2024年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)-雙曲線(江蘇專用)

雙曲線

【三年高考】

1.12024高考江蘇】在平面直角坐標系xOy中，雙曲線工-丁=1的右準線與它的兩條漸近

3-

線分別交于點尸，。，其焦點是片,心,則四邊形于尸1。的面積是▲.

22

2.12024高考江蘇】在平面直角坐標系xOy中，雙曲線上-上=1的焦距是▲.

73

【答案】2麗

【解析】

試題分析：/=712=3,.-"2=。2+62=7+3=10,...0=而,：.20=2瓦.故答案應(yīng)

填：2M

【考點】雙曲線性質(zhì)

【名師點睛】本題重點考查雙曲線幾何性質(zhì)，而雙曲線的幾何性質(zhì)與雙曲線的標準方程休戚

22

相關(guān)，明確雙曲線標準方程中各個量的對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵，鼻-與=l(a>0,b>0)揭示

ab

焦點在X軸，實軸長為2a,虛軸長為2b,焦距為2c=2，/+62,漸近線方程為y=±?x,

a

禺心率為一=2------.

aa

22

2.12024江蘇，理8】在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線^-----—=1的離心率為迅，

mW+4

則m的值為.

【答案】2

【解析】依據(jù)雙曲線方程的結(jié)構(gòu)形式可知，此雙曲線的焦點在x軸上，且a2=m,b2=m2+4,

故c2=m2+m+4,于是e?=￡■="1+"?+4二函丫,解得m=2,經(jīng)檢驗符合題意.

am

22

4.[2024課標II,理9]若雙曲線C：=—3=1(。>0,人>0)的一條漸近線被圓

ab

(x—2)?+y2=4所截得的弦長為2,則C的離心率為()

A.2B.A/3C.A/2D.冬叵

3

【答案】A

【解析】

試題分析：由幾何關(guān)系可得，雙曲線三一［=1（。＞0力＞0）的漸近線為：bx±ay=Q,

ab

圓心（2,0）到漸近線距離為：d=M-P=道,

|2Zf+axO|2b

不妨考查點（2,0）到直線歷c+叩=0的距離：d=

即：~^=3,整理可得：匕2=名2,

雙曲線的離心率。=仁=〃=2。故選A。

【考點】雙曲線的離心率.；直線與圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式

【名師點睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率（或離心率的取

值范圍），常見有兩種方法：

①求出a,c,代入公式0=￡；

a

②只須要依據(jù)一個條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式，結(jié)合爐=/——轉(zhuǎn)化為a,。的齊次式，

然后等式（不等式）兩邊分別除以a或一轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可

得e（e的取值范圍）。

22

5.【2024天津，理5】已知雙曲線'—4=1（?！?/〉0）的左焦點為尸，離心率為J5.

ab~

若經(jīng)過F和P（0,4）兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為

22222222

(A)土-匕=1(B)土-乙=1(C)土-匕=1(D)土-匕=1

44884884

【答案】B

2

【解析】由題意得。="一=—l=>c=4,a=b=2^2=>———=1,選B.

-c88

【考點】雙曲線的標準方程

【名師點睛】利用待定系數(shù)法求圓錐曲線方程是高考常見題型，求雙曲線方程最基礎(chǔ)的方法

就是依據(jù)題目的條件列出關(guān)于仇。的方程，解方程組求出另外求雙曲線方程要留意巧

22

設(shè)雙曲線（1）雙曲線過兩點可設(shè)為相爐—期2=1（根〃〉o）,（2）與占—二=1共漸近線的

ab

22

雙曲線可設(shè)為二—多=2（2wO）,（3）等軸雙曲線可設(shè)為V—丁2=〃4/0）等，均為待定

ab

系數(shù)法求標準方程.

6.12024北京，理9】若雙曲線必一2L=1的離心率為石，則實數(shù)斤.

m

【答案】2

【解析】

試題分析：a?=1力2=m，所以工=正元=退,解得機=2.

a1

【考點】雙曲線的方程和幾何性質(zhì)

【名師點睛】本題主要考查的是雙曲線的標準方程和雙曲線的簡潔幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.解

題時要留意a、b、c的關(guān)系。2=。2+〃，否則很簡潔出現(xiàn)錯誤.以及當焦點在x軸時，哪

些量表示,依據(jù)離心率的公式計算.

22

7.12024課標1,理】已知雙曲線乙j-4=l（a>0,力0）的右頂點為4以/為圓心，b

ab

為半徑作圓圓/與雙曲線C的一條漸近線交于區(qū)N兩點.若N例滬60°,則。的離心率為

【答案】孚

【解析】試題分析:

如圖所示，作心因為圓/與雙雄戔C的一條漸近線交于N兩點，則為雙曲線的漸近線

>=2%上的點，且/(?0),AM=AN=b

a

而“_LMV,所以/P1N=3O;

點盤。,0）到直線y=-x的距離AP=-=1￡L

aLb1

V1+?

pj

在KfAP初中，cosPAN=—

NA

代入計算得〃=3*,即。=■

由，=o2+3*得c=2b

所以。=￡=卓=?.

?；?

【考點】雙曲線的簡潔性質(zhì).

【名師點睛】雙曲線漸近線是其獨有的性質(zhì)，所以有關(guān)漸近線問題受到出題者的青睞.做好這

一類問題要抓住以下重點：①求解漸近線，干脆把雙曲線后面的1換成0即可；②雙曲線的

焦點到漸近線的距離是6；③雙曲線的頂點到漸近線的距離是些.

C

8.12024課標3,理5】已知雙曲線C；j―2r=1(a>0">0)的一條漸近線方程為y=1,

ab2

且與橢圓工+工=1有公共焦點，則。的方程為

123

22

xy1

A.r=iBYa——=iDY

810455443

【答案】B

【解析】

b

試題分析：雙曲線a(a>0">0)的漸近線方程為'=±2%,

下一鏟

橢圓中：cr=12,b~=3,.-.c2=a--b2^9,c^3，橢圓，即雙曲線的焦點為(±3,0)

2—道

a2

據(jù)此可得雙曲線中的方程組：［c1=a1-b1,解得：￡=4/2=5,

c-3

22

則雙曲線。的方程為土—.

45

故選區(qū)

【考點】雙曲線與橢圓共焦點問題；待定系數(shù)法求雙曲線的方程.

【名師點睛】求雙曲線的標準方程的基本方法是待定系數(shù)法.詳細過程是先定形，再定量，即

先確定雙曲線標準方程的形式，然后再依據(jù)a,b,c,e及漸近線之間的關(guān)系，求出a,人的

值.假如已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標準方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程

22

為二—3=4(470),再由條件求出八的值即可.

ab

22

10.12024山東，理14】在平面直角坐標系中，雙曲線/=1(。>0,6>0)的右支與

焦點為歹的拋物線V=2px(p>0)交于A8兩點，若網(wǎng)+網(wǎng)=4|叫,則該雙曲線的漸近

線方程為.

【答案】y=土與x

【解析】試題分析：|-^P'\+\BF\=y^+^+yB+^=4-x^=^yA+yB=p,

///

±__y_=X2r2

因為＜b1=＞a2y2-2pb2y+=0=＞，所以心+治=—廠=f=＞。=屈＞=漸近線方程

x1=2py

【考點】L雙曲線的幾何性質(zhì).2.拋物線的定義及其幾何性質(zhì).

【名師點睛】1.在雙曲線的幾何性質(zhì)中，漸近線是其獨特的一種性質(zhì)，也是考查的重點內(nèi)容.

對漸近線：（1）駕馭方程；（2）駕馭其傾斜角、斜率的求法；（3）會利用漸近線方程求雙曲線方

程的待定系數(shù).

求雙曲線方程的方法以及雙曲線定義和雙曲線標準方程的應(yīng)用都和與橢圓有關(guān)的問題相類似.

因此，雙曲線與橢圓的標準方程可統(tǒng)一為'2+為2=1的形式，當A>0,B>0,A/B時

為橢圓，當A5<0時為雙曲線.

2.凡涉及拋物線上的點到焦點距離時，一般運用定義轉(zhuǎn)化為到準線距離處理.

22

10.12024高考新課標1卷改編】已知方程―-------1—=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦

m+n3m—n

點間的距離為4,則n的取值范圍是.

【答案】（一1,3）

【解析】

22

試題分析：弋-----------—=1表示雙曲線,貝w“+加3療-〃）>0

m+n3m—n'八/

-m2<n<3m2,由雙曲線性質(zhì)知：c2=（m2+〃）+（3病一〃）=4療，其中c是半焦距

焦距2c=2?2|m|=4,解得|m|=l,A-l<n<3.

考點：雙曲線的性質(zhì)

【名師點睛】雙曲線學(xué)問一般作為客觀題學(xué)生出現(xiàn)，主要考查雙曲線幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.留

意雙曲線的焦距是2c不是c,這一點易出錯.

22

11.12024高考新課標2理數(shù)改編】已知耳，鳥是雙曲線E:工-3=1的左，右焦點，點河

ab

在￡上，與x軸垂直，sin/M8片=；，則￡的離心率為.

【答案】6

【解析】

1

試題分析：因為叫垂直于X軸，所以。曲|=1,慳閭=2。+1,因為sinNT明月=丁

b2

即「駕=_L=l,化簡得6=。，故雙曲線離心率6=</二萬=、歷.

\MF,\b23Na

1一|20aH---

a

考點：雙曲線的性質(zhì).離心率.

【名師點睛】區(qū)分雙曲線中a,b,c的關(guān)系與橢圓中a,b,c的關(guān)系，在橢圓中3=9+3,

而在雙曲線中/=廿十爐.雙曲線的離心率ee(1,+oo),而橢圓的離心率ed(O,1).

12.12024高考天津理數(shù)】已知雙曲線土-與=1(6〉0),以原點為圓心，雙曲線的實半軸長

4b"

為半徑長的

圓與雙曲線的兩條漸近線相交于4B、a，四點，四邊形的力順的面積為26,則雙曲線的

方程為—.

r依9、y2

【答案】---=1

412

【解析】

4

X2+y2=4

試題分析：依據(jù)對稱性，不妨設(shè)A在第一象限，A(x,y)，,<bn

y=-x4b

-2

[6hhY?

.?.Xy=42.￡=￡^Z?2=12）故雙曲線的方程為上—匕=1.

-Z72+422412

考點：雙曲線漸近線

【名師點睛】求雙曲線的標準方程關(guān)注點：

(1)確定雙曲線的標準方程也須要一個“定位”條件，兩個“定量”條件，“定位”是指確定

焦點在哪條坐標軸上，“定量”是指確定a,6的值，常用待定系數(shù)法.

(2)利用待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程時應(yīng)留意選擇恰當?shù)姆匠绦问?，以避開探討.

①若雙曲線的焦點不能確定時，可設(shè)其方程為//+芯=1(/6<0).

②若已知漸近線方程為mx+ny^0,則雙曲線方程可設(shè)為mx-rfy^/(才#0).

V

13.12024高考山東理數(shù)】已知雙曲線》—X-^=1(a>0,方>0),若矩形/及力的四個

ab~

頂點在￡上，AB,切的中點為￡的兩個焦點，且2|/引=3|8。，則￡的離心率是.

【答案】2

【解析】

試題分析:假設(shè)點A在第一象限,點右在其次象限，則A（c,—）,B（c,-一），所以|AB|=——,

aaa

|BC|=2c,由21ABi=3|BC|,c*2=a2+b2^?^^e=2^e=-1（舍去），所以后的離

心率為2.

考點：雙曲線的幾何性質(zhì)

【名師點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì).本題解答，利用特別化思想，通過對特別狀況

的探討，轉(zhuǎn)化得到一般結(jié)論，降低了解題的難度.本題能較好的考查考生轉(zhuǎn)化與化歸思想、一

般與特別思想及基本運算實力等.

22

14.【2024年高考北京理數(shù)】雙曲線j-當=1（a>0,b>0）的漸近線為正方形OABC

a2b2

的邊OA,0C所在的直線，點B為該雙曲線的焦點，若正方形OABC的邊長為2,則

a=.

【答案】2

【解析】

試題分析：.「OABC是正方形，二=45。，即直線。/方程為歹=X,此為雙曲線的漸近線，因此

a=b,又由題意|。|=動，.,.02+，=（2應(yīng)）2,。二？.故填：2.

考點：雙曲線的性質(zhì)

【名師點睛】在雙曲線的幾何性質(zhì)中，漸近線是其獨特的一種性質(zhì)，也是考查的重點內(nèi)容.對

漸近線：（1）駕馭方程；（2）駕馭其傾斜角、斜率的求法；（3）會利用漸近線方程求雙曲線方程

的待定系數(shù).

求雙曲線方程的方法以及雙曲線定義和雙曲線標準方程的應(yīng)用都和與橢圓有關(guān)的問題相類似.

因此，雙曲線與橢圓的標準方程可統(tǒng)一為近2+為2=1的形式，當A>0,B>0,時

為橢圓，當A5<0時為雙曲線.

22

15.12024高考福建，理3】若雙曲線E:'言=1的左、右焦點分別為片,工，點尸在雙

曲線E上，且|尸￡|=3,貝閭等于――

【答案】9

【解析】由雙曲線定義得忸媚―|P修=2a=6,即13TpM=6,解得歸閶=9.

22

__匕=]e=3c

16.12024高考廣東，理7】己知雙曲線°：/從的離心率且其右焦點用（，。）,

則雙曲線C的方程為.

22

土上=1

【答案】169

_c_5

【解析】因為所求雙曲線的右焦點為耳（5，°）且離心率為'a所以c=5,a=4,

22

,土-匕=1

〃=°2-4=9所以所求雙曲線方程為169.

【2024年高考命題預(yù)料】

縱觀2024各地高考試題，可以看出，對雙曲線的考查以選擇、填空為主，主要側(cè)重以下幾點：

（1）雙曲線定義的應(yīng)用；（2）求雙曲線的標準方程.（3）以雙曲線的方程為載體，探討與參數(shù)a,

b,c,e及漸近線有關(guān)的問題，其中離心率和漸近線是考查的重點和熱點，高考題中以選擇、

填空題為主，分值為5分，難度為簡潔題和中檔題，個別省份以解答題形式考查雙曲線的定

義、標準方程、幾何性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系，分值為12分左右，難度較大.2024年高

考仍會持續(xù)這種情形，以雙曲線的方程與性質(zhì)為主.備考時應(yīng)嫻熟駕馭雙曲線的定義、求雙

曲線標準方程的方法，能敏捷運用雙曲線定義及幾何性質(zhì)確定基本元素。，瓦c.另外，要深化

理解參數(shù)瓦C的關(guān)系、漸近線及其幾何意義，應(yīng)留意與向量、直線、圓等學(xué)問的綜合.

【2024年高考考點定位】

高考對雙曲線的考查有兩種主要形式：一是考雙曲線的定義與標準方程；二是考查雙曲線的

幾何性質(zhì)；三是考查直線與雙曲線的簡潔位置關(guān)系，從涉及的學(xué)問上講，常平面幾何、平面

對量、方程數(shù)學(xué)、不等式等學(xué)問相聯(lián)系，字母運算實力和邏輯推理實力是考查是的重點.

【考點11雙曲線的定義與標準方程

【備考學(xué)問梳理】

L雙曲線的定義：把平面內(nèi)與兩定點可，耳的距離之差的肯定值等于常數(shù)（小于|￡6|）的

點的軌跡叫做雙曲線，這兩個定點叫雙曲線的焦點，兩焦點之間的距離叫焦距，符號表述為:

\PFl\-\PF2\=+2a（2。<|公鳥|）.

留意：（1）當2a=|4月|時，軌跡是直線片工去掉線段片工.（2）當2a>|耳鳥|時，軌跡

不存在.

22

2.雙曲線的標準方程：（1）焦點在x軸上的雙曲線的標準方程為=-與=1（?！?］〉0）；

ab

22

焦點在y軸上的雙曲線的標準方程為3-==1（?>0,b>0）.給定橢圓

ab

22

L+2L=i（m與〃異號），要依據(jù)相，〃的正負判定焦點在哪個坐標軸上，焦點在分母為正的

mn

那個坐標軸上.

⑵雙曲線中a,Z?,c關(guān)系為：a2=c2-b2.

【規(guī)律方法技巧】

1.利用雙曲線的定義可以將雙曲線上一點到兩焦點的距離進行轉(zhuǎn)化，對雙曲線上一點與其兩

焦點構(gòu)成的三角形問題，常用雙曲線的定義與正余弦定理去處理.

2.求雙曲線的標準方程方法

（1）定義法：若某曲線（或軌跡）上隨意一點到兩定點的距離之差（或距離之差的肯定值）為

常數(shù)（常數(shù)小于兩點之間的距離），符合雙曲線的定義，該曲線是以這兩定點為焦點，定值為

實軸長的雙曲線，從而求出雙曲線方程中的參數(shù)，寫出雙曲線的標準方程，留意是距離之差

的肯定值是雙曲線的兩只，是距離之差是雙曲線的一只，要留意是哪一只.

（2）待定系數(shù)法，用待定系數(shù)法求雙曲線標準方程，一般分三步完成，①定性-確定它是雙曲

線；②定位-判定中心在原點，焦點在哪條坐標軸上；③定量-建立關(guān)于基本量。力,c,e的關(guān)系

式，解出參數(shù)即可求出雙曲線的標準方程.

3.若雙曲線的焦點位置不定，應(yīng)分焦點在x軸上和焦點在y軸上，也可設(shè)雙曲線的方程為

Ax-+By2^l,其中A,3異號且都不為0,可避開分類探討和繁瑣的計算.

4.若已知雙曲線的漸近線方程為利±豚=0,則可設(shè)雙曲線的標準方程為依土法=4

（2^0）可避開分類探討.

【考點針對訓(xùn)練】

1.以拋物線/=4x的焦點為焦點，以直線y=±x為漸近線的雙曲線標準方程為

22

【答案】

22

22

【解析】由題意設(shè)雙曲線的標準方程為左-方=1,/=4x的焦點為(1,0),則雙曲線的焦

點為(1,0)；y=±x為雙曲線的漸近線，則2=1,又因/+〃=02,所以

22

故雙曲線標準方程為X了一V亍=1.

22

2.已知雙曲線C:工—乙=1的左、右焦點分別為耳,工，P為。的右支上一點，且

91612

歸閶=|耳閭，則懷￡工的面積等于―—-

【答案】48

【解析】由題意得|9招1=2J9+16=10,所以|。工|=10,依據(jù)雙曲線的定義得

\PF]|=10+6=16,△「耳鳥是等腰三角形，Pp邊上的高為&。2-82=6,所以

的面積等于工x6xl6=48.

2

【考點2】雙曲線的幾何性質(zhì)

【備考學(xué)問梳理】

焦距

范圍x￡R；y2a

頂點實軸頂點（±20）,虛軸頂點（0,實軸頂點（0,土a）,虛軸頂點（±a0）

±Z?）

對稱性曲線關(guān)于X軸、y軸、原點對稱曲線關(guān)于x軸、y軸、原點對稱

離心率e.e(l,+00),其中戶,儲+/

漸近線y=±^x

y=±—x

ab

2.等軸雙曲線：實軸與虛軸相等的雙曲線叫等軸雙曲線，，其標準方程為--/=2（2豐0）,

離心率為應(yīng)，漸近線為y=±x.

【規(guī)律方法技巧】

1.求解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖像進行分析，圍繞雙曲線中的“六點”（兩個頂點、

兩個焦點、虛軸的兩個端點），“四線”（兩條對稱軸，兩條漸近線），“兩形”（中心、焦點、

虛軸端點構(gòu)成的特征三角形，雙曲線上一點與兩個交點構(gòu)成的三角形），探討它們之間的關(guān)系,

挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.

2.雙曲線取值范圍實質(zhì)實質(zhì)是雙曲線上點的橫坐標、縱坐標的取值范圍，在求解一些最值、

取值范圍以及存在性、推斷性問題中有著重要的應(yīng)用.

3.求離心率問題，關(guān)鍵是先依據(jù)題中的已知條件構(gòu)造出a,b,c的等式或不等式，結(jié)合

化出關(guān)于。工的式子，再利用e=￡,化成關(guān)于e的等式或不等式，從而解出e的

a

「2.72方21---

值或范圍.離心率e與的關(guān)系為：/=-y=——=1+—=—

aaaa

4.雙曲線==1（?！?力〉0）的漸近線方程為丁=±2工，可變形為土=土』，即

abaab

22

二-答=0,所以雙曲線的漸近線方程可以看作把其標準方程中的1換為0得來的.

ab~

2b2

4.橢圓的通徑（過焦點垂直于焦點所在對稱軸的直線被橢圓截得的弦叫通徑）長度為一，

a

是過橢圓焦點的直線被橢圓所截得弦長的最小值.

5.雙曲線上一點到雙曲線一個焦點的距離的取值范圍為［c-a,+R）.

【考點針對訓(xùn)練】

1.雙曲線上—匕=1的離心率為▲.

45-------

3

【答案】-

2

c3

【解析】由題意得。2=4萬=5=，=9=e=2=3.

a2

22

2.雙曲線^--乙=1的焦點到漸近線的距離為

916-----------

【答案】4

-+3d=~~^

【解析】焦點出⑼，漸近線'―3”,即以―3y=0,則5.

【考點3］直線與雙曲線的位置關(guān)系

【備考學(xué)問梳理】

22

設(shè)雙曲線的方程為3―27=1(?！?］〉0),直線加+4+。=0,將直線方程與雙曲線方

ab

程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的方程mx2+nx+p^Q.

(1)若加WO,當時，直線與雙曲線有兩個交點.當△=()時，直線與雙曲線有且只有一個

公共點，此時直線與雙曲線相切.當^<0時，直線與雙曲線無公共點.

(2)當加=0時，直線與雙曲線只有一個交點，此時直線與雙曲線的漸近線平行.

【規(guī)律方法技巧】

1.直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后得到一元二次方程，則一元二次方程的根是直線和橢圓

交點的橫坐標或縱坐標，常設(shè)出交點坐標，用根與系數(shù)關(guān)系將橫坐標之和與之積表示出來，

這是進一步解題的基礎(chǔ).

2.直線/=履+6(4/0)與橢圓相交于/(荀，跖),8(毛，㈤兩點，則弦長|朗=71+內(nèi)矛1

2

一為I=W+A?T_XI+E_2-4XIX2=<1+看>IM-羥I=

y?yf~M+K_2-4MR.

3.對中點弦問題常用點差法和參數(shù)法.

【考點針對訓(xùn)練】

1.如圖，雙曲線的中心在坐標原點。，A,C分別是雙曲線虛軸的上、下頂點，8是雙曲線的

左頂點，F(xiàn)為雙曲線的左焦點，直線A8與FC相交于點D.若雙曲線的離心率為2,則

【答案】立

14

v22

【解析】可設(shè)雙曲線方程為jy=1,即得A(O,b),C(O,-b),B(-a,O),F(-c,O),

a

所以A3直線方程為—二+2=1,歹。直線方程為—±—2=1,又￡=2,把A3和尸。的

abcba

直線方程聯(lián)立解得。又步=02—1，所以5=百。，即。(—與所

以有DE=(—c+F，ga)=(—g，ga)，DB=(g餐a)，則

nonE,a(2。GV3126mL2a、，卓.幣

DB?DF=一義(----)+——ax——a=—a，\DF\=J(----)-+(——a)=——a，

33339Y333

i____________12

r~,R-9nvDBDFaaA/7

j(§)2+(號4=鏟，又c°s"|D51?|DF|-2

1°JJ—ax—a

33

2.如圖，耳、工是雙曲線二—二=l（a〉O力〉0）的左、右焦點，過片的直線/與雙曲線

ab

的左右兩支分別交于點A、B.若AA8工為等邊三角形，則雙曲線的離心率為

【答案】V7

【解析】依據(jù)雙曲線的定義，可得|5￡|-13鳥|=2a,「AABK是等邊三角形，即

\BF2\=\AB\,

：.\BF1\-\BF2\=2a,即|34I—IAB|=|2a,又：||||=2a,

|AF21=1AFi|+2。=4a,

*.*AAFiF2中，|AFX|=2a,|AF2\=4。,AFlAF2=120°,

22即

|FXF2|2=|A7^I+1AF21-21AFX||AF2\cos120°,

4c2=4a2+16〃2-2X2〃X4QX（-；）=28a2,

解之得：c"a,由此可得雙曲線的離心率為e=￡=J7.

【兩年模擬詳解析】

1.【南京市、鹽城市2024屆高三年級第一次模擬】設(shè)雙曲線々-丁=1（?！?）的一條漸近

a

線的傾斜角為3。。，則該雙曲線的離心率為▲.

【答案】2叵

3

【解析】雙曲線漸近線方程為y=±2,所以L=tan30°na=Gnc=2ne=2叵

aa3

2.【鎮(zhèn)江市2024屆高三年級第一次模擬】雙曲線二-三=1(?！?/〉0)的焦點到相應(yīng)準

ab

線的距離等于實軸長，則雙曲線的離心率為.

【答案】1+72

2

【解析】由題意得c——=24=>/_2￡—l=O=>e=l+V2

3.[2024年第三次全國大聯(lián)考江蘇卷】直線l：y=2%+10過雙曲線「―2=1(〃>。/>0)

ab

一個焦點且與其一條漸近線平行，則雙曲線方程為.

22

【答案】工-匕=1

520

b丫22

【解析】由題意得歹(-5,0),c=5,—=2,所以〃=5,〃=20,雙曲線方程為土—匕=1.

a520

4.【2024年第一次全國大聯(lián)考江蘇卷】在平面直角坐標系xOy中，與雙曲線上-;/=1有相

3

同漸近線，且位于x軸上的焦點到漸近線距離為2的雙曲線的標準方程為.

22

【答案】土-匕=1

124

【解析】與雙曲線工-y2=i有相同漸近線的雙曲線的標準方程可設(shè)為三一2=4，因為雙

33

曲線焦點在x軸上，故2>0,又焦點到漸近線距離為2,所以2=4,所求方程為三一乙=1.

124

5.[2024年高考原創(chuàng)押題預(yù)料卷01(江蘇卷)】已知雙曲線好+沖②=l("eR)與橢圓

工+上=1有相同的焦點，則該雙曲線的漸近線方程為.

62

【答案】y=土島

【解析】橢圓W+J=l的焦點坐標為(12,0),所以1+(-9)=4=〃=—：,所以雙曲線方程為

62n3

d一。=1,漸近線方程為尸=±屈.

22

6.【2024年高考原創(chuàng)押題預(yù)料卷03(江蘇卷)】經(jīng)過雙曲線C:0-咎=1(a>0,6>0)的左

焦點E與圓0:尤2+尸="相切的直線，交雙曲線的兩條漸近線于兩點，若|A8|=&,

則雙曲線C的離心率為

【答案】2或空

3

【解析】由題意不妨設(shè)圓的切線過焦點￡(-c,0),借助圖形可得其斜率無=@,方程為

b

y=-(x+c)與漸近線y=聯(lián)立可解得交點橫坐標為占=4y；方程為y=@(x+c)與漸

bab-ab

近線y=尤聯(lián)立可解得交點橫坐標為x=--,所以|屆-％1=/ITTJ+-1=省囁，

ac2b—ac\b-a\c

則由題設(shè)-尤21=耳，即￡園一/1=耳也即土2a%：=瓜,所以

Vbbb\b-a\c

4(e2-l)=3(e2-2)2,即3e,-16/+16=0,解之得e?=4或e?=3,所以《=2或0=逑，故

33

答案為：2或巫.

3

7.【泰州市2024屆高三第一次模擬考試】在平面直角坐標系xOy中，雙曲線萬一/=1的

實軸長為,

【答案】2后

【解析】由雙曲線方程得，a=?，則實軸長為2a=20

8.【南京市、鹽城市2024屆高三年級其次次模擬考試】在平面直角坐標系x@中，拋物線/

2

xy2

=2px(p>0')的焦點為凡雙曲線/一乒=1(。>°力>°)的兩條漸近線分別與拋物線交于4

彳兩點(4彳異于坐標原點。.若直線組?恰好過點尸，則雙曲線的漸近線方程是.

【答案】y=±2x

【解析】由題意得：一條漸近線過點（g,p）,因此斜率為￡=2,雙曲線的漸近線方程是

y=±2%.

9.【南京市2024屆高三年級第三次模擬考試】設(shè)尸是雙曲線的一個焦點，點?在雙曲線上，

且線段反的中點恰為雙曲線虛軸的一個端點，則雙曲線的離心率為.

【答案】石

丫222Ail2

【解析】不妨設(shè)下一4=l,P（c,0）,則點P（—c,±2b）,從而有二丁=ln==5ne="

ab-ab'a

10.【江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2024屆高三教學(xué)狀況調(diào)研（二）數(shù)學(xué)試題】若雙曲線無2+機/=i過

點卜應(yīng)，2）,則該雙曲線的虛軸長為▲.

【答案】4

【解析】由題意得2+4機=1,機=-工，因此雙曲線的虛軸長為2x2=4.

4

22

11.［鹽城市2024屆高三年級第三次模擬考試】以雙曲線'-斗=1（?！?出〉0）的右焦點F

a"b"

為圓心，a為半徑的圓恰好與雙曲線的兩條漸近線相切，則該雙曲線的離心率為▲.

【答案】V2

【解析】由題意得“=人=6=血.

12.中心在原點,對稱軸為坐標軸的雙曲線C的兩條漸近線與圓：（x-y=i都相切,則

雙曲線C的離心率是.

【答案】2百或2

亍

【解析】當雙曲線為馬一

=1時，其漸近線為以±e=。，從而

a

凹=1=＞。=%,0=島=＞。=述，當雙曲線為4一《=1時，其漸近線為內(nèi)士勿=°,從而

C3反

-=l=>c=243=>e=2.

13.已知Fz,FI是雙曲線=-、=1(?！?/〉0)的上，下兩個焦點，點F?關(guān)于漸近線的

對稱點恰好落在以我為圓心，|0F」為半徑的圓上，則雙曲線的離心率為.

【答案】2

y+c_ax

【解析】設(shè)點Fz關(guān)于漸近線y=@x的對稱點為M(x,y),由已知得＜2”h「2，解得

by-c_b

xa

2ab

x=-----

C,,又以Fi為圓心，|OFj為半徑的圓的方程為Y