1.7置換在對(duì)稱變換群中的應(yīng)用

例3

例4§1.7

置換在對(duì)稱變換群中的應(yīng)用

一、對(duì)稱變換群的定義

定義1.7.1

---對(duì)稱變換

例1

例2

二、實(shí)例一、對(duì)稱變換群的定義

定義1.7.1

使圖形不變形地變到與自身重合的

變換稱為這個(gè)圖形的對(duì)稱變換(symmetrictransfor-一個(gè)圖形的一切對(duì)稱變換關(guān)于變換的乘法

構(gòu)成群,這個(gè)群稱為這個(gè)圖形的對(duì)稱變換群.

一個(gè)圖形的對(duì)稱變換群常可以用一個(gè)置換群來

表示,它能很好地反映圖形的對(duì)稱性質(zhì),是研究圖

形的對(duì)稱性質(zhì)的有力工具.

mation).二、對(duì)稱變換群的實(shí)例

例1

求正方形的對(duì)稱變換群.

由圖1.7.1不難看出,正方形的對(duì)稱變換只有兩種:

(1)分別繞中心點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)、、、的旋轉(zhuǎn);

(2)關(guān)于直線、

、

、的鏡面反射.為了用置換來表示正方形的對(duì)稱變換,我們用數(shù)字1、2、3、4來代表正方形的四個(gè)頂點(diǎn)(如圖1.7.1).

顯然,正方形的每一個(gè)對(duì)稱變換都導(dǎo)致了這四個(gè)頂

點(diǎn)的一個(gè)置換.如果對(duì)稱變換將頂點(diǎn)變?yōu)轫旤c(diǎn),

那么我們用置換

來表示這個(gè)對(duì)稱變換.易知,由正方形的每一個(gè)對(duì)稱變換,都可惟一地確定一個(gè)4階置換,且不同的對(duì)稱

變換對(duì)應(yīng)了不同的置換.所以,正方形的每一個(gè)對(duì)

稱變換,都可用惟一的一個(gè)四階置換來表示.

表1.7.1列出了正方形的對(duì)稱變換及其相應(yīng)的置

由表1.7.1可知,兩個(gè)對(duì)稱變換的乘積對(duì)應(yīng)于相應(yīng)的置換的乘積.所以正方形的對(duì)稱變換群是的一個(gè)子群,記作.由表1.7.1可知.

換表示

點(diǎn)擊看表對(duì)稱變換

置換表示表示繞中心旋轉(zhuǎn)

表示繞中心旋轉(zhuǎn)

表示繞中心旋轉(zhuǎn)

表示繞中心旋轉(zhuǎn)（恒等變換）

表示關(guān)于的反射

表示關(guān)于的反射

表示關(guān)于的反射

表示關(guān)于的反射

表1.7.1

一般地,正邊形的對(duì)稱變換群是的一

個(gè)子群,記作,稱為二面體群.易知,正邊形有

個(gè)旋轉(zhuǎn)(包括恒等變換)和個(gè)反射,所以,二面體

群的階數(shù)是.

例2

求正四面體的對(duì)稱變換群.

一個(gè)正四面體可以內(nèi)接于一個(gè)正方體(見圖1.7

.2).把正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)標(biāo)上1、2、3、4四個(gè)數(shù)字,則正四面體的每一個(gè)對(duì)稱變換都可用一個(gè)4階置

換來表示.的對(duì)稱變換.如鏡面反射就不是正四面體的對(duì)稱

因此,正四面體的對(duì)稱變換群是的一個(gè)子群.共有24個(gè)4階置換,但并非每一個(gè)置換都表示正四面體

變換.容易看出,繞任一條過正四面體的一個(gè)頂點(diǎn)及其對(duì)

面中心的軸按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),的旋轉(zhuǎn)是正

四面體的對(duì)稱變換,這樣的變換有個(gè).另一方面,

繞任一條過正方體的對(duì)面中心的軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)也是正四面體的對(duì)稱變換,這樣的變換有3個(gè).

再加上恒等變換,共12個(gè)對(duì)稱變換.所以,正四面

體至少有12個(gè)對(duì)稱變換,且這些變換都是旋轉(zhuǎn).又

因?yàn)殓R面反射不是正四面體的對(duì)稱變換,所以

鏡面反射與上述12個(gè)旋轉(zhuǎn)的乘積也都不是正四

面體的對(duì)稱變換.由此可知,上述12個(gè)旋轉(zhuǎn)恰是正

四面體的全部對(duì)稱變換.這12個(gè)對(duì)稱變換用輪換的形

因此,正四面體的對(duì)稱變換群就是4次交代群.

設(shè)是數(shù)域上的一個(gè)元多項(xiàng)式.

如果集合的一個(gè)置換保持多項(xiàng)式

不變,則稱這個(gè)置換為多項(xiàng)式

的一個(gè)對(duì)稱變換.易知,多項(xiàng)式

的全體對(duì)稱變換關(guān)于變換的合成構(gòu)成

的一個(gè)子群,這個(gè)群稱為多項(xiàng)式的

對(duì)稱變換群.

例3

設(shè)是數(shù)域上的一個(gè)元多

項(xiàng)式.則多項(xiàng)式的對(duì)稱變換群等于

的充分必要條件是是元對(duì)稱多項(xiàng)式.

例4

試求多項(xiàng)式的對(duì)稱變換群.

解

我們用置換

表示將變到的變換.易知,多項(xiàng)式

的任一置換最多只能將與或與

互換.所以,多項(xiàng)式的對(duì)稱變換群

是由與生成的群,即.