2023-2024學(xué)年陜西省高三年級(jí)下冊(cè)高考數(shù)學(xué)(文)模擬試題(三模)含解析

2023-2024學(xué)年陜西省高三下學(xué)期高考數(shù)學(xué)(文)模擬試題

(三模)

一、單選題

1.已知集合/={鄧-1|<2},S=|x|log3(x-l)<l|,則"8=()

A.{x|l<x<3}B.{x|-l<x<3}

C.{x|l<x<41D.{x|-l<x<4}

【正確答案】A

【分析】利用解絕對(duì)值不等式和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得集合42,根據(jù)集合的交集運(yùn)算即得答

案.

【詳解】由題意可得集合/={亦-1|<2}={尤[-l<x<3},

B=fx|log3(x-l)<l|={x|l<x<4},

故/c8=<x<3},

故選：A

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z-(l-2i)=5i,則的值為()

A.V5B.5C.41D.2

【正確答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)z,從而可求得7=-2-工再用乘法運(yùn)算即可得

出結(jié)果.

【詳解】???z-(l-2i)=5i”.z=7^7=-2+i^l]7=-2-i,

1-21

z-z=(-2+i)(-2-i)=5.

故選：B.

3.函數(shù)/(x)=d_sinx在上的圖像大致為()

【正確答案】C

【分析】根據(jù)解析式和圖象，結(jié)合特殊值，判斷選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)“x）=/-sinx,/⑴=l-sinl>0,故排除AD,

sin巴=（勺--<0,故排除B,只有C滿足條件.

6（6）2

故選：C

4.如圖，一組數(shù)據(jù)為,和馬,…，的平均數(shù)為5,方差為S；,去除X”尤10這兩個(gè)數(shù)據(jù)

后，平均數(shù)為三，方差為官,則（）

9------------------------------；------:

??

5—?------.------------------------------：-

*

1----------------------------------2—?1,

o\910i

A.x>5,s；>s；B.x<5,s；<s；C.x=5,s；<s；D.x=5,s；>s；

【正確答案】D

【分析】根據(jù)題中數(shù)據(jù)結(jié)合平均數(shù)的定義運(yùn)算求解，并根據(jù)方差的意義理解判斷.

]1010

【詳解】由題意可得：高工毛=5，q=1，沖）=9,貝1」￡匕=50,

1U【=1i=i

_181C10\1

==Q=^（50-1-9）=5,

3i=i3"）&

%9，%io是波幅最大的兩個(gè)點(diǎn)的值，則去除馬，再0這兩個(gè)數(shù)據(jù)后，整體波動(dòng)性減小，故S；>1.

故選：D.

5.已知向量Z,B滿足同向共線，且W=2,，-4=1,貝+（）

A.3B.15C.-3或15D.3或15

【正確答案】D

【分析】先根據(jù)題意確定向量Z，3的倍數(shù)關(guān)系，然后可直接求解.

【詳解】因?yàn)橄蛄縕，石滿足同向共線，所以設(shè)￡=泥（彳>0）,

I1"rlHIIrrpIrp由2

又因?yàn)椴穇q=1,M=2,所以,=|（A=（2-I）2=4（2—I）2=1,

所以%=—或%=3,即或a=—6.

2222

①當(dāng)時(shí)，（°+訃°=[3@1=3；

②當(dāng)2=]時(shí)，卜+3）S7^2=15；

所以（3+孫Z的值為3或15.

故選：D.

6.國(guó)家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京2022年冬奧會(huì)的標(biāo)志性場(chǎng)館，擁有亞洲最大的全冰面

設(shè)計(jì)，但整個(gè)系統(tǒng)的碳排放接近于零，做到真正的智慧場(chǎng)館、綠色場(chǎng)館.并且為了倡導(dǎo)綠色

可循環(huán)的理念，場(chǎng)館還配備了先進(jìn)的污水、雨水過(guò)濾系統(tǒng).已知過(guò)濾過(guò)程中廢水的污染物數(shù)

量N（mg/L）與時(shí)間f的關(guān)系為雙=乂*（既為最初污染物數(shù)量）.如果前4小時(shí)消除了20%

的污染物，那么污染物消除至最初的64%還需要（）小時(shí).

A.3.6B.3.8C.4D.4.2

【正確答案】C

【分析】分析可得出ee=g,設(shè)可膽』=0.64怎=]1]2既，求出，的值，由此可得出結(jié)果.

4k

【詳解】由題意可得Noe-=^No,可得=g,設(shè)=0.64N。=（^\No,

k,4k2

可得e-=(e-)=H8k,解得/=8.

因此，污染物消除至最初的64%還需要4小時(shí).

故選：C.

7.已知實(shí)數(shù)。，b,。滿足lna=e〃=L,則下列不等式中不可能成立的是（）

C

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

【正確答案】D

【分析】由lno=/=L,得到才〉0,所以。>1,。〉0,分別令a=e,a=e3^b=-l,結(jié)

c

合選項(xiàng)，得到43,c正確，即可求解.

【詳解】由題意，實(shí)數(shù)a/,c滿足lna=*=l,可得e">0,所以。>1,c>0,

C

當(dāng)a=e時(shí)，6=0,c=l,止匕時(shí)a>c>6,故B可能成立；

當(dāng)a=e3時(shí)，/>=In3e(1,2),c=—5―e(0.5,1),止匕時(shí)a>b>c,故A可能成立；

In3

當(dāng)b=T時(shí)，c=e,a=—,此時(shí)c>a>b,故C可能成立；

e

所以由排除法得D不可能成立.

故選：D.

8.已知球與圓臺(tái)的上下底面和側(cè)面都相切.若圓臺(tái)的側(cè)面積為16兀；上、下底面的面積之

比為1:9,則球的表面積為().

A.127rB.14兀C.16兀D.18兀

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題的描述，球內(nèi)切于圓臺(tái)，畫(huà)出圓臺(tái)的軸截面圖，根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積

S=7rZ(r1+r2),和上下底面的面積關(guān)系求出球的半徑，進(jìn)而即得.

【詳解】依據(jù)題意，球內(nèi)切與圓臺(tái)，畫(huà)出兩者的軸截面，球的截面為圓，圓臺(tái)的軸截面為等

過(guò)3點(diǎn)作的垂線，垂足為E,設(shè)球的半徑為K,則8￡=2尺，

jrr2r21

設(shè)圓臺(tái)的母線為/,即5。=/,上、下底面的面積之比為1:9,即失二號(hào)=人，弓=3大由

叫&9

圓的切線長(zhǎng)定理可知，4+與=/=>/=由，

圓臺(tái)的側(cè)面積為兀億+々)/=4叫/=16W=167i,解得外=1,則2R=BE=#-(2八)?=,

即&=6，

則球的表面積S=4兀R2=12兀.

故選：A.

9.已知函數(shù)［(x)=sin(5+e)(@>0,0<e<7i)的圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)40,—,8*0,/(x)

k1)-J

在內(nèi)有且只有兩個(gè)最值點(diǎn)，且最大值點(diǎn)大于最小值點(diǎn)，則。=()

A.8B.9C.10D.11

【正確答案】B

【分析】由題意畫(huà)出函數(shù)/")的圖像，然后結(jié)合圖像以及題目的條件，利用特殊點(diǎn)代入，

根據(jù)題意畫(huà)出函數(shù)/(x)的圖像大致如上,

B

因?yàn)?(0)=sin0=-^-,

371

由圖可知，(p=—+2kTt,keZ,

又0<夕<兀，所以夕=不，

所以/(x)=sin10x+,),

L.、r//兀、.(兀3兀、八

因?yàn)?匕戶1“丁+彳尸，

7T37r

由圖可知，一G+—=兀+2析，左EZ,

44

解得3=\+8k,ksZ,

又因?yàn)樯?7<。

可得(y>8,

所以當(dāng)左=1時(shí)，。=9.

故選：B

10.圓尤?+/=4上任意一點(diǎn)〃到直線3x+4y-15=0的距離大于2的概率為()

115

A.-B，3CD.

6-t6

【正確答案】C

【分析】試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從這個(gè)圓上隨機(jī)的取一個(gè)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的圓上整個(gè)圓周的弧長(zhǎng),

根據(jù)題意做出符合條件的弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的圓心角是胃，根據(jù)幾何概型概率公式得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)圓心為C,圓心到直線/的距離=3,

如圖,

取CD=1,過(guò)。做/皮〃交圓于42,可知滿足條件的點(diǎn)在劣弧上（不包括A,B）,

在朋/CD中，AC=2,CD=l,

1Jr27r

所以cos4C。=—,NACD二一，即ZACB=一,

233

因?yàn)榉蠗l件的點(diǎn)所在弧長(zhǎng)所對(duì)圓心角為三，

4萬(wàn)

由幾何概型可知pT2,

2萬(wàn)3

故選：C

11.如圖，正四棱錐尸-的高為12,AB=6叵,E,尸分別為P/,尸C的中點(diǎn)，過(guò)

點(diǎn)、B,E,廠的截面交尸。于點(diǎn)截面ESFM將四棱錐分成上下兩個(gè)部分，規(guī)定而為主

視圖方向，則幾何體CD48-月座的俯視圖為（）

【分析】根據(jù)主視圖所給方向即可知俯視圖中底面正方形，計(jì)算可知M點(diǎn)投影位置，即可

得出答案.

【詳解】研究平面。/，設(shè)/C與3。的交點(diǎn)為O,BM與EF交點(diǎn)、為N,

V瓦尸為尸4尸。的中點(diǎn),

.1N為尸。的中點(diǎn)，尸。=12,

.-.ON=OB=6,

又因?yàn)閠anZPDB=—=—=2,

OD6

過(guò)點(diǎn)M作MGLDB,

設(shè)GB=x,

???ZNBO=45°,:.GB=MG=x,

又?；DB=12,:.DG=n-x,

x

tan/PDB=-------=2,

12-x

x=GB=8,

.〔OG為4個(gè)格，GB為8個(gè)格，

故選：C

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：研究并計(jì)算平面尸。3,確定點(diǎn)M在底面上的投影G的位置，是解題的關(guān)鍵，屬

于中檔題.

12.在棱長(zhǎng)為2的正四面體/3CD中，點(diǎn)尸為4BC所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足

|9|+|而卜乎，則PD的最大值為（）

A.3B.C.-D.2

33

【正確答案】B

【分析】由題意可知，點(diǎn)?在/8C所在平面內(nèi)的軌跡為橢圓，且該橢圓的焦點(diǎn)為A、B,

長(zhǎng)軸長(zhǎng)為逋，然后以線段48的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線N8所在直線為X軸，以co所在

3

直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出橢圓的方程，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的

最大值.

【詳解】如圖所示，在平面4BC內(nèi)，|蘇|+|而卜￥>2,

所以點(diǎn)P在平面/8C內(nèi)的軌跡為橢圓，取48的中點(diǎn)為點(diǎn)O,連接CO,以直線48為無(wú)軸,

直線0C為y建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-平，

3

所以，橢圓方程為；/+3/=1卜=0).

點(diǎn)。在底面的投影設(shè)為點(diǎn)￡,則點(diǎn)E為48c的中心，O￡=-OC=-xV3=—,

333

故點(diǎn)E正好為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，

■：CE=-OC=^-,則DE=JCC，-CE?=地,

333

因?yàn)槭?=。爐+￡尸2,故只需計(jì)算EP的最大值.

設(shè)尸(x,y,O),則E0,、-,0,

I3J

貝!|Ep2=x2+y—當(dāng)=-^-4y2+y2

當(dāng)了=-*?時(shí)'EP2取最大值,

因此可得尸。2V=+要=?故PD的最大值為亞.

9993

故選：B.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查線段長(zhǎng)度最值的求解，根據(jù)橢圓的定義得知點(diǎn)P的軌跡是橢圓，并結(jié)

合二次函數(shù)的基本性質(zhì)求解EP的最大值是解題的關(guān)鍵，在求解時(shí)也要注意橢圓有界性的應(yīng)

用.

二、填空題

x-y+l?O

13.已知實(shí)數(shù)X,歹滿足約束條件卜+y-120,則z=x-2y的最小值為.

”3

【正確答案】-8

【分析】根據(jù)約束條件作出可行域，再將目標(biāo)函數(shù)表示的一簇直線畫(huà)出向可行域平移即可求

S.

【詳解】作出可行域，如圖所示

177

目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線y=1■在V軸上的截距為一%,

17

z=%_2y轉(zhuǎn)化為y=萬(wàn)I―'，令z=0,則工_2）=0,

作出直線％-2y=0并平移使它經(jīng)過(guò)可行域的點(diǎn)，經(jīng)過(guò)。時(shí)，

fx+y-1=0=—2/、

，解得y=3，所以C（-2,3）,

此時(shí)z取得最小值,即z皿=-2-2x3=-8.

故答案為.-8

14.已知等比數(shù)列｛%｝的公比為2,前〃項(xiàng)和為5“，且6,%，%成等差數(shù)列，貝1風(fēng)=.

31

【正確答案】一二

2

【分析】利用等差中項(xiàng)的定義及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式即可求

解.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為外,

因?yàn)?,%,%成等差數(shù)列，

所以2%=6+%,即2%夕=6+〃聞"，

又夕二2,

所以24x2=6+24%,解得%=-J，

所以＜句I；b。一巧31.

5\-q1-22

31

故答案為

2

15."一灣如月弦初上，半壁澄波鏡比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如圖所示，月牙

泉由兩段在同一平面內(nèi)的圓弧形岸連接圍成.兩岸連接點(diǎn)間距離為60g米.其中外岸為半圓

形，內(nèi)岸圓弧所在圓的半徑為60米.某游客繞著月牙泉的岸邊步行一周，則該游客步行的路

程為米.

【正確答案】（40+30百）萬(wàn)

如圖，作出月牙湖的示意圖，由題意可得sin/0Po=1,可求的值，進(jìn)而

由圖利用扇形的弧長(zhǎng)公式可計(jì)算得解.

【詳解】如圖，是月牙湖的示意圖，。是。7的中點(diǎn)，

連結(jié)尸。，可得尸由條件可知。T=60。，尸。=60所以sin/0Po=1,所以

712萬(wàn)

NQPO=3,ZQPT=—,

所以月牙泉的周長(zhǎng)/=-x60+乃x30^/3=(40+30A/^)萬(wàn).

故(40+30抬■,

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出圖象，再根據(jù)數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題.

16.已知直線/：y=-l,拋物線C:f=4y的焦點(diǎn)為歹，過(guò)點(diǎn)尸的直線交拋物線C于48兩

點(diǎn)，點(diǎn)8關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為p.若過(guò)點(diǎn)45的圓與直線/相切，且與直線加交于點(diǎn)。，則當(dāng)

QB=3PQ時(shí)，直線AB的斜率為.

【正確答案】土立

4

【分析】根據(jù)題意設(shè)直線Z8的方程為了=h+1,聯(lián)立拋物線方程，然后結(jié)合韋達(dá)定理即可

得到結(jié)果.

【詳解】如圖，易知過(guò)點(diǎn)43且與直線/相切的圓就是以為直徑的圓，設(shè)

/3%）,

則0（項(xiàng),%）,尸（-乙,%）,由7=3而有％=-2%，

設(shè)直線48的方程為了=履+1，代入f=4y有--4履-4=0,

所以玉+乙=4左玉x,=-4,結(jié)合％=-2%，得左=±1.

4

故答案為：

4

三、解答題

17.在48c中，角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足?=工-

1+cosAsinC

（1）求角A的大??；

（2）若°c—b=m,求NBC的面積.

2

TT

【正確答案】（1）§

⑵一

【分析】（1）由正弦定理結(jié)合三角恒等變換即可得角/的大??；

（2）由余弦定理可得6c的值，結(jié)合面積公式即可得面積.

【詳解】（1）在/8C中，由正弦定理得.—=&

sinAsmC

又瓜=^，所以，回=上,

1+cosNsinC1+cos/sin4

所以，V3sin=1+cosA,即VJsinZ—cos%=1,

即sin（"C又/e（O,兀），所以所以/_￡=￡,即/

Voy26166J663

（2）由（1）及題意知45c中，a=V3,c-b=-^-4=R

23

由余弦定理得—%ccos4,即3=（?！?+小.

所以bc=l+g，所以S△/BC=gbcsin/=gx（l+石=?

18.如圖，已知三棱柱4BC-44G，ZACB=90。,AQLA.C,。為線段4。上的動(dòng)點(diǎn),

AC、~LBD.

⑴求證：平面4CC/]，平面/BC;

（2）若44]L/C,。為線段4c的中點(diǎn)，/C=28C=2,求片。與平面48c所成角的正弦值.

【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵如

3

【分析】(1)根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可得結(jié)合BC1AC,再利用線

面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理證明即可；

(2)由(1),根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面43C,建立如圖空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)

向量法求解.

【詳解】(1)因?yàn)?C1，4C,AC.LBD,AXC^BD^D,AC,5Z)u平面48C,

所以N。，平面48c.

又BCu平面48C,所以/G，8C，

又NACB=90°,即8C_L/C,而NCc4C=N,AC,&Cu平面/CC/i，

所以3C/平面/CG4.

又因?yàn)锽Cu平面所以平面NCG4_L平面48c.

(2)由(1)知平面/CG4_L平面4BC,

又平面/CG4n平面/8C=ZC,AA,LAC,平面NCG4,

所以平面48C,又4N〃CC，

所以C￡_1_平面/3C,所以C4,CB,CG兩兩垂直，

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，元的方向分別為x軸、y軸、x軸的正方向，

建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：

因?yàn)樗运倪呅?CG4為矩形,

又因?yàn)樗运倪呅?CG4為正方形.

因?yàn)镹C=2,BC=\,所以cq=2,

所以C（0,0,0）,5（0,1,0）,4（2,0,2）,4（0,1,2）.

由。是線段4c的中點(diǎn)，得。(1,0,1),

所以赤=（0,1,0）,直=（2,0,2）,^5=（1,-1,-1）.

設(shè)平面4BC的一個(gè)法向量為：=(x/,z),

元@二0,了=0,

則一即

力。1=0,2尤+2z=0,

取x=l,貝!Jz=-1,所以〃=（l,0,T）,

n-BD1x1—1x0+（―l）x（-1）V6

所以cos{〃,2Q）=X

72x733,

設(shè)直線耳。與平面48c所成的角為a,貝hina=

所以直線利與平面印0所成角的正弦值為￡

19.為弘揚(yáng)奧林匹克精神，普及冰雪運(yùn)動(dòng)知識(shí)，助力2022年冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)，某校組織

全體學(xué)生參與“激情冰雪—相約冬奧，，冰雪運(yùn)動(dòng)知識(shí)競(jìng)賽.從參加競(jìng)賽的學(xué)生中，隨機(jī)抽取若

干名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，均在50至I100之間，將樣本數(shù)據(jù)分組為[50,60),[60,70),[70,80),

[80,90),[90,100],并將成績(jī)繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.已知成績(jī)?cè)趨^(qū)間70到

90的有60人.

頻率

0.032

0.028

0.024

0.020

0.016

0.012

0.008

0.004

O"5060708090100虎績(jī)

(1)求樣本容量，并估計(jì)該校本次競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)及平均數(shù)最(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間

的中點(diǎn)值為代表)；

(2)全校學(xué)生有1000人，抽取學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為11,用頻率估計(jì)概率，記全校學(xué)生

的競(jìng)賽成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為。，估計(jì)全校學(xué)生中競(jìng)賽成績(jī)?cè)贕-d+b)內(nèi)的人數(shù).

【正確答案】(1)樣本容量為100;中位數(shù)76.875,平均數(shù)三76.6;

(2)621人

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)分析公式可得.

(2)先計(jì)算區(qū)間6-。/+。)為(65.6,87.6),根據(jù)頻率分布直方圖求其對(duì)應(yīng)頻率再乘以總數(shù)

1000即得.

【詳解】(1)設(shè)樣本容量為"，則如=(0.028+0.032)x10,得”=100,樣本容量為100.

n

設(shè)本次競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)為％,

貝I]0.08+0.2+(x—70)x0.032=0.5,得X=76.875

抽取的學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)

x=55x0.008x10+65x0.02x10+75x0.032x10+85x0.028x10+95x0.012x10=76.6.

(2)x-cr=76.6-11=65.6，x+cr=76.6+11=87.6，

則抽取學(xué)生在「-<7,X+CT)內(nèi)的頻率為

(70-65.6)x0.02+0.32+(87.6-80)x0.028=0.6208

全校學(xué)生有1000人，競(jìng)賽成績(jī)?cè)凇?b，+b)內(nèi)的人數(shù)1000x0.6208=620.8?621

22

20.已知雙曲線C：鼻-方=l(a>0,6>0)的右頂點(diǎn)為/,。為原點(diǎn)，點(diǎn)尸(11)在C的漸近

線上，尸49的面積為

(1)求C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)P作直線/交C于河，N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線交直線于點(diǎn)G,H為NG的

中點(diǎn)，證明：直線/〃的斜率為定值.

【正確答案】(l)f-/=1

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)點(diǎn)尸(1,1)在C的漸近線y=2x上，可得。=6,再根據(jù)孫。的面積求出即

a

可；

(2)易得直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為＞-1=上卜-1),/(再,乂),"(%,%),聯(lián)立方

程，利用韋達(dá)定理求出X1+乙戶國(guó)，求出的方程，令X=X2，可得G點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可

得8點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)斜率公式計(jì)算即可.

【詳解】(1)因?yàn)辄c(diǎn)尸(U)在。的漸近線y=2x上，所以。=6,

a

則S均o=ga=g,所以a=l,故6=1,

所以C的方程為犬-/=1；

(2)當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線/與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不符題意，

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為"1=后(-1),兇(國(guó),弘),河々,％),

"2_2=j

聯(lián)立[左0_1)，消y得(1一女)x2—2左(1一左)X—左？+2后_2=0,

l-k2^0

則＜，,2/\/1\,解得左＜1且左彳―1，

△=4左2(1—左)-4(l-F2)(-F+2A;-2)=8-8^＞0

2k(1-町2k-產(chǎn)+2"2

1-l-k2l+k12l-k2

直線AM的方程為V=工片(x-1),

七一1

令X7,得k即GQ,吟鼻，

%-1(^-1)

乂('一1)一.

1十人2

石T

因?yàn)椤镹G的中點(diǎn)，所以〃x

22

7

必y_k{x-1)+1A:(X-1)+1

因?yàn)?-\-x----=------2-----r----------

&一]

_j11_,x+—2x,+—2

=2左+-----+-----=2k+----------=2k+------~~--

再一1X2-1（玉一1）（々—1）再％一（玉+%2）+1

2k0

"2

=2k+-=2左+2-2斤=2

-k2+2k-22k

-------------------------------------1-1

1-k2l+k

所以如/=1，

(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；

(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.

21.已知函數(shù)/(X)=e*(l+alnx),其中。>0,設(shè)/'(x)為八>)導(dǎo)函數(shù).

(I)設(shè)g(x)=*r(x),若g(x)N2恒成立,求。的范圍；

(II)設(shè)函數(shù)/(X)的零點(diǎn)為七,函數(shù)/'(x)的極小值點(diǎn)為X],當(dāng)。>2時(shí)，求證.%>國(guó)

【正確答案】(1)?>1(2)見(jiàn)解析

【分析】⑴計(jì)算g(x)的導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算g(x)最小值，結(jié)合恒不等式，建立不等關(guān)系，計(jì)算

a的范圍，即可.(II)構(gòu)造函數(shù)力卜)，判定極小值點(diǎn)，進(jìn)而得到/(x)的單調(diào)性，得到

/(x1)</(x0),結(jié)合單調(diào)性，即可.

【詳解】⑴由題設(shè)知，/'(x)=e^l+1+d^(x>0),

g(x)=e~xf(x)=1+—+a\nx,g<x)=D(x>0).

xx

當(dāng)xe(O,l)時(shí),g'(x)<0,g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,

當(dāng)xw(,+oo)時(shí),g'(x)>o,g(x)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增,

故g（尤）在x=l處取到最小值，且g⑴=l+a.

由于g（x）N2恒成立，所以l+aN2naNl.

（II）設(shè)/z（x）=/（X）=e*1+3+0欣），貝I」=e*11+2-彳+alnxj.

設(shè)坦力=1+網(wǎng)一=+H3則打⑺一烏+與+9=0￡zml>c，

XXV7X2X3XX3

故〃（X）在（0,+8）上單調(diào)遞增.

因?yàn)閍>2,所以〃（l）=a+l>0,//Qj=l-aln2<o,

故存在使得〃H）=o,

則〃（x）在區(qū)間（0,尤2）上單調(diào)遞減，在區(qū)間值，內(nèi)）上單調(diào)遞增，

故馬是〃（尤）的極小值點(diǎn)，因此迎=玉.

由⑴可知，當(dāng)。=1時(shí)，lnx+'21.

X

因此〃（X）之〃（再）=/（1+巴+。1叫）>/（1+〃）>0,即/（X）單調(diào)遞增.

X]

,zX,2aa八a2a

由于“（石）=0,即1~1-------^+ahu：]=0,gp1+a\wcx=------,

x>

所以/（再）=/'（l+alnX1）=ae<0=/（x0）.

x\

又由（D可知，/（x）在（0,+8）單調(diào)遞增，因此再<七.

本道題考查了利用導(dǎo)函數(shù)判定原函數(shù)的單調(diào)性以及極值問(wèn)題，難度較大.

22.在極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程P=4acos8（a>0）,在以極點(diǎn)。為原點(diǎn)，極軸為x

[X=-1,--也--1

軸正半軸的平面直角坐標(biāo)系中，直線/的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），直線/與曲

,亞2