2023-2024學(xué)年四川省成都市高三年級(jí)下冊(cè)階段性模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題（附答案）

o

2023_2024學(xué)年四川省成都市高三下冊(cè)階段性模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.作答時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷及草稿紙上無效.

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.）在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1,若集合^{小一？〉。},八崗-1<》<4},則集合八人（）

O

市A.（T4）{x|x>2}

泗B

c.…}D.（T+8）

【正確答案】D

6

【分析】根據(jù)集合并集概念課直接得到.

o^={x|x-2>0}={x|x>2}

OA<JB=^c\x>2}u付-1<x<4}=卜,〉-1}

故選：D.

2i

z------

教2.已知復(fù)數(shù)l-i,則以下判斷正確的是（）

A.復(fù)數(shù)z的模為1B.復(fù)數(shù)z的模為也

C.復(fù)數(shù)z的虛部為iD.復(fù)數(shù)z的虛部為-1

【正確答案】B

O

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算即可求得z=-l+i,根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)公式和虛部定義即可判斷結(jié)果.

_21“2i（l+i）_2i+2i2=］白

【詳解】由zI可得（1T）0+I）1-12；

即復(fù)數(shù)z的虛部為1,所以CD錯(cuò)誤；

則復(fù)數(shù)z的模為J（T）+1,即A錯(cuò)誤，B正確；

故選：B

O

3.下列說法錯(cuò)誤的是()

-<1

A.“。>1”是“a”的充分不必要條件

B,在回歸直線―85中，變量x=200時(shí)，變量》的值一定是15

C.命題°：則既eR,x；+Xo+l<O,則「以：VxeR,x2+x+l>0

D,若an，=/,mua,nu(3,a工/3,mU,則

【正確答案】B

【分析】根據(jù)小范圍能推出大范圍，大范圍推不出小范圍判斷選項(xiàng)A；根據(jù)回歸方程的實(shí)際意

義判斷選項(xiàng)B；根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題判斷選項(xiàng)C；根據(jù)面面垂直及線面垂直的性質(zhì)

定理判斷選項(xiàng)D.

1,1,

一<1—<1

【詳解】若a>l,則a成立，反之，若。，則。>1或

-<1

所以>1”是”的充分不必要條件，故選項(xiàng)A正確；

在回歸直線￥=0,5x—85中，變量》=200時(shí)，變量了的值估計(jì)為15,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

因?yàn)槊}J則geR,片+%+1<0,

所以命題的否定力：VxeR,x2+x+l>0,故選項(xiàng)C正確；

因?yàn)閍p|，=/,mua,al。，m1.1f

根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得到：m'B,又〃u〃，所以機(jī)工"，故選項(xiàng)D正確.

故選：B.

4.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是()

A./(尤)=-1B./(x)=5tanx

C/(x)=2/+3xD/(x)=x+Vx

【正確答案】C

【分析】利用基本初等函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).

/(x)=一

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)X為奇函數(shù)，但該函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，A選項(xiàng)不滿足

條件；

對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)/(x)=5tanx為奇函數(shù)，但該函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，B選項(xiàng)不滿足條件；

對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)"")=29+3》的定義域?yàn)镽,

口f(-%)=2(-x)3-3x=-2x3-3x=-ffx)山2u./(%)=2x3+3x4一上下拈

且‘'J'J」'L所以，函數(shù)'')為奇函數(shù)，

因?yàn)楹瘮?shù)＞=2/、y=3x均為R上的增函數(shù)，故函數(shù)/(x)=2x3+3x在R上為增函數(shù)，c

選項(xiàng)滿足條件；

對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)/(")="+"的定義域?yàn)椋?'+“)，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，D選項(xiàng)不滿

足條件.

故選：C.

5(1+x)+(l+x)+---+(l+x)的展開式中/的系數(shù)是()

A.45B.84C.120D.210

【正確答案】C

【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，組合數(shù)的性質(zhì)，求得含犬項(xiàng)的系數(shù).

［詳解］解：(1+X)2+(1+X)3+…+(1+對(duì)9的展開式中，

含爐項(xiàng)的系數(shù)為C+c+C；+...+C=C：o=120,

故選：C.

/(x)=x3--/,(l)x+/(2)

6.設(shè)點(diǎn)尸是函數(shù)2圖象上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)尸處切線的傾斜角為

則角0的取值范圍是()

【正確答案】B

【分析】求出了‘(X),令x=l后可求/‘(X),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的取值范圍可得tana的范圍，從

而可得a的取值范圍.

/(x)=X3-力(l)x+/'(2)r⑺=3/_；/，0)

【詳解】/，二2

/0)=3-“(1),/⑴=2,J,(x)=3x2-1>-1

八，兀3兀/

0<a<——Ga<Ti

...taneN—1,...2或4

故選：B.

7.在等差數(shù)列｛""｝中，%=—9,，=-3.記］="2一,%(〃為正整數(shù))，則數(shù)列憶｝(

)

A.有最大項(xiàng)，也有最小項(xiàng)B.最大項(xiàng)，但無最小項(xiàng)

C.無最大項(xiàng)，但有最小項(xiàng)D.無最大項(xiàng)，也無最小項(xiàng)

【正確答案】B

【分析】由己知求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,分析可知數(shù)列｛""｝是單調(diào)遞增數(shù)列，且前5項(xiàng)為負(fù)值,

自第6項(xiàng)開始為正值，進(jìn)一步分析得答案.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛""｝的公差為d,由/、&=-3,得4="1+3"=—3,解得：d=2.

所以%=一9+2(〃-1)=2〃-11

n

令%=2"-11=°,得"2,而“cN*,可知數(shù)列,"｝是單調(diào)遞增數(shù)列，且前5項(xiàng)為負(fù)值,自第6

項(xiàng)開始為正值.

可知方=-9。,7>63>0,73=-315<0,7>945>0為最大項(xiàng)，自外起均小于0,且逐漸減小

數(shù)列｛,｝有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng).

故選:B

8.志愿團(tuán)安排去甲、乙、丙、丁四個(gè)精準(zhǔn)扶貧點(diǎn)慰問的先后順序，一位志愿者說：不能先去甲,

甲的困難戶最多；另一位志愿者說：不能最后去丁，丁離得最遠(yuǎn).他們共有多少種不同的安排

方法（）

A.14B.12C.24D.28

【正確答案】A

【分析】由去丁扶貧點(diǎn)的先后順序入手利用加法原理求出結(jié)果.

【詳解】解：根據(jù)題意丁扶貧點(diǎn)不能是最后一個(gè)去，有以下兩類安排方法：

①丁扶貧點(diǎn)最先去，有.種安排方法；

②丁扶貧點(diǎn)安排在中間位置去，有種安排方法，

綜合①②知共有H+C2C2^=14種安排方法.

故選：A.

9.已知函數(shù)f（x）=2V3sinxcosx+2sm2x-2以下說法中，正確的是（）

①函數(shù)關(guān)于點(diǎn)I?”〔對(duì)稱；

兀兀

②函數(shù)/（X）在〔石'％」上單調(diào)遞增；

③當(dāng)〔％'3J時(shí)，"x）的取值范圍為（-2,0）；

71

④將函數(shù)/（X）的圖像向右平移12個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖像對(duì)應(yīng)的解析式為g（X）=2sm2x—1

A.①②B.②③④C.①③D.②

【正確答案】D

f（x）=2sin（2x--）-1

【分析】先對(duì)/⑴化簡(jiǎn)變形，得至U3,再對(duì)①②③④逐一分析判斷,

即可得出結(jié)果.

f(x)=2GsitLXCOSX+2sin2x-2=V3sin2x-cos2x-1=2sin(2x--)-1

【詳解】因?yàn)?

2x-kit,左￡Zx------1-----，左￡Z

對(duì)于①，由6，即122,所以對(duì)稱中心為

哈+Z)

(―-1)

令x=°,得到一個(gè)對(duì)稱中心為12',所以①錯(cuò)誤；

兀兀7171

XG——，一2》一臺(tái)

對(duì)于②，當(dāng)166256=sinx

7171

-6%」上單調(diào)遞增，所以②正確；

對(duì)于③，當(dāng)163J時(shí)，666,由〉=sinx的圖像與性質(zhì)知,

/(x)e(-2,l],所以③錯(cuò)誤;

71

故選：D.

X2y2_Q也

10.已知右，鳥是雙曲c線b2~la>Q'b>，的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)片作斜率為2的直

線/與雙曲線的左，右兩支分別交于M,N兩點(diǎn),以巴為圓心的圓過N,則雙曲線

C的離心率為()

A.拒B.#1C.2D.也

【正確答案】B

【分析】取九w中點(diǎn)/,連NB,令8r機(jī)，由雙曲線定義及所給條件可得

______也

2222

|AF2|=V4c-m=Vm-4a；再借助直線斜率為2即可作答.

【詳解】取中點(diǎn)/,連/尸2，由已知令則如圖：

因點(diǎn)N為雙曲線左右兩支上的點(diǎn)，由雙曲線定義得51—2"=機(jī)—2"

\NFx^NF2\+2a=m+2a

^\MN\=\NFX\-\MFX\=Aa,\MA\=2a令雙曲線半焦距為0,

RtZXZgE,中|Z片|=m,|AF-,|=V4c2—m2Rt^AMF,中|Zg|=Vm2—4a2

222

貝°有J掰2_4/=J4c2一加2,gpm=2a+2c;

也tanZAg=正tanNAg=嚕ILV2

即兩

因直線/的斜率為2,即一2,而?

"『=j_2c2—2/_￡

\AFiI23,于是有2c2+2、=5,

所以雙曲線c的離心率為6.

故選：B

11.已知三棱錐尸一N8C的底面ANBC為等腰直角三角形，其頂點(diǎn)P到底面/BC的距離為

3,體積為24,若該三棱錐的外接球。的半徑為5,則滿足上述條件的頂點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為（

A.6%B.307r

C0+2亞卜口（6+2收）

【正確答案】D

【分析】利用三棱錐尸一/8C的體積，求解底邊邊長(zhǎng)，求出ANBC的外接圓半徑,

以及球心。到底面4BC的距離，判斷頂點(diǎn)尸的軌跡是兩個(gè)不同截面圓的圓周，

進(jìn)而求解周長(zhǎng)即可.

【詳解】依題意得，設(shè)底面等腰直角三角形448c的邊長(zhǎng)為“（龍>°）,

J/=--i-x2-3=24

二三棱錐尸一NBC的體積32

解得：x=4百

「=—\p2-4A/3=2A/6

??"BC的外接圓半徑為2

二球心°到底面ABC的距離為

4=西T；=V25-24=1

又；頂點(diǎn)P到底面ABC的距離為3,

頂點(diǎn)尸的軌跡是一個(gè)截面圓的圓周

當(dāng)球心在底面N8C和截面圓之間時(shí)，

球心。到該截面圓的距離為4=3—1=2,

???截面圓的半徑為弓=&一；=^25^4=V21,

二頂點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為2環(huán)=2而兀;

當(dāng)球心在底面/8C和截面圓同一側(cè)時(shí)，

球心°到該截面圓的距離為4=3+1=4,

???截面圓的半徑為%=次-=J25—16=3,

二頂點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為2兀%=6萬；

綜上所述，頂點(diǎn)尸的軌跡的總長(zhǎng)度為2匹'》

故選：D.

本題考查空間幾何體外接球的問題以及軌跡周長(zhǎng)的求法，考查

空間想象能力、轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，題目具有一定的難度.

/,\b—=In6+2In2

12.已知a,b,ceq,+叼，且a—lna=2,2,c-sinl=lnc+tanl,其

中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（）

\a<b<cBb<a<cQa<c<bDb<c<a

【正確答案】B

【分析】由題設(shè)，構(gòu)造〃x)=xTnx且xe(l,+oo)研究單調(diào)性,判斷了⑷J(6)J(c)的范圍,

作差法比較/⑷J⑹J(°)大小，即可得答案.

1兀

,-6-ln6=—+21n2>lne=lc-Inc=sin1+tan1>tan—=1

【詳解】由題設(shè)"lna=2>l,24,

x—1

ff(x)=--->0

令/(x)=x—lnx且xe(l,+oo),貝！?x,即人>)在xe(l，+°°)上遞增，

-+21n2-2=ln4--=lnJ4<0

又22Ve3即/3)</僅),

XG(0兀)

由/(c)-〃a)sin1+tan1—2,令/z(x)=sinx+tanx—2x且’2

7“、1cos3x-2cos2x+1

?l(%)=cosXH~2—~/c1、

則COS2Xcos2X,又COS(0,1),

令g(x)=x、2x?+l且xe(o,l),貝|jg，(x)=x(3x-4)<°,即g(x)遞減，所以

g(x)>g(l)-0,

(0—)

所以"(x)〉°,即％(x)在’2上遞增，故人(x)〉/z(0)=0

即sinx+tanx>2x在’2上恒成立，故/(。)>/(。)，

綜上，/S)</(a)</(c),結(jié)合/(x)單調(diào)性知,b<a<c

故選：B

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)/(乃二》—'》且xe(l,+oo)研究單調(diào)性，再通過作差、構(gòu)造函數(shù)判斷

f(a),f(b)J?大小，進(jìn)而判斷凡1,大小.

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.設(shè)等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為J,寫出一個(gè)滿足下列條件的的公比"=.

①％>°,②也｝是遞增數(shù)列,③§3<13%

【正確答案】2(答案不唯一)

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.

【詳解】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得.”則1一（9—1）,

因?yàn)榍遥?｝是遞增數(shù)列，所以q>i,

因?yàn)镾3<13%所以％+。2+。3<13%即。材2+。19-12%<0

因?yàn)?所以d+qT2<0,解得一4<”3,

綜上l<q<3

故2（答案不唯一）

fT"=1"=2TTH->ff

14.已知向量a,6方滿足II,門，且。與6的夾角為則向量與6的夾角

為.

【正確答案】不

【分析】先利用已知條件求得=1,接著求解向量6的模長(zhǎng),最后根據(jù)向量夾角公式

求解即可.

I詳解】因?yàn)镹fc|=2--￡

I,且。與6的夾角為3,

—>—>—>

a-b-axbxcos—=lx2x—=1

所以32

所以("b>b=b-b=1-4=-3

設(shè)向量與6的夾角為。,

(a-b)-b

cos?=

T->—

a-bxb

所以

又因?yàn)閮上蛄克蓨A角范圍為［0"1

ZJ5萬

-38二——

所以向量4—6與6的夾角為6,

5TT

故答案為.6

15.己知直線經(jīng)過拋物線V=2PX（P>0）的焦點(diǎn)F并交拋物線于A,B兩點(diǎn)，則1"仁4,且

在拋物線的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)0滿足C8=28E,則°=

【正確答案】2

【分析】由所給向量關(guān)系可得點(diǎn)C在直線N3上，過點(diǎn)/,8分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，結(jié)合

拋物線定義求出/ACN=30。即可作答.

2=—R

【詳解】過點(diǎn)4,2作拋物線/=28（。>0）準(zhǔn)線”一一5的垂線，垂足分別為N,M,令準(zhǔn)線

交x軸于點(diǎn)K,如圖：

則有L4N|=|4F|,18Ml=|86|,因點(diǎn)c在準(zhǔn)線上且滿足C8=28E,即點(diǎn)c是直線/臺(tái)與

準(zhǔn)線的交點(diǎn),

于是有（切=218必，得NNCN=30。，從而有1/C1=21NN1=2"1,即點(diǎn)尸是線段

NC的中點(diǎn),

…\FK\=}-\AN\=}-\AF\=2

而FK//AN,則有22，又7KI-P,

所以夕=2.

故2

16.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體'88一44GA中，E,F,G,〃,尸均為所在棱的中點(diǎn)，則

下列結(jié)論正確的序號(hào)是

①棱N3上一定存在點(diǎn)。，使得?！?。；

②三棱錐尸一及巴的外接球的表面積為8%；

③過點(diǎn)E，RG作正方體的截面，則截面面積為3g；

④設(shè)點(diǎn)M在平面BB&C內(nèi)，且4M〃平面AGH,則A.M與AB所成角的余弦值的最大

242

值為3.

【正確答案】②③④

【分析】①建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)。坐標(biāo)，通過空間向量垂直的坐標(biāo)表示求點(diǎn)。進(jìn)行判斷;

②使用補(bǔ)形法，將三棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體求解即可；

③畫出正方體過點(diǎn)瓦的截面，為正六邊形，求面積即可；

④設(shè)M坐標(biāo)，用線面平行得出M坐標(biāo)滿足的條件，再由空間向量求線線角余弦值的最大值即

可.

對(duì)于①，以。為原點(diǎn)，DA,DC,QR所在直線分別為x軸，7軸，z軸建立如圖所示空

間直角坐標(biāo)系，則由已知，C（O,2,0）,2（0,0"）,

設(shè)棱”上一點(diǎn)。（2，％0）（0W"2）,則反=（-2,2-%,0）,麗=（2/。,-2）

若QC_LZ>1C,則。。。1。=-4+（2-為加=0,

整理得需一2%+4=0,即（%T）+3=°,為無實(shí)數(shù)解，

...棱45上不存在點(diǎn)°,使得0c10,故①錯(cuò)誤;

對(duì)于②，如圖，分別取棱48,B?,QG,42的中點(diǎn)N,"1,8，%,

由已知，EP=PH=HN=EN=4Z,易知棱柱￡尸.一￡用H尸為長(zhǎng)方體，

2R=E[H=+2?=2V2

其外接球的直徑為外接球表面積S=4成2=8%,

...三棱錐b一￡尸〃的頂點(diǎn)均在長(zhǎng)方體￡尸"“—耳片"】77的外接球上，故該球也是三棱錐

F-EPH的外接球，

...三棱錐歹-EP8的外接球的表面積為8兀，故②正確；

對(duì)于③，如圖所示，過點(diǎn)E，RG作正方體的截面是邊長(zhǎng)為0的正六邊形，其可分成六個(gè)全

5=6x—xV2xV2xsin—=3^/3

等的，邊長(zhǎng)為12的等邊三角形，面積23，故③正確；

z

對(duì)于④，由①中所建立空間直角坐標(biāo)系，

2(2,0,0)G(0,2,1)H(1,2,0)4(2,0,2)5(2,2,0)

，，，，，

((,，),設(shè)平面的一個(gè)法向量為"=(苞/1*1),

n-AG=-2xl+2yl+z1=0

<

則〔心屈=f+2"=0,令為=2,則弘=1,馬=2一..〃=(2,1,2),

設(shè)平面網(wǎng)G。內(nèi)一點(diǎn)四62,z),則A,M=(x-2,2,2-2),

...4.〃平面ZG〃，二詞G=2x(x-2)+lx2+2x(z-2)=0,即“3-x

又...益=(0,2,0),

AXM-AB__________4__________

J(x-2)+4+(z-2)2>2

4M與48所成角的余弦值為

(x-2)2+(z-2)2=(x-2)2+(3-x-2)2=2x2-6x+5=zfx--+—>—

其中，I2>22,

cos〈A[M,AB)<

32V2

即當(dāng)且僅當(dāng)2時(shí)，4M與48所成角的余弦值的最大值為3,故④正確.

故答案為：②③④.

解決立體幾何中動(dòng)點(diǎn)問題的有效方法之一，是建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，借助空間向

量將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，通過運(yùn)算進(jìn)行求解.

三、解答題（本大題共7小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

V3

.?,a-ccosBD=——osinC

17.在△48C中，內(nèi)角46D,。所對(duì)的邊分別為且3

（1）求角°的大??；

（2）若°=2百，且,求的周長(zhǎng).請(qǐng)?jiān)谙铝腥齻€(gè)條件中，選擇其中的一個(gè)條

siiL4siiiS=—-

件補(bǔ)充到上面的橫線中，并完成作答.①12；②的面積為3.③

CA.BC=--

3.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，那么按第一解答計(jì)分

C=-

【正確答案】（1）3

（2）4+2百

【分析】（1）根據(jù)條件，利用+和正弦的和角公式，化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果；

,4

cib——

（2）選①，利用正弦定理和條件得出3,選②，利用條件和三角形面積公式得出

,4

ab——

3,選③，利用條件和數(shù)量積的定義得出

,4

ab~—

3,再利用余弦定即可得到結(jié)果.

【小問1詳解】

G

siib4-sinCcos5=——siaSsinC

由正弦定理：3,

也

siib4=sinsin8cosc+cos'sinC-smCcosB=——siaSsinC

因?yàn)橐籌A所以3,

sinScosC=sin5sinCcosC=sinCr-

所以3,因?yàn)閟m5wO,所以3,得到tanC=Y3,

「—巴

又Ce（。,兀）,所以J.

【小問2詳解】

a_b_c_2A/3_4

sinAsinfisinCsin71

若選①，根據(jù)正弦定理和（1）可知，3

...ab174

?17A?sin/isinjD————ab——

所以a=4AsnU）=4smN5,所以1612,得到3,

—absinC=-abx-ab=-

若選②，由題知2223,得到3,

一一2/、124

CABC=——abcos（兀一。）=——ab=——ab=—

若選③，即3,由數(shù)量積定義得23,得到3,

74

cib——

故三個(gè)條件任選一個(gè)條件，都可以得到3,

c2-a2+b2-2abcos—（a+b~）~-lab-2abcos—=12

由余弦定理，得3,整理得3,

即（a+by=16,則a+b=4或a+6=-4（舍去），

所以"8C的周長(zhǎng)為a+b+c=4+2后.

18.2021年3.15期間，某家具城舉辦了一次家具有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，消費(fèi)每超過1萬元（含1萬

元），均可抽獎(jiǎng)一次，抽獎(jiǎng)方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種.方案一：從裝有10個(gè)形狀

與大小完全相同的小球（其中紅球2個(gè)，白球1個(gè)，黑球7個(gè)）的抽獎(jiǎng)盒中，一次性摸出3個(gè)

球，其中獎(jiǎng)規(guī)則為：若摸到2個(gè)紅球和1個(gè)白球，則打5折；若摸出2個(gè)紅球和1個(gè)黑球則打

7折；若摸出1個(gè)白球2個(gè)黑球，則打9折：其余情況不打折.方案二：從裝有10個(gè)形狀與

大小完全相同的小球（其中紅球2個(gè)，黑球8個(gè)）的抽獎(jiǎng)盒中，有放回每次摸取1球，連摸3

次，每摸到1次紅球，立減2000元.

（1）若一位顧客消費(fèi)了1萬元，且選擇抽獎(jiǎng)方案一，試求該顧客享受7折優(yōu)惠的概率；

（2）若某顧客消費(fèi)恰好滿1萬元，試從數(shù)冊(cè)望的角度比較該顧客選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案更合算?

7

【正確答案】⑴120；（2）該顧客選擇第二種抽獎(jiǎng)方案更合算.

【分析】（1）方案一若享受到7折，需要摸出2個(gè)紅球和1個(gè)黑球，由此可計(jì)算出概率；

（2）選擇方案一，付款金額X元可能的取值為5000、7000、9000>10000,分別計(jì)算出概率

的分布列，計(jì)算出期望.選擇方案二，設(shè)摸到紅球的個(gè)數(shù)為y,付款金額為Z,則得關(guān)系式

Z=10000-20007,由I5人可得頤丫），再計(jì)算出頤Z）,比較后可得.

【詳解】（1）選擇方案一若享受到7折，則需要摸出2個(gè)紅球和1個(gè)黑球，設(shè)顧客享受到7折

尸.）=C?2cl=，7

為事件A,貝ijG。120.

（2）若選擇方案一，

設(shè)付款金額為X元，則X可能的取值為5000、7000>9000>10000,

2l2

P(X=5000)=-c^cfL'=——1P(X=7000)=C-^2cfl^=—7P(X=9000)=CC=7—

3

q0120,Go120,Qo40

17791

P(X=10000)=1--------------------=—

,12012040120.

故X的分布列為，

X50007000900010000

17791

P

12012040120

[779]28825

E(X)=5000x——+7000x—+9000x—+10000x—=上巴工9608.3

所以')120120401203(元)

若選擇方案二，設(shè)摸到紅球的個(gè)數(shù)為V,付款金額為Z,則Z=10000-2000/,

y?口￡（y）=3x-=-

由己知可得I5九故55,

所以E（Z）=0000-20007）=10000-2000￡（y）=8800（元）

因?yàn)镋（X）>￡（Z）,所以該顧客選擇第二種抽獎(jiǎng)方案更合算.

19.如圖，已知矩形48co中，E、歹分別是45、8上的點(diǎn),

BE=CF=1,BC=2,AB=CD=3,尸、。分別是?！辍E的中點(diǎn)，現(xiàn)沿著EF翻

2TT

折，使得二面角/一大小為

（I）求證：0°〃平面BCD；

（II）求二面角幺一08一E的余弦值.

4

【正確答案】（I）詳見解析（II）7

【詳解】（D取E8的中點(diǎn)M,連接PM,QM又尸為￡>￡的中點(diǎn)，

所以PM||AD,尸W平面88,8。u平面BCD,

所以「加||平面8C。，

同理可證〃。||平面88,

又因?yàn)槭?

所以平面平面8C。，PQu平面尸QM,

所以尸2II平面BCD.

（ID在平面內(nèi)，過點(diǎn)口作尸。的垂線，易證明這條垂線垂直平面￡BCE,因?yàn)槎娼?/p>

27r27r

—ZDFC=—

A—EF-B大小為3,所以3,

建立空間直角坐標(biāo)系八中X如圖所示，則￡（20°）,CR,l,O）,3（2,1,0）,

￡）@,-1,灼1,6）

則麗=《2,—2,百）AB=（0,2,-43）￡5=（0,1,0）

m-BD=0-2x-2y+V3z=0

設(shè)平面ZX45的一個(gè)法向量冽=（“"）,根據(jù)m-AB=O2j-V3z=0

令2=6,則x=0,y~2,所以機(jī)

｛力.竺=0=產(chǎn)—2%+后=0

設(shè)平面D8E的一個(gè)法向量”=6，凹/1）,根據(jù)n-EB=0%=°

J__4

n=7

4

4

所以二面角A-DB-E的余弦值為7.

證明線面平行有兩種方法，法一是利用判定定理，尋求線線平行；法二是尋求面面平行，本題

是通過面面平行去證明線面平行.求二面角常用空間向量去求，先建立空間直角坐標(biāo)系，寫出

相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩個(gè)半平面的法向量，再利用公式求出二面角的余弦值.

22

二+與=1伍〉6〉0）

20.已知橢圓a~匕離心率為2,點(diǎn)I2J在橢圓"上.

（1）求橢圓"的方程;

（2）設(shè)°為坐標(biāo)原點(diǎn)，A,B,0是橢圓“上不同的三點(diǎn)，且。為A4BC的重心，探究

△48C面積是否為定值，若是求出這個(gè)定值；若不是，說明理由

2

x2,373

—y~1---

【正確答案】（1）4'；（2）是定值，2.

【分析】（1）由題意列出關(guān)于凡“°的方程組，求出名6,即可得出橢圓方程；

（2）先討論直線48的斜率不存在時(shí)，根據(jù)題中條件，求出此時(shí)的A48C面積；再討論直線

48的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/反了=依+",聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)"（石，％）,

8（%，%）,由韋達(dá)定理，得出石+%,由弦長(zhǎng)公式，得出座|；根據(jù)。為

△N8C的重心，求出點(diǎn)。為C坐標(biāo)，代入橢圓方程，得到左，”之間關(guān)系；再由點(diǎn)到直線的距

離公式，得出點(diǎn)°到直線N8的距離，由S"BC=3S“B。即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)由題知:,解得a=2,6=1,

—+y2=l

所以橢圓河的方程為4

軸，點(diǎn)C在x軸上，1"同=百.點(diǎn)0到4g的距

(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),

離為八3,貝""八

當(dāng)直線48的斜率存在時(shí)，設(shè)直線月8：?=去+加

X221

—+V=1

-4

由［好b+加消去x,整理（4公+1”+8左叩+4"-1）=0

/r八8km

設(shè)4國M),8(%,必)，則有△=16(4H+1-")〉0,%+%=一記石

4m—4

%+>2=左（再+x2）+2m=

所以

\AB\=717F|xt-x2|=V17F當(dāng)；］：療

uun8km2m

OC=-

因?yàn)椤锳NBC的重心，則由4左2+1'-4左2+1

(8kmY

C(8km______2m)［叱+1J+(2mV_〔

點(diǎn)14-+1'4/+J在橢圓上，則414/+J得4/=叱+1,

點(diǎn)°到直線4B的距離為

3II,6\m||yl^k2+l-m26|m|V3m23百

所以加BC=35V,BO=-\AB\d=川一

4m之2

s_述

綜上：…2為定值.

思路點(diǎn)睛:

求解橢圓中三角形面積相關(guān)問題時(shí)，一般需要聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式,

以及點(diǎn)到直線距離公式，表示出三角形的面積，再結(jié)合題中條件，即可求解.

21.已知函數(shù)f（）,（）

（1）討論函數(shù)/（“）的單調(diào)性；

⑵令g（x）=/（x）—sinx,若存在石，、2￡（°，+°°）,且％產(chǎn)“2時(shí)，g（xi）=g（%2）,證明

2

<a

【正確答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.

【分析】（1）求函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，分和。>°兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求出函數(shù)的單調(diào)

性.

（2）根據(jù)題意可得"（M玉Tn%）=2（斗-x2）-（sm/—sinx2）,通過構(gòu)造函數(shù)

,zX.a>石一"2/=工（7〉1）

/7（x）=x-smx,求函數(shù)單調(diào)性及參變分離可得In%-In%,令x2，通過導(dǎo)

機(jī)（0=丁—ln4〉l）機(jī)〃）〉〃2m=0XX</

數(shù)得”的單調(diào)性，即可證明⑷⑴，從而可證明石馬（".

wzy_，2a^2x-a

【詳解】解：⑴/⑺的定義域?yàn)椋ā闶眨?，⑺XX,

當(dāng)時(shí)，/中）＞0,當(dāng)a＞0時(shí)，由4）＞0得"力由/'00＜°得°＜、＜3

...當(dāng)aW0時(shí),

—,+co

當(dāng)。＞0時(shí),在上單調(diào)遞減，在2單調(diào)遞增.

(2)g()g(l'g(z),由題意知,

2xl一。In再一sinxx=2x2-a]nx2-sinx2

a(inx-Inx)=2(x-x)-(sinx-sinx)

,,x2r212，

令〃(x)=x-sinx,則"(x)=l-cosx",7(x)在(0,+0上單調(diào)遞增,

不妨設(shè)玉〉々〉0,..）（占）＞〃62）,...可―5由%＞》2_5由々，

-(sinx-sinx^>x-x

,?x22r，

.2a-x2)-(sinX]-sinx2)>2(占-x2y)+(x2-=xl-x2

再-x

2*只需證只需證

.a(lnX]—In/)〉》[一々.In^-lnx2令

>0m(t^=-In>1)機(jī)'(/)=

業(yè)，設(shè)&