充要條件教學設計 高一上學期數學人教A版（2019）必修第一冊

課程基本信息學科數學年級高一學期秋季課題1.4.2充要條件教科書書名：數學必修一人教A版出版社：人民教育出版社出版日期：2019年月教學目標1.理解充要條件的意義；2.會判斷充要條件、充分不必要條件、必要不充分條件、既不充分也不必要條件。3.理解數學定義與充要條件的關系.教材分析常用邏輯用語是數學語言的重要組成部分，是數學表達和交流工具，是邏輯思維的基本語言，充分條件、必要條件和充要條件是數學中常用的邏輯用語。在數學知識體系中，數學定義、判斷定理和性質定理是重要的組成部分，它們都可以用邏輯用語表達。每一條數學定義都給出了相應數學結論成立的一個充要條件；每一條判定定理都給出了相應數學結論成立的一個充分條件；每一條性質定理都給出了相應數學結論成立的一個必要條件。運用常用邏輯用語進行數學表達、論證和交流，可以提高交流的嚴謹性和準確性。充要條件是中學數學中重要的數學概念之一，它主要討論了命題之間的邏輯關系，目的是為數學推理的學習打下基礎。學情分析充要條件是中學數學中最重要的數學概念之一，它主要討論了命題的條件與結論之間的邏輯關系，是學生解決問題時進行等價轉化的邏輯基礎，是今后學習數學推理的基礎。學生在上一節(jié)已經學習了充分條件、必要條件的意義，學會了根據命題真假的判斷方法，嘗試有條件去推結論，從命題的條件與結論的互推關系，分析充要條件的含義，讓學生逐漸習慣用數學思維研究數學結論。教學方法啟發(fā)引導，小組合作，討論法，探究式教學，講授法教學內容教學重點：1.對充分、必要、充要條件的判斷與證明。教學難點：1.對充分、必要、充要條件的判斷與證明，并根據不同條件求參數的值或范圍。2.充要條件與教學定義之間的關系的理解.教學過程

溫故知新命題真假“若p，則q”是真命題“若p，則q”是假命題推出關系pq條件關系p是q的充分條件，q是p的必要條件。p不是q的充分條件，q不是p的必要條件。定理關系判定定理給出了相應數學結論成立的充分條件性質定理給出了相應數學結論成立的必要條件接下來我們在看書中的思考，其中提到了逆命題，那我們先來回想一下，什么是逆命題，老師引導學生發(fā)言，并總結（命題“若p，則q”的逆命題為“若q，則p”）。同學們要記住，將命題“若p，則q”中的條件p和結論q互換，就得到一個新的命題“若q，則p”，稱這個命題為原命題的逆命題。師生互動：師生共同梳理上節(jié)課學習內容，引出逆命題的概念。設計意圖：回顧舊知，為進一步學習充要條件做鋪墊。探索新知1.形成概念思考：下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題與它們的逆命題都是真命題？(1)若兩個三角形的兩角和其中一角所對的邊分別相等，則這兩個三角形全等；(2)若兩個三角形全等，則這兩個三角形的周長相等；(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根，則ac<0；(4)若A∪B是空集，則A與B均是空集.解：(1)若兩個三角形全等，則這兩個三角形的兩角和其中一角所對的邊分別相等；(2)若兩個三角形的周長相等，則這兩個三角形全等；(3)若ac<0，則一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根；(4)若A與B均是空集，則A∪B是空集。不難發(fā)現，上述命題中的命題(1)(4)和它們的逆命題都是真命題；命題(2)是真命題，但它的逆命題是假命題；命題(3)是假命題，但它的逆命題是真命題。追問1：根據以上命題及其逆命題的真假，那么p是否為q的充分條件或必要條件？為什么？解：（1）原命題為真，所以p是q的充分條件；逆命題為真，所以p是q的必要條件；（2）原命題為真，所以p是q的充分條件；逆命題為假，所以p不是q的必要條件；（3）原命題為假，所以p不是q的充分條件；逆命題為真，所以p是q的必要條件；（4）原命題為真，所以p是q的充分條件；逆命題為真，所以p是q的必要條件。追問2：閱讀教科書第20頁最后一段到第21頁第一段完，你能說說什么是充要條件嗎？充要條件：如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，則記作．此時p既是q的充分條件，又是q的必要條件，我們說p是q充分必要條件，簡稱為充要條件。師生互動：學生獨立思考，回答思考題。設計意圖：從學生熟悉的具體命題出發(fā)，通過分析命題及其逆命題的真假，引入充要條件的概念。2.辨析概念問題：根據定義，上述四個命題中，哪些p是q的充要條件？類比“充分必要條件”的名稱，其余的命題中，你認為p應該稱為q的什么條件？你認為如何判斷p是q的什么條件？解：上述命題（1）（4）中的p是q充要條件；對于命題（2），p是q的充分條件，p不是q的必要條件，稱p是q的充分不必要條件；對于命題（3），p不是q的充分條件，p是q的必要條件，稱p是q的必要不充分條件。如果“若p，則q”為真命題，且“若q，則p”為真命題，則p是q充要條件；如果“若p，則q”為真命題，且“若q，則p”為假命題，則p是q充分不必要條件；如果“若p，則q”為假命題，且“若q，則p”為真命題，則p是q必要不充分條件；如果“若p，則q”為假命題，且“若q，則p”為假命題，則p是q即不充分又不必要條件。條件關系判定的常用結論：條件p與結論q的關系結論(p是q的)p?q，且q?p充分不必要條件q?p，且p?q必要不充分條件p?q，且q?p充要條件p?q，且q?p既不充分也不必要條件集合角度看充分、必要條件把使命題P為真命題的變量x的取值集合記作A={x|p(x)}，同理有B={x|q(x)}，則記法A={x|p(x)}，B={x|q(x)}關系A?BB?AA=BA?B且B?A圖示BAABA(B)ABAB結論p是q的充分不必要條件p是q的必要不成分條件P,q互為充要條件p是q的既不充分也不必要條件注意點：(1)充要條件的判斷方法：①確定哪個是條件，哪個是結論；②嘗試用條件推結論；③再嘗試用結論推條件；④最后判斷條件是結論的什么條件。(2)充要條件的等價說法：p是q的充要條件又常說成q成立當且僅當p成立，或p與q等價。師生互動：引導學生類比充要條件的概念，總結充分不必要條件、必要不充分條件和既不充分也不必要條件的概念，得出判斷充要條件的方法。設計意圖：借助學生熟悉的命題，說明p是q的充要、充分不必要等條件與p是q的充分條件、p是q的必要條件之間的關系．同時利用定義解決問題，形成方法。3.應用概念例3下列各題中，p是q的什么條件？（請用“充要條件”“充分不必要條件”“必要不充分條件”“既不充分又不必要條件”回答）并寫出理由．（1）p：兩個三角形全等，q：兩個三角形三邊成比例；（2）p：四邊形是平行四邊形，q：四邊形的對角線互相平分；（3）p：，q：；（4）p：是一元二次方程的一個根，q：。追問1：判斷p是q的什么條件的依據與方法是什么？練習1：指出下列各組命題中，p是q的什么條件(1)p：x＝1，q：x－1＝eq\r(x－1)；(2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；(3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；(4)p：a是自然數；q：a是正數．解：（1）p是q的充分不必要條件；p是q的充要條件；p是q的必要不充分條件；p是q的充分不必要條件。判斷充分條件、必要條件及充要條件的四種方法(1)定義法：直接判斷“若p，則q”以及“若q，則p”的真假。(2)集合法：即利用集合的包含關系判斷。(3)等價法：即利用p?q與q?p的等價關系，一般地，對于條件和結論是否定形式的命題，一般運用等價法。(4)傳遞法：充分條件和必要條件具有傳遞性，即由p1?p2?…?pn，可得p1?pn；充要條件也有傳遞性。師生活動：學生獨立完成，要求寫出判斷過程和結果，然后展示交流，教師幫助學生規(guī)范過程．如果學生只寫出命題的真假，而沒有給出理由，老師要進行追問．例如：學生在（1）中寫出“若q，則p為假命題”，老師追問“為什么”，直到學生給出反例為止?？偨Y判斷充分條件、必要條件及充要條件的四種方法設計意圖：進一步熟悉利用判斷命題真假來判定充要條件、充分不必要等條件的方法．追問2：例3（2）中給出了“四邊形是平行四邊形”的一個充要條件，即“四邊形的對角線互相平分”，你還能寫出不同的充要條件嗎？答：四邊形的兩組對邊分別相等，四邊形的兩組對邊分別相等，四邊形的一組對邊平行且相等，都是充要條件。追問3：這些充要條件從不同角度刻畫了“平行四邊形”這個概念，據此我們可以給出平行四邊形的不同定義．例如：“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”、“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”等等．再回憶你學過的其他數學定義，你發(fā)現充要條件和數學定義之間有什么關系？答：數學定義和充要條件的關系：數學定義給出了數學對象成立的充要條件，它是從充分性和必要性兩個方面刻畫數學對象的，它既是這個數學對象的判定定理又是性質定理。師生互動：學生獨立思考，回答問題設計意圖：借助具體的數學命題，理解數學定義和充要條件的關系，進一步深化對充要條件的理解。例4已知：⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，求證：d=r是直線l與⊙O相切的充要條件。追問：依據充要條件定義，證明“d=r是直線l與⊙O相切的充要條件”，應該證明哪些命題為真命題？并嘗試給出證明思路。需要證明的命題以及證明思路：（1）若d=r，則直線l與⊙O相切；思路：要證“直線l與⊙O相切”“直線l與⊙O有且只有一個公共點”先根據條件“d=r”證明“有公共點”，然后再證明“只有一個公共點”。（2）若直線l與⊙O相切，則d=r．思路：由“直線l與⊙O相切”“直線l與⊙O有且只有一個公共點P”“”“d=r”。證明：（1）如圖，作OPl于點P，則OP=d。若d=r，則點P在⊙O上，在直線l上任取一點Q（異于點P），連接OQ。在Rt△OPQ中，OQ＞OP=r。所以，除點P外直線l上的點都在⊙O的外部，即直線l與⊙O僅有一個公共點P。所以直線l與⊙O相切。（2）若直線l與⊙O相切，不防設切點為P，則OPl。因此d=OP=r。由（1）（2）得，d=r是直線l與⊙O相切的充要條件。證明命題（1）成立，即說明d=r是直線l與⊙O相切的充分條件，這一步稱為“充分性”；證明命題（2）成立，即說明d=r是直線l與⊙O相切的必要條件，這一步稱為“必要性”。師生互動：學生獨立思考，分析題意，嘗試寫出要證的命題以及證明思路，展示交流，老師幫忙完善。在此基礎上，學生完成證明，老師幫助訂正并規(guī)范學生的表達，并指出哪一步是“充分性”，哪一步是“必要性”?；蛘咭部梢宰寣W生閱讀教科書，并說明哪一步是充分性，哪一步是必要性。設計意圖：通過充要條件的證明，進一步加深學生對充要條件的理解．另外，這個題目推理過程有一定難度，所以在推理之前，分清條件和結論，理清證明思路很重要。練習2：求證：關于x的方程ax2證明必要性：由于方程ax2所以Δ＝b2－4ac>0，x1·x