體之間的從屬關(guān)系．(2)集合與集合之間的關(guān)系①包含關(guān)系：如果集合A中的每一個元素都是集合B的元素，那么集合A稱為集合B的子集，記為AB或BA，讀作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”．②真包含關(guān)系：如果AB，并且A≠B，那么集合A稱為集合B的真子集，讀作“集合A真包含于集合B”或“集合B真包含集合A”．③相等關(guān)系：如果兩個集合所含的元素完全相同，即A中的元素都是B中的元素且B中的元素都是A中的元素，則稱這兩個集合相等．(3)含有n個元素的集合的子集共有2n個，真子集共有2n－1個，非空子集共有2n－1個，非空真子集有2n－2個.題型1正確理解和運(yùn)用集合概念例1已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．(1)若A是空集，求a的取值范圍；(2)若A中只有一個元素，求a的值，并將這個元素寫出來；(3)若A中至多有一個元素，求a的取值范圍．解：(1)若A是空集，則Δ＝9－8a＜0，解得a＞eq\f(9,8).(2)若A中只有一個元素，則Δ＝9－8a＝0或a＝0，解得a＝eq\f(9,8)或a＝0；當(dāng)a＝eq\f(9,8)時這個元素是eq\f(4,3)；當(dāng)a＝0時，這個元素是eq\f(2,3).(3)由(1)(2)知，當(dāng)A中至多有一個元素時，a的取值范圍是a≥eq\f(9,8)或a＝0.eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)已知a≤1時，集合[a，2－a]中有且只有3個整數(shù)，則a的取值范圍是________．答案：－1<a≤0解析：因為a≤1，所以2－a≥1，所以1必在集合中．若區(qū)間端點均為整數(shù)，則a＝0，集合中有0，1，2三個整數(shù)，所以a＝0適合題意；若區(qū)間端點不為整數(shù)，則區(qū)間長度2<2－2a<4，解得－1<a<0，此時，集合中有0，1，2三個整數(shù)，－1<a<0適合題意．綜上，a的取值范圍是－1<a≤0.eq\a\vs4\al(變式訓(xùn)練)設(shè)集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)＋\f(1,4)，k∈Z))))，N＝{x|x＝eq\f(k,4)＋eq\f(1,2)，k∈Z}，則M________N.答案：真包含于題型2集合元素的互異性例2已知a、b∈R，集合A＝{a，a＋b，1}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(b，\f(b,a)，0))，且AB，BA，求a－b的值．解：∵AB，BA，∴A＝B.∵a≠0，∴a＋b＝0，即a＝－b，∴eq\f(b,a)＝－1，∴b＝1，a＝－1，∴a－b＝－2.eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)已知集合A＝{a，a＋b,a＋2b}，B＝{a，ac,ac2}．若A＝B，則c＝________．答案：－eq\f(1,2)解析：分兩種情況進(jìn)行討論．①若a＋b＝ac且a＋2b＝ac2，消去b得a＋ac2－2ac＝0.當(dāng)a＝0時，集合B中的三元素均為零，和元素的互異性相矛盾，故a≠0.∴c2－2c＋1＝0，即c＝1.但c＝1時，B中的三元素又相同，此時無解．②若a＋b＝ac2且a＋2b＝ac，消去b得2ac2－ac－a＝0.∵a≠0，∴2c2－c－1＝0，即(c－1)(2c＋1)＝0.又c≠1，故c＝－eq\f(1,2).eq\a\vs4\al(變式訓(xùn)練)集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))，集合B＝{a2，a＋b，0}，若A＝B，求a2013＋b2014的值．解：由于a≠0，由eq\f(b,a)＝0，得b＝0，則A＝{a，0，1}，B＝{a2，a，0}．由A＝B，可得a2＝1.又a2≠a，則a≠1，則a＝－1.所以a2013＋b2014＝－1.題型3根據(jù)集合的含義求參數(shù)范圍例3集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．(1)若BA，求實數(shù)m的取值范圍；(2)當(dāng)x∈R時，沒有元素x使x∈A與x∈B同時成立，求實數(shù)m的取值范圍．解：(1)當(dāng)m＋1＞2m－1即m＜2時，B＝滿足BA；當(dāng)m＋1≤2m－1即m≥2時，要使BA成立，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.綜上所述，當(dāng)m≤3時有BA.(2)因為x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，又沒有元素x使x∈A與x∈B同時成立，則①若B＝，即m＋1＞2m－1，得m＜2時滿足條件；②若B≠，則要滿足條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,m＋1＞5，))解得m＞4.或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,2m－1＜－2，))無解．綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為m＜2或m＞4.eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)已知集合A＝{y|y＝－2x，x∈[2，3]}，B＝{x|x2＋3x－a2－3a>0}．若AB，求實數(shù)a的取值范圍．解：由題意有A＝[－8，－4]，B＝{x|(x－a)(x＋a＋3)>0}．①當(dāng)a＝－eq\f(3,2)時，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈R，x≠－\f(3,2)))))，所以AB恒成立；②當(dāng)a<－eq\f(3,2)時，B＝{x|x<a或x>－a－3}．因為AB，所以a>－4或－a－3<－8，解得a>－4或a>5(舍去)，所以－4<a<－eq\f(3,2)；③當(dāng)a>－eq\f(3,2)時，B＝{x|x<－a－3或x>a}．因為AB，所以－a－3>－4或a<－8(舍去)，解得－eq\f(3,2)<a<1.綜上，當(dāng)AB時，實數(shù)a的取值范圍是(－4，1)．1.設(shè)集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜a}，且滿足A真包含于B，則實數(shù)a的取值范圍是____________．答案：(2，＋∞)解析：利用數(shù)軸可得實數(shù)a的取值范圍是(2，＋∞)．2.已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，則B中元素的個數(shù)為________．答案：10解析：B中所含元素有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)．3.若x∈A，則eq\f(1,x)∈A，就稱A是“伙伴關(guān)系集合”，集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2)，2，3))的所有非空子集中具有伙伴關(guān)系的集合的個數(shù)是________．答案：3解析：具有伙伴關(guān)系的元素組是－1；eq\f(1,2)，2，所以具有伙伴關(guān)系的集合有3個：{－1}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，2)).4.已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1，2，…}的韋恩(Venn)圖如圖所示，則陰影部分所示的集合的元素共有________個．答案：2解析：由題圖示可以看出陰影部分表示集合M和N的交集，所以由M＝{x|－1≤x≤3}，得M∩N＝{1，3}，有2個．5.設(shè)P、Q為兩個非空實數(shù)集合，定義集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，6}，則P＋Q中元素的個數(shù)為________．答案：8解析：(1)∵P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，6}，∴當(dāng)a＝0時，a＋b的值為1，2，6；當(dāng)a＝2時，a＋b的值為3，4，8；當(dāng)a＝5時，a＋b的值為6，7，11，∴P＋Q＝{1，2，3，4，6，7，8，11}，∴P＋Q中有8個元素．1.已知A＝{x|x2－2x－3≤0}，若實數(shù)a∈A，則a的取值范圍是________．答案：[－1，3]解析：由條件，a2－2a－3≤0，從而a∈[－1，3]．2.現(xiàn)有含三個元素的集合，既可以表示為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))，也可表示為{a2，a＋b，0}，則a2013＋b2013＝________．答案：－1解析：由已知得eq\f(b,a)＝0及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根據(jù)集合中元素的互異性可知a＝1應(yīng)舍去，因此a＝－1，故a2013＋b2013＝(－1)2013＝－1.3.已知集合A＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]＜0}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x－a,x－（a2＋1）)＜0)))).(1)當(dāng)a＝2時，求A∩B；(2)求使B真包含于A的實數(shù)a的取值范圍．解：(1)A∩B＝{x|2＜x＜5}．(2)B＝{x|a＜x＜a2＋1}．①若a＝eq\f(1,3)時，A＝，不存在a使BA；②若a＞eq\f(1,3)時，2≤a≤3；③若a＜eq\f(1,3)時，－1≤a≤－eq\f(1,2).故a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))∪[2，3]．4.已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}且1∈A，求實數(shù)a的值．解：由題意知：a＋2＝1或(a＋1)2＝1或a2＋3a＋3＝1，∴a＝－1或－2或0，根據(jù)元素的互異性排除－1，－2，∴a＝0即為所求．1.研究一個集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制條件，當(dāng)集合用描述法表示時，注意弄清其元素表示的意義是什么．注意區(qū)分{x|y＝f(x)}、{y|y＝f(x)}、{(x，y)|y＝f(x)}三者的不同．對于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合的元素是否滿足互異性．2.空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解題時，若未明確說明集合非空時，要考慮到集合為空集的可能性．例如：AB，則需考慮A＝和A≠兩種可能的情況．3.判斷兩集合的關(guān)系常有兩種方法：一是化簡集合，從表達(dá)式中尋找兩集合間的關(guān)系；二是用列舉法表示各集合，從元素中尋找關(guān)系．4.已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系．解決這類問題常常需要合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析．eq\a\vs4\al(請使用課時訓(xùn)練（A）第1課時（見活頁）.)[備課札記]

第2課時集合的基本運(yùn)算(對應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)3～4頁)考情分析考點新知理解兩個集合的交集與并集的含義；會求兩個簡單集合的交集與并集，理解給定集合的一個子集的補(bǔ)集的含義；會求給定子集的補(bǔ)集，會用韋恩圖表示集合的關(guān)系及運(yùn)算．①在給定集合中會求一個子集的補(bǔ)集，補(bǔ)集的含義在數(shù)學(xué)中就是對立面.②會求兩個簡單集合的交集與并集；交集的關(guān)鍵詞是“且”，并集的關(guān)鍵詞是“或”.③會使用韋恩圖(Venn)表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算；對于數(shù)集有時也可以用數(shù)軸表示.1.(原創(chuàng))集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，則M∩N＝________．答案：{－1，0，1}解析：M＝{－2，－1，0，1}，N＝{－1，0，1，2，3}，所以M∩N＝{－1，0，1}．2.(必修1P17第13題改編)A、B是非空集合，定義A×B＝{x|x∈A∪B，且xA∩B}．若A＝{x|y＝eq\r(x2－3x)}，B＝{y|y＝3x}，則A×B＝________．答案：(－∞，3)解析：A＝(－∞，0)∪[3，＋∞)，B＝(0，＋∞)，A∪B＝R，A∩B＝[3，＋∞)．所以A×B＝(－∞，3)．3.(必修1P10第4題改編)已知全集U＝{－2，－1，0，1，2}，集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(2,n－1)，x、n∈Z))，則?UA＝________．答案：{0}解析：因為A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,n－1)，x、n∈Z))))，當(dāng)n＝0時，x＝－2；當(dāng)n＝1時不合題意；當(dāng)n＝2時，x＝2；當(dāng)n＝3時，x＝1；當(dāng)n≥4時，xZ；當(dāng)n＝－1時，x＝－1；當(dāng)n≤－2時，xZ.故A＝{－2，2，1，－1}．又U＝{－2，－1，0，1，2}，所以?UA＝{0}．4.(必修1P14第8題改編)設(shè)集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，則?U(A∩B)＝________.答案：{1，4，5}解析：A∩B＝{2，3}，所以?U(A∩B)＝{1，4，5}．5.(必修1P17第6題改編)已知A＝{1，2，3}，B＝{x∈R|x2－ax＋1＝0，a∈A}，則A∩B＝B時，a＝________．答案：1或2解析：驗證a＝1時B＝滿足條件；驗證a＝2時B＝{1}也滿足條件．1.集合的運(yùn)算(1)交集：由屬于A且屬于B的所有元素組成的集合，叫做集合A與B的交集，記作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．(2)并集：由屬于A或?qū)儆贐的所有元素組成的集合，叫做集合A與B的并集，記作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．(3)全集：如果集合S含有我們所研究的各個集合的全部元素，那么這個集合就可以看作一個全集，通常用U來表示．一切所研究的集合都是這個集合的子集．(4)補(bǔ)集：集合A是集合S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合叫做A的補(bǔ)集(或余集)，記作?SA，即?SA＝{x|x∈S，但xA}．2.常用運(yùn)算性質(zhì)及一些重要結(jié)論(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A；(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A；(3)A∩(?UA)＝，A∪(?UA)＝U；(4)A∩B＝AAB，A∪B＝ABA；(5)?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．[備課札記]題型1集合的運(yùn)算例1若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{2，3}，N＝{1，4}，則(?UM)∩(?UN)＝________．答案：{5，6}解析：∵M(jìn)∪N＝{1，2，3，4}，∴(?UM)∩(?UN)＝?U(M∪N)＝{5，6}．eq\a\vs4\al(變式訓(xùn)練)若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M∩N＝N，N＝{1，4}，試求滿足條件的集合M的個數(shù)．解：由M∩N＝N得MN.含有2個元素的集合M有1個，含有3個元素的集合M有4個，含有4個元素的集合M有6個，含有5個元素的集合M有4個，含有6個元素的集合M有1個．因此，滿足條件的集合M有1＋4＋6＋4＋1＝16個．題型2求參數(shù)的范圍例2設(shè)關(guān)于x的不等式x(x－a－1)＜0(a∈R)的解集為M，不等式x2－2x－3≤0的解集為N.(1)當(dāng)a＝1時，求集合M；(2)若M∪N＝N，求實數(shù)a的取值范圍．解：(1)當(dāng)a＝1時，由已知得x(x－2)＜0，解得0＜x＜2.所以M＝{x|0＜x＜2}．(2)由已知得N＝{x|－1≤x≤3}．①當(dāng)a＜－1時，因為a＋1＜0，所以M＝{x|a＋1＜x＜0}．由M∪N＝N，得MN，所以－1≤a＋1＜0，解得－2≤a＜－1.②當(dāng)a＝－1時，M＝，顯然有MN，所以a＝－1成立．③當(dāng)a＞－1時，因為a＋1＞0，所以M＝{x|0＜x＜a＋1}．因為MN，所以0＜a＋1≤3，解得－1＜a≤2.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[－2，2]．eq\a\vs4\al(變式訓(xùn)練)已知A＝{x|ax－1>0}，B＝{x|x2－3x＋2>0}．(1)若A∩B＝A，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若A∩?RB≠，求實數(shù)a的取值范圍．解：(1)由于A∩B＝A得AB，由題意知B＝{x|x>2或x<1}．若a>0，則x>eq\f(1,a)≥2，得0＜a≤eq\f(1,2)；若a＝0，則A＝，成立；若a＜0，則x＜eq\f(1,a)＜1，根據(jù)數(shù)軸可知均成立．綜上所述，a≤eq\f(1,2).(2)?RB＝{x|1≤x≤2}，若a＝0，則A＝，不成立；若a＜0，則x＜eq\f(1,a)＜1，不成立；若a＞0，則x＞eq\f(1,a)，由eq\f(1,a)＜2得a＞eq\f(1,2).綜上所述，a＞eq\f(1,2).題型3集合綜合題例3已知f(x)＝x＋eq\f(b,x)－3，x∈[1，2]．(1)當(dāng)b＝2時，求f(x)的值域；(2)若b為正實數(shù)，f(x)的最大值為M，最小值為m，且滿足M－m≥4，求b的取值范圍．解：(1)當(dāng)b＝2時，f(x)＝x＋eq\f(2,x)－3，x∈[1，2]．因為f(x)在[1，eq\r(2)]上單調(diào)遞減，在[eq\r(2)，2]上單調(diào)遞增，所以f(x)的最小值為f(eq\r(2))＝2eq\r(2)－3.又f(1)＝f(2)＝0，所以f(x)的值域為[2eq\r(2)－3，0]．(2)①當(dāng)0＜b＜2時，f(x)在[1，2]上單調(diào)遞增，則m＝b－2，M＝eq\f(b,2)－1，此時M－m＝－eq\f(b,2)＋1≥4，得b≤－6，與0＜b＜2矛盾，舍去；②當(dāng)2≤b＜4時，f(x)在[1，eq\r(b)]上單調(diào)遞減，在[eq\r(b)，2]上單調(diào)遞增，所以M＝max{f(1)，f(2)}＝b－2，m＝f(eq\r(b))＝2eq\r(b)－3，則M－m＝b－2eq\r(b)＋1≥4，得(eq\r(b)－1)2≥4，解得b≥9，與2≤b＜4矛盾，舍去；③當(dāng)b≥4時，f(x)在[1，2]上單調(diào)遞減，則M＝b－2，m＝eq\f(b,2)－1，此時M－m＝eq\f(b,2)－1≥4，得b≥10.綜上所述，b的取值范圍是[10，＋∞)．eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)設(shè)集合A＝{x|x2－2x＋2m＋4＝0}，B＝{x|x<0}．若A∩B≠，求實數(shù)m的取值范圍．解：(解法1)據(jù)題意知方程x2－2x＋2m＋4＝0至少有一個負(fù)實數(shù)根．設(shè)M＝{m|關(guān)于x的方程x2－2x＋2m＋4＝0兩根均為非負(fù)實數(shù)}，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝4（－2m－3）≥0,x1＋x2＝2>0，解得－2≤m≤－\f(3,2).,x1x2＝2m＋4≥0))∴M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－2≤m≤－\f(3,2))))).設(shè)全集U＝{m|Δ≥0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m≤－\f(3,2)))))，∴m的取值范圍是?UM＝{m|m<－2}．(解法2)方程的小根x＝1－eq\r(－2m－3)<0eq\r(－2m－3)>1－2m－3>1m<－2.(解法3)設(shè)f(x)＝x2－2x＋4，這是開口向上的拋物線．因為其對稱軸x＝1>0，則據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)知命題又等價于f(0)<0m<－2.1.設(shè)集合A＝{5，log2(a＋3)}，集合B＝{a，b}．若A∩B＝{2}，則A∪B＝________．答案：{1，2，5}解析：由題意知log2(a＋3)＝2，得a＝1，b＝2，則A∪B＝{1，2，5}．2.已知全集U＝(－∞，3]，A＝[－1，2)，則?UA＝____．答案：(－∞，－1)∪[2，3]解析：利用數(shù)軸可得?UA＝(－∞，－1)∪[2，3]．3.如圖，已知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合A＝{2，3，4，5，6，8}，B＝{1，3，4，5，7}，C＝{2，4，5，7，8，9}，用列舉法寫出圖中陰影部分表示的集合為________．答案：{2，8}解析：陰影部分表示的集合為A∩C∩(?UB)＝{2，8}．4.已知集合P＝{(x，y)|x＋y＝0}，Q＝{(x，y)|x－y＝2}，則Q∩P＝________．答案：{(1，－1)}解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,x－y＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))由于兩集合交集中元素只有一個點，故Q∩P＝{(1，－1)}．5.設(shè)P和Q是兩個集合，定義集合P－Q＝{x|x∈P，且xQ}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝________．答案：{x|0<x≤1}解析：由log2x<1，得0<x<2，所以P＝{x|0<x<2}；由|x－2|<1，得1<x<3，所以Q＝{x|1<x<3}．由題意，得P－Q＝{x|0<x≤1}．1.設(shè)全集U＝M∪N＝{1，2，3，4，5}，M∩?UN＝{2，4}，則N＝________．答案：{1，3，5}解析：畫出韋恩圖，可知N＝{1，3，5}．2.設(shè)全集為R，集合A＝{x|x≤3或x≥6}，B＝{x|－2<x<9}．(1)求A∪B，(?RA)∩B；(2)已知C＝{x|a<x<a＋1}，若CB，求實數(shù)a的取值范圍．解：(1)A∪B＝R，?RA＝{x|3<x<6}，∴(?RA)∩B＝{x|3<x<6}．(2)∵C＝{x|a<x<a＋1}，且CB,∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥－2，,a＋1≤9.))∴所求實數(shù)a的取值范圍是－2≤a≤8.3.設(shè)全集I＝R，已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(（x＋3）2≤0))))，N＝{x|x2＋x－6＝0}．(1)求(?IM)∩N；(2)記集合A＝(?IM)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A，求實數(shù)a的取值范圍．解：(1)∵M(jìn)＝{x|(x＋3)2≤0}＝{－3}，N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}，∴?IM＝{x|x∈R且x≠－3}，∴(?IM)∩N＝{2}．(2)A＝(?IM)∩N＝{2}，∵A∪B＝A，∴BA，∴B＝或B＝{2}，當(dāng)B＝時，a－1>5－a，∴a>3；當(dāng)B＝{2}時，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1＝2，,5－a＝2，))解得a＝3.綜上所述，所求a的取值范圍為{a|a≥3}．4.設(shè)全集U＝R，函數(shù)f(x)＝lg(|x＋1|＋a－1)(a＜1)的定義域為A，集合B＝{x|cosπx＝1}．若(?UA)∩B恰好有2個元素，求a的取值集合．解：|x＋1|＋a－1＞0|x＋1|＞1－a，當(dāng)a＜1時，1－a＞0，∴x＞－a或x＜a－2，∴A＝(－∞，a－2)∪(－a，＋∞)．∵cosπx＝1，∴πx＝2kπ，∴x＝2k(k∈Z)，∴B＝{x|x＝2k，k∈Z}．當(dāng)a＜1時，?UA＝[a－2，－a]在此區(qū)間上恰有2個偶數(shù)．∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜1，,a≤－a＜2，－2＜a≤0,－4＜a－2≤－2)).1.集合的運(yùn)算結(jié)果仍然是集合．進(jìn)行集合運(yùn)算時應(yīng)當(dāng)注意：(1)勿忘對空集情形的討論；(2)勿忘集合中元素的互異性；(3)對于集合A的補(bǔ)集運(yùn)算，勿忘A必須是全集的子集；(4)對于含參數(shù)(或待定系數(shù))的集合問題，勿忘對所求數(shù)值進(jìn)行合理取舍．2.在集合運(yùn)算過程中應(yīng)力求做到“三化”(1)意義化：首先明確集合的元素的意義，它是怎樣的類型的對象(數(shù)集、點集，圖形等)是表示函數(shù)的定義域、值域，還是表示方程或不等式的解集？(2)具體化：具體求出相關(guān)集合中函數(shù)的定義域、值域或方程、不等式的解集等；不能具體求出的，也應(yīng)力求將相關(guān)集合轉(zhuǎn)化為最簡形式．(3)直觀化：借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)平面、韋恩圖等將有關(guān)集合直觀地表示出來，從而借助數(shù)形結(jié)合思想解決問題．eq\a\vs4\al(請使用課時訓(xùn)練（B）第2課時（見活頁）.)

第3課時簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞(對應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)5～6頁)考情分析考點新知了解命題的逆命題、否命題與逆否命題的意義；理解必要條件、充分條件、充要條件的意義；了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義；了解全稱量詞與存在量詞的意義；了解含有一個量詞的命題的否定的意義．會分析四種命題的相互關(guān)系.會判斷必要條件、充分條件與充要條件.能用“或”“且”“非”表述相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容(真值表不做要求).能用全稱量詞與存在量詞敘述簡單的數(shù)學(xué)內(nèi)容.⑤能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定.1.(選修11P20第4(1)題改編)命題“若a、b、c成等比數(shù)列，則ac＝b2”的逆否命題是________________________________________________________________________答案：若ac≠b2，則a、b、c不成等比數(shù)列2.(選修11P20第6題改編)若命題p的否命題為q，命題q的逆否命題為r，則p與r的關(guān)系是__________．答案：互為逆命題3.(選修11P20第7題改編)已知p、q是r的充分條件，r是s的充分條件，q是s的必要條件，則s是p的__________條件．答案：必要不充分4.(原創(chuàng))寫出命題“若x＋y＝5，則x＝3且y＝2”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假答案：逆命題：若x＝3且y＝2，則x＋y＝5.是真命題．否命題：若x＋y≠5，則x≠3或y≠2.是真命題．逆否命題：若x≠3或y≠2，則x＋y≠5.是假命題．5.下列命題中的真命題有________．(填序號)①x∈R，x＋eq\f(1,x)＝2；②x∈R，sinx＝－1；③x∈R，x2>0；④x∈R，2x>0.答案：①②④解析：對于①，x＝1時，x＋eq\f(1,x)＝2，正確；對于②，當(dāng)x＝eq\f(3π,2)時，sinx＝－1，正確；對于③，x＝0時，x2＝0，錯誤；對于④，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域，正確．6.命題p：有的三角形是等邊三角形．命題綈p：____________________________．答案：所有的三角形都不是等邊三角形1.四種命題及其關(guān)系(1)四種命題命題表述形式原命題若p，則q逆命題若q，則p否命題若非p，則非q逆否命題若非q，則非p(2)四種命題間的逆否關(guān)系(3)四種命題的真假關(guān)系兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．2.充分條件與必要條件(1)如果pq，那么稱p是q的充分條件，q是p的必要條件．(2)如果pq，且qp，那么稱p是q的充要條件，記作pq.(3)如果pq，qeq\a\vs4\al(/)p，那么稱p是q的充分不必要條件．(4)如果qp，pq，那么稱p是q的必要不充分條件．(5)如果p/q，且q/p，那么稱p是q的既不充分也不必要條件．3.簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)用聯(lián)結(jié)詞“且”聯(lián)結(jié)命題p和命題q，記作p∧q，讀作“p且q”．(2)用聯(lián)結(jié)詞“或”聯(lián)結(jié)命題p和命題q，記作p∨q，讀作“p或q”．(3)對一個命題p全盤否定記作綈p，讀作“非p”或“p的否定”．(4)命題p∧q，p∨q，綈p的真假判斷p∧q中p、q有一假為假，p∨q有一真為真，p與非p必定是一真一假．4.全稱量詞與存在量詞(1)全稱量詞與全稱命題短語“所有”“任意”“每一個”等表示全體的量詞在邏輯中稱為全稱量詞，并用符號“x”表示．含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題．全稱命題“對M中任意一個x，有p(x)成立”可用符號簡記為x∈M，p(x)，讀作“對任意x屬于M，有p(x)成立”．(2)存在量詞與存在性命題短語“有一個”“有些”“存在一個”等表示部分的量詞在邏輯中稱為存在量詞，并用符號“x”表示．含有存在量詞的命題，叫做存在性命題．存在性命題“存在M中的一個x，使p(x)成立”可用符號簡記為x∈M，p(x)，讀作“存在一個x屬于M，使p(x)成立”．5.含有一個量詞的命題的否定命題命題的否定x∈M，p(x)x∈M，p(x)；x∈M，p(x)x∈M，p(x).[備課札記]題型1否命題與命題否定例1(1)命題“若a＞b，則2a＞2b－1(2)命題：“若x2＋x－m＝0沒有實根，則m≤0”是____(填“真”或“假”)(3)命題p：“有些三角形是等腰三角形”，則p是____________________．答案：(1)若a≤b，則2a≤2b－1(2)真(3)解析：(2)很可能許多同學(xué)會認(rèn)為它是假命題原因為當(dāng)m＝0時顯然方程有根，其實不然，由x2＋x－m＝0沒實根可推得m<－eq\f(1,4)，而{m|m<－eq\f(1,4)}是{m|m≤0}的真子集，由m<－eq\f(1,4)可推得m≤0，故原命題為真，而它的逆否命題“若m>0，則x2＋x－m＝0有實根”顯然為真，其實用逆否命題很容易判斷它是真命題．(3)p為“對任意x∈A，有p(x)不成立”，它恰與全稱性命題的否定命題相反．eq\a\vs4\al(變式訓(xùn)練)把下列命題改寫成“若p則q”的形式，并寫出它們的逆命題、否命題、逆否命題．(1)正三角形的三個內(nèi)角相等；(2)已知a、b、c、d是實數(shù)，若a＝b，c＝d，則a＋c＝b＋d.解：(1)原命題：若一個三角形是正三角形，則它的三個內(nèi)角相等．逆命題：若一個三角形的三個內(nèi)角相等，則這個三角形是正三角形．否命題：若一個三角形不是正三角形，則它的三個內(nèi)角不全相等．逆否命題：若一個三角形的三個內(nèi)角不全相等，那么這個三角形不是正三角形．(2)原命題：已知a、b、c、d是實數(shù)，若a＝b，c＝d，則a＋c＝b＋d.逆命題：已知a、b、c、d是實數(shù)，若a＋c＝b＋d，則a＝b且c＝d.否命題：已知a、b、c、d是實數(shù)，若a與b，c與d不都相等，則a＋c≠b＋d.逆否命題：已知a、b、c、d是實數(shù)，若a＋c≠b＋d，則a與b，c與d不都相等．題型2充分必要條件例2已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．解：p：x2－8x－20＞0，得x＜－2或x＞10，設(shè)A＝{x|x＜－2或x＞10}，q：x2－2x＋1－m2＞0，得x＜1－m，或x＞1＋m，設(shè)B＝{x|x＜1－m或x＞1＋m}．∵p是q的必要非充分條件，∴B真包含于A，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2,1＋m≥10))m≥9.∴實數(shù)m的取值范圍為m≥9.eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)下列四個結(jié)論正確的是________．(填序號)①“x≠0”是“x＋|x|>0”②已知a、b∈R，則“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充要條件是ab>0；③“a>0，且Δ＝b2－4ac≤0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是R”④“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要條件答案：①③解析：①因為由x≠0推不出x＋|x|>0，如x＝－1，x＋|x|＝0，而x＋|x|>0x≠0，故①正確；因為a＝0時，也有|a＋b|＝|a|＋|b|，故②錯誤，正確的應(yīng)該是“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充分不必要條件是ab>0；由二次函數(shù)的圖象可知③正確；x＝－1時，有x2＝1，故④錯誤，正確的應(yīng)該是“x≠1”是“x2≠1”的必要不充分條件題型3全稱命題與存在性命題的否定例3命題“所有不能被2整除的整數(shù)都是奇數(shù)”的否定是________________________________．答案：存在一個不能被2整除的整數(shù)不是奇數(shù)eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)若命題改為“存在一個能被2整除的整數(shù)是奇數(shù)”，其否定為________________________________．答案：所有能被2整除的整數(shù)都不是奇數(shù)題型4求參數(shù)范圍例4已知命題p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1，1]上有解；命題q：只有一個實數(shù)x滿足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命題“p或q”是假命題，求實數(shù)a的取值范圍．解：由a2x2＋ax－2＝0，得(ax＋2)(ax－1)＝0，顯然a≠0，∴x＝－eq\f(2,a)或x＝eq\f(1,a).∵x∈[－1，1]，故eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))≤1或eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))≤1，∴|a|≥1.由題知命題q“只有一個實數(shù)x滿足x2＋2ax＋2a≤0”即拋物線y＝x2＋2ax＋2a與x軸只有一個交點，∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2，∴當(dāng)命題“p或q”為真命題時|a|≥1或a＝0.∵命題“p或q”為假命題，∴a的取值范圍為{a|－1<a<0或0<a<1}．eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)已知命題p：函數(shù)y＝loga(1－2x)在定義域上單調(diào)遞增；命題q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0對任意實數(shù)x恒成立．若p∨q是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．解：∵命題p：函數(shù)y＝loga(1－2x)在定義域上單調(diào)遞增，∴0<a<1.又命題q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0對任意實數(shù)x恒成立，∴a＝2或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2<0，,Δ＝4（a－2）2＋16（a－2）<0，))即－2<a≤2.∵p∨q是真命題，∴a的取值范圍是－2<a≤2.命題“所有能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)”的否定是___________________________________________________．答案：存在一個能被2整除的數(shù)不是偶數(shù)2.設(shè)α、β為兩個不同的平面，直線lα，則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的________條件．答案：充分不必要解析：根據(jù)定理知由l⊥β可以推出α⊥β.反之不成立，僅當(dāng)l垂直于α、β的交線時才成立．3.“若a＋b為偶數(shù)，則a、b必定同為奇數(shù)或偶數(shù)”的逆否命題為______________________________．答案：若a、b不同為奇數(shù)且不同為偶數(shù)，則a＋b不是偶數(shù)4．已知命題p1：函數(shù)y＝ln(x＋eq\r(1＋x2))，是奇函數(shù)，p2：函數(shù)y＝xeq\s\up6(\f(1,2))為偶函數(shù)，則下列四個命題：①p1∨p2；②p1∧p2；③(p1)∨p2；④p1∧(p2)．其中，真命題是________．(填序號)答案：①④解析：由函數(shù)的奇偶性可得命題p1為真命題，命題p2為假命題，再由命題的真假值表可得②③為假，①④為真．1.若a、b為實數(shù)，則“0<ab<1”是“b<eq\f(1,a)”的________條件．答案：既不充分也不必要解析：0<ab<1，a、b都是負(fù)數(shù)時，不能推出b<eq\f(1,a)；同理b<eq\f(1,a)也不能推出0<ab<1.2.在命題p的四種形式的命題(原命題、逆命題、否命題、逆否命題)中，正確命題的個數(shù)記為f(p)，已知命題p：“若兩條直線l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，則a1b2－a2b1＝0”．那么f(p)＝________答案：2解析：若兩條直線l1：a1x＋b1y＋c1＝0與l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，則必有a1b2－a2b1＝0，但當(dāng)a1b2－a2b1＝0時，直線l1與l2不一定平行，還有可能重合，因此命題p是真命題，但其逆命題是假命題，從而其否命題為假命題，逆否命題為真命題，所以在命題p的四種形式的命題(原命題、逆命題、否命題、逆否命題)中，有2個正確命題，即f(p)＝2.3.設(shè)命題p：關(guān)于x的不等式2|x－2|<a的解集為；命題q：函數(shù)y＝lg(ax2－x＋a)的值域是R.如果命題p和q有且僅有一個正確，求實數(shù)a的取值范圍．解：由不等式2|x－2|<a的解集為得a≤1.由函數(shù)y＝lg(ax2－x＋a)的值域是R知ax2－x＋a要取到所有正數(shù)，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ＝1－4a2≥0))0<a≤eq\f(1,2)或a＝0即0≤a≤eq\f(1,2).由命題p和q有且僅有一個正確得a的取值范圍是(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).4.設(shè)數(shù)列{an}、{bn}、{cn}滿足：bn＝an－an＋2，cn＝an＋2an＋1＋3an＋2(n＝1，2，3，…)，求證：{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是{cn}為等差數(shù)列且bn≤bn＋1(n＝1，2，3，…)．證明：必要性：設(shè){an}是公差為d1的等差數(shù)列，則bn＋1－bn＝(an＋1－an＋3)－(an－an＋2)＝(an＋1－an)－(an＋3－an＋2)＝d1－d1＝0，所以bn≤bn＋1(n＝1，2，3，…)成立．又cn＋1－cn＝(an＋1－an)＋2(an＋2－an＋1)＋3(an＋3－an＋2)＝d1＋2d1＋3d1＝6d1(常數(shù))(n＝1，2，3，…)，所以數(shù)列{cn}為等差數(shù)列．充分性：設(shè)數(shù)列{cn}是公差為d2的等差數(shù)列，且bn≤bn＋1(n＝1，2，3，…)．∵cn＝an＋2an＋1＋3an＋2，①∴cn＋2＝an＋2＋2an＋3＋3an＋4，②①－②，得cn－cn＋2＝(an－an＋2)＋2(an＋1－an＋3)＋3(an＋2－an＋4)＝bn＋2bn＋1＋3bn＋2.∵cn－cn＋2＝(cn－cn＋1)＋(cn＋1－cn＋2)＝－2d2，∴bn＋2bn＋1＋3bn＋2＝－2d2，③從而有bn＋1＋2bn＋2＋3bn＋3＝－2d2，④④－③，得(bn＋1－bn)＋2(bn＋2－bn＋1)＋3(bn＋3－bn＋2)＝0.⑤∵bn＋1－bn≥0，bn＋2－bn＋1≥0，bn＋3－bn＋2≥0，∴由⑤得bn＋1－bn＝0(n＝1，2，3，…)．由此不妨設(shè)bn＝d3(n＝1，2，3，…)，則an－an＋2＝d3(常數(shù))．由此cn＝an＋2an＋1＋3an＋2cn＝4an＋2an＋1－3d3，從而cn＋1＝4an＋1＋2an＋2－5d3，兩式相減得cn＋1－cn＝2(an＋1－an)－2d3，因此an＋1－an＝eq\f(1,2)(cn＋1－cn)＋d3＝eq\f(1,2)d2＋d3(常數(shù))(n＝1，2，3，…)，∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列．1.在判斷四個命題之間的關(guān)系時，首先要分清命題的條件與結(jié)論，再比較每個命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系．要注意四種命題關(guān)系的相對性，一旦一個命題定為原命題，也就相應(yīng)的有了它的“逆命題”“否命題”“逆否命題”；判定命題為真命題時要進(jìn)行推理，判定命題為假命題時只需舉出反例即可．對涉及數(shù)學(xué)概念的命題的判定要從概念本身入手．2.充要條件的判斷，重在“從定義出發(fā)”，利用命題“若p，則q”及其逆命題的真假進(jìn)行區(qū)分，在具體解題中，要注意分清“誰是條件”“誰是結(jié)論”，如“A是B的什么條件”中，A是條件，B是結(jié)論，而“A的什么條件是B”中，A是結(jié)論，B是條件．有時還可以通過其逆否命題的真假加以區(qū)分．3.含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的判斷規(guī)律(1)p∨q：p、q中有一個為真，則p∨q為真，即一真全真；(2)p∧q：p、q中有一個為假，則p∧q為假，即一假即假；(3)p：與p的真假相反，即一真一假，真假相反．請使用課時訓(xùn)練(A)第3課時(見活頁)．[備課札記]第二章函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第1課時函數(shù)及其表示(對應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)7～8頁)考情分析考點新知①本節(jié)是函數(shù)部分的起始部分，以考查函數(shù)概念、三要素及表示法為主，同時考查學(xué)生在實際問題中的建模能力.②本節(jié)內(nèi)容曾以多種題型出現(xiàn)在高考試題中，要求相對較低，但很重要，特別是函數(shù)的解析式仍會是2015年高考的重要題型．理解函數(shù)的概念，了解構(gòu)成函數(shù)的要素.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).③了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用1.(必修1P24練習(xí)5改編)若f(x)＝x－x2，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝________，f(n＋1)－f(n)＝________．答案：eq\f(1,4)－2n2.(必修1P29習(xí)題8改編)若函數(shù)f(x)和g(x)分別由下表給出：x1234x1234f(x)2341g(x)2143則f(g(1))＝____________，滿足g(f(x))＝1的x值是________．答案：31解析：f(g(1))＝f(2)＝3；由g(f(x))＝1，知f(x)＝2，所以x＝1.3.(必修1P31練習(xí)4)下列圖象表示函數(shù)關(guān)系y＝f(x)的有________．(填序號)答案：①④解析：根據(jù)函數(shù)定義，定義域內(nèi)任意的一個自變量x的值都有唯一一個y與之對應(yīng)．4.(必修1P31練習(xí)3改編)用長為30cm的鐵絲圍成矩形，若將矩形面積S(cm2)表示為矩形一邊長x(cm)的函數(shù)，則函數(shù)解析式為____________，其函數(shù)定義域為______________答案：S＝x(15－x)x∈(0，15)解析：矩形的另一條邊長為15－x，且x>0，15－x>0.5.(必修1P32習(xí)題7改編)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)x，x≥0，,\f(1,x)，x<0，))若f(a)＝a，則實數(shù)a＝________．答案：eq\f(2,3)或－1解析：若a≥0，則1－eq\f(1,2)a＝a，得a＝eq\f(2,3)；若a<0，則eq\f(1,a)＝a，得a＝－1.1.函數(shù)的定義一般地，設(shè)A、B是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則f，對于集合A中的每一個元素x，在集合B中都有唯一的一個元素y和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)叫做從A到B的一個函數(shù)，通常記為y＝f(x)，x∈A．2.函數(shù)的三要素函數(shù)的構(gòu)成三要素為定義域、值域、對應(yīng)法則．由于值域是由定義域和對應(yīng)法則決定的，所以如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則完全一致，我們就稱這兩個函數(shù)是同一函數(shù)．3.函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的常用方法有列表法、解析法、圖象法．4.分段函數(shù)在定義域內(nèi)不同部分上，有不同的解析式，像這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．分段函數(shù)的定義域是各段自變量取值集合的并集，值域是各段上函數(shù)值集合的并集．5.映射的概念一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個映射．[備課札記]題型1函數(shù)的概念例1判斷下列對應(yīng)是否是從集合A到集合B的函數(shù)．(1)A＝B＝N*，對應(yīng)法則f：x→y＝|x－3|，x∈A，y∈B；(2)A＝[0，＋∞)，B＝R，對應(yīng)法則f：x→y，這里y2＝x，x∈A，y∈B；(3)A＝[1，8]，B＝[1，3]，對應(yīng)法則f：x→y，這里y3＝x，x∈A，y∈B；(4)A＝{(x，y)|x、y∈R}，B＝R，對應(yīng)法則：對任意(x，y)∈A，(x，y)→z＝x＋3y，z∈B.解：(1)對于A中的元素3，在f的作用下得到0，但0不屬于B，即3在B中沒有元素與之對應(yīng)，所以不是函數(shù)．(2)集合A中的一個正數(shù)在集合B中有兩個元素與之對應(yīng)，所以不是函數(shù)．(3)由y3＝x，即y＝eq\r(3,x)，因為A＝[1，8]，B＝[1，3]，對應(yīng)法則f：x→y，符合函數(shù)對應(yīng)．(4)由于集合A不是數(shù)集，所以此對應(yīng)法則不是函數(shù)．eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)下列說法正確的是______________．(填序號)①函數(shù)是其定義域到值域的映射；②設(shè)A＝B＝R，對應(yīng)法則f：x→y＝eq\r(x－2)＋eq\r(1－x)，x∈A，y∈B，滿足條件的對應(yīng)法則f構(gòu)成從集合A到集合B的函數(shù)；③函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝1的交點有且只有1個；④映射f：{1，2，3}→{1，2，3，4}滿足f(x)＝x，則這樣的映射f共有1個．答案：①④解析：②中滿足y＝eq\r(x－2)＋eq\r(1－x)的x值不存在，故對應(yīng)法則f不能構(gòu)成從集合A到集合B的函數(shù)；③中函數(shù)y＝f(x)的定義域中若不含x＝1的值，則其圖象與直線x＝1沒有交點．題型2函數(shù)的解析式例2求下列各題中的函數(shù)f(x)的解析式．(1)已知f(eq\r(x)＋2)＝x＋4eq\r(x)，求f(x)；(2)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋1))＝lgx，求f(x)；(3)已知函數(shù)y＝f(x)滿足2f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2x，x∈R且x≠0，求f(x)；(4)已知f(x)是二次函數(shù)，且滿足f(0)＝1，f(x＋1)＝f(x)＋2x，求f(x)．解：(1)(解法1)設(shè)t＝eq\r(x)＋2，則eq\r(x)＝t－2，即x＝(t－2)2，∴f(t)＝(t－2)2＋4(t－2)＝t2－4，∴f(x)＝x2－4(x≥2)．(解法2)∵f(eq\r(x)＋2)＝(eq\r(x)＋2)2－4，∴f(x)＝x2－4(x≥2)．(2)設(shè)t＝eq\f(2,x)＋1，則x＝eq\f(2,t－1)，∴f(t)＝lgeq\f(2,t－1)，即f(x)＝lgeq\f(2,x－1)(x>1)．(3)由2f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2x，①將x換成eq\f(1,x)，則eq\f(1,x)換成x，得2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝eq\f(2,x)，②①×2－②，得3f(x)＝4x－eq\f(2,x)，得f(x)＝eq\f(4,3)x－eq\f(2,3x).(4)∵f(x)是二次函數(shù)，∴設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝1，得c＝1.由f(x＋1)＝f(x)＋2x，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝(ax2＋bx＋1)＋2x，整理，得(2a－2)x＋(a＋b)＝0，由恒等式原理，知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－2＝0，,a＋b＝0))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，))∴f(x)＝x2－x＋1.eq\a\vs4\al(變式訓(xùn)練)求下列函數(shù)f(x)的解析式．(1)已知f(1－x)＝2x2－x＋1，求f(x)；(2)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)，求f(x)；(3)已知一次函數(shù)f(x)滿足f(f(x))＝4x－1，求f(x)；(4)定義在(－1，1)內(nèi)的函數(shù)f(x)滿足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求f(x)．解：(1)(換元法)設(shè)t＝1－x，則x＝1－t，∴f(t)＝2(1－t)2－(1－t)＋1＝2t2－3t＋2，∴f(x)＝2x2－3x＋2.(2)(配湊法)∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))2＋2，∴f(x)＝x2＋2.(3)(待定系數(shù)法)∵f(x)是一次函數(shù)，∴設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.∵f(f(x))＝4x－1，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,ab＋b＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－\f(1,3)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝1，))∴f(x)＝2x－eq\f(1,3)或f(x)＝－2x＋1.(4)(消去法)當(dāng)x∈(－1，1)時，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，①以－x代替x得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)，②由①②消去f(－x)得，f(x)＝eq\f(2,3)lg(x＋1)＋eq\f(1,3)lg(1－x)，x∈(－1，1)．題型3分段函數(shù)例3已知實數(shù)a≠0，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋a，x<1，,－x－2a，x≥1.))(1)若a＝－3，求f(10)，f(f(10))的值；(2)若f(1－a)＝f(1＋a)，求a的值．解：(1)若a＝－3，則f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3，x<1，,－x＋6，x≥1.))所以f(10)＝－4，f(f(10))＝f(－4)＝－11.(2)當(dāng)a>0時，1－a<1，1＋a>1，所以2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－eq\f(3,2)，不合，舍去；當(dāng)a<0時，1－a>1，1＋a<1，所以－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－eq\f(3,4)，符合．綜上可知，a＝－eq\f(3,4).eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)如圖所示，在邊長為4的正方形ABCD的邊上有一點P，沿著折線BCDA由點B(起點)向點A(終點)運(yùn)動，設(shè)點P運(yùn)動的路程為x，△ABP的面積為y.(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)畫出y＝f(x)的圖象．解：(1)y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4))，,8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4<x≤8))，,－2x＋24\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8<x≤12)).))(2)y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的圖象如圖．1.(2013·揚(yáng)州期末)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x，x≤0，,log2x，x>0，))則f(f(0))＝________．答案：0解析：f(0)＝30＝1，f(f(0))＝f(1)＝log21＝0.2.(2013·南通一模)定義在R上的函數(shù)f(x)，對任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，當(dāng)x∈(－2，0)時，f(x)＝4x，則f(2013)＝________．答案：eq\f(1,4)解析：由已知，f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，故f(2013)＝f(－1)＝4－1＝eq\f(1,4).3.(2013·連云港期末)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，x∈[0，1]，,x，x[0，1]，))則使f(f(x))＝2成立的實數(shù)x的集合為________．答案：{x|0≤x≤1或x＝2}解析：當(dāng)x∈[0，1]時，f(f(x))＝f(2)＝2成立；當(dāng)x[0，1]時，f(f(x))＝f(x)＝x，要使f(f(x))＝2成立，只需x＝2.綜上，實數(shù)x的集合為{x|0≤x≤1或x＝2}．4.(2013·蘇南四市一模)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x＋1)＋eq\f(x＋1,x＋2)＋eq\f(x＋2,x＋3)＋eq\f(x＋3,x＋4)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)＋\r(2)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)－\r(2)))＝________．答案：8解析：因為f(x)＝eq\f(x,x＋1)＋eq\f(x＋1,x＋2)＋eq\f(x＋2,x＋3)＋eq\f(x＋3,x＋4)＝4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋1)＋\f(1,x＋2)＋\f(1,x＋3)＋\f(1,x＋4))).設(shè)g(x)＝eq\f(1,x＋1)＋eq\f(1,x＋2)＋eq\f(1,x＋3)＋eq\f(1,x＋4)，則g(－5－x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋4)＋\f(1,x＋3)＋\f(1,x＋2)＋\f(1,x＋1)))，所以g(x)＋g(－5－x)＝0，從而f(x)＋f(－5－x)＝8，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)＋\r(2)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)－\r(2)))＝8.1.已知函數(shù)f(x)＝alog2x－blog3x＋2，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2014)))＝4，則f(2014)的值為________．答案：0解析：∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2014)))＝alog2eq\f(1,2014)－blog3eq\f(1,2014)＋2＝－(alog22014－blog32014)＋2＝4，∴f(2014)＝alog22014－blog32014＋2＝(－2)＋2＝0.2.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,2x，x≤0，))則滿足不等式f(f(x))>1的x的取值范圍是________．答案：(4，＋∞)解析：當(dāng)x≤0時，2x∈(0，1]，f(f(x))＝log22x＝x>1，不符合；當(dāng)0<x≤1時，log2x≤0，f(f(x))＝2log2x＝x>1，不符合；當(dāng)x>1時，log2x>0，f(f(x))＝log2(log2x)>1，解得x>4.3.集合M＝{f(x)|存在實數(shù)t使得函數(shù)f(x)滿足f(t＋1)＝f(t)＋f(1)}，則下列函數(shù)(a、b、c、k都是常數(shù))：①y＝kx＋b(k≠0，b≠0)；②y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；③y＝ax(0<a<1)；④y＝eq\f(k,x)(k≠0)；⑤y＝sinx.其中屬于集合M的函數(shù)是________．(填序號)答案：②⑤解析：對于①，由k(t＋1)＋b＝kt＋b＋k＋b，得b＝0，矛盾，不符合；對于②，由a(t＋1)2＋b(t＋1)＋c＝at2＋bt＋c＋a＋b＋c，得t＝eq\f(c,2a)，符合題意；對于③，由at＋1＝at＋a1，所以at＝eq\f(a,a－1)，由于0<a<1，at＝eq\f(a,a－1)<0，無解；對于④，由eq\f(k,t＋1)＝eq\f(k,t)＋k，無解；對于⑤，由sin(t＋1)＝sint＋sin1，取t＝2kπ，k∈Z，符合題意．綜上，屬于集合M的函數(shù)是②⑤.4.已知f(x)為二次函數(shù)，不等式f(x)＋2＜0的解集是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,3)))，且對任意α、β∈R恒有f(sinα)≤0，f(2＋cosβ)≥0，求函數(shù)f(x)的解析式．解：設(shè)f(x)＝a(x＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3)))－2(a＞0)，∵函數(shù)f(x)對任意α、β∈R恒有f(sinα)≤0，f(2＋cosβ)≥0，取sinα＝1，cosβ＝－1，則f(1)≤0與f(1)≥0同時成立，∴f(1)＝0，∴a＝eq\f(3,2)，∴f(x)＝eq\f(3,2)x2＋x－eq\f(5,2).1.函數(shù)是特殊的映射，其特殊性在于集合A與B只能是非空數(shù)集，即函數(shù)是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射；而映射不一定是函數(shù)從A到B的一個映射，A、B若不是數(shù)集，則這個映射不是函數(shù)．2.函數(shù)是一種特殊的對應(yīng)，要檢驗給定的兩個變量是否具有函數(shù)關(guān)系，只需要檢驗：①定義域和對應(yīng)法則是否給出；②根據(jù)給出的對應(yīng)法則，自變量在定義域中的每一個值，是否都有唯一確定的函數(shù)值．3.函數(shù)解析式的求解方法通常有：配湊法，換元法，待定系數(shù)法及消去法．用換元法求解時要特別注意新元的范圍，即所求函數(shù)的定義域；而消去法體現(xiàn)的方程思想，即根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．eq\a\vs4\al(請使用課時訓(xùn)練（B）第1課時（見活頁）.)[備課札記]

第2課時函數(shù)的定義域和值域(對應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)9～10頁)考情分析考點新知①函數(shù)的定義域是研究一切函數(shù)的源頭，求各種類型函數(shù)的定義域是高考中每年必考的試題.②函數(shù)的值域和最值問題也是高考的必考內(nèi)容，一般不會對值域和最值問題單獨(dú)命題，主要是結(jié)合其他知識綜合考查，特別是應(yīng)用題；再就是求變量的取值范圍，主要是考查求值域和最值的基本方法．會求簡單函數(shù)的定義域.掌握求函數(shù)值域與最值的常用方法.③能運(yùn)用求值域與最值的常用方法解決實際問題.1.(必修1P27練習(xí)6改編)函數(shù)f(x)＝eq\r(x＋1)＋eq\f(1,2－x)的定義域為________．答案：{x|x≥－1且x≠2}2.(必修1P27練習(xí)7改編)函數(shù)f(x)＝(x－1)2－1，x∈{－1，0，1，2，3}的值域是________．答案：{－1，0，3}解析：f(－1)＝f(3)＝3，f(0)＝f(2)＝0，f(1)＝－1，則所求函數(shù)f(x)的值域為{－1，0，3}．3.(必修1P31習(xí)題3改編)函數(shù)f(x)＝eq\f(2x,5x＋1)的值域為____________．答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|y≠\f(2,5)))解析：由題可得f(x)＝eq\f(2x,5x＋1)＝eq\f(2,5)－eq\f(2,5（5x＋1）).∵5x＋1≠0，∴f(x)≠eq\f(2,5)，∴值域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|y≠\f(2,5))).4.(原創(chuàng))下列四組函數(shù)中的f(x)與g(x)表示同一函數(shù)的有________．(填序號)①f(x)＝x0，g(x)＝eq\f(1,x)；②f(x)＝eq\f(x,\r(x))，g(x)＝eq\r(x)；③f(x)＝x2，g(x)＝(eq\r(x))4；④f(x)＝|x|，g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x<0.))答案：④解析：兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，主要是考查函數(shù)三要素是否相同，而值域是由定義域和對應(yīng)法則所唯一確定的，故只須判斷定義域和對應(yīng)法則是否相同，④符合．5.(必修1P36習(xí)題13改編)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x，x∈[a，b]的值域為[－1，3]，則b－a的取值范圍是________．答案：[2，4]解析：f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，因為x∈[a，b]的值域為[－1，3]，所以當(dāng)a＝－1時，1≤b≤3；當(dāng)b＝3時，－1≤a≤1，所以b－a∈[2，4]．1.函數(shù)的定義域(1)函數(shù)的定義域是指使函數(shù)表達(dá)式有意義的輸入值的集合．(2)求定義域的步驟①寫出使函數(shù)式有意義的不等式(組)．②解不等式組．③寫出函數(shù)定義域(注意用區(qū)間或集合的形式寫出)．(3)常見基本初等函數(shù)的定義域①分式函數(shù)中分母不等于零．②偶次根式函數(shù)、被開方式大于或等于0.③一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域為R．④y＝ax，y＝sinx，y＝cosx，定義域均為R．⑤y＝tanx的定義域為{x|x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}．⑥函數(shù)f(x)＝xa的定義域為{x|x≠0}．2.函數(shù)的值域(1)在函數(shù)y＝f(x)中，與自變量x的值對應(yīng)的y的值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫函數(shù)的值域．(2)基本初等函數(shù)的值域①y＝kx＋b(k≠0)的值域是R．②y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：當(dāng)a>0時，值域為[eq\f(4ac－b2,4a)，＋∞)；當(dāng)a<0時，值域為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))．③y＝eq\f(k,x)(k≠0)的值域為{y|y≠0}．④y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．⑤y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R．⑥y＝sinx，y＝cosx的值域是[－1，1]．⑦y＝tanx的值域是R．3.最大(小)值一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：(1)對于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么稱M是函數(shù)y＝f(x)的最大(小)值．[備課札記]

題型1求函數(shù)的定義域例1求下列函數(shù)的定義域：(1)y＝eq\f(1,2－|x|)＋lg(3x＋1)；(2)y＝eq\f(\r(4－x2),ln（x＋1）).解：(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－|x|≠0，,3x＋1>0))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≠－2且x≠2，,x>－\f(1,3)，))解得x>－eq\f(1,3)且x≠2，所求函數(shù)的定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>－\f(1,3)且x≠2)))).(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ln（x＋1）≠0，,4－x2≥0))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>－1且x≠0，,－2≤x≤2，))解得－1<x<0或0<x≤