2023-2024學(xué)年北京市通州區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2023-2024學(xué)年北京市通州區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共8個(gè)小題，每小題2分，共16分）每題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)。1．（2分）下列各組中的四條線段成比例的是（）A．3cm、5cm、6cm、9cm B．3cm、5cm、8cm、9cm C．3cm、9cm、10cm、30cm D．3cm、6cm、7cm、9cm2．（2分）拋物線y＝（x﹣1）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（2，1）3．（2分）如圖所示，點(diǎn)D，E分別在△ABC的AB，AC邊上，且DE∥BC．如果AD：DB＝2：1，那么AE：AC等于（）A．2：1 B．2：5 C．2：3 D．3：54．（2分）將拋物線y＝2x2向下平移3個(gè)單位，得到的拋物線為（）A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x+3）2 D．y＝2（x﹣3）25．（2分）如圖，圖1是可折疊的熨衣架的實(shí)物圖，圖2是它的側(cè)面示意圖，AD與CB相交于點(diǎn)O，AB∥CD，根據(jù)圖2中的數(shù)據(jù)可得x的值為（）A．0.4 B．0.8 C．1 D．1.66．（2分）如圖，已知D是△ABC的邊AC上一點(diǎn)，根據(jù)下列條件，不能判定△CAB∽△CBD的是（）A．∠A＝∠CBD B．∠CBA＝∠CDB C．AB?CD＝BD?BC D．BC2＝AC?CD7．（2分）若二次函數(shù)y＝x2﹣4x﹣m的圖象與x軸有公共點(diǎn)，那么m的取值范圍是（）A．m≥﹣4 B．m＞﹣4 C．m≤4 D．m＜48．（2分）函數(shù)y＝x2﹣4|x|﹣2的自變量x的取值范圍為全體實(shí)數(shù)，其中x≥0部分的圖象如圖所示，對(duì)于此函數(shù)有下列結(jié)論：①函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；②函數(shù)既有最大值，也有最小值；③當(dāng)x＜﹣2時(shí)，y隨x的增大而減小；④當(dāng)﹣6＜a＜﹣2時(shí)，關(guān)于x的方程x2﹣4|x|﹣2＝a有4個(gè)實(shí)數(shù)根．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（本題共8個(gè)小題，每小題2分，共16分）9．（2分）已知，則＝．10．（2分）請(qǐng)寫出一個(gè)開口向下，經(jīng)過原點(diǎn)的二次函數(shù)的表達(dá)式．11．（2分）兩個(gè)相似三角形的相似比為2：3，則它們的面積之比為．12．（2分）20世紀(jì)70年代初，我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國(guó)大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所做EF將矩形窗框ABCD分為上下兩部分，其中E為邊AB的黃金分割點(diǎn)，BE＞AE．已知AB為2米，則線段BE的長(zhǎng)為米．13．（2分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸為x＝1，點(diǎn)P，點(diǎn)Q是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，0），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．14．（2分）點(diǎn)（﹣2，y1），（3，y2）為拋物線y＝﹣x2+2x﹣n上兩點(diǎn)，則y1y2．（用“＜”或“＞”號(hào)連接）15．（2分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AB＝6，BD＝2，則CD的長(zhǎng)為．16．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABOC的邊OB，OC分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，6），點(diǎn)P在矩形ABOC的內(nèi)部，點(diǎn)E在BO邊上，且滿足△PBE∽△CBO，當(dāng)△APC是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．三、解答題（本題共68分，第17-18題每題4分；第19-21題每題5分；第22-27題每題6分；第28題9分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.17．（4分）已知一條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣4），且經(jīng)過點(diǎn)（0，4），求拋物線的表達(dá)式．18．（4分）如圖，△ABC的高AD，BE相交于點(diǎn)O．（1）寫出一個(gè)與△ACD相似的三角形（不添加其他線段），這個(gè)三角形是；（2）證明：19．（5分）已知拋物線y＝x2﹣2x﹣3；（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中畫出函數(shù)圖象．20．（5分）如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上，已知紙板的兩條直角邊DE＝40cm，EF＝20cm，測(cè)得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求樹高AB．21．（5分）如圖，在矩形ABCD中，E是邊AB的中點(diǎn)，連接DE交對(duì)角線AC于點(diǎn)F．（1）求證：△AFE∽△CFD；（2）若AB＝4，AD＝3，求CF的長(zhǎng)．22．（6分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣ax+b在x＝0和x＝4時(shí)的函數(shù)值相等．（1）求二次函數(shù)y＝x2﹣ax+b圖象的對(duì)稱軸；（2）過P（0，2）作x軸的平行線與二次函數(shù)y＝x2﹣ax+b的圖象交于不同的兩點(diǎn)M、N．當(dāng)MN＝2時(shí)，求b的值．23．（6分）已知：如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一點(diǎn)，且AB：AC＝AE：AD．判斷BE與BD的數(shù)量關(guān)系并證明．24．（6分）跳繩是大家喜愛的一項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)，當(dāng)繩子甩到最高處時(shí)，其形狀視為拋物線．如圖是甲，乙兩人將繩子甩到最高處時(shí)的示意圖，已知兩人拿繩子的手離地面的高度都為1m，并且相距4m，現(xiàn)以兩人的站立點(diǎn)所在的直線為x軸，過甲拿繩子的手作x軸的垂線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，且繩子所對(duì)應(yīng)的拋物線表達(dá)式為．（1）求繩子所對(duì)應(yīng)的拋物線表達(dá)式；（2）身高1.70m的小明，能否站在繩子的正下方，讓繩子通過他的頭頂？25．（6分）如圖，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），在AC上取一點(diǎn)E，使∠ADE＝45°．（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）設(shè)BD＝x，AE＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍．26．（6分）某水果經(jīng)銷商以每公斤8元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批葡萄，若按每公斤20元的價(jià)格銷售，平均每天可售出60公斤．結(jié)合銷售記錄發(fā)現(xiàn)，若售價(jià)每降低1元，平均每天的銷售量增加10公斤，為了盡快減少庫(kù)存，該水果商決定降價(jià)銷售．（1）若每公斤降價(jià)2元，則每天的銷售利潤(rùn)為元；（2）銷售單價(jià)定為每公斤多少元時(shí)，每天銷售該品種葡萄獲得的利潤(rùn)w最大？最大利潤(rùn)是多少元？27．（6分）已知拋物線y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）．（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；（2）點(diǎn)P（a，y1），Q（3，y2）在該拋物線上，若y1＞y2，求a的取值范圍．28．（9分）定義：兩個(gè)相似三角形共邊且位于一個(gè)角的平分線兩側(cè)，則稱這樣的兩個(gè)相似三角形為疊似三角形．（1）如圖1，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分∠BAD，∠BCD+∠BAD＝180°，求證：△ACB和△ADC為疊似三角形；（2）如圖2，△ACB和△ADC為疊似三角形，若CD∥AB，AD＝4，AC＝6，求四邊形ABCD的周長(zhǎng)；（3）如圖3，在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，連結(jié)AD，點(diǎn)E在AD上，且DE＝DC，F(xiàn)為AC中點(diǎn)，且∠BEC＝∠AEF，若BC＝9，AE＝4，求的值．

2023-2024學(xué)年北京市通州區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共8個(gè)小題，每小題2分，共16分）每題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)。1．（2分）下列各組中的四條線段成比例的是（）A．3cm、5cm、6cm、9cm B．3cm、5cm、8cm、9cm C．3cm、9cm、10cm、30cm D．3cm、6cm、7cm、9cm【分析】根據(jù)比例線段的定義和比例的性質(zhì)，利用每組數(shù)中最大和最小數(shù)的積與另兩個(gè)數(shù)之積是否相等進(jìn)行判斷．【解答】解：A.3×9≠5×6，所以四條線段不成比例，故A選項(xiàng)不符合題意；B.3×9≠5×8，所以四條線段不成比例，故B選項(xiàng)不符合題意；C.3×30＝9×10，所以四條線段成比例，故C選項(xiàng)符合題意；D.3×9≠6×7，所以四條線段不成比例，故D選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查成比例線段的概念，關(guān)鍵是理解比例線段的定義，兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．2．（2分）拋物線y＝（x﹣1）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（2，1）【分析】直接根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式可得出結(jié)論．【解答】解：∵拋物線的解析式為：y＝（x﹣1）2+2，∴其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解答此題的關(guān)鍵．3．（2分）如圖所示，點(diǎn)D，E分別在△ABC的AB，AC邊上，且DE∥BC．如果AD：DB＝2：1，那么AE：AC等于（）A．2：1 B．2：5 C．2：3 D．3：5【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出＝＝，求出AE＝2EC，再代入AE：AC求出即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∵AD：DB＝2：1，∴＝，∴AE＝2EC，∴AE：AC＝＝，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關(guān)鍵．4．（2分）將拋物線y＝2x2向下平移3個(gè)單位，得到的拋物線為（）A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x+3）2 D．y＝2（x﹣3）2【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減“即可得到答案．【解答】解：將拋物線y＝2x2向下平移3個(gè)單位，得到的拋物線為y＝2x2﹣3；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，解題的關(guān)鍵是掌握“左加右減，上加下減“的平移口訣．5．（2分）如圖，圖1是可折疊的熨衣架的實(shí)物圖，圖2是它的側(cè)面示意圖，AD與CB相交于點(diǎn)O，AB∥CD，根據(jù)圖2中的數(shù)據(jù)可得x的值為（）A．0.4 B．0.8 C．1 D．1.6【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵AB∥CD，∴△COD∽△BOA，∴，∴，∴x＝0.4，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．6．（2分）如圖，已知D是△ABC的邊AC上一點(diǎn)，根據(jù)下列條件，不能判定△CAB∽△CBD的是（）A．∠A＝∠CBD B．∠CBA＝∠CDB C．AB?CD＝BD?BC D．BC2＝AC?CD【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可．【解答】解：∵∠C是公共角，∴再加上∠A＝∠CBD或∠CBA＝∠CDB都可以證明△CAB∽△CBD，故A，B不符合題意，C選項(xiàng)中的對(duì)兩邊成比例，但不是相應(yīng)的夾角相等，所以選項(xiàng)C符合題意．∵∠C＝∠C，若再添加，即BC2＝AC?CD，可證明△CAB∽△CBD，故D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定定理，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．7．（2分）若二次函數(shù)y＝x2﹣4x﹣m的圖象與x軸有公共點(diǎn)，那么m的取值范圍是（）A．m≥﹣4 B．m＞﹣4 C．m≤4 D．m＜4【分析】根據(jù)已知得出方程x2﹣4x﹣m＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即Δ≥0，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵函數(shù)y＝x2﹣4x﹣m的圖象與x軸有公共點(diǎn)，∴方程x2﹣4x﹣m＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即Δ＝42﹣4×1×（﹣m）≥0，解得：m≥﹣4．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問題和一元二次方程的根的判別式，8．（2分）函數(shù)y＝x2﹣4|x|﹣2的自變量x的取值范圍為全體實(shí)數(shù)，其中x≥0部分的圖象如圖所示，對(duì)于此函數(shù)有下列結(jié)論：①函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；②函數(shù)既有最大值，也有最小值；③當(dāng)x＜﹣2時(shí)，y隨x的增大而減?。虎墚?dāng)﹣6＜a＜﹣2時(shí)，關(guān)于x的方程x2﹣4|x|﹣2＝a有4個(gè)實(shí)數(shù)根．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行判斷，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．【解答】解：如圖：①如圖所示：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則正確；②如圖所示：函數(shù)沒有最大值，只有最小值，則錯(cuò)誤；③如圖所示：當(dāng)x＜﹣2時(shí)，y隨x的增大而減小，則正確；④如圖所示：當(dāng)﹣6＜a＜﹣2時(shí)，關(guān)于x的方程x2﹣4|x|﹣2＝a有4個(gè)實(shí)數(shù)根，則正確；則正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖象判斷函數(shù)的對(duì)稱性、增減性以及從函數(shù)的角度解決方程問題．二、填空題（本題共8個(gè)小題，每小題2分，共16分）9．（2分）已知，則＝＝．【分析】根據(jù)分比性質(zhì)，可得答案．【解答】解：由分比性質(zhì)，得＝，即＝，故答案為：＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，利用了分比性質(zhì)：＝?＝．10．（2分）請(qǐng)寫出一個(gè)開口向下，經(jīng)過原點(diǎn)的二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)＝﹣x2．【分析】根據(jù)開口向下，可知a＜0，再根據(jù)經(jīng)過原點(diǎn)，可知c＝0，從而可以寫出一個(gè)符合要求的二次函數(shù)解析式，本題得以解決，注意本題答案不唯一．【解答】解：開口向下，經(jīng)過原點(diǎn)的二次函數(shù)的表達(dá)式是y＝﹣x2，故答案為：y＝﹣x2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．11．（2分）兩個(gè)相似三角形的相似比為2：3，則它們的面積之比為4：9．【分析】直接根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形的相似比為2：3，∴它們的面積之比為4：9．故答案為：4：9【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，即相似三角形面積的比等于相似比的平方．12．（2分）20世紀(jì)70年代初，我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國(guó)大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所做EF將矩形窗框ABCD分為上下兩部分，其中E為邊AB的黃金分割點(diǎn)，BE＞AE．已知AB為2米，則線段BE的長(zhǎng)為（﹣1）米．【分析】根據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：∵E為邊AB的黃金分割點(diǎn)，BE＞AE，AB為2米，∴BE＝AB＝×2＝（﹣1）米，故答案為：（﹣1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割，數(shù)學(xué)常識(shí)，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．13．（2分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸為x＝1，點(diǎn)P，點(diǎn)Q是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，0），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，0）．【分析】點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，0），對(duì)稱軸為x＝1，則：PQ之間的距離為2×（1+1）＝4，即可求解．【解答】解：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，0），對(duì)稱軸為x＝1，則：PQ之間的距離為2×（1+1）＝4，則：點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為﹣1+4＝3，故答案為：（3，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，涉及到圖象上點(diǎn)的性質(zhì)等函數(shù)基本屬性，本題是一道基本題．14．（2分）點(diǎn)（﹣2，y1），（3，y2）為拋物線y＝﹣x2+2x﹣n上兩點(diǎn)，則y1＜y2．（用“＜”或“＞”號(hào)連接）【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性將點(diǎn)化在對(duì)稱軸的同一側(cè)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)比較即可得到答案．【解答】解：由題意可得，拋物線y＝﹣x2+2x﹣n的對(duì)稱軸為：直線，∴（﹣2，y1）的對(duì)稱點(diǎn)為：（4，y1），∵﹣1＜0，1＜3＜4，∴y1＜y2，故答案為：＜．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AB＝6，BD＝2，則CD的長(zhǎng)為2．【分析】根據(jù)射影定理計(jì)算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，由射影定理得：CD2＝AD?BD，∵AB＝6，BD＝2，∴AD＝6﹣2＝4，∴CD2＝4×2＝8，∴CD＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是射影定理，直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)．16．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABOC的邊OB，OC分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，6），點(diǎn)P在矩形ABOC的內(nèi)部，點(diǎn)E在BO邊上，且滿足△PBE∽△CBO，當(dāng)△APC是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（4，3）．【分析】由題意得出P點(diǎn)在AC的垂直平分線上或在以點(diǎn)C為圓心AC為半徑的圓弧上，由此分兩種情形分別求解，可得結(jié)論．【解答】解：∵點(diǎn)P在矩形ABOC的內(nèi)部，且△APC是等腰三角形，∴P點(diǎn)在AC的垂直平分線上或在以點(diǎn)C為圓心AC為半徑的圓弧上；①當(dāng)P點(diǎn)在AC的垂直平分線上時(shí)，點(diǎn)P同時(shí)在BC上，AC的垂直平分線與BO的交點(diǎn)即是E，如圖1所示：∵PE⊥BO，CO⊥BO，∴PE∥CO，∴△PBE∽△CBO，∵四邊形ABOC是矩形，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，6），∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)為4，OC＝6，BO＝8，BE＝4，∵△PBE∽△CBO，∴＝，即＝，解得：PE＝3，∴點(diǎn)P（4，3）；②P點(diǎn)在以點(diǎn)C為圓心AC為半徑的圓弧上，圓弧與BC的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)P作PE⊥BO于E，如圖2所示：∵CO⊥BO，∴PE∥CO，∴△PBE∽△CBO，∵四邊形ABOC是矩形，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，6），∴AC＝BO＝8，CP＝8，AB＝OC＝6，∴BC＝＝＝10，∴BP＝2，∵△PBE∽△CBO，∴＝＝，即：＝＝，解得：PE＝，BE＝，∴OE＝8﹣＝，∴點(diǎn)P（，）；綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，）或（4，3）；故答案為：（，）或（4，3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、平行線的判定、勾股定理、分類討論等知識(shí)，熟練掌握相似三角形與等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本題共68分，第17-18題每題4分；第19-21題每題5分；第22-27題每題6分；第28題9分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.17．（4分）已知一條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣4），且經(jīng)過點(diǎn)（0，4），求拋物線的表達(dá)式．【分析】根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+2）2﹣4，代入已知點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算即可．【解答】解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣4），∴設(shè)拋物線表達(dá)式為y＝a（x+2）2﹣4，∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0，4），∴將（0，4）代入y＝a（x+2）2﹣4，得：4a﹣4＝4，∴a＝2，∴y＝2（x+2）2﹣4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)的靈活運(yùn)用．18．（4分）如圖，△ABC的高AD，BE相交于點(diǎn)O．（1）寫出一個(gè)與△ACD相似的三角形（不添加其他線段），這個(gè)三角形是△AOE或△BOD或△BCE；（2）證明：【分析】（1）根據(jù)兩個(gè)角相等，兩個(gè)三角形相似，可證明與△ACD相似的三角形有△BOD或△CBE或△AOE；（2）證明過程同（1）．【解答】（1）解：∵∠AEO＝∠ADC＝90°，∠DAC＝∠OAE，∴△AOE∽△ACD，∴∠AOE＝∠C，∵∠AOE＝∠BOD，∴△BOD∽△ACD；∵∠AEO＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，∴△CBE∽△ACD，∴與△ACD相似的三角形為△AOE或△BOD或△BCE，故答案為：△AOE或△BOD或△BCE；（2）證明：∵∠AEO＝∠ADC＝90°，∠DAC＝∠OAE，∴△AOE∽△ACD，∴∠AOE＝∠C，∵∠AOE＝∠BOD，∴△BOD∽△ACD；∵∠AEO＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，∴△CBE∽△ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握兩個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似是解題的關(guān)鍵．19．（5分）已知拋物線y＝x2﹣2x﹣3；（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中畫出函數(shù)圖象．【分析】（1）由y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4），令x＝0，則y＝﹣3，得到拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，令y＝0，求出拋物線與x軸交點(diǎn)，即可求解；（2）取點(diǎn)描點(diǎn)連線畫圖即可．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3，∴y＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4），令x＝0，則y＝﹣3，拋物線與y軸交點(diǎn)為（0，﹣3），令y＝0，則x1＝3．x2＝﹣1，拋物線與x軸交點(diǎn)為（3，0）和（﹣1，0）；（2）當(dāng)x＝2時(shí)，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，即拋物線過點(diǎn)（2，﹣3），根據(jù)（1）中的數(shù)據(jù)畫出函數(shù)圖象如下：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（5分）如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上，已知紙板的兩條直角邊DE＝40cm，EF＝20cm，測(cè)得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求樹高AB．【分析】先判定△DEF和△DBC相似，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出BC的長(zhǎng)，再加上AC即可得解．【解答】解：在△DEF和△DBC中，，∴△DEF∽△DBC，∴＝，即＝，解得BC＝4，∵AC＝1.5m，∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5m，即樹高5.5m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，主要利用了相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單，判定出△DEF和△DBC相似是解題的關(guān)鍵．21．（5分）如圖，在矩形ABCD中，E是邊AB的中點(diǎn)，連接DE交對(duì)角線AC于點(diǎn)F．（1）求證：△AFE∽△CFD；（2）若AB＝4，AD＝3，求CF的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)矩形對(duì)邊平行，有AE∥DC，可知△AFE∽△CFD；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，再利用已知線段的長(zhǎng)代入即可求出CF的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AE∥DC，∴∠FAE＝∠FCD，∠FEA＝∠FDC，∴△AFE∽△CFD，故△AFE∽△CFD得證．（2）解：由（1）知△AFE∽△CFD，∴，而E是邊AB的中點(diǎn)，且AB＝4，AD＝3，∴AE＝2，AC＝5，∴＝＝，而AC＝5，∴AF＝，CF＝，故CF的長(zhǎng)為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例即可利用已知線段求出未知線段的長(zhǎng)度．22．（6分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣ax+b在x＝0和x＝4時(shí)的函數(shù)值相等．（1）求二次函數(shù)y＝x2﹣ax+b圖象的對(duì)稱軸；（2）過P（0，2）作x軸的平行線與二次函數(shù)y＝x2﹣ax+b的圖象交于不同的兩點(diǎn)M、N．當(dāng)MN＝2時(shí)，求b的值．【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸為對(duì)稱點(diǎn)橫坐標(biāo)和的一半計(jì)算即可．（2）設(shè)M（x1，2），N（x2，2），根據(jù)對(duì)稱軸為直線x＝2，MN＝2，得到，求得值后，利用對(duì)稱軸和點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算即可；【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2﹣ax+b在x＝0和x＝4時(shí)函數(shù)值相等，∴對(duì)稱軸為直線x＝2．（2）∵過P（0，2）作x軸的平行線與二次函數(shù)y＝x2﹣ax+b的圖象交于不同的兩點(diǎn)M、N，設(shè)點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)，設(shè)M（x1，2），N（x2，2），∵對(duì)稱軸為直線x＝2，MN＝2，∴，解得，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，2）∴，1﹣a+b＝2，∴a＝4，b＝5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（6分）已知：如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一點(diǎn)，且AB：AC＝AE：AD．判斷BE與BD的數(shù)量關(guān)系并證明．【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法，利用∠CAD＝∠DAB和AB：AC＝AE：AD可判斷△EAB∽△DAC，則∠AEB＝∠ADC，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等得到∠BED＝∠BDE，從而可判斷BE＝BD．【解答】解：BE＝BD．理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠DAB，∵AB：AC＝AE：AD，∴△EAB∽△DAC，∴∠AEB＝∠ADC，∴∠BED＝∠BDE，∴BE＝BD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形，靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)表示線段之間的關(guān)系；也考查了等腰三角形的判定．24．（6分）跳繩是大家喜愛的一項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)，當(dāng)繩子甩到最高處時(shí)，其形狀視為拋物線．如圖是甲，乙兩人將繩子甩到最高處時(shí)的示意圖，已知兩人拿繩子的手離地面的高度都為1m，并且相距4m，現(xiàn)以兩人的站立點(diǎn)所在的直線為x軸，過甲拿繩子的手作x軸的垂線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，且繩子所對(duì)應(yīng)的拋物線表達(dá)式為．（1）求繩子所對(duì)應(yīng)的拋物線表達(dá)式；（2）身高1.70m的小明，能否站在繩子的正下方，讓繩子通過他的頭頂？【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求解；（2）先將函數(shù)關(guān)系式化為頂點(diǎn)式，求出函數(shù)的最值，再與小明的身高作比較，即可作答．【解答】解：（1）根據(jù)題意，拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0，1），（4，1）．∴，解得，∴繩子所對(duì)應(yīng)的拋物線表達(dá)式為：；（2）身高1.70m的小明，不能站在繩子的正下方讓繩子通過他的頭頂．理由如下：∵，∴當(dāng)x＝2時(shí)，，∵，∴繩子能碰到小明，小明不能站在繩子的正下方讓繩子通過他的頭頂．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)最值求法是解答本題的關(guān)鍵．25．（6分）如圖，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），在AC上取一點(diǎn)E，使∠ADE＝45°．（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）設(shè)BD＝x，AE＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C＝45°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠BAD＝∠EAC，根據(jù)相似三角形的判定定理證明結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入計(jì)算得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．【解答】（1）證明：∵等腰三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝45°，，∵∠ADE＝45°，∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠EDC，∴∠BAD＝∠EDC，∴△ABD∽△DCE；（2）解：∵△ABD∽△DCE，∴，∵BD＝x，AE＝y(tǒng)，∴，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．26．（6分）某水果經(jīng)銷商以每公斤8元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批葡萄，若按每公斤20元的價(jià)格銷售，平均每天可售出60公斤．結(jié)合銷售記錄發(fā)現(xiàn)，若售價(jià)每降低1元，平均每天的銷售量增加10公斤，為了盡快減少庫(kù)存，該水果商決定降價(jià)銷售．（1）若每公斤降價(jià)2元，則每天的銷售利潤(rùn)為800元；（2）銷售單價(jià)定為每公斤多少元時(shí)，每天銷售該品種葡萄獲得的利潤(rùn)w最大？最大利潤(rùn)是多少元？【分析】（1）本題考查二次函數(shù)解決銷售理論問題，解題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系式，根據(jù)利潤(rùn)＝利潤(rùn)單價(jià)×數(shù)量即可得到答案；（2）本題考查二次函數(shù)解決銷售理論問題，解題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系式，根據(jù)利潤(rùn)＝利潤(rùn)單價(jià)×數(shù)量寫出函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)即可得到答案．【解答】解：（1）由題意得每天的銷售利潤(rùn)為：（20﹣2﹣8）（60+2×10）＝800（元），故答案為：800；（2）設(shè)銷售單價(jià)定為每公斤x元，由題意得，w＝（x﹣8）[60+（20﹣x）×10]＝﹣10x2+340x﹣2080＝﹣10（x﹣17）2+810，∵﹣10＜0，∴當(dāng)x＝17時(shí)w最大，wmax＝810（元），答：銷售單價(jià)定為每公斤17元時(shí)，每天銷售該品種葡萄獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是810元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．27．（6分）已知拋物線y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）．（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；（2）點(diǎn)P（a，y1），Q（3，y2）在該拋物線上，若y1＞y2，求a的取值范圍．【分析】（1）把拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式即可求解；（2）分類討論：當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口向上時(shí)，當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開口向下時(shí)，根據(jù)點(diǎn)P、Q在對(duì)稱軸異側(cè)或同側(cè)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解即可．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2﹣2ax+3（a≠0），∴y＝a（x﹣1）2+3﹣a，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3﹣a）．（2）當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口向