充要條件教學(xué)設(shè)計(jì) 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

課程基本信息學(xué)科數(shù)學(xué)年級高一學(xué)期秋季課題1.4.2充要條件教科書書名：數(shù)學(xué)必修一人教A版出版社：人民教育出版社出版日期：2019年月教學(xué)目標(biāo)1.理解充要條件的意義；2.會(huì)判斷充要條件、充分不必要條件、必要不充分條件、既不充分也不必要條件。3.理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.教材分析常用邏輯用語是數(shù)學(xué)語言的重要組成部分，是數(shù)學(xué)表達(dá)和交流工具，是邏輯思維的基本語言，充分條件、必要條件和充要條件是數(shù)學(xué)中常用的邏輯用語。在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，數(shù)學(xué)定義、判斷定理和性質(zhì)定理是重要的組成部分，它們都可以用邏輯用語表達(dá)。每一條數(shù)學(xué)定義都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充要條件；每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件；每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)必要條件。運(yùn)用常用邏輯用語進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)、論證和交流，可以提高交流的嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性。充要條件是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)概念之一，它主要討論了命題之間的邏輯關(guān)系，目的是為數(shù)學(xué)推理的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。學(xué)情分析充要條件是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)概念之一，它主要討論了命題的條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，是學(xué)生解決問題時(shí)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化的邏輯基礎(chǔ)，是今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)推理的基礎(chǔ)。學(xué)生在上一節(jié)已經(jīng)學(xué)習(xí)了充分條件、必要條件的意義，學(xué)會(huì)了根據(jù)命題真假的判斷方法，嘗試有條件去推結(jié)論，從命題的條件與結(jié)論的互推關(guān)系，分析充要條件的含義，讓學(xué)生逐漸習(xí)慣用數(shù)學(xué)思維研究數(shù)學(xué)結(jié)論。教學(xué)方法啟發(fā)引導(dǎo)，小組合作，討論法，探究式教學(xué)，講授法教學(xué)內(nèi)容教學(xué)重點(diǎn)：1.對充分、必要、充要條件的判斷與證明。教學(xué)難點(diǎn)：1.對充分、必要、充要條件的判斷與證明，并根據(jù)不同條件求參數(shù)的值或范圍。2.充要條件與教學(xué)定義之間的關(guān)系的理解.教學(xué)過程

溫故知新命題真假“若p，則q”是真命題“若p，則q”是假命題推出關(guān)系pq條件關(guān)系p是q的充分條件，q是p的必要條件。p不是q的充分條件，q不是p的必要條件。定理關(guān)系判定定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的充分條件性質(zhì)定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的必要條件接下來我們在看書中的思考，其中提到了逆命題，那我們先來回想一下，什么是逆命題，老師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)言，并總結(jié)（命題“若p，則q”的逆命題為“若q，則p”）。同學(xué)們要記住，將命題“若p，則q”中的條件p和結(jié)論q互換，就得到一個(gè)新的命題“若q，則p”，稱這個(gè)命題為原命題的逆命題。師生互動(dòng)：師生共同梳理上節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容，引出逆命題的概念。設(shè)計(jì)意圖：回顧舊知，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)充要條件做鋪墊。探索新知1.形成概念思考：下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題與它們的逆命題都是真命題？(1)若兩個(gè)三角形的兩角和其中一角所對的邊分別相等，則這兩個(gè)三角形全等；(2)若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形的周長相等；(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則ac<0；(4)若A∪B是空集，則A與B均是空集.解：(1)若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形的兩角和其中一角所對的邊分別相等；(2)若兩個(gè)三角形的周長相等，則這兩個(gè)三角形全等；(3)若ac<0，則一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(4)若A與B均是空集，則A∪B是空集。不難發(fā)現(xiàn)，上述命題中的命題(1)(4)和它們的逆命題都是真命題；命題(2)是真命題，但它的逆命題是假命題；命題(3)是假命題，但它的逆命題是真命題。追問1：根據(jù)以上命題及其逆命題的真假，那么p是否為q的充分條件或必要條件？為什么？解：（1）原命題為真，所以p是q的充分條件；逆命題為真，所以p是q的必要條件；（2）原命題為真，所以p是q的充分條件；逆命題為假，所以p不是q的必要條件；（3）原命題為假，所以p不是q的充分條件；逆命題為真，所以p是q的必要條件；（4）原命題為真，所以p是q的充分條件；逆命題為真，所以p是q的必要條件。追問2：閱讀教科書第20頁最后一段到第21頁第一段完，你能說說什么是充要條件嗎？充要條件：如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，則記作．此時(shí)p既是q的充分條件，又是q的必要條件，我們說p是q充分必要條件，簡稱為充要條件。師生互動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，回答思考題。設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生熟悉的具體命題出發(fā)，通過分析命題及其逆命題的真假，引入充要條件的概念。2.辨析概念問題：根據(jù)定義，上述四個(gè)命題中，哪些p是q的充要條件？類比“充分必要條件”的名稱，其余的命題中，你認(rèn)為p應(yīng)該稱為q的什么條件？你認(rèn)為如何判斷p是q的什么條件？解：上述命題（1）（4）中的p是q充要條件；對于命題（2），p是q的充分條件，p不是q的必要條件，稱p是q的充分不必要條件；對于命題（3），p不是q的充分條件，p是q的必要條件，稱p是q的必要不充分條件。如果“若p，則q”為真命題，且“若q，則p”為真命題，則p是q充要條件；如果“若p，則q”為真命題，且“若q，則p”為假命題，則p是q充分不必要條件；如果“若p，則q”為假命題，且“若q，則p”為真命題，則p是q必要不充分條件；如果“若p，則q”為假命題，且“若q，則p”為假命題，則p是q即不充分又不必要條件。條件關(guān)系判定的常用結(jié)論：條件p與結(jié)論q的關(guān)系結(jié)論(p是q的)p?q，且q?p充分不必要條件q?p，且p?q必要不充分條件p?q，且q?p充要條件p?q，且q?p既不充分也不必要條件集合角度看充分、必要條件把使命題P為真命題的變量x的取值集合記作A={x|p(x)}，同理有B={x|q(x)}，則記法A={x|p(x)}，B={x|q(x)}關(guān)系A(chǔ)?BB?AA=BA?B且B?A圖示BAABA(B)ABAB結(jié)論p是q的充分不必要條件p是q的必要不成分條件P,q互為充要條件p是q的既不充分也不必要條件注意點(diǎn)：(1)充要條件的判斷方法：①確定哪個(gè)是條件，哪個(gè)是結(jié)論；②嘗試用條件推結(jié)論；③再嘗試用結(jié)論推條件；④最后判斷條件是結(jié)論的什么條件。(2)充要條件的等價(jià)說法：p是q的充要條件又常說成q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立，或p與q等價(jià)。師生互動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生類比充要條件的概念，總結(jié)充分不必要條件、必要不充分條件和既不充分也不必要條件的概念，得出判斷充要條件的方法。設(shè)計(jì)意圖：借助學(xué)生熟悉的命題，說明p是q的充要、充分不必要等條件與p是q的充分條件、p是q的必要條件之間的關(guān)系．同時(shí)利用定義解決問題，形成方法。3.應(yīng)用概念例3下列各題中，p是q的什么條件？（請用“充要條件”“充分不必要條件”“必要不充分條件”“既不充分又不必要條件”回答）并寫出理由．（1）p：兩個(gè)三角形全等，q：兩個(gè)三角形三邊成比例；（2）p：四邊形是平行四邊形，q：四邊形的對角線互相平分；（3）p：，q：；（4）p：是一元二次方程的一個(gè)根，q：。追問1：判斷p是q的什么條件的依據(jù)與方法是什么？練習(xí)1：指出下列各組命題中，p是q的什么條件(1)p：x＝1，q：x－1＝eq\r(x－1)；(2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；(3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；(4)p：a是自然數(shù)；q：a是正數(shù)．解：（1）p是q的充分不必要條件；p是q的充要條件；p是q的必要不充分條件；p是q的充分不必要條件。判斷充分條件、必要條件及充要條件的四種方法(1)定義法：直接判斷“若p，則q”以及“若q，則p”的真假。(2)集合法：即利用集合的包含關(guān)系判斷。(3)等價(jià)法：即利用p?q與q?p的等價(jià)關(guān)系，一般地，對于條件和結(jié)論是否定形式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法。(4)傳遞法：充分條件和必要條件具有傳遞性，即由p1?p2?…?pn，可得p1?pn；充要條件也有傳遞性。師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成，要求寫出判斷過程和結(jié)果，然后展示交流，教師幫助學(xué)生規(guī)范過程．如果學(xué)生只寫出命題的真假，而沒有給出理由，老師要進(jìn)行追問．例如：學(xué)生在（1）中寫出“若q，則p為假命題”，老師追問“為什么”，直到學(xué)生給出反例為止。總結(jié)判斷充分條件、必要條件及充要條件的四種方法設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步熟悉利用判斷命題真假來判定充要條件、充分不必要等條件的方法．追問2：例3（2）中給出了“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)充要條件，即“四邊形的對角線互相平分”，你還能寫出不同的充要條件嗎？答：四邊形的兩組對邊分別相等，四邊形的兩組對邊分別相等，四邊形的一組對邊平行且相等，都是充要條件。追問3：這些充要條件從不同角度刻畫了“平行四邊形”這個(gè)概念，據(jù)此我們可以給出平行四邊形的不同定義．例如：“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”、“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”等等．再回憶你學(xué)過的其他數(shù)學(xué)定義，你發(fā)現(xiàn)充要條件和數(shù)學(xué)定義之間有什么關(guān)系？答：數(shù)學(xué)定義和充要條件的關(guān)系：數(shù)學(xué)定義給出了數(shù)學(xué)對象成立的充要條件，它是從充分性和必要性兩個(gè)方面刻畫數(shù)學(xué)對象的，它既是這個(gè)數(shù)學(xué)對象的判定定理又是性質(zhì)定理。師生互動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，回答問題設(shè)計(jì)意圖：借助具體的數(shù)學(xué)命題，理解數(shù)學(xué)定義和充要條件的關(guān)系，進(jìn)一步深化對充要條件的理解。例4已知：⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，求證：d=r是直線l與⊙O相切的充要條件。追問：依據(jù)充要條件定義，證明“d=r是直線l與⊙O相切的充要條件”，應(yīng)該證明哪些命題為真命題？并嘗試給出證明思路。需要證明的命題以及證明思路：（1）若d=r，則直線l與⊙O相切；思路：要證“直線l與⊙O相切”“直線l與⊙O有且只有一個(gè)公共點(diǎn)”先根據(jù)條件“d=r”證明“有公共點(diǎn)”，然后再證明“只有一個(gè)公共點(diǎn)”。（2）若直線l與⊙O相切，則d=r．思路：由“直線l與⊙O相切”“直線l與⊙O有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P”“”“d=r”。證明：（1）如圖，作OPl于點(diǎn)P，則OP=d。若d=r，則點(diǎn)P在⊙O上，在直線l上任取一點(diǎn)Q（異于點(diǎn)P），連接OQ。在Rt△OPQ中，OQ＞OP=r。所以，除點(diǎn)P外直線l上的點(diǎn)都在⊙O的外部，即直線l與⊙O僅有一個(gè)公共點(diǎn)P。所以直線l與⊙O相切。（2）若直線l與⊙O相切，不防設(shè)切點(diǎn)為P，則OPl。因此d=OP=r。由（1）（2）得，d=r是直線l與⊙O相切的充要條件。證明命題（1）成立，即說明d=r是直線l與⊙O相切的充分條件，這一步稱為“充分性”；證明命題（2）成立，即說明d=r是直線l與⊙O相切的必要條件，這一步稱為“必要性”。師生互動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，分析題意，嘗試寫出要證的命題以及證明思路，展示交流，老師幫忙完善。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生完成證明，老師幫助訂正并規(guī)范學(xué)生的表達(dá)，并指出哪一步是“充分性”，哪一步是“必要性”?；蛘咭部梢宰寣W(xué)生閱讀教科書，并說明哪一步是充分性，哪一步是必要性。設(shè)計(jì)意圖：通過充要條件的證明，進(jìn)一步加深學(xué)生對充要條件的理解．另外，這個(gè)題目推理過程有一定難度，所以在推理之前，分清條件和結(jié)論，理清證明思路很重要。練習(xí)2：求證：關(guān)于x的方程ax2證明必要性：由于方程ax2所以Δ＝b2－4ac>0，x1·x