解決“分段計費”問題的三個步驟

解決“分段計費”問題的三個步驟【摘

要】“分段計費”廣泛應(yīng)用于生活，是一種具有現(xiàn)實意義的數(shù)學(xué)知識。對該類問題的探究，能夠幫助學(xué)生鞏固小數(shù)乘法的基礎(chǔ)知識，積累解決問題的活動經(jīng)驗。在數(shù)學(xué)文化進課堂理念的引領(lǐng)下，以解決“分段計費”問題的三個步驟為線索，從數(shù)學(xué)文化角度出發(fā)，挖掘其中的德育、智育、美育教學(xué)資源，遵循“數(shù)學(xué)思考—數(shù)學(xué)創(chuàng)造—數(shù)學(xué)欣賞—數(shù)學(xué)應(yīng)用”的探究模式開展教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在習(xí)得“分段計費”相關(guān)知識的過程中，體會勤儉節(jié)約、保護環(huán)境的美好品德，發(fā)現(xiàn)車費與行駛里程間“變與不變”的關(guān)系，感悟生活中的函數(shù)思想。【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)文化教學(xué)；分段計費；德育；智育；美育【教學(xué)思考】“分段計費”是人教版教材五年級上冊“小數(shù)乘法”單元的教學(xué)內(nèi)容。本單元教材編排了小數(shù)乘整數(shù)、小數(shù)乘小數(shù)、積的近似數(shù)、整數(shù)乘法運算定律推廣到小數(shù)和解決問題等內(nèi)容。其中，為了培養(yǎng)和提高學(xué)生解決實際問題的能力，教材安排了“分段計費”的例題（例9），讓學(xué)生在實際背景的問題中，學(xué)會收集信息并選擇適合的方法來解決問題，在例題的學(xué)習(xí)中進一步掌握基礎(chǔ)知識、基本技能，提高小數(shù)的四則運算能力以及解決問題的能力，積累解決問題的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。例9結(jié)合本單元的數(shù)學(xué)知識和學(xué)生的生活實際，以“李叔叔乘出租車付費”為情境線索，設(shè)計了三個步驟引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷解決問題的過程。第一步“閱讀與理解”重在理解題意，特別是對計費標(biāo)準(zhǔn)的理解。第二步“分析與解答”結(jié)合小數(shù)乘整數(shù)以及加法進行列式并運算，呈現(xiàn)兩種解決問題的思路和方法：一種是借助線段圖來分段計算；一種是先假設(shè)再調(diào)整，先都按照每千米1.5元計算，再加上前3km少算的。第三步“回顧與反思”設(shè)置了表格，給出了行駛里程取不同整數(shù)的情況，讓學(xué)生填寫應(yīng)收取的出租車費用?；趯?shù)學(xué)文化教學(xué)資源的理解，依據(jù)例9及練習(xí)四第7題“某市自來水公司為鼓勵節(jié)約用水，采取按月分段計費的方法收取水費”來組織學(xué)習(xí)素材，從而讓學(xué)生在“分段計費”的學(xué)習(xí)中意識到節(jié)約資源的重要性，形成節(jié)約資源、不浪費的優(yōu)良道德品質(zhì)。解決例9的第一步“閱讀與理解”，擬采用摘錄條件的方法和畫線段圖的方式，將抽象的語言轉(zhuǎn)化為直觀圖解，彰顯了數(shù)學(xué)美，歸為美育資源；在滲透數(shù)形結(jié)合思想的同時探究行駛里程和計費金額之間變與不變的關(guān)系，并滲透函數(shù)思想，因此將其歸為智育資源。第二步“分析與解答”擬采取用線段圖表示行駛里程來計算車費的數(shù)形結(jié)合方式明確思維路徑，有利于探究解決問題的不同方法，歸為智育資源。第三步“回顧與反思”在回顧知識形成過程的同時，以表格形式直觀呈現(xiàn)問題與回答，歸為美育資源；進一步呈現(xiàn)行駛里程與出租車費的關(guān)系圖（實際為分段函數(shù)的圖象），深入滲透函數(shù)思想。五年級學(xué)生對生活中水費、電費、打車費等計費方式已有一定的了解，且在本單元的學(xué)習(xí)中，掌握了小數(shù)乘法的基礎(chǔ)知識，積累了解決問題的活動經(jīng)驗，形成了運用小數(shù)乘法解決問題的基本技能。但理解抽象的分段計費標(biāo)準(zhǔn)，對學(xué)生來說仍是一個難點?；谏鲜龇治?，筆者制訂了本內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)。1.德育目標(biāo)：聯(lián)系數(shù)學(xué)與生活，在解決分段計費問題的過程中培育節(jié)約資源的優(yōu)良道德品質(zhì)。2.智育目標(biāo)：鞏固小數(shù)乘法知識，重溫“單價×數(shù)量＝總價”的數(shù)學(xué)模型，在畫線段圖以及觀察計費圖式的實踐活動中，習(xí)得解決分段計費問題的一般方法，體悟數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)思想，發(fā)展幾何直觀素養(yǎng)。3.美育目標(biāo)：將文字表述轉(zhuǎn)化為圖表，簡潔呈現(xiàn)出租車行駛里程與車費之間的關(guān)系，感受數(shù)學(xué)圖形的美觀，在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解決問題的過程中體驗美好，體悟數(shù)學(xué)應(yīng)用于現(xiàn)實生活中的“完美”。【教學(xué)過程】v教學(xué)模塊1：數(shù)學(xué)思考活用教材中分段計費的生活情境，進一步深挖德育資源，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中其他分段計費問題，同時結(jié)合例9內(nèi)容展開“閱讀與理解”，圍繞教學(xué)目標(biāo)，使學(xué)生體會“數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活”，感悟到節(jié)約能源的重要性和必要性，初步厘清出租車分段計費的標(biāo)準(zhǔn)，由此制訂任務(wù)1和任務(wù)2。任務(wù)1：聯(lián)系收水電費等生活情境，理解分段計費的實際意義，初步感知模型思想。師：同學(xué)們，你們了解分段計費嗎？生活中，我們在哪些地方見到過分段計費？生：知道。水費、電費的收取就是分段計費。用水、用電越多，費用越高。［核心問題1］說一說怎么分段，為什么要進行分段計費。生：家里的電費超過一定度數(shù)，計費標(biāo)準(zhǔn)就不同了，因此我們要節(jié)約用電。生：還有打車費，它分成起步價和超過起步價的部分，兩者的計費方式不同。師：可見分段計費與我們的生活息息相關(guān)，實行分段計費能幫助我們減少浪費。這節(jié)課我們一起深入探究分段計費問題。任務(wù)2：剖析題目，厘清計費標(biāo)準(zhǔn)，發(fā)現(xiàn)“分段”變與不變的美妙。教師用課件出示例題：出租車的計價標(biāo)準(zhǔn)是3km以內(nèi)7元；超過3km的部分，每千米1.5元（不足1km按1km計算）。李叔叔乘坐出租車行駛了6.3km，需要付多少車費？師：題目中有哪些數(shù)學(xué)信息，怎么理解？生：題目中說“不足1km按1km計算”，以此類推，超過1km但不超過2km要按照2km算……所以題中的6.3km要按7km算。師：車費會有什么樣的變化？舉一個例子詳細說明。（同桌之間互相舉例說一說，教師巡視指導(dǎo)）生：路程小于3km時，無論是1km、2km還是2.3km，都需要支付7元；若路程超過3km，每增加1km，車費會多1.5元，比如行駛了3.1km或4km，就需要支付7+1.5=8.5（元）。實施效果：學(xué)生能夠理解生活中的分段計費問題，自主樹立節(jié)約資源的意識，明白分段計費的原因與必要性，實現(xiàn)了“培育節(jié)約資源的優(yōu)良道德品質(zhì)”的德育目標(biāo)；學(xué)生通過分組合作，在交流與表達中分析、理解題目，突破了理解所提煉的關(guān)鍵信息的難點，并能舉例子說明對分段計費標(biāo)準(zhǔn)的理解，發(fā)現(xiàn)分段計費問題中的變與不變，體會函數(shù)思想，初步達到“滲透思想方法”的智育目標(biāo)。v教學(xué)模塊2：數(shù)學(xué)創(chuàng)造繼續(xù)探究例9，圍繞教學(xué)目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生將文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，以深化對問題的理解，強化數(shù)形結(jié)合思想，體會創(chuàng)造知識的快樂，由此制訂任務(wù)3和任務(wù)4。任務(wù)3：數(shù)形結(jié)合，借助線段圖轉(zhuǎn)化題目，理解題意。［核心問題2］用什么方法表達能使題目中的數(shù)量關(guān)系更清晰？（學(xué)生獨立思考后與小組成員進行交流，選擇用線段圖表示數(shù)量關(guān)系，如圖1所示）生：可以用線段將路程分為兩段。第一段表示小于等于3km的路程，第二段表示超過3km的路程。線段終點表示7km，因為“不足1km按1km計算”。師：大家采用了文字、線段圖等多種方式來表示題目，其中線段圖是最受歡迎的，為什么？生：線段圖方便而且清晰。師：這兩段怎么計算？生：第一段只付7元，第二段每多1km加1.5元。任務(wù)4：小組合作探究，解決分段計費問題，體驗成功解決問題的美好。［核心問題3］根據(jù)這個計費標(biāo)準(zhǔn)，李叔叔應(yīng)該付多少元車費？（學(xué)生獨立思考后和小組成員分享思路和方法）生：我們結(jié)合線段圖知道，6.3km要按照7km來算。第一段7元，第二段超出了7-3=4km，4×1.5=6（元），最后相加，得出應(yīng)付13元。師：能給這種方法取個名字嗎？說說你的理由。生：分段計算法，這個名字可以提醒我們，要根據(jù)不同標(biāo)準(zhǔn)分段計算。師：還有其他方法嗎？生：首先將6.3km按照7km來算，假設(shè)按照每千米1.5元計算，7km共需支付10.5元；由于前面的3千米也是按照每千米1.5元計算的，只收了4.5元，應(yīng)補收7-4.5=2.5（元）。10.5+2.5=13（元），所以應(yīng)收13元。師：假設(shè)很關(guān)鍵，我們把這種方法叫作假設(shè)法。假設(shè)法需要注意什么？生：最后要補上少算的部分。實施效果：學(xué)生基于已有的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗采用多種方式表征題目，并踴躍參與討論，將題目的文字表征轉(zhuǎn)化為圖形表征，強化了對題意的理解，感受到了圖形的簡潔性。學(xué)生能夠利用線段圖，結(jié)合小數(shù)乘法的知識經(jīng)驗和“單價×數(shù)量＝總價”的數(shù)學(xué)模型，得出解決分段計費問題的不同方法。創(chuàng)造知識后，學(xué)生的成就感得到滿足，實現(xiàn)了“習(xí)得知識技能”“滲透思想方法”的智育目標(biāo)和“感受美觀”“體驗美好”的美育目標(biāo)。v教學(xué)模塊3：數(shù)學(xué)欣賞在解決問題后，圍繞教學(xué)目標(biāo)，沿用例9中的出租車價格表，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建解決分段計費問題的知識體系，并歸納解決此類問題的一般步驟，設(shè)計觀察圖象的活動以強化學(xué)生的思維，由此制訂任務(wù)5和任務(wù)6。任務(wù)5：總結(jié)分段計費的方法，內(nèi)化成解決該類問題的數(shù)學(xué)模型，進一步體悟線段圖解決問題的簡便。［核心問題4］分段計算法和假設(shè)法的步驟分別是什么？生：分段計算法是先按題意畫出線段圖，再逐段計算，最后相加。假設(shè)法是先假設(shè)，再找差價，最后調(diào)整。師：你更喜歡哪種方法？說說理由。生：我喜歡分段計算法，因為它容易理解。生：我也喜歡分段計算法，它不但容易理解，而且計算簡單。任務(wù)6：列表描述出租車價格和里程間的關(guān)系，觀察圖象，發(fā)展幾何直觀?；揪毩?xí)：1.完成出租車價格表。2.根據(jù)表格快速地說出行駛4.9km、4.1km和9.5km需要的車費。3.下面哪幅圖表示了出租車費用和行駛里程的關(guān)系？（

）（學(xué)生獨立完成基本練習(xí)，全班交流基本練習(xí)3）師：通過列表，我們能夠快速答出相應(yīng)里程的出租車費用。此外，圖象也能讓信息直觀化。練習(xí)3中哪幅圖正確表示了出租車費用和行駛里程間的關(guān)系？生：我選擇D。因為超過3km不超過4km都付8.5元，路程變了，金額不變。同理，路程超過4km不超過5km都付10元。師：大家從“變”和“不變”的角度選出了答案，D選項呈現(xiàn)的圖象正是我們以后會學(xué)習(xí)的分段函數(shù)。那在什么條件下，答案會是A呢？生：題目去掉“不足1km按1km計算”這一條件，那么在3km之后，費用才會隨著路程的增加而增加。實施效果：學(xué)生能夠用自己的語言表達出分段計算法和假設(shè)法的解題步驟，內(nèi)化新知，在課堂上樂于表達自己的真實感受，體悟到數(shù)學(xué)問題解決中的簡便性和多樣性。在練習(xí)題中，學(xué)生能夠獨立完成基本練習(xí)1和基本練習(xí)2，但對基本練習(xí)3存在理解困難。教師放手讓學(xué)生觀察圖象，對其進行辨析，并從中體會分段計費的特點與函數(shù)思想，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)。學(xué)生在分析問題的過程中發(fā)現(xiàn)變量與變量之間的關(guān)系，實現(xiàn)了“習(xí)得知識技能”“滲透思想方法”“發(fā)展核心素養(yǎng)”的智育目標(biāo)。v教學(xué)模塊4：數(shù)學(xué)應(yīng)用為了呼應(yīng)教學(xué)模塊1，選用生活中的電費標(biāo)準(zhǔn)表、教材練習(xí)四第7題的水費分段計費作為情境，并圍繞教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計變式練習(xí)，意在擴展學(xué)生思維，促進學(xué)生認(rèn)知的結(jié)構(gòu)化，由此制訂任務(wù)7和任務(wù)8。任務(wù)7：通過解決與生活密切聯(lián)系的分段計費問題鞏固新知，落實數(shù)形結(jié)合思想與函數(shù)思想。練習(xí)1：某市居民用電階梯電價收費如下表。王叔叔家本月的用電量為300千瓦時，應(yīng)繳電費多少元？練習(xí)2：某市自來水公司為鼓勵節(jié)約用水，采取按月分段計費的方法收取水費。12噸以內(nèi)每噸2.5元，超過12噸的部分，每噸4元。（1）小云家上個月的用水量為11噸，應(yīng)繳水費多少元？（2）小可家上個月的用水量為17噸，應(yīng)繳水費多少元？（3）小可家這個月繳水費90元，他家用水量為多少噸？任務(wù)8：總結(jié)解決分段計費問題的一般方法，實現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)化，將數(shù)學(xué)的簡潔美升華至數(shù)學(xué)育人價值之美。師：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了分段計費的問題。我們可以按照標(biāo)準(zhǔn)分段，然后計算各段的總價，最后相加。那如果遇到更復(fù)雜的分段計費問題怎么辦？生：可以根據(jù)題目信息畫出對應(yīng)線段數(shù)的線段圖或者表格，再解決問題。師：根據(jù)階梯電費、水費等問題，結(jié)合生活想一想，分段計費有什么意義？生：我國是人口大國，人人節(jié)約能夠節(jié)省很多資源。水也是一樣，如果我們不節(jié)約用水，地球上的最后一滴水就是我們的眼淚。分段計費就是提醒我們要盡最大的努力節(jié)約資源。生：我們要有意識地節(jié)約用水，沒有水就不可能有美麗的花草樹木，樹木、村莊和田地就會被沙漠侵蝕，影響我們的生活。師：一道簡單的數(shù)學(xué)題里蘊含著深刻的道理。其實生活中處處有數(shù)學(xué)，仔細觀察，我們還可以發(fā)現(xiàn)更多神奇的奧秘。師：同學(xué)們可以嘗試用文字的形式記錄今天的所學(xué)、所想、所悟，也可提出自己關(guān)于分段計費的疑問，或者其他解決分段計費問題的方法……寫下你的數(shù)學(xué)小作文，和大家一起分享。實施效果：學(xué)生面對新的問題情境與變式，能夠根據(jù)題目進行分段并解決問題。在解決問題后，學(xué)生能踴躍分享分段計費的現(xiàn)實意義，培養(yǎng)了節(jié)約用電、用水，杜絕浪費的意識。嘗試撰寫數(shù)學(xué)小作文能夠進一步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考和自我反思的能力。這樣的學(xué)習(xí)過程能實現(xiàn)“培育節(jié)約資源的優(yōu)良道德品質(zhì)”的德育目標(biāo)，“習(xí)得知識技能”“滲透思想方法”“發(fā)展核心素養(yǎng)”的智育目標(biāo)和“體悟數(shù)學(xué)美好”的美育目標(biāo)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化目標(biāo)的協(xié)同作用。【教學(xué)意蘊解析】這是一節(jié)充滿文化意味的數(shù)學(xué)課，學(xué)生經(jīng)歷了“數(shù)學(xué)思考”“數(shù)學(xué)創(chuàng)造”“數(shù)學(xué)欣賞”“數(shù)學(xué)應(yīng)用”四個探究過程，感受到數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。在數(shù)學(xué)文化理念的引領(lǐng)下，學(xué)生感受到分段計費的現(xiàn)實意義，體會到運用數(shù)形結(jié)合解決問題的便利之處，落實了數(shù)學(xué)的育人價值。在教學(xué)中，教師通過挖掘教材中“李叔叔乘出租車付費”的學(xué)習(xí)素材，引導(dǎo)學(xué)生圍繞4個核心問題展開探究，自主嘗試解決分段計費的數(shù)學(xué)問題，實現(xiàn)知識的數(shù)學(xué)化和認(rèn)知的結(jié)構(gòu)化。教材中的例9是實際應(yīng)用的問題，呈現(xiàn)的素材和思路蘊含豐富的數(shù)學(xué)文化元素。例如，從“分析與解答”出租車價格表的素材中能夠深挖智育元素，通過呈現(xiàn)出租車費隨著行駛里程的增加而變化的圖象，直觀感受二者的聯(lián)系，體會函數(shù)思想。實踐證明，正是教學(xué)素材和數(shù)學(xué)文化資源的挖掘與整合，催生出了具有育人價值的數(shù)學(xué)課：（1）在新知生成中培養(yǎng)良好品德，繼承、弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化。在數(shù)學(xué)思考模塊，由學(xué)生尋找生活中的分段計費問題，理解其實際意義；在數(shù)學(xué)應(yīng)用模塊，在應(yīng)用新知的同時彰顯分段計費的必要性