2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)2019試題9.4向量應(yīng)用

課時跟蹤檢測（十）9.4向量應(yīng)用基礎(chǔ)練1．人騎自行車的速度是v1，風(fēng)速為v2，則逆風(fēng)行駛的速度為()A．v1－v2 B．v1＋v2C．|v1|－|v2| D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(v1,v2)))解析：選B由向量的加法法則可得逆風(fēng)行駛的速度為v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一個向量．故選B.2．已知三個力F1＝(－2，－1)，F(xiàn)2＝(－3,2)，F(xiàn)3＝(4，－3)同時作用于某物體上一點(diǎn)，為使物體保持平衡，再加上一個力F4，則F4＝()A．(－1，－2) B．(1，－2)C．(－1,2) D．(1,2)解析：選D由物理知識知F1＋F2＋F3＋F4＝0，故F4＝－(F1＋F2＋F3)＝(1,2)．故選D.3．如果一架飛機(jī)向東飛行200km，再向南飛行300km，記飛機(jī)飛行的路程為s，位移為a，那么()A．s＞|a| B．s＜|a|C．s＝|a| D．s與|a|不能比大小解析：選As＝200＋300＝500(km)，|a|＝eq\r(2002＋3002)＝100eq\r(13)(km)，∴s＞|a|.故選A.4．已知兩個大小相等的共點(diǎn)力F1，F(xiàn)2，當(dāng)它們的夾角為90°時，合力大小為20N，當(dāng)它們的夾角為120°時，合力大小為()A．40N B．10eq\r(2)NC．20eq\r(2)N D．40eq\r(2)N解析：選B如圖，以F1，F(xiàn)2為鄰邊作平行四邊形，F(xiàn)為這兩個力的合力．由題意，易知當(dāng)它們的夾角為90°時，|F|＝eq\r(2)|F1|＝20N，∴|F1|＝|F2|＝10eq\r(2)N．當(dāng)它們的夾角為120°時，以F1，F(xiàn)2為鄰邊的平行四邊形為菱形，此時|F|＝|F1|＝10eq\r(2)N．故選B.5．在△ABC中，若|eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(AC,\s\up7(―→))|＝|eq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\o(AC,\s\up7(―→))|，則△ABC的形狀是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形解析：選B由|eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(AC,\s\up7(―→))|＝|eq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\o(AC,\s\up7(―→))|得|eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(AC,\s\up7(―→))|2＝|eq\o(AB,\s\up7(―→))－eq\o(AC,\s\up7(―→))|2，即eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(AC,\s\up7(―→))＝0，∴eq\o(AB,\s\up7(―→))⊥eq\o(AC,\s\up7(―→)).∴∠A＝90°，即△ABC為直角三角形．故選B.6．一條河寬400m，一船從A出發(fā)垂直到達(dá)正對岸的B處，船速為20km/h，水速為12km/h，則船到達(dá)B處所需時間為________．解析：合速度|v合|＝eq\r(202－122)＝16(km/h)＝eq\f(800,3)(m/min)，∴t＝400÷eq\f(800,3)＝1.5(min)．答案：1.5min7．已知A，B是圓心為C，半徑為eq\r(5)的圓上的兩點(diǎn)，且|AB|＝eq\r(5)，則eq\o(AC,\s\up7(―→))·eq\o(CB,\s\up7(―→))＝________.解析：由弦長|AB|＝eq\r(5)，可知∠ACB＝60°，故eq\o(AC,\s\up7(―→))·eq\o(CB,\s\up7(―→))＝－eq\o(CA,\s\up7(―→))·eq\o(CB,\s\up7(―→))＝－|eq\o(CA,\s\up7(―→))||eq\o(CB,\s\up7(―→))|cos∠ACB＝－eq\f(5,2).答案：－eq\f(5,2)8．已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(OA,\s\up7(―→))＝a－b，eq\o(OB,\s\up7(―→))＝a＋b，若△OAB是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則△OAB的面積為________．解析：由題意，得|a|＝1，又△OAB是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，所以eq\o(OA,\s\up7(―→))⊥eq\o(OB,\s\up7(―→))，|eq\o(OA,\s\up7(―→))|＝|eq\o(OB,\s\up7(―→))|.由eq\o(OA,\s\up7(―→))⊥eq\o(OB,\s\up7(―→))得(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝0，所以|a|＝|b|，由|eq\o(OA,\s\up7(―→))|＝|eq\o(OB,\s\up7(―→))|得|a－b|＝|a＋b|，所以a·b＝0，所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＝2，所以|eq\o(OA,\s\up7(―→))|＝|eq\o(OB,\s\up7(―→))|＝eq\r(2)，所以S△OAB＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝1.答案：19.如圖所示，若D是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求證：AD⊥BC.證明：設(shè)eq\o(AB,\s\up7(―→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(―→))＝b，eq\o(AD,\s\up7(―→))＝e，eq\o(DB,\s\up7(―→))＝c，eq\o(DC,\s\up7(―→))＝d，則a＝e＋c，b＝e＋d，所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.由已知可得a2－b2＝c2－d2，所以e·(c－d)＝0.因?yàn)閑q\o(BC,\s\up7(―→))＝eq\o(BD,\s\up7(―→))＋eq\o(DC,\s\up7(―→))＝d－c，所以eq\o(AD,\s\up7(―→))·eq\o(BC,\s\up7(―→))＝e·(d－c)＝0所以eq\o(AD,\s\up7(―→))⊥eq\o(BC,\s\up7(―→))，即AD⊥BC.10.如圖所示，用兩根分別長5eq\r(2)m和10m的繩子將100N的物體吊在水平屋頂AB上，平衡后G點(diǎn)距屋頂?shù)木嚯x恰好為5m，求A處受力的大?。猓河梢阎獥l件可知AG與垂直方向成45°角，BG與垂直方向成60°角，設(shè)A處所受的力為Fa，B處所受的力為Fb，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|Fa|cos45°＝|Fb|cos30°，,|Fa|sin45°＋|Fb|sin30°＝100.))解得|Fa|＝150eq\r(2)－50eq\r(6).故A處受力的大小為(150eq\r(2)－50eq\r(6))N.拓展練1．已知一物體在共點(diǎn)力F1＝(lg2，lg2)，F(xiàn)2＝(lg5，lg2)的作用下產(chǎn)生位移s＝(2lg5,1)，則共點(diǎn)力對物體做的功W為()A．lg2 B．lg5C．1 D．2解析：選DW＝(F1＋F2)·s＝(lg2＋lg5,2lg2)·(2lg5，1)＝(1,2lg2)·(2lg5,1)＝2lg5＋2lg2＝2.故選D.2．已知△ABC滿足eq\o(AB,\s\up7(―→))2＝eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(AC,\s\up7(―→))＋eq\o(BA,\s\up7(―→))·eq\o(BC,\s\up7(―→))＋eq\o(CA,\s\up7(―→))·eq\o(CB,\s\up7(―→))，則△ABC是()A．等邊三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．鈍角三角形解析：選C由題意得，eq\o(AB,\s\up7(―→))2＝eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(AC,\s\up7(―→))＋eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(CB,\s\up7(―→))＋eq\o(CA,\s\up7(―→))·eq\o(CB,\s\up7(―→))＝eq\o(AB,\s\up7(―→))·(eq\o(AC,\s\up7(―→))＋eq\o(CB,\s\up7(―→)))＋eq\o(CA,\s\up7(―→))·eq\o(CB,\s\up7(―→))＝eq\o(AB,\s\up7(―→))2＋eq\o(CA,\s\up7(―→))·eq\o(CB,\s\up7(―→))，∴eq\o(CA,\s\up7(―→))·eq\o(CB,\s\up7(―→))＝0，∴eq\o(CA,\s\up7(―→))⊥eq\o(CB,\s\up7(―→))，∴△ABC是直角三角形．故選C.3.如圖，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(AF,\s\up7(―→))＝eq\r(2)，則eq\o(AE,\s\up7(―→))·eq\o(BF,\s\up7(―→))的值是()A.eq\r(2) B．2C．0 D．1解析：選A∵eq\o(AF,\s\up7(―→))＝eq\o(AD,\s\up7(―→))＋eq\o(DF,\s\up7(―→))，eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(AF,\s\up7(―→))＝eq\o(AB,\s\up7(―→))·(eq\o(AD,\s\up7(―→))＋eq\o(DF,\s\up7(―→)))＝eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(AD,\s\up7(―→))＋eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(DF,\s\up7(―→))＝eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(DF,\s\up7(―→))＝eq\r(2)|eq\o(DF,\s\up7(―→))|＝eq\r(2)，∴|eq\o(DF,\s\up7(―→))|＝1，|eq\o(CF,\s\up7(―→))|＝eq\r(2)－1，∴eq\o(AE,\s\up7(―→))·eq\o(BF,\s\up7(―→))＝(eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(BE,\s\up7(―→)))·(eq\o(BC,\s\up7(―→))＋eq\o(CF,\s\up7(―→)))＝eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(CF,\s\up7(―→))＋eq\o(BE,\s\up7(―→))·eq\o(BC,\s\up7(―→))＝－eq\r(2)(eq\r(2)－1)＋1×2＝－2＋eq\r(2)＋2＝eq\r(2).故選A.4.如圖，設(shè)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且2eq\o(PA,\s\up7(―→))＋2eq\o(PB,\s\up7(―→))＋eq\o(PC,\s\up7(―→))＝0，則S△ABP∶S△ABC＝()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,3)解析：選A設(shè)AB的中點(diǎn)是D，∵eq\o(PA,\s\up7(―→))＋eq\o(PB,\s\up7(―→))＝2eq\o(PD,\s\up7(―→))＝－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up7(―→))，∴eq\o(PD,\s\up7(―→))＝－eq\f(1,4)eq\o(PC,\s\up7(―→))，∴P為CD的五等分點(diǎn)，∴△ABP的面積為△ABC的面積的eq\f(1,5).故選A.5．若平面向量α，β滿足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β為鄰邊的平行四邊形的面積為eq\f(1,2)，則α與β的夾角θ的取值范圍是________．解析：根據(jù)題意得|α||β|sinθ＝eq\f(1,2).又|α|＝1，|β|≤1，∴eq\f(1,2)≤sinθ≤1，∴eq\f(π,6)≤θ≤eq\f(5π,6).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))6．四邊形ABCD中，已知eq\o(AB,\s\up7(―→))＝eq\o(DC,\s\up7(―→))＝(1,1)且eq\f(\o(BA,\s\up7(―→)),|\o(BA,\s\up7(―→))|)＋eq\f(\o(BC,\s\up7(―→)),|\o(BC,\s\up7(―→))|)＝eq\f(\r(2)\o(BD,\s\up7(―→)),|\o(BD,\s\up7(―→))|)，則此四邊形的面積等于________．解析：∵eq\o(AB,\s\up7(―→))＝eq\o(DC,\s\up7(―→))，∴四邊形ABCD是平行四邊形．對eq\f(\o(BA,\s\up7(―→)),|\o(BA,\s\up7(―→))|)＋eq\f(\o(BC,\s\up7(―→)),|\o(BC,\s\up7(―→))|)＝eq\f(\r(2)\o(BD,\s\up7(―→)),|\o(BD,\s\up7(―→))|)兩邊平方得1＋1＋eq\f(2\o(BA,\s\up7(―→))·\o(BC,\s\up7(―→)),|\o(BA,\s\up7(―→))||\o(BC,\s\up7(―→))|)＝2，∴eq\o(BA,\s\up7(―→))·eq\o(BC,\s\up7(―→))＝0，∴BA⊥BC，且BA＝BC，∴四邊形ABCD是正方形，且|eq\o(AB,\s\up7(―→))|＝eq\r(2)，∴四邊形ABCD的面積為2.答案：27．已知四邊形ABCD是菱形，AC和BD是它的兩條對角線．求證：AC⊥BD.證明：法一：∵eq\o(AC,\s\up7(―→))＝eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(AD,\s\up7(―→))，eq\o(BD,\s\up7(―→))＝eq\o(AD,\s\up7(―→))－eq\o(AB,\s\up7(―→))，∴eq\o(AC,\s\up7(―→))·eq\o(BD,\s\up7(―→))＝(eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(AD,\s\up7(―→)))·(eq\o(AD,\s\up7(―→))－eq\o(AB,\s\up7(―→)))＝|eq\o(AD,\s\up7(―→))|2－|eq\o(AB,\s\up7(―→))|2＝0.∴eq\o(AC,\s\up7(―→))⊥eq\o(BD,\s\up7(―→))，即AC⊥BD.法二：解答本題還可以用坐標(biāo)法，解法如下．如圖，以BC所在直線為x軸，以B為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則B(0,0)，設(shè)A(a，b)，C(c,0)，則由|AB|＝|BC|得a2＋b2＝c2.∵eq\o(AC,\s\up7(―→))＝eq\o(BC,\s\up7(―→))－eq\o(BA,\s\up7(―→))＝(c,0)－(a，b)＝(c－a，－b)，eq\o(BD,\s\up7(―→))＝eq\o(BA,\s\up7(―→))＋eq\o(BC,\s\up7(―→))＝(a，b)＋(c,0)＝(c＋a，b)，∴eq\o(AC,\s\up7(―→))·eq\o(BD,\s\up7(―→))＝c2－a2－b2＝0.∴eq\o(AC,\s\up7(―→