八年級下冊 第一章第08講 模型構建專題：“手拉手”模型-共頂點的等腰三角形(3類熱點題型講練)（解析版）

第08講模型構建專題：“手拉手”模型——共頂點的等腰三角形(3類熱點題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【類型一共頂點的等邊三角形】 1【類型二共頂點的等腰直角三角形】 10【類型三共頂點的一般等腰三角形】 18【類型一共頂點的等邊三角形】例題：（2023上·內蒙古呼和浩特·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知點是上一點，、都是等邊三角形，連接交于點，連接交于點．(1)求證：(2)連接，判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)是等邊三角形，理由見解析【分析】本題考查全等三角形的判定及性質以及等邊三角形的判定和性質，（1）由等邊三角形可得其對應線段相等，對應角相等，證明，即可得證；（2）由（1）可得，繼而得到，證明，得，根據(jù)等邊三角形的判定即可得出結論；掌握全等三角形的判定和性質及等邊三角形的判定和性質是解題的關鍵．【詳解】（1）證明：∵與為等邊三角形，∴，，，∴，即，在和中，，∴；∴；（2）為等邊三角形．理由：∵，，∴，∵，即，在和中，，∴∴，∵，∴是等邊三角形．【變式訓練】1．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖1，等邊三角形和等邊三角形，連接，，其中．(1)求證：；(2)如圖2，當點在一條直線上時，交于點，交于點，求證：；(3)利用備用圖補全圖形，直線，交于點，連接，若，，直接寫出的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）由“”可證，可得；（2）由“”可證，可得；（3）如圖3，過點作于，于，由面積法可求，可證，由直角三角形的性質可求，由“”可證，可得，即可求解．【詳解】（1）證明：和是等邊三角形，，，，，在和中，，，；（2）證明：，，點在線段上，，，在和中，，，；（3）解：如圖3，過點作于，于，，，，，，，，，又，，，，，，，，，，，，．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．2．（2023上·廣西南寧·八年級?？计谥校?shù)學課上，張老師帶領學生們對課本一道習題層層深入研究．教材再現(xiàn)：如圖，，都是等邊三角形．求證：．(1)請寫出證明過程；繼續(xù)研究：(2)如圖，在圖的基礎上若與交于點，與交于點，與交于點，連接，求證：平分；(3)在（）的條件下再探索，，之間的數(shù)量關系，并證明．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)，理由見解析．【分析】（）根據(jù)等邊三角形性質得出，，，求出，根據(jù)證即可；（）過點分別作，，垂足為點，，由得到，從而，故有，根據(jù)角平分線判定即可求證；（）在上截取一點，使得，證明是等邊三角形，即可證明，從而得證．【詳解】（1）證明：∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，即，在和中，，∴，∴（2）如圖，過點分別作，，垂足為點，，由（）知：，，∴，∴，∴，∴點在的平分線上，即平分；（3），理由：如圖，在上截取一點，使得，由（）知：，∴，∴，在中，，∴由（）得：平分，∴，∴是等邊三角形，又是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了等邊三角形性質，三角形的面積，全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理的綜合運用，熟練掌握這些知識，學會運用數(shù)形結合的思想是解答的關鍵．3．（2023上·山西·八年級校聯(lián)考期中）已知是等邊三角形，為射線上一動點，連接，以為邊在直線右側作等邊三角形．(1)如圖1，當點在邊上時，連接，此時，，之間的數(shù)量關系為______，______；(2)如圖2，當點在的延長線上時，連接，（1）中，，之間的數(shù)量關系是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請寫出新的結論及證明過程；(3)如圖3，當點在射線上運動時，取的中點，連接，當?shù)闹底钚r，請直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)；(2)不成立，，證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質，證明，可得，，即可得到，，之間的數(shù)量關系；（2）同（1）中原理證明，可得，，之間新的數(shù)量關系；（3）本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，連接，取的中點，連接，根據(jù)，證明，則可得，當時，取最小值，則此時也去最小值，即可求得此時的值，見手拉手模型則考慮證全等，將轉換到中等量的中線看最小值，是解題的關鍵．【詳解】（1）解：是等邊三角形，是等邊三角形，，，，，即，在與中，，，，，，即，故答案為：；；（2）不成立，，證明如下：證明：是等邊三角形，是等邊三角形，，，，，即，在與中，，，，，即；（3）解：如圖，連接，取的中點，連接，根據(jù)（1）中原理，可得，，，點是的中點，點是的中點，，在與中，，，，當時，取最小值，此時也取得最小值，此時，故當?shù)闹底钚r，的度數(shù)為．【類型二共頂點的等腰直角三角形】例題：（2023春·全國·八年級專題練習）和△ADE都是等腰直角三角形，．(1)如圖1，點D、E在，上，則，滿足怎樣的數(shù)量關系和位置關系？（直接寫出答案不證明）(2)如圖2，點D在內部，點E在外部，連接，，則，滿足怎樣的數(shù)量關系和位置關系？請說明理由．【答案】(1)，(2)，，理由見解析【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形結合線段的和差即可得到結論；（2）延長，分別交、于F、G，證明，根據(jù)全等三角形的性質、垂直的定義解答；【詳解】（1）解：∵和△ADE都是等腰直角三角形，，∴，，∴，即，∵點D，E在，上，，∴；（2），，理由如下：延長，分別交、于F、G，∵和△ADE都是等腰直角三角形，，∴，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，即；【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查的是等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質，掌握相關的判定定理和性質定理是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·八年級課時練習）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，與均為等腰直角三角形，，則線段、的數(shù)量關系為_______，、所在直線的位置關系為________；（2）深入探究：在（1）的條件下，若點A，E，D在同一直線上，為中邊上的高，請判斷的度數(shù)及線段，，之間的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】（1），；（2），；理由見解析【分析】（1）延長交于點H，交于點O．只要證明，即可解決問題；（2）由，結合等腰三角形的性質和直角三角形的性質，即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖1中，延長交于點H，交于點O，∵和均為等腰直角三角形，，∴，，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴．故答案為：，．（2），；理由如下：如圖2中，∵和均為等腰直角三角形，，∴，∴，由（1）可知：，∴，，∴；在等腰直角三角形中，為斜邊上的高，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題．2．（2023秋·山東日照·八年級?？茧A段練習）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，點D是直線BC上的一動點（點D不與B，C重合），連接CE．（1）在圖1中，當點D在邊BC上時，求證：BC=CE+CD；（2）在圖2中，當點D在邊BC的延長線上時，結論BC=CE+CD是否還成立？若不成立，請猜想BC，CE，CD之間存在的數(shù)量關系，并說明理由；（3）在圖3中，當點D在邊BC的反向延長線上時，不需寫證明過程，直接寫出BC，CE，CD之間存在的數(shù)量關系及直線CE與直線BC的位置關系．

【答案】（1）見解析；（2）結論BC=CE+CD不成立，猜想BC=CE-CD，理由見解析；（3）；，理由見解析【分析】（1）證明△BAD≌△CAE（SAS），可得BD=CE，即可證得BC=BD+CD=CE+CD成立；（2）同樣證明△BAD≌△CAE（SAS），可得BD=CE，即可證得成立，故BC=CE+CD不成立；（3）補全圖形，同樣證明△BAD≌△CAE（SAS），利用全等三角形的性質即可作出結論：；．【詳解】（1）證明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形∴AB=AC，AD=AE，∴∴

∴△BAD≌△CAE（SAS）∴BD=CE∴BC=BD+CD=CE+CD（2）結論BC=CE+CD不成立，猜想BC=CE-CD，理由如下：又∵AB=AC，AD=AE（3）；；理由如下：補全圖形如圖3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴∠ABD=135°，由（1）同理可得，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∠ACE=∠ABD=135°，∴BC=CD-BD=CD-CE，∠BCE=90°，即，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質，熟練掌握等腰直角三角形的性質，證明三角形全等是解答的關鍵．3．（2023春·全國·七年級期中）如圖，與為等腰直角三角形，，，，，連接、．(1)如圖，若，，求的度數(shù)；(2)如圖，若、、三點共線，與交于點，且，，求的面積；(3)如圖，與的延長線交于點，若，延長與交于點，在上有一點且，連接，請猜想、、之間的數(shù)量關系并證明你的猜想．【答案】(1)(2)(3)，理由見解析【分析】（1）證明△ACD≌△BCE（SAS），利用全等三角形的性質以及三角形內角和定理即可解決問題．（2）如圖2中，過點C作CQ⊥DE于Q．證明△CQF≌△BEF（AAS），推出CQ=BE=3，QF=EF，求出EF，可得結論．（3）如圖3中，結論：CN+MN=BG．如圖過點B作BT⊥BC交CN的延長線于T．證明△CBT≌△BCG（ASA），△BNM≌△BNT（SAS），利用全等三角形的性質，可得結論．【詳解】（1）解：如圖中，，，，在和中，，≌，，，，，，；（2）如圖中，過點作于．同理可得：≌，，，，，，在和中，，≌，，，，，；（3）如圖中，結論：．理由：如圖過點作交的延長線于，，，，，同理：≌，，，，，在和中，，≌，，，，，在和中，，≌，，．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形的面積等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．【類型三共頂點的一般等腰三角形】例題：（2023秋·廣東·八年級校聯(lián)考期末）若和均為等腰三角形，且，當和互余時，稱與互為“底余等腰三角形”，的邊BC上的高AH叫做的“余高”．(1)如圖1，與互為“底余等腰三角形”，若連接，，判斷與是否互為“底余等腰三角形”：______（填“是”或“否”）；(2)如圖1，與互為“底余等腰三角形”，當時，若的“余高”是．①請用直尺和圓規(guī)作出；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）②求證：．(3)如圖2，當時，與互為“底余等腰三角形”，連接、，若，，請直接寫出的長．【答案】(1)是(2)見詳解(3)5【分析】（1）根據(jù)題意可得，，四邊形內角和為，求出即可證明．（2）①用直尺和圓規(guī)作出，如圖；②過點A作，證明即可證明結論．（3）過點A作，根據(jù)（2）可知，再根據(jù)勾股定理可得．【詳解】（1）∵與互為“底余等腰三角形”，∴，，∴，∵四邊形內角和是，∴，∴，∴與互為“底余等腰三角形”；故答案為：是．（2）①用直尺和圓規(guī)作出，如圖，②過點A作，∵，，∴，又∵，，∴∴又∵∴（3）過點A作，根據(jù)等腰三角形的性質可得：∴根據(jù)（2）可知，根據(jù)勾股定理可得．【點睛】此題考查了等腰三角形的性質，三角形全等，解題的關鍵是熟悉等腰三角形的性質和三角形全等的判定．【變式訓練】1．（2023秋·遼寧撫順·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知中，．分別以、為腰在左側、右側作等腰三角形．等腰三角形，連接、．

(1)如圖1，當時，①、的形狀是____________；②求證：．(2)若，①如圖2，當時，是否仍然成立？請寫出你的結論并說明理由；②如圖3，當時，是否仍然成立？請寫出你的結論并說明理由．【答案】(1)①等邊三角形；②證明見解析(2)①成立，理由見解析；②不成立，理由見解析【分析】（1）①根據(jù)有一個內角是60度的等腰三角形是等邊三角形即可求解；②根據(jù)等邊三角形的性質可得，，，證明，根據(jù)全等三角形的性質即可證明；（2）①證明，根據(jù)全等三角形的性質即可得出結論；②根據(jù)已知可得與不全等，即可得出結論．【詳解】（1）①∵是等腰三角形，是等腰三角形，∴、是等邊三角形，故答案為：等邊三角形．②證明：∵、是等邊三角形，∴，，，∵，，∴，在△BAE與△DAC中，∵，∴．∴．（2）①當，時，成立．理由：如圖，∵，，，

∴，∴；②當，時，不成立．理由：如圖，∵，

∴，，∴與不全等，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，等邊三角形的判定與性質等，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．2．（2023秋·全國·八年級專題練習）定義：頂角相等且頂點重合的兩個等腰三角形叫做“同源三角形”，我們稱這兩個頂角為“同源角”．如圖，和為“同源三角形”，，，與為“同源角”．(1)如圖1，和為“同源三角形”，試判斷與的數(shù)量關系，并說明理由．(2)如圖2，若“同源三角形”和上的點，，在同一條直線上，且，則______°．(3)如圖3，和為“同源三角形”，且“同源角”的度數(shù)為90°時，分別取，的中點，，連接，，，試說明是等腰直角三角形．【答案】(1)，詳見解析(2)45(3)詳見解析【分析】（1）由“同源三角形”的定義可證，然后根據(jù)證明即可；（2）由“同源三角形”的定義和可求出，由（1）可知，得，然后根據(jù)“8”子三角形即可求出的度數(shù)；（3）由（1）可知，可得，．根據(jù)證明，可得，，進而可證結論成立．【詳解】（1）．理由：因為和是“同源三角形”，所以，所以．在和中，所以．所以．（2）∵和是“同源三角形”，∴．∵，∴．由（1）可知，∴．∵，∴．故答案為：45；

（3）由（