新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義之方法技巧專題05一元二次不等式與其他常見不等式解法(原卷版+解析)

專題05一元二次不等式與其他常見不等式解法【考點預(yù)測】1、一元二次不等式一元二次不等式，其中，是方程的兩個根，且（1）當(dāng)時，二次函數(shù)圖象開口向上.（2）=1\*GB3①若，解集為.=2\*GB3②若，解集為.=3\*GB3③若，解集為.(2)當(dāng)時，二次函數(shù)圖象開口向下.=1\*GB3①若，解集為=2\*GB3②若，解集為2、分式不等式（1）（2）（3）（4）3、絕對值不等式（1）（2）；；（3）含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點分段法和圖象法求解【方法技巧與總結(jié)】1.已知關(guān)于的不等式的解集為（其中），解關(guān)于的不等式．由的解集為，得:的解集為，即關(guān)于的不等式的解集為．已知關(guān)于的不等式的解集為，解關(guān)于的不等式．由的解集為，得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為．2.已知關(guān)于的不等式的解集為（其中），解關(guān)于的不等式．由的解集為，得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為．3.已知關(guān)于的不等式的解集為，解關(guān)于的不等式．由的解集為，得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為，以此類推．4.已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；5.已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；6.已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；7.已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足．【題型歸納目錄】題型一：不含參數(shù)一元二次不等式的解法題型二：含參數(shù)一元二次不等式的解法題型三：一元二次不等式與韋達(dá)定理及判別式題型四：其他不等式解法題型五：二次函數(shù)根的分布問題【典例例題】題型一：不含參數(shù)一元二次不等式的解法例1．（2023·新疆烏魯木齊·二模（理））不等式的解集為（

）A． B． C． D．或例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)（且）的圖象過定點，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)=，則不等式的解集是（

）A．（﹣2，1） B．（0，1） C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） D．（1，+∞）例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)的范圍是（

）A． B．C． D．或例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相應(yīng)方程根，將根標(biāo)在軸上，結(jié)合圖象，寫出其解集題型二：含參數(shù)一元二次不等式的解法例6．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）不等式的解集為（

）A． B．C． D．例7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A．或 B．{x|x>a}C．或 D．例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則關(guān)于的不等式（其中）的解集為（

）A． B．或C． D．或例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在關(guān)于的不等式的解集中至多包含個整數(shù)，則的取值范圍是A． B． C． D．例10．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）設(shè)，關(guān)于的二次不等式的解集為，集合，滿足，求實數(shù)的取值范圍.例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式(kx－k2－4)(x－4)＞0，其中k∈R.(1)當(dāng)k變化時，試求不等式的解集A；(2)對于不等式的解集A，若滿足A∩Z＝B(其中Z為整數(shù)集)．試探究集合B能否為有限集？若能，求出使得集合B中元素個數(shù)最少的k的所有取值，并用列舉法表示集合B；若不能，請說明理由．例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式的解集為，其中，若該不等式在中有且只有一個整數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍【方法技巧與總結(jié)】1．?dāng)?shù)形結(jié)合處理．2．含參時注意分類討論．題型三：一元二次不等式與韋達(dá)定理及判別式例13．（2023·湖南岳陽·二模）已知關(guān)于的不等式的解集為，其中，則的最小值為（

）A． B．1 C．2 D．8例14．（2023·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知關(guān)于的不等式的解集為，則的最大值是（

）A． B． C． D．（多選題）例15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式的解集為，則（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集為例16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式的解集為，則不等式的解集為___________.例17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知不等式的解集是，則不等式的解集是________.【方法技巧與總結(jié)】1．一定要牢記二次函數(shù)的基本性質(zhì)．2．含參的注意利用根與系數(shù)的關(guān)系找關(guān)系進(jìn)行代換．題型四：其他不等式解法例18．（2023·上海市青浦高級中學(xué)高三階段練習(xí)）不等式是的解集為______．例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）不等式的解集為___________.例20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）寫出一個解集為的分式不等式___________.例21．（2023·上海·高三專題練習(xí)）關(guān)于的不等式的解集為_________.例22．（2023·四川德陽·三模（文））對于問題:“已知關(guān)于的不等式的解集為,解關(guān)于的不等式”,給出如下一種解法:解析:由的解集,得的解集為,即關(guān)于的不等式的解集為.參考上述解法,若關(guān)于的不等式的解集為關(guān)于的不等式的解集為____.【方法技巧與總結(jié)】1．分式不等式化為二次或高次不等式處理．2．根式不等式絕對值不等式平方處理．題型五：二次函數(shù)根的分布問題例23．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）若關(guān)于的方程有兩個不同的正根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．例25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．例26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知曲線上存在兩條斜率為3的不同切線，且切點的橫坐標(biāo)都大于零，則實數(shù)可能的取值（

）A． B．3 C． D．例27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若一元二次方程的兩個實根都大于，則的取值范圍____例28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，若，求證：(Ⅰ)且；(Ⅱ)方程在內(nèi)有兩個實根.【方法技巧與總結(jié)】解決一元二次方程的根的分布時，常常需考慮：判別式，對稱軸，特殊點的函數(shù)值的正負(fù)，所對應(yīng)的二次函數(shù)圖象的開口方向.

【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·河南·南陽中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知集合，，則（

）A． B．C． D．2．（2023·河北·模擬預(yù)測）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2023·陜西·模擬預(yù)測（理））已知集合，，若，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2023·重慶南開中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則關(guān)于t的不等式的解集為（

）A． B． C． D．5．（2023·山西·二模（理））已知集合，，若有2個元素，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2023·重慶·高三階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．（2023·江蘇無錫·模擬預(yù)測）已知實數(shù)，滿足如下兩個條件：（1）關(guān)于的方程有兩個異號的實根；（2），若對于上述的一切實數(shù)，，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，不等式恒成立，則的取值范圍為A．，， B．，，C．，， D．二、多選題9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式對任意的恒成立，則實數(shù)可能是A．1 B．2 C．3 D．410．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）已知不等式的解集為，其中，則以下選項正確的有（

）A． B．C．的解集為 D．的解集為或11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則下列命題正確的有（

）A．當(dāng)時，的解集為B．當(dāng)時，時，C．且時，D．當(dāng)時，若，則12．（2023·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知兩個變量x，y的關(guān)系式，則以下說法正確的是（

）A．B．對任意實數(shù)a，都有成立C．若對任意實數(shù)x，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是D．若對任意正實數(shù)a，不等式恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是三、填空題13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）不等式的解集為，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_______14．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）若不等式的解集中的整數(shù)有且僅有1，2，3，則實數(shù)的取值范圍是___________.15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式恰有1個正整數(shù)解，則的取值范圍是___________.16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，，，對任意滿足的實數(shù)，都有，則的最大可能值為__.四、解答題17．（2023·北京·高三學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)（m是常數(shù)）的圖象過點．(1)求的解析式；(2)求不等式的解集．18．（2023·江西·高三期末（文））已知.(1)解不等式；(2)若關(guān)于x的不等式在上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，若，，求證：(1)方程有實數(shù)根；(2)；(3)設(shè)，是方程的兩個實數(shù)根，則．20．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）若不等式的解集是．(1)解不等式；(2)b為何值時，的解集為R．21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）解關(guān)于的不等式：.22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知二次函數(shù).（1）若，試判斷函數(shù)零點個數(shù)；（2）是否存在，使同時滿足以下條件：①對任意，且；②對任意，都有.若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.專題05一元二次不等式與其他常見不等式解法【考點預(yù)測】1、一元二次不等式一元二次不等式，其中，是方程的兩個根，且（1）當(dāng)時，二次函數(shù)圖象開口向上.（2）=1\*GB3①若，解集為.=2\*GB3②若，解集為.=3\*GB3③若，解集為.(2)當(dāng)時，二次函數(shù)圖象開口向下.=1\*GB3①若，解集為=2\*GB3②若，解集為2、分式不等式（1）（2）（3）（4）3、絕對值不等式（1）（2）；；（3）含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點分段法和圖象法求解【方法技巧與總結(jié)】1.已知關(guān)于的不等式的解集為（其中），解關(guān)于的不等式．由的解集為，得:的解集為，即關(guān)于的不等式的解集為．已知關(guān)于的不等式的解集為，解關(guān)于的不等式．由的解集為，得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為．2.已知關(guān)于的不等式的解集為（其中），解關(guān)于的不等式．由的解集為，得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為．3.已知關(guān)于的不等式的解集為，解關(guān)于的不等式．由的解集為，得:的解集為即關(guān)于的不等式的解集為，以此類推．4.已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；5.已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；6.已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；7.已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足．【題型歸納目錄】題型一：不含參數(shù)一元二次不等式的解法題型二：含參數(shù)一元二次不等式的解法題型三：一元二次不等式與韋達(dá)定理及判別式題型四：其他不等式解法題型五：二次函數(shù)根的分布問題【典例例題】題型一：不含參數(shù)一元二次不等式的解法例1．（2023·新疆烏魯木齊·二模（理））不等式的解集為（

）A． B． C． D．或答案：D【解析】分析：結(jié)合一元二次不等式的解法求得正確答案即可.【詳解】由解得，或，所以不等式的解集為或，故選：D.例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)（且）的圖象過定點，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：根據(jù)指數(shù)型函數(shù)的定點求解，代入后再求解一元二次不等式.【詳解】當(dāng)時，，故，所以不等式為，解得，所以不等式的解集為.故選：D例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)=，則不等式的解集是（

）A．（﹣2，1） B．（0，1） C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） D．（1，+∞）答案：C【解析】分析：根據(jù)解析式，可得的單調(diào)性，根據(jù)條件，可得x+2＜x2+2x，根據(jù)一元二次不等式的解法，即可得答案.【詳解】函數(shù)=，可得x≥0，遞增；當(dāng)x＜0時，遞增；且x=0時函數(shù)連續(xù)，所以在R上遞增，不等式，可化為x+2＜x2+2x，即x2+x﹣2＞0，解得x＞1或x＜﹣2，則原不等式的解集為（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）.故選：C例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)的范圍是（

）A． B．C． D．或答案：B【解析】分析：根據(jù)該不等式是否為二次不等式，分情況討論.【詳解】當(dāng)時，該不等式為，解集為，不成立；當(dāng)時，由不等式的解集為，得，解得，故選：B.例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：根據(jù)奇偶性定義可知為偶函數(shù)，并根據(jù)指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)單調(diào)性確定的單調(diào)性，從而將所求不等式轉(zhuǎn)化為，解不等式可求得結(jié)果.【詳解】定義域為，，為定義在上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱；當(dāng)時，，又，在上均為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，則在上為減函數(shù)；由可得：，即，解得：，即不等式的解集為.故選：D.【方法技巧與總結(jié)】解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相應(yīng)方程根，將根標(biāo)在軸上，結(jié)合圖象，寫出其解集題型二：含參數(shù)一元二次不等式的解法例6．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）不等式的解集為（

）A． B．C． D．答案：A【解析】分析：根據(jù)一元二次不等式的解法即可求解.【詳解】解：原不等式可以轉(zhuǎn)化為：，當(dāng)時，可知，對應(yīng)的方程的兩根為1，，根據(jù)一元二次不等式的解集的特點，可知不等式的解集為：.故選：A.例7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A．或 B．{x|x>a}C．或 D．答案：A【解析】分析：當(dāng)時，根據(jù)開口方向及根的大小關(guān)系確定不等式的解集.【詳解】因為，所以等價于，又因為當(dāng)時，，所以不等式的解集為：或．故選：A．【點睛】本題考查含參一元二次不等式的解法，較簡單，解答時，注意根的大小關(guān)系比較.例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則關(guān)于的不等式（其中）的解集為（

）A． B．或C． D．或答案：A【解析】分析：先判斷函數(shù)單調(diào)遞減，再利用已知條件和函數(shù)的單調(diào)性得，解不等式即得解.【詳解】任取，由已知得，即，所以函數(shù)單調(diào)遞減．由可得，即，所以，即，即，又因為，所以，此時原不等式解集為．故選：A【點睛】方法點睛：解抽象函數(shù)不等式一般先要判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性化抽象函數(shù)不等式為具體的函數(shù)不等式解答.例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在關(guān)于的不等式的解集中至多包含個整數(shù)，則的取值范圍是A． B． C． D．答案：D【解析】【詳解】因為關(guān)于的不等式可化為，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，要使得解集中至多包含個整數(shù)，則且，所以實數(shù)的取值范圍是，故選D.點睛：本題主要考查了不等式解集中整數(shù)解的存在性問題，其中解答中涉及到一元二次不等式的求解，元素與集合的關(guān)系等知識點的綜合應(yīng)用，試題比較基礎(chǔ)，屬于基礎(chǔ)題，同時著重考查了分類討論思想的應(yīng)用，解答中正確求解不等式的解集是解答的關(guān)鍵.例10．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）設(shè)，關(guān)于的二次不等式的解集為，集合，滿足，求實數(shù)的取值范圍.答案：【解析】分析：由題意，求出方程的兩根，討論的正負(fù)，確定二次不等式的解集A的形式，然后結(jié)合數(shù)軸列出不等式求解即可得答案.【詳解】解：由題意，令，解得兩根為，由此可知，當(dāng)時，解集，因為，所以的充要條件是，即，解得；當(dāng)時，解集，因為，所以的充要條件是，即，解得；綜上，實數(shù)的取值范圍為.例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式(kx－k2－4)(x－4)＞0，其中k∈R.(1)當(dāng)k變化時，試求不等式的解集A；(2)對于不等式的解集A，若滿足A∩Z＝B(其中Z為整數(shù)集)．試探究集合B能否為有限集？若能，求出使得集合B中元素個數(shù)最少的k的所有取值，并用列舉法表示集合B；若不能，請說明理由．答案：(1)答案見解析(2)能；，B＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}【解析】分析：（1）對進(jìn)行分類討論，結(jié)合一元二次不等式的解法求得不等式的解集.（2）結(jié)合（1）的結(jié)論進(jìn)行分類討論，結(jié)合基本不等式求得和正確答案.(1)當(dāng)k＝0時，A＝{x|x<4}；當(dāng)k>0且k≠2時，A＝{x|x<4或}；當(dāng)k＝2時，A＝{x|x≠4}；當(dāng)k<0時，A＝{x|<x<4}．(2)由（1）知：當(dāng)k≥0時，集合B中的元素的個數(shù)有無限個；當(dāng)k<0時，集合B中的元素的個數(shù)有限，此時集合B為有限集．因為＝－[(－k)＋]≤－4，當(dāng)且僅當(dāng)k＝－2時取等號，所以當(dāng)k＝－2時，集合B中的元素個數(shù)最少，此時A＝{x|－4<x<4}，故集合B＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}．例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式的解集為，其中，若該不等式在中有且只有一個整數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍答案：【解析】分析：將不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合題意即可求解.【詳解】關(guān)于的不等式化為：，令，，則．令，在上單調(diào)遞增，因此存在，使得，，，（1），（2）．因此存在，使得，因此函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在,單調(diào)遞增．（1），（2）．關(guān)于的不等式的解集為，其中，該不等式在中有且只有一個整數(shù)解，實數(shù)的取值范圍是．【方法技巧與總結(jié)】1．?dāng)?shù)形結(jié)合處理．2．含參時注意分類討論．題型三：一元二次不等式與韋達(dá)定理及判別式例13．（2023·湖南岳陽·二模）已知關(guān)于的不等式的解集為，其中，則的最小值為（

）A． B．1 C．2 D．8答案：C【解析】分析：由一元二次不等式的解與方程根的關(guān)系求出系數(shù)，確定，然后結(jié)合基本不等式得最小值．【詳解】的解集為，則的兩根為，，∴，∴，，則，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，故選：C.例14．（2023·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知關(guān)于的不等式的解集為，則的最大值是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：一元二次不等式解集轉(zhuǎn)化為一元二次方程的解，根據(jù)韋達(dá)定理求出，，再用基本不等式求出最值【詳解】的解集為，則是方程的兩個根，故，，故因為，所以有基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以的最大值為故選：D（多選題）例15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式的解集為，則（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集為答案：ABD【解析】分析：根據(jù)不等式的解集判斷出，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系、一元二次不等式的解法判斷BCD選項的正確性.【詳解】關(guān)于的不等式的解集為選項正確；且－2和3是關(guān)于的方程的兩根，由韋達(dá)定理得，則，則，C選項錯誤；不等式即為，解得選項正確；不等式即為，即，解得或選項正確.故選：.例16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式的解集為，則不等式的解集為___________.答案：【解析】分析：由不等式的解集為可得參數(shù)a的值，則不等式也具體化了，按分式不等式解之即可.【詳解】由不等式的解集為，可知方程有兩根，故，則不等式即等價于，不等式的解集為，則不等式的解集為，故答案為：.例17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知不等式的解集是，則不等式的解集是________.答案：【解析】分析：根據(jù)給定的解集求出a，b的值，再代入解不等式即可作答.【詳解】依題意，，是方程的兩個根，且，于是得，解得：，因此，不等式為：，解得，所以不等式的解集是.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】1．一定要牢記二次函數(shù)的基本性質(zhì)．2．含參的注意利用根與系數(shù)的關(guān)系找關(guān)系進(jìn)行代換．題型四：其他不等式解法例18．（2023·上海市青浦高級中學(xué)高三階段練習(xí)）不等式是的解集為______．答案：【解析】分析：由可得，結(jié)合分式不等式的解法即可求解.【詳解】由可得，整理可得：，則，解可得：.所以不等式是的解集為:.故答案為：.例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）不等式的解集為___________.答案：【解析】分析：根據(jù)分式不等式的解法進(jìn)行求解.【詳解】,故答案為：.例20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）寫出一個解集為的分式不等式___________.答案：【解析】分析：由題意根據(jù)分式不等式的解法，得出結(jié)論.【詳解】一個解集為的分式不等式可以是，故答案為：.（答案不唯一）例21．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）關(guān)于的不等式的解集為_________.答案：【解析】分析：通過恒成立，恒成立，將不等式最終轉(zhuǎn)化為，解出即可.【詳解】解：對于，有，則恒成立，又恒成立，又，，解得不等式的解集為.故答案為：.【點睛】本題考查分式不等式的求解，發(fā)現(xiàn)部分因式恒大于零，以及分母不為零是解題的關(guān)鍵，是中檔題.例22．（2023·四川德陽·三模（文））對于問題:“已知關(guān)于的不等式的解集為,解關(guān)于的不等式”,給出如下一種解法:解析:由的解集,得的解集為,即關(guān)于的不等式的解集為.參考上述解法,若關(guān)于的不等式的解集為關(guān)于的不等式的解集為____.答案：.【解析】分析：關(guān)于的不等式可看成前者不等式中的用代入可得不等式的解集.【詳解】若關(guān)于的不等式的解集為則關(guān)于的不等式可看成前者不等式中的用代入可得，則，則.故解集為：.【點睛】本題考查不等式的解法，考查方法的類比，正確理解題意是關(guān)鍵．【方法技巧與總結(jié)】1．分式不等式化為二次或高次不等式處理．2．根式不等式絕對值不等式平方處理．題型五：二次函數(shù)根的分布問題例23．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）若關(guān)于的方程有兩個不同的正根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：由，判別式及根與系數(shù)關(guān)系列出不等式組，即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為關(guān)于的方程有兩個不同的正根，所以，解得，故實數(shù)的取值范圍是.故選：C例24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】求導(dǎo)得到，然后根據(jù)在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，由求解.【詳解】已知函數(shù)，則，因為在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍為故選：B【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性以及二次函數(shù)與根的分布，還考查了邏輯推理和運算求解的能力，屬于中檔題.例25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．答案：A【解析】化簡函數(shù)f（x），根據(jù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，f′（x）≤0恒成立，由此解不等式求出a的取值范圍．【詳解】由函數(shù)，且f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴在區(qū)間上,f′(x)=?sin2x+3a(cosx?sinx)+2a?1≤0恒成立，∵設(shè)，∴當(dāng)x∈時,,t∈[?1,1]，即?1≤cosx?sinx≤1，令t∈[?1,1],sin2x=1?t2∈[0,1]，原式等價于t2+3at+2a?2≤0，當(dāng)t∈[?1,1]時恒成立，令g(t)=t2+3at+2a?2，只需滿足或或，解得或或，綜上，可得實數(shù)a的取值范圍是，故選：A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的公式及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用換元將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問題，屬于較難題.例26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知曲線上存在兩條斜率為3的不同切線，且切點的橫坐標(biāo)都大于零，則實數(shù)可能的取值（

）A． B．3 C． D．答案：AC【解析】分析：本題先求導(dǎo)函數(shù)并根據(jù)題意建立關(guān)于的方程，再根據(jù)根的分布求的取值范圍，最后判斷得到答案即可.【詳解】解：∵，∴，可令切點的橫坐標(biāo)為，且，可得切線斜率即，由題意，可得關(guān)于的方程有兩個不等的正根，且可知，則，即，解得：，所以的取值可能為，.故選：AC.【點睛】本題考查求導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根的分布，是中檔題.例27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若一元二次方程的兩個實根都大于，則的取值范圍____答案：或.【解析】根據(jù)一元二次方程根的分布建立不等式組，解之可得答案.【詳解】由題意得應(yīng)滿足解得：或.故答案為：或.例28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，若，求證：(Ⅰ)且；(Ⅱ)方程在內(nèi)有兩個實根.答案：（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析.【解析】分析：（Ⅰ）先由條件求得的符號，結(jié)合條件可得；（Ⅱ）根據(jù)的符號可得.【詳解】（Ⅰ）因為，所以.由條件，消去，得；由條件，消去，得，.故.（Ⅱ）函數(shù)的頂點坐標(biāo)為，在的兩邊乘以，得.又因為而又因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以方程在區(qū)間與內(nèi)分別各有一實根.【方法技巧與總結(jié)】解決一元二次方程的根的分布時，常常需考慮：判別式，對稱軸，特殊點的函數(shù)值的正負(fù)，所對應(yīng)的二次函數(shù)圖象的開口方向.【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·河南·南陽中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知集合，，則（

）A． B．C． D．答案：D【解析】分析：由一元二次不等式的解法和簡單分式不等式的解法求出集合，然后根據(jù)并集的定義即可求解.【詳解】解：因為集合，，所以，故選：D.2．（2023·河北·模擬預(yù)測）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：B【解析】分析：，列出不等式，求出，從而判斷出答案.【詳解】，則要滿足，解得：，因為，但故“”是“”的必要不充分條件.故選：B3．（2023·陜西·模擬預(yù)測（理））已知集合，，若，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：由題知，進(jìn)而分和空集兩種情況討論求解即可.【詳解】解：由題知，因為，所以，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，或，解得，綜上，實數(shù)a的取值范圍是.故選：D4．（2023·重慶南開中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則關(guān)于t的不等式的解集為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)關(guān)于點成中心對稱，再由基本初等函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，轉(zhuǎn)化原不等式后求解即可.【詳解】，圖象關(guān)于點成中心對稱，又的定義域為，由在上單調(diào)遞增知，在上遞增，，，即，，解得，又，解得，所以.故選：C5．（2023·山西·二模（理））已知集合，，若有2個元素，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：由題知，進(jìn)而根據(jù)題意求解即可.【詳解】解：因為，，若有2個元素，則或，解得或，所以，實數(shù)的取值范圍是.故選：D．6．（2023·重慶·高三階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：令，則.對進(jìn)行討論，即可求出答案.【詳解】令，則.（1）當(dāng)時，則，令，.故.（2）當(dāng)時，則，令①當(dāng)時，，則②當(dāng)時，，則故（3）當(dāng)時，則在上恒成立，故.綜上所述：故選：A.7．（2023·江蘇無錫·模擬預(yù)測）已知實數(shù)，滿足如下兩個條件：（1）關(guān)于的方程有兩個異號的實根；（2），若對于上述的一切實數(shù)，，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】分析：首先判斷，再化簡，利用基本不等式求解.【詳解】解：設(shè)方程的兩個異號的實根分別為，，則，．又，，，則（當(dāng)且僅當(dāng)，時取“”），由不等式恒成立，得，解得．實數(shù)的取值范圍是．故選：A．8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，不等式恒成立，則的取值范圍為A．，， B．，，C．，， D．答案：C【解析】分析：把不等式看作是關(guān)于的一元一次不等式，然后構(gòu)造函數(shù)，由不等式在，上恒成立，得到，求解關(guān)于的不等式組得得取值范圍．【詳解】解：令，則不等式恒成立轉(zhuǎn)化為在上恒成立．有，即，整理得：，解得：或．的取值范圍為．故選：C．二、多選題9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式對任意的恒成立，則實數(shù)可能是A．1 B．2 C．3 D．4答案：ABC【解析】分析：利用換元法令，不等式可整理為在上恒成立，即，即，求函數(shù)的最小值即可得解.【詳解】設(shè)，，則不等式對任意恒成立，即轉(zhuǎn)化為不等式在上恒成立，即轉(zhuǎn)化為在上恒成立，由對勾函數(shù)知在上單減，，故選：ABC【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查不等式恒成立問題，利用換元法結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于一般題.10．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）已知不等式的解集為，其中，則以下選項正確的有（

）A． B．C．的解集為 D．的解集為或答案：AC【解析】由一元二次不等式的解法，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系逐個分析判斷可得答案【詳解】解：因為不等式的解集為，其中，所以，是方程的兩個根，所以A正確；所以，解得，因為，，所以，又由于，所以，所以B錯誤；所以可化為，即，即，因為，所以，所以不等式的解集為，所以C正確，D錯誤，故選：AC【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查一元二次不等式的解法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵由一元二次不等式的解法可知，且是方程的兩個根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得，再求得，從而可求解不等式，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則下列命題正確的有（

）A．當(dāng)時，的解集為B．當(dāng)時，時，C．且時，D．當(dāng)時，若，則答案：BC【解析】對于A，分和時求解不等式；對于B，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷；對于C，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，任取兩點，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方式可判斷；對于D，構(gòu)造函數(shù)，看作在y軸右側(cè)圖象上的點與原點所在直線的斜率,數(shù)形結(jié)合可判斷單調(diào)性，即可得出結(jié)果.【詳解】對于A，由得，當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為，故A錯誤；對于B，時，在上是增函數(shù)，則，即，故B正確；對于C.在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，設(shè)、，則AB的中點C，又設(shè)，數(shù)形結(jié)合可知，點D位于點C的下方，即，故C正確；對于D，設(shè)，則表示在y軸右側(cè)圖象上的點與原點所在直線的斜率,數(shù)形結(jié)合可知，是增函數(shù)，當(dāng)時，，則，即，故D錯誤.故選：BC.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查二次函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，對于CD選項的判斷，關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行判斷.12．（2023·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知兩個變量x，y的關(guān)系式，則以下說法正確的是（

）A．B．對任意實數(shù)a，都有成立C．若對任意實數(shù)x，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是D．若對任意正實數(shù)a，不等式恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是答案：BC【解析】分析：和的值直接代入即可求得，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)最大值的問題，若對任意實數(shù)x，不等式恒成立轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)與軸至多有一個交點的問題，若對任意正實數(shù)a，不等式恒成立轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一次函數(shù)在內(nèi)恒大于等于零恒成立的問題.【詳解】對于選項A，，，即，則A選項錯誤；對于選項B，，則B選項正確；對于選項C，恒成立，即恒成立，則，解得,即實數(shù)a的取值范圍是，則C選項正確；對于選項D，恒成立，令，當(dāng)時，該函數(shù)看成關(guān)于的一次函數(shù)，函數(shù)單調(diào)遞減，不可能恒大于0，當(dāng)時，成立，當(dāng)時，該函數(shù)看成關(guān)于的一次函數(shù)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則實數(shù)的取值范圍是，則D選項錯誤；故選：.三、填空題13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）不等式的解集為，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_______答案：【解析】根據(jù)不等式的解集可知一元二次不等式所對應(yīng)的一元二次方程的根，利用韋達(dá)定理可求出，的值，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的方法，得出單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】由題知-2和1是的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系知-2+1=，?2×1＝，由不等式的解集為，可知，，則，因為函數(shù)的定義域為，令則該函數(shù)的增區(qū)間為所以的增區(qū)間為故答案為：.14．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）若不等式的解集中的整數(shù)有且僅有1，2，3，則實數(shù)的取值范圍是___________.答案：【解析】分析：首先解一元二次不等式，求出不等式的解集，再根據(jù)解集中整數(shù)的情況，得到不等式組，解得即可；【詳解】解：因為，所以，解得，所以原不等式的解集為，又解集中的整數(shù)有且僅有1，2，3，所以解得：，即，故答案為：．15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式恰有1個正整數(shù)解，則的取值范圍是___________.答案：【解析】分析：先解帶有參數(shù)的一元二次不等式，再對進(jìn)行分類討論，使得恰有1個正整數(shù)解，最后求出的取值范圍【詳解】不等式等價于.令，解得或