2023-2024學(xué)年浙江省紹興一中創(chuàng)新班高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年浙江省紹興一中創(chuàng)新班高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)Z滿足Z=i(2+Z)A.1+i B.1?i C.2.如圖所示，梯形A′B′C′D′是平面圖形ABCD用斜二測(cè)畫法得到的直觀圖，A′A.2

B.3

C.53.已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，?，x100的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差均為4，則數(shù)據(jù)?x1?1，?xA.?5，4 B.?5，16 C.4，16 D.44.一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為1的半圓，則此圓錐的內(nèi)切球的表面積為(

)A.π B.π2 C.π3 5.光源P(3,2,1)經(jīng)過平面OyA.(0,72,52) 6.若4，2，1，4，5的第p百分位數(shù)是4，則p的取值范圍是(

)A.(40,80] B.[40,7.如圖是棱長(zhǎng)均相等的多面體EABCDF，其中四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)P，Q，M，N分別為DE，AB，ADA.13

B.12

C.23

8.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)M，N分別是直線CD，AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是△A1C1D內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(不包括邊界A.3?66 B.3+二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.在12件同類產(chǎn)品中，有9件正品和3件次品，從中任意抽出3件產(chǎn)品，設(shè)事件A“3件產(chǎn)品都是次品”，事件B“至少有1件是次品”，事件C“至少有1件是正品”，則下列結(jié)論正確的是(

)A.A與C為對(duì)立事件 B.B與C不是互斥事件

C.A∩B=10.在某市高三年級(jí)舉行的一次模擬考試中，某學(xué)科共有20000人參加考試.為了了解本次考試學(xué)生成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，樣本容量為n，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)A.圖中x=0.016

B.樣本容量n=1000

C.估計(jì)該市全體學(xué)生成績(jī)的平均分為71.6分

D.該市要對(duì)成績(jī)前11.勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動(dòng).勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的公共部分，如圖所示，若正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a.則A.能夠容納勒洛四面體的正方體的棱長(zhǎng)的最小值為a

B.勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為(1?32)a

C.勒洛四面體中過A，B，C三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.從含有6件次品的50件產(chǎn)品中任取4件，觀察其中次品數(shù)，這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間Ω=______．13.如圖，甲乙做游戲，兩人通過劃拳(剪刀、石頭、布)比賽決勝誰首先登上第3個(gè)臺(tái)階，并規(guī)定從平地開始，每次劃拳贏的一方登上一級(jí)臺(tái)階，輸?shù)囊环皆夭粍?dòng)，平局時(shí)兩人都上一個(gè)臺(tái)階.如果一方連續(xù)贏兩次，那么他將額外獲得上一級(jí)臺(tái)階的獎(jiǎng)勵(lì)，除非已經(jīng)登上第3個(gè)臺(tái)階，當(dāng)有任何一方登上第3個(gè)臺(tái)階時(shí)游戲結(jié)束，則游戲結(jié)束時(shí)恰好劃拳3次的概率為______．14.在三棱錐A?BCD中，二面角A?BD?C的大小為π四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知復(fù)數(shù)z=(2m2?3m?2)+(m2?3m+2)16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是以2為邊長(zhǎng)的菱形，且∠BAD=120°，PB=PD，M為PC17.(本小題15分)

為了了解學(xué)生軀干、腰、髖等部位關(guān)節(jié)韌帶和肌肉的伸展性、彈性等，某學(xué)校對(duì)在校1500名學(xué)生進(jìn)行了一次坐位體前屈測(cè)試，采用按學(xué)生性別比例分配的分層隨機(jī)抽樣抽取75人，已知這1500名學(xué)生中男生有900人，且抽取的樣本中男生的平均數(shù)和方差分別為13.2cm和13.36，女生的平均數(shù)和方差分別為15.2cm和17.56．

(1)求樣本中男生和女生應(yīng)分別抽取多少人；

(2)求抽取的總樣本的平均數(shù)，并估計(jì)全體學(xué)生的坐位體前屈成績(jī)的方差．

(參考公式：總體分為2層，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：n118.(本小題17分)

如圖，已知直角三角形ABC的斜邊BC/?/平面α，A在平面α上，AB，AC分別與平面α成30°和45°的角，BC=6．

(119.(本小題17分)

如圖，四棱錐S?ABCD的底面是平行四邊形，平面α與直線AD，SA，SC分別交于點(diǎn)P，Q，R，且APAD=SQSA=CRCS，點(diǎn)M在直線SB上運(yùn)動(dòng)，在線段CD上是否存在一定點(diǎn)N

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：由Z=i(2+Z)，

得Z=2i1?i2.【答案】C

【解析】解：由直觀圖知原幾何圖形是直角梯形ABCD，如圖，

由斜二測(cè)法則知AB=A′B′=2，BC=B′C3.【答案】A

【解析】解：由題意知，樣本數(shù)據(jù)x1，x2，?，x100的標(biāo)準(zhǔn)差為4，

所以樣本數(shù)據(jù)x1，x2，?，x100的方差為16，

因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)x1，x2，?，x100的平均數(shù)為4和方差為16，

所以?x1?1，?x2?1，?，?x100?1的平均數(shù)為?4?1=?5，

?x14.【答案】C

【解析】解：設(shè)圓錐底面半徑為r，則2πr=12×2π×1=π，解得：r=12，

∴圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，∴此正三角形內(nèi)切圓的半徑為135.【答案】D

【解析】解：設(shè)P′為P關(guān)于平面Oyz的對(duì)稱點(diǎn)，

則P′(?3,2,1)，

R為P′Q與平面Oyz的交點(diǎn)．

令R(0,m,n)，

P′R=λP′Q，6.【答案】D

【解析】解：1，2，4，4，5，共5個(gè)數(shù)據(jù)，

若1，2，4，4，5第p百分位數(shù)是4，

則n×p%∈(2,4)，

所以p7.【答案】C

【解析】解：由柏拉圖多面體的性質(zhì)可知，四邊形ABCD，BEDF均是邊長(zhǎng)為a的正方形，柏拉圖多面體的側(cè)面均為等邊三角形．如圖，

取AE的中點(diǎn)K，連接PK，QK，則PQ=PK+KQ=12DA+12EB．

同理可得MN=12DF+12AB．

所以PQ?MN=(12DA+12EB)?(12DF+12AB)=14DA?DF+14DA8.【答案】B

【解析】解：如圖所示，連接BD1，交平面A1C1D于點(diǎn)Q，

設(shè)D1P與平面A1C1D所成角為α，正方體的棱長(zhǎng)為a，

根據(jù)正方體的性質(zhì)可得，BD1⊥平面A1C1D，

所以QD1⊥平面A1C1D，且點(diǎn)Q為△A1C1D的中心，

所以sinα=sin∠D1PQ，

又因?yàn)橹本€D1P與MN所成角為θ，且θ的最小值為π3，

所以D1P與平面A1B1C1D1所成角為π3，

所以∠DD19.【答案】AB【解析】解：從中任意抽出3件產(chǎn)品，共有4種情況：3件產(chǎn)品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件產(chǎn)品都是正品．

事件C的可能情況有：2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件產(chǎn)品都是正品．

事件B的可能情況有：3件產(chǎn)品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正品，

A與C為對(duì)立事件，故A正確；

B∩C={2件次品1件正品，1件次品2件正品}，則B與C不是互斥事件，故B正確；

∵A?B，∴A∩B=A，故C正確；

10.【答案】AD【解析】解：因?yàn)?x+0.030+0.040+0.010+0.004)×10=1，解得x=0.016，故A正確；

因?yàn)槌煽?jī)落在區(qū)間[50,60)內(nèi)的人數(shù)為16，所以樣本容量n=16÷(0.016×10)=100，故B不正確；

學(xué)生成績(jī)平均分為0.016×10×55+0.030×10×65+0.040×10×75+0.010×10×85+0.004×10×95=70.6，故11.【答案】AD【解析】解：由題意知：勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間距離為a，

則能夠容納勒洛四面體的正方體的棱長(zhǎng)的最小值為a，故A正確；

勒洛四面體能容納的最大球，與勒洛四面體的弧面相切，如圖，

其中點(diǎn)E為該球與勒洛四面體的一個(gè)切點(diǎn)，O為該球的球心，

由題意得該球的球心O為正四面體ABCD的中心，半徑為OE，連接BE，可知B，O，E三點(diǎn)共線，

設(shè)正四面體ABCD的外接球半徑為r，

由題意得：(63a?r)2+(33a)2=r2，解得r=64a，

∴BE=a，OB=64a，由題意得OE=a?64a=(1?64)a，故B錯(cuò)誤；

勒洛四面體最大的截面即經(jīng)過四面體ABCD表面的截面，如圖，

則勒洛四面體截面面積最大值為三個(gè)半徑為a，圓心角為60°的扇形的面積減去兩個(gè)邊長(zhǎng)為a的正三角形的面積，

即3×16×πa2?2×34a2=12(π?312.【答案】{0【解析】解：取出的4件產(chǎn)品中，最多有4件次品，最少是沒有次品．

所以樣本空間Ω={0,1,2,3,4}．13.【答案】1327【解析】解：設(shè)事件第i(i∈N*)次劃拳甲贏為A1，事件第i(i∈N*)次劃拳甲平局為B1，事件第i(i∈N*)次劃拳甲輸為C1，

則P(A14.【答案】8【解析】解：

取△ABD外心O1，△BCD外心O2，BD中點(diǎn)為E，

則O2A=O2B=O2D，O1B=O1C=O1D，OO2⊥面ABD，OO1⊥面BCD，

所以O(shè)1E⊥BD,O2E⊥BD,∠O1EO2=π15.【答案】解：(1)由題意有2m2?3m?2=0m2?3m+2≠0，

解得m=?1【解析】(1)復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，其實(shí)部為0，虛部不為0，解方程與不等式組2m2?3m?2=16.【答案】(1)證明：設(shè)AC交BD于點(diǎn)N，連接PN，

因?yàn)镻B=PD，所以PN⊥BD，

因?yàn)榈酌鍭BCD是以2為邊長(zhǎng)的菱形，所以AC⊥BD，

又因?yàn)镻N∩AC=N，PN，AC?平面PAC，BD⊥平面PAC，

又因?yàn)锽D?平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC；

(2)解：因?yàn)榈酌鍭BCD是以2為邊長(zhǎng)的菱形，且∠BAD=120°，

所以△ABC與△ACD均為等邊三角形，所以AC=2，

因?yàn)镻C=2PA=22，所以PC2=PA2+AC2，即PA⊥AC，

由(1)知BD⊥平面PAC，PA?平面PAC，所以BD⊥P【解析】(1)設(shè)AC交BD于點(diǎn)N，連接PN，可證明BD⊥平面PAC，從而得到平面PBD⊥平面P17.【答案】解：(1)總體容量1500，樣本容量75，則抽樣比為751500=120，

所以樣本中男生數(shù)量n1=900×120=45，女生數(shù)量n2=(1500?900)×120=30．

(2【解析】(1)根據(jù)分層抽樣的概念即可求解；

(218.【答案】解：(1)過B作BE⊥α，垂足為E，過C作CF⊥α，垂足為F，連AE、AF、EF，

則∠BAE=30°，∠CAF=45°，

設(shè)BC到平面α的距離為d，因?yàn)锽C/?/平面α，所以BE=CF=d，

在直角三角形BEA中，sin30°=dAB，所以AB=d12=2d，

在直角三角形CAF中，AC=2d，

在直角三角形AB【解析】(1)過B作BE⊥α，垂足為E，過C作CF⊥α，由題意可得∠BAE=30°，∠CAF=45°，設(shè)BC到平面α的距離為d，因?yàn)锽C/?/