八年級(jí)下冊(cè) 第一章第08講 模型構(gòu)建專題：“手拉手”模型-共頂點(diǎn)的等腰三角形(3類熱點(diǎn)題型講練)（解析版）

第08講模型構(gòu)建專題：“手拉手”模型——共頂點(diǎn)的等腰三角形(3類熱點(diǎn)題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【類型一共頂點(diǎn)的等邊三角形】 1【類型二共頂點(diǎn)的等腰直角三角形】 10【類型三共頂點(diǎn)的一般等腰三角形】 18【類型一共頂點(diǎn)的等邊三角形】例題：（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知點(diǎn)是上一點(diǎn)，、都是等邊三角形，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．(1)求證：(2)連接，判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)是等邊三角形，理由見解析【分析】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)以及等邊三角形的判定和性質(zhì)，（1）由等邊三角形可得其對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，證明，即可得證；（2）由（1）可得，繼而得到，證明，得，根據(jù)等邊三角形的判定即可得出結(jié)論；掌握全等三角形的判定和性質(zhì)及等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵與為等邊三角形，∴，，，∴，即，在和中，，∴；∴；（2）為等邊三角形．理由：∵，，∴，∵，即，在和中，，∴∴，∵，∴是等邊三角形．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，等邊三角形和等邊三角形，連接，，其中．(1)求證：；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在一條直線上時(shí)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：；(3)利用備用圖補(bǔ)全圖形，直線，交于點(diǎn)，連接，若，，直接寫出的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）由“”可證，可得；（2）由“”可證，可得；（3）如圖3，過點(diǎn)作于，于，由面積法可求，可證，由直角三角形的性質(zhì)可求，由“”可證，可得，即可求解．【詳解】（1）證明：和是等邊三角形，，，，，在和中，，，；（2）證明：，，點(diǎn)在線段上，，，在和中，，，；（3）解：如圖3，過點(diǎn)作于，于，，，，，，，，，又，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·廣西南寧·八年級(jí)?？计谥校?shù)學(xué)課上，張老師帶領(lǐng)學(xué)生們對(duì)課本一道習(xí)題層層深入研究．教材再現(xiàn)：如圖，，都是等邊三角形．求證：．(1)請(qǐng)寫出證明過程；繼續(xù)研究：(2)如圖，在圖的基礎(chǔ)上若與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接，求證：平分；(3)在（）的條件下再探索，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)，理由見解析．【分析】（）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出，，，求出，根據(jù)證即可；（）過點(diǎn)分別作，，垂足為點(diǎn)，，由得到，從而，故有，根據(jù)角平分線判定即可求證；（）在上截取一點(diǎn)，使得，證明是等邊三角形，即可證明，從而得證．【詳解】（1）證明：∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，即，在和中，，∴，∴（2）如圖，過點(diǎn)分別作，，垂足為點(diǎn)，，由（）知：，，∴，∴，∴，∴點(diǎn)在的平分線上，即平分；（3），理由：如圖，在上截取一點(diǎn)，使得，由（）知：，∴，∴，在中，，∴由（）得：平分，∴，∴是等邊三角形，又是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形性質(zhì)，三角形的面積，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理的綜合運(yùn)用，熟練掌握這些知識(shí)，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想是解答的關(guān)鍵．3．（2023上·山西·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知是等邊三角形，為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊在直線右側(cè)作等邊三角形．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，連接，此時(shí)，，之間的數(shù)量關(guān)系為______，______；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，連接，（1）中，，之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)寫出新的結(jié)論及證明過程；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，取的中點(diǎn)，連接，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)；(2)不成立，，證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，證明，可得，，即可得到，，之間的數(shù)量關(guān)系；（2）同（1）中原理證明，可得，，之間新的數(shù)量關(guān)系；（3）本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，連接，取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)，證明，則可得，當(dāng)時(shí)，取最小值，則此時(shí)也去最小值，即可求得此時(shí)的值，見手拉手模型則考慮證全等，將轉(zhuǎn)換到中等量的中線看最小值，是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：是等邊三角形，是等邊三角形，，，，，即，在與中，，，，，，即，故答案為：；；（2）不成立，，證明如下：證明：是等邊三角形，是等邊三角形，，，，，即，在與中，，，，，即；（3）解：如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)（1）中原理，可得，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，在與中，，，，當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)也取得最小值，此時(shí)，故當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)為．【類型二共頂點(diǎn)的等腰直角三角形】例題：（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）和△ADE都是等腰直角三角形，．(1)如圖1，點(diǎn)D、E在，上，則，滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？（直接寫出答案不證明）(2)如圖2，點(diǎn)D在內(nèi)部，點(diǎn)E在外部，連接，，則，滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，(2)，，理由見解析【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形結(jié)合線段的和差即可得到結(jié)論；（2）延長，分別交、于F、G，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、垂直的定義解答；【詳解】（1）解：∵和△ADE都是等腰直角三角形，，∴，，∴，即，∵點(diǎn)D，E在，上，，∴；（2），，理由如下：延長，分別交、于F、G，∵和△ADE都是等腰直角三角形，，∴，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，即；【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，與均為等腰直角三角形，，則線段、的數(shù)量關(guān)系為_______，、所在直線的位置關(guān)系為________；（2）深入探究：在（1）的條件下，若點(diǎn)A，E，D在同一直線上，為中邊上的高，請(qǐng)判斷的度數(shù)及線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1），；（2），；理由見解析【分析】（1）延長交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)O．只要證明，即可解決問題；（2）由，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖1中，延長交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)O，∵和均為等腰直角三角形，，∴，，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴．故答案為：，．（2），；理由如下：如圖2中，∵和均為等腰直角三角形，，∴，∴，由（1）可知：，∴，，∴；在等腰直角三角形中，為斜邊上的高，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．2．（2023秋·山東日照·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，點(diǎn)D是直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），連接CE．（1）在圖1中，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證：BC=CE+CD；（2）在圖2中，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上時(shí)，結(jié)論BC=CE+CD是否還成立？若不成立，請(qǐng)猜想BC，CE，CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）在圖3中，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的反向延長線上時(shí)，不需寫證明過程，直接寫出BC，CE，CD之間存在的數(shù)量關(guān)系及直線CE與直線BC的位置關(guān)系．

【答案】（1）見解析；（2）結(jié)論BC=CE+CD不成立，猜想BC=CE-CD，理由見解析；（3）；，理由見解析【分析】（1）證明△BAD≌△CAE（SAS），可得BD=CE，即可證得BC=BD+CD=CE+CD成立；（2）同樣證明△BAD≌△CAE（SAS），可得BD=CE，即可證得成立，故BC=CE+CD不成立；（3）補(bǔ)全圖形，同樣證明△BAD≌△CAE（SAS），利用全等三角形的性質(zhì)即可作出結(jié)論：；．【詳解】（1）證明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形∴AB=AC，AD=AE，∴∴

∴△BAD≌△CAE（SAS）∴BD=CE∴BC=BD+CD=CE+CD（2）結(jié)論BC=CE+CD不成立，猜想BC=CE-CD，理由如下：又∵AB=AC，AD=AE（3）；；理由如下：補(bǔ)全圖形如圖3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴∠ABD=135°，由（1）同理可得，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∠ACE=∠ABD=135°，∴BC=CD-BD=CD-CE，∠BCE=90°，即，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解答的關(guān)鍵．3．（2023春·全國·七年級(jí)期中）如圖，與為等腰直角三角形，，，，，連接、．(1)如圖，若，，求的度數(shù)；(2)如圖，若、、三點(diǎn)共線，與交于點(diǎn)，且，，求的面積；(3)如圖，與的延長線交于點(diǎn)，若，延長與交于點(diǎn)，在上有一點(diǎn)且，連接，請(qǐng)猜想、、之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的猜想．【答案】(1)(2)(3)，理由見解析【分析】（1）證明△ACD≌△BCE（SAS），利用全等三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理即可解決問題．（2）如圖2中，過點(diǎn)C作CQ⊥DE于Q．證明△CQF≌△BEF（AAS），推出CQ=BE=3，QF=EF，求出EF，可得結(jié)論．（3）如圖3中，結(jié)論：CN+MN=BG．如圖過點(diǎn)B作BT⊥BC交CN的延長線于T．證明△CBT≌△BCG（ASA），△BNM≌△BNT（SAS），利用全等三角形的性質(zhì)，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖中，，，，在和中，，≌，，，，，，；（2）如圖中，過點(diǎn)作于．同理可得：≌，，，，，，在和中，，≌，，，，，；（3）如圖中，結(jié)論：．理由：如圖過點(diǎn)作交的延長線于，，，，，同理：≌，，，，，在和中，，≌，，，，，在和中，，≌，，．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．【類型三共頂點(diǎn)的一般等腰三角形】例題：（2023秋·廣東·八年級(jí)校聯(lián)考期末）若和均為等腰三角形，且，當(dāng)和互余時(shí)，稱與互為“底余等腰三角形”，的邊BC上的高AH叫做的“余高”．(1)如圖1，與互為“底余等腰三角形”，若連接，，判斷與是否互為“底余等腰三角形”：______（填“是”或“否”）；(2)如圖1，與互為“底余等腰三角形”，當(dāng)時(shí)，若的“余高”是．①請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作出；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）②求證：．(3)如圖2，當(dāng)時(shí)，與互為“底余等腰三角形”，連接、，若，，請(qǐng)直接寫出的長．【答案】(1)是(2)見詳解(3)5【分析】（1）根據(jù)題意可得，，四邊形內(nèi)角和為，求出即可證明．（2）①用直尺和圓規(guī)作出，如圖；②過點(diǎn)A作，證明即可證明結(jié)論．（3）過點(diǎn)A作，根據(jù)（2）可知，再根據(jù)勾股定理可得．【詳解】（1）∵與互為“底余等腰三角形”，∴，，∴，∵四邊形內(nèi)角和是，∴，∴，∴與互為“底余等腰三角形”；故答案為：是．（2）①用直尺和圓規(guī)作出，如圖，②過點(diǎn)A作，∵，，∴，又∵，，∴∴又∵∴（3）過點(diǎn)A作，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得：∴根據(jù)（2）可知，根據(jù)勾股定理可得．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等，解題的關(guān)鍵是熟悉等腰三角形的性質(zhì)和三角形全等的判定．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·遼寧撫順·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知中，．分別以、為腰在左側(cè)、右側(cè)作等腰三角形．等腰三角形，連接、．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，①、的形狀是____________；②求證：．(2)若，①如圖2，當(dāng)時(shí)，是否仍然成立？請(qǐng)寫出你的結(jié)論并說明理由；②如圖3，當(dāng)時(shí)，是否仍然成立？請(qǐng)寫出你的結(jié)論并說明理由．【答案】(1)①等邊三角形；②證明見解析(2)①成立，理由見解析；②不成立，理由見解析【分析】（1）①根據(jù)有一個(gè)內(nèi)角是60度的等腰三角形是等邊三角形即可求解；②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，，，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；（2）①證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②根據(jù)已知可得與不全等，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）①∵是等腰三角形，是等腰三角形，∴、是等邊三角形，故答案為：等邊三角形．②證明：∵、是等邊三角形，∴，，，∵，，∴，在△BAE與△DAC中，∵，∴．∴．（2）①當(dāng)，時(shí)，成立．理由：如圖，∵，，，

∴，∴；②當(dāng)，時(shí)，不成立．理由：如圖，∵，

∴，，∴與不全等，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）定義：頂角相等且頂點(diǎn)重合的兩個(gè)等腰三角形叫做“同源三角形”，我們稱這兩個(gè)頂角為“同源角”．如圖，和為“同源三角形”，，，與為“同源角”．(1)如圖1，和為“同源三角形”，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)如圖2，若“同源三角形”和上的點(diǎn)，，在同一條直線上，且，則______°．(3)如圖3，和為“同源三角形”，且“同源角”的度數(shù)為90°時(shí)，分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，試說明是等腰直角三角形．【答案】(1)，詳見解析(2)45(3)詳見解析【分析】（1）由“同源三角形”的定義可證，然后根據(jù)證明即可；（2）由“同源三角形”的定義和可求出，由（1）可知，得，然后根據(jù)“8”子三角形即可求出的度數(shù)；（3）由（1）可知，可得，．根據(jù)證明，可得，，進(jìn)而可證結(jié)論成立．【詳解】（1）．理由：因?yàn)楹褪恰巴慈切巍?，所以，所以．在和中，所以．所以．?）∵和是“同源三角形”，∴．∵，∴．由（1）可知，∴．∵，∴．故答案為：45；

（3）由（