2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新題型地區(qū)專用）（解析版）

2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新題型地區(qū)專用）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

1.設(shè)集合M={x|-2WxW2},N={y|y=2，+1},則（）

A.[一2,?。〣.（1,2]C.[1,2]D.（l,+8）

【答案】A

【解析】由題設(shè)N={y|y>l},故MuN={x|-24尤42}“y|y〉l}={x|x12},故選：A

2.“x<l”是“_?_4x+3>0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】解不等式Y(jié)-4x+3>0得x>3或x<l,記4=(-8,1)U(3,+8),8=(—e,l),

因為A]8,所以“x<l”是“/一4》+3>0”的充分不必要條件.故選：A

22

3.已知橢圓E：a+1=1（。>6>0）的長軸長是短軸長的3倍，則E的離心率為（）

AV2口2&「有n273

3333

【答案】B

【解析】由題意，2a=6b,所以：=g，則離心率e=（=「J=Jl-gj=孚.

故選：B.

4.已知向量A5=（g,l）,AC=（2后-2）,則AB在衣上的投影向量是（）

【答案】A

（后）

ABACAC42-2

ABcos人民40網(wǎng)=AC岡一（2/『+（_2）

【解析】AB在AC上的投影向量為||2

,故選A

5.已知等差數(shù)列｛4｝的前幾項和為S“，S4=1,跖=4,則17+/+《9+%0=（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【解析】在等差數(shù)列｛4｝中，'=1,既=4,所以S4=1,S8-S,=3,

故邑⑷-US]z-S8，S16-SQ,%）-S16構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列,

所以S20-S[6=1+(5-1)X2=9,即0(7+。18+419+a20=9,故選C

6.在黨的二十大報告中，習(xí)近平總書記提出要發(fā)展“高質(zhì)量教育”，促進城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展.某地區(qū)教育行政

部門積極響應(yīng)黨中央號召，近期將安排甲、乙、丙、丁4名教育專家前往某省教育相對落后的三個地區(qū)指導(dǎo)教

育教學(xué)工作，則每個地區(qū)至少安排1名專家的概率為（）

A.1B,1C.1D.A

99327

【答案】B

【解析】甲、乙、丙、丁4名教育專家到三個地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作的安排方法共有：3"=81種；每個地區(qū)至

少安排1名專家的安排方法有：C：A；=36種；

由古典概型的計算公式，每個地區(qū)至少安排1名專家的概率為：三36=，4

o19

故選：B.

7.我圓古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》一書時介紹了“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一

個小正方形拼成的大正方形如圖所示，記直角三角形較小的銳角為a,大正方形的面積為跖，小正方形的

?,.、r.?.S].3sin6ZCOSCC,,,

面積為邑'右125,則2$出…，的值為()

【答案】C

【解析】設(shè)大正方形的邊長為。，則直角三角形的直角邊分別為asinc,acosa,

因為a是直角三角形較小的銳角，所以0<c<￡,

4

可得H=S]-4x一片sinccosa=a1-la1sincrcos<7,

22

S2a一2asinacosa1一2sinacosa

即sin2a+cos2a=25,所以ta'g+l=25,解得tana=g或tana=g(舍去),

l-2sincrcoscr1-2tancr43

3x—+1

3sin(7+cos6r_Stance+1_4_13

故選C.

2sina-cos。2tancr-l2x--l?

4~

22

8.已知雙曲線C：=-2=1（。>0力>0）的左焦點為耳，離心率為e,直線y=公紙/0）分別與C的左、右兩支

ab

交于點M,N.若“々N的面積為ZMFtN=60°,則d+3"的最小值為（）

A.2B.3C.6D.7

【答案】D

【解析】連接”有對稱性可知：四邊形崢叫為平行四邊形，故|寒|=|聞埒,|N耳月吟

ZFlNF1=120°,SRm=SMF、N=6,

由面積公式得：；加片卜|蟆卜山120。=6,解得：|峭卜加周=4,

由雙曲線定義可知：|EN|—舊N|=2a,

RN2+FN-4cl_(F\NBN》+2F、N.F?N4$

在三角形耳”中，由余弦定理得：cos120°=

2F、N?F?N2F、N?&N

22

2F.N-F2N-4b15,日,,,,4b

2F"NF解侍：怩N|,EN|=F-，

4b2

所以絲=4,解得：廿=3,

3

故e?+3〃=1+2+3a2>l+2^-3a2=7,

故選：D

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.設(shè)z為復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是()

A.|z|-=zz

B.若z=(l-2iy,則復(fù)平面內(nèi)』對應(yīng)的點位于第二象限

C.z2=|z|2

D.若目=1,則|z+i|的最大值為2

【答案】ABD

【解析】對于A,T^z-a+bi,故N=a-歷，貝！J=a2+6。，zz=(a+b\)(a-bi)=a2+b2,故|z『=zN成立,

故A正確，

對于B,z=(l-2i)2=-4i-3,z=4i-3,顯然復(fù)平面內(nèi)三對應(yīng)的點位于第二象限，故B正確，

對于C,易知|z「=4+方2,z2=a2+b2+2abi?當(dāng)于#0時,z'，，故C錯誤，

對于D,若|z|=1,則/+〃=],而|z+i|=擊2+(:+])2=J26+2,易得當(dāng)6=1時，|z+i|最大,此時|z+i|=2,

故D正確.

故選：ABD

冗

10.將函數(shù)y=sin2ox(o>0)向左平移7個單位，得到函數(shù)/⑴，下列關(guān)于/(%)的說法正確的是()

6

A.Ax)關(guān)于卜寸稱

Sir

B.當(dāng)0=1時，/(%)關(guān)于尤=對稱

C.當(dāng)0</Vl時，"X)在［咤)上單調(diào)遞增

D.若人尤)在-上有三個零點，則。的取值范圍為

66J［_2_

【答案】ABC

【解析】/W=sin2++￡|(?>0),當(dāng)尤=-《時，得20卜+￡|=0,/W=0,故選項A正確;

當(dāng)°=1時,-1是函數(shù)的最小值，所以/(尤)關(guān)于x=-7T對稱，故選項B

正確；

當(dāng)0<oVl時，0<x<j得0<?<2所以/(x)在(0,與上單調(diào)遞增，故選項C正確;

123voy22II"

由」WxW型，得042。［尤兀，由于/(%)在14,上有三個零點，所以27r<2師<3兀，所以

66<6JL66_

3

14。<三,故選項D錯誤.

2

故選：ABC.

11.已知函數(shù)/'(x)滿足：①對任意x,yeR,/(x+y)+/(x)+/(y)=/(x)./(y)+2；②若"y,則

/(x)w/(y).則()

A.”0)的值為2B./(%)+/(-%)>4

C.若〃1)=3,貝ij/⑶=9D.若"4)=10,則〃-2)=4

【答案】ABC

【解析】對于A,令無=y=0,得3〃0)=[〃0)了+2,解得“0)=1或"0)=2,

若"0)=1,令y=0,得2〃x)+l=〃x)+2,即〃x)=1,

但這與②若x*y,則矛盾，

所以只能〃0)=2,故A正確；

對于B,令曠=一%結(jié)合八0)=2得，/⑴+x)=,小x)“(x)+〃r)

解得F(x)+〃—x"4或/(x)+〃-x)W0,

又/(0)=2,所以2〃0)=4>0,

所以只能f(x)+/(—x)N4,故B正確；

對于C,若"1)=3,令y=l得，/(x+l)+/(^)+3=3/(x)+2,

所以〃x+l)=2〃x)-l,所以〃2)=2/(1)—1=6—1=5,

所以〃3)=2〃2)-1=10—1=9,故C正確；

對于D,取〃x)=(6)'+l,

則?〃y)+2=+[(百)'+1]+2=(百丁'+(班)*+(省『+3

滿足"4）=10,但〃-2）=:故D錯誤.

故選：ABC.

第II卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.12X+/J的展開式中的常數(shù)項為.

【答案】40

5

C_2A（_2Y5_5

【解析】依題意，2彳+一的展開式的通項為卻|=C＞（2x）*.”=C^25-r-x^,

\7\7

令5-$=0可得廠=3.故常數(shù)項為C＞22=40.

13.已知正四棱臺ABC。-4月￡2的上、下底面邊長分別為4、6,高為也,則正四棱臺ABC。-4月￡。

的體積為,外接球的半徑為.

［答案］丕與V26

3

【解析】根據(jù)題意易知該棱臺的上、下底面積分別為：1=42=16,邑=6=36,

所以正四棱臺A8CD-ABGR的體積為丫=；（＜+/啊+52卜后=受；

連接AC,3。交于點。廠連接AG，8四交于點a，如圖所示:

當(dāng)外接球的球心。在線段延長線上,

設(shè)。。=〃，外接球半徑為R,則。2。2=("0『，

因為002=3，上、下底面邊長分別為4、6,

則〃0]=:用2=20,DO2=~BD=3y/2,

所以4=2。；+/=oo；+(/7-廚=>“=367?=后

當(dāng)外接球的球心。在線段。2a延長線上，顯然不合題意;

當(dāng)球心。在線段。。2之間時，則。2。2=(3-〃『，同上可得，力=3及，不符舍去.

14.定義：max{x,y}為實數(shù)x,y中較大的數(shù).若°,dc>0,則max1(+6,：+bc,￡+c1的最小值為

【答案】2

[解析]=max\—+b,-+bc,^-+c\,

[acabj

貝lj由題意可得“上工+人>0,”>‘+bc>0,"N0+c>0,

acab

因為(-l-+6]c='+bc,所以

\ac)a

①當(dāng)cZl時，-+bc>—+b>0,

aac

只需考慮M>—卜bc,M>—+c,

ab

所以++,M>-+C>-+1>2J-,

aaVabbVb

所以M222Ax24=4,可得M22,當(dāng)且僅當(dāng)〃=〃=c=l時取等號；

②當(dāng)0<c<l時，0<—\-bc<--\-b,只需考慮A/N\-b,M>—+c,

aacacb

可得〃之2,當(dāng)且僅當(dāng)。=1,秘=1時取等號.

綜上所述，〃的最小值為2.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明'證明過程及驗算步驟。

15.(本小題滿分13分)已知函數(shù)〃x)=alnx-x.

⑴當(dāng)4=1時，求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

⑵當(dāng)。>0時，求函數(shù)“X)的最大值.

【解】⑴/⑺的定義域為(0,—),

當(dāng)4=1時，f(x)=inx-x,==

當(dāng):(x)=F>。，解得：0<%<1，

當(dāng)廣(x)=7<0,解得：x>l.

，(x)在(0,1)上為增函數(shù)；/(%)在(1,+co)上為減函數(shù);

(2)/(X)的定義域為(0,+8),

當(dāng)a>0時，令/'(x)>0,得0<x<a,令尸(x)<o時，得尤>4,

”尤)的遞增區(qū)間為(0,。)，遞減區(qū)間為(。,內(nèi)).

/(X)max=-a=a()na-1).

16.(本小題滿分15分)如圖，在五面體ABCDEF中，底面A3CD為平行四邊形，族〃平面AB-CD,.E4B

為等邊三角形，BC=CE=2AB=2EF,ZABC=60°.

(1)求證：平面以8_L平面ABC。；

(2)求平面ECD與平面FCD夾角的余弦值.

【解】(1)不妨設(shè)AS=1,則3C=CE=2,

在平行四邊形ABCD中，BC=2,AB=1,ZABC=60°,連接AC,

由余弦定理得AC2=12+22—2xlxlxcos60°=3,即AC=VL

AC1+AB2=BC2,:.AC±AB.

又［AC2+AE2=CE2,:.AC±AE,ABAE=A,

AC_L平面￡AB,又；ACu平面ABCD.

平面EABJ_平面ABCD.

取AB中點G,連接EG,EA=EB,:.EGLAB,

由（1）易知EG_L平面ABCD,且EG=也.

2

如圖，以A為原點，分別以射線AB,AC所在直線為軸，豎直向上為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系4-型,

則芻，F(xiàn)0,與日，C（O,HO）,D（-1,A/3,0）,4卜2,2石,0）,C卜1,26網(wǎng),

［。,且，-3、

CD=(-1,0,0)FC=

22

7

n-CD=0

設(shè)平面尸CO的法向量為力=（x,y,z）,貝卜

n?FC-0

-x=0

得＜673，令y=i，得"=(0,1,1),

——y------z=0

12'2

m-CD=0

設(shè)平面ECD的法向量為機=（占,％,zj,則＜

m-EC=0

—Xj=0

得1廠也，令必=1，得根=(O,L2),

---zx=0

m-n33^10

cosm,n=?-j-pf=~i=—1==-------，

|m|-|n|V2xv510

所以平面ECD與平面FCD夾角的余弦值之叵.

10

17.（本小題滿分15分）已知某種業(yè)公司培育了新品種的軟籽石榴，從收獲的果實中隨機抽取了50個軟籽

石榴，按質(zhì)量(單位：g)將它們分成5組：[360,380),[380,400),[400,420),[420,440),[440,460]得

到如下頻率分布直方圖.

O360380400420440460痂股收

(1)用樣本估計總體，求該品種石榴的平均質(zhì)量；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)

(2)按分層隨機抽樣，在樣本中，從質(zhì)量在區(qū)間[380,400),[400,420),[420,440)內(nèi)的石榴中抽取7個石榴

進行檢測，再從中抽取3個石榴作進一步檢測.

(i)已知抽取的3個石榴不完全來自同一區(qū)間，求這3個石榴恰好來自不同區(qū)間的概率；

(ii)記這3個石榴中質(zhì)量在區(qū)間[420,440)內(nèi)的個數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【解】(1)該品種石榴的平均質(zhì)量為嚏=20X[370X0.005+(390+410+450)X0.010+430X0.015]=416,

所以該品種石榴的平均質(zhì)量為416g.

(2)由題可知，這7個石榴中，質(zhì)量在[380,400),[400,420),[420,440)上的頻率比為

0.010:0.010:0.015=2:2:3,

所以抽取質(zhì)量在[380,400),[400,420),[420,440)上的石榴個數(shù)分別為2,2,3.

(i)記4="抽取的3個石榴不完全來自同一區(qū)間”，3=“這3個石榴恰好來自不同區(qū)間”，

則尸網(wǎng)=鏟=二P(A3)=蟀絲12

35

12

所以「(叫力=緇

35=_6

34-17

35

即這3個石榴恰好來自不同區(qū)間的概率為，.

(ii)由題意X的所有可能取值為0,1,2,3,

貝”(x=o)=5=[,尸(X=1)=等=1|，

尸(X=2)=晉

所以X的分布列為

X0123

418121

p

35353535

A1Q1919

所以E(X)=Ox—+lx—+2x—+3x—=

')353535357

18.(本小題滿分17分)已知拋物線：；/=2x,直線/：＞=尤-4,且點氏D在拋物線上.

⑴若點AC在直線/上，且A8,C,。四點構(gòu)成菱形ABCD,求直線3D的方程；

(2)若點A為拋物線和直線/的交點(位于x軸下方)，點C在直線/上，且AB,C,。四點構(gòu)成矩形ABCD,

求直線的斜率.

【解】(1)由題意知AC43D,設(shè)直線BO:x=-y+機.

\x=—y+m,c

聯(lián)乂｛2c得y+2y-2m=0,

[y=2x

+2m

貝！1yByD=-2,yByD=-，xB+xD=-(yB+yD)+2m=2m+2,

則比)的中點(m+l,T)在直線V=x-4上，

代入可解得〃?=2,/+2y-4=0,A=20＞0,滿足直線與拋物線有兩個交點,

所以直線應(yīng)＞的方程為x=7+2,即x+y-2=0.

(2)當(dāng)直線的斜率為0或不存在時，均不滿足題意.

由Iy=x得-4[x或=2f[x尸=84(舍去)，故3/-功、

方法一：當(dāng)直線筋,AD的斜率存在且不為0時，設(shè)直線2=《y+2).

聯(lián)立V2c',得y2—2Zy—4f—4=°，所以%+為=2"

[y=2尤

所以B（2t2+4r+2,2/'+2）.同理得￡）13—7+2,—[+2）.

由8。的中點在直線>=》-4上，

得口…+2+>；+2）-4?+2一1

[ip?2+—+^?—1—4=0.

令/_：=,，則p?+p_2=0,解得P=-2或p=l.

當(dāng)P=1時，直線8。的斜率kBD=---------------，-；J=—4

2』+4f+2-（"-；+2）t--+2

當(dāng)p=-2時，直線的斜率不存在.

所以直線3。的斜率為;.

方法二:設(shè)3（看,加,￡＞（々,%）,線段的中點

則%+%2=2a,%+%=2（。一4）.

2

y,+2乃+2,A±1.A±__I

由A3_LAD,得二一=即才c抬.=

x,-2-2^--2--2

22

所以—2（乂+%）+8=0.

又X%+%）2-（才+創(chuàng)=Q"4）2-2（司+9）]

=；[4（。一4『-甸=2/_184+32,

故X%-2（%+%）+8=?？赊D(zhuǎn)化為2〃2—18〃+32-4（〃-4）+8=0,

即〃2一11〃+28=0.解得〃=7或a=4.

k=%-X==2=1

所以直線的斜率如一々—王一義—近一%+%一4一4.

萬一萬

當(dāng)a=4時，斜率不存在；當(dāng)a=7時，斜率的0=:.

所以直線3。的斜率為;.

19.（本小題滿分17分）交比是射影幾何中最基本的不變量，在歐氏幾何中亦有應(yīng)用.設(shè)A