山東省日照2024屆數(shù)學(xué)八年級下冊期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

山東省日照實驗中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)八下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.直角三角形的兩直角邊長分別為6和8,則斜邊上的中線長是（）

A.10B.2.5C.5D.8

2.如圖，這組數(shù)據(jù)的組數(shù)與組距分別為（）

3.如圖，在5x5的方格紙中,A,B兩點在格點上，線段AB繞某點逆時針旋轉(zhuǎn)角?后得到線段45點4與A對應(yīng)，則

角口的大小為（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

4.若將0.0000065用科學(xué)記數(shù)法表示為6.5X10",則"等于（)

A.-5B.-6C.-7D.-8

5.-（-6）等于（)

1

A.-6B.6C.一D.±6

6

6.改革開放40年以來，城鄉(xiāng)居民生活水平持續(xù)快速提升，居民教育、文化和娛樂消費支出持續(xù)增長，已經(jīng)成為居民

各項消費支出中僅次于居住、食品煙酒、交通通信后的第四大消費支出，如圖為北京市統(tǒng)計局發(fā)布的2017年和2018

年我市居民人均教育、文化和娛樂消費支出的折線圖.

教育、文化和娓樂）肖墓支出折線圖

說明：在統(tǒng)計學(xué)中，同比是指本期統(tǒng)計數(shù)據(jù)與上一年同期統(tǒng)計數(shù)據(jù)相比較，例如2018年第二季度與2017年第二季度

相比較；環(huán)比是指本期統(tǒng)計數(shù)據(jù)與上期統(tǒng)計數(shù)據(jù)相比較，例如2018年第二季度與2018年第一季度相比較.

根據(jù)上述信息，下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.2017年第二季度環(huán)比有所提高

B.2017年第三季度環(huán)比有所提高

C.2018年第一季度同比有所提高

D.2018年第四季度同比有所提高

7.若代數(shù)式'有意義,則實數(shù)x的取值范圍是（）

（X-2）

A.x>lB.x*2C.x21且xx2D.-1且xx2

8.已知下面四個方程：V%+1+3x=%Jj6x+&f+i=i；立+6=i；_^+WL=L其中，無理方程

xV2+1x-2

的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

9.“單詞的記憶效率“是指復(fù)習(xí)一定量的單詞，一周后能正確默寫出的單詞個數(shù)與復(fù)習(xí)的單詞個數(shù)的比值.如圖描述

了某次單詞復(fù)習(xí)中小華，小紅小剛和小強四位同學(xué)的單詞記憶效率y與復(fù)習(xí)的單詞個數(shù)x的情況，則這四位同學(xué)在這

次單詞復(fù)習(xí)中正確默寫出的單詞個數(shù)最多的是（）

y|

小華

------------；

［小剛.小強

---------------I1-------I1----->

OX

A.小華B.小紅C.小剛D.小強

10.下列是最簡二次根式的為（）

A.6B.J；C.瓜D.用（a>0）

二、填空題（每小題3分，共24分）

11.在AABC中，NC=9（T,4C=3,BC=4,點。，瓦F分別是邊的中點，則△DEF的周長是.

12.如圖，在八43。中，ZCAB=15°,在同一平面內(nèi)，將八鉆。繞點A旋轉(zhuǎn)到△AB'C的位置，使得CC'〃46,

則ZBAB'的度數(shù)等于.

13.若三點（1,4）,（2,7）,（a,10）在同一直線上，則”的值等于.

14.如圖，在菱形4BCD中，AC=S,菱形4BCD的面積為24,則菱形4BCD周長為

15.如圖，AD//BC,BG、AG分別平分NABC與4W,GH±AB,HG=4,則AD與8C之間的距離是

16.如圖，在R3ABC中，ZACB=90°,D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，若CD=5cm,貝!JEF=cm.

17.若式子聲2有意義，則x的取值范圍是.

18.如圖，在RtZ\A5C中，50平分NA5C交AC于點O,過。作Z>E〃8c交48于點E,若OE剛好平分NAO5,

且AE=a,則BC=.

A

19.(10分)如圖，口43。在平面直角坐標(biāo)系中，點A(-2,0),點8(2,0),點O(0,3),點C在第一象限.

(1)求直線AO的解析式；

(2)若E為y軸上的點，求AEBC周長的最小值；

(3)若點。在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點尸在直線AO上，是否存在以O(shè)P,05為鄰邊的菱形O5Q尸？若存在，求出點尸

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

20.(6分)如圖是一塊地的平面圖，AD=4m,CD=3m,AB=13m,BC=12m,ZADC=90°,求這塊地的面積.

2-x1

21.(6分)(閱讀理解題)在解分式方程--=-——2時，小明的解法如下:

%—33—x

解：方程兩邊都乘以x-3,得2-x=-1-2①.移項得-x=-1-2-2②.解得x③.

(1)你認(rèn)為小明在哪一步出現(xiàn)了錯誤？(只寫序號)，錯誤的原因是.

(2)小明的解題步驟完善嗎？如果不完善，說明他還缺少哪一步？答：.

(3)請你解這個方程.

22.(8分)如圖，拋物線y=gd+x-4與x軸交于A,B(A在3的左側(cè))，與V軸交于點C,拋物線上的點E的

橫坐標(biāo)為3,過點E作直線乙//x軸.

(1)點尸為拋物線上的動點，且在直線AC的下方，點”，N分別為x軸，直線4上的動點，且MNLx軸，當(dāng)△APC

面積最大時，求PM+MN+—EN的最小值；

2

(2)過(1)中的點P作垂足為p，且直線PD與y軸交于點。，把△DEC繞頂點R旋轉(zhuǎn)45°,得到

QFC；再把D/O沿直線平移至一尸C",在平面上是否存在點K,使得以。，C",D',K為頂點

的四邊形為菱形？若存在直接寫出點K的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

圖①圖②

23.(8分)已知：如圖，在AABC中，NACB=90。，點。是斜邊A3的中點，DE//BC,且CE=CD

(1)求證：NB=NDEC；

(2)求證：四邊形AOCE是菱形.

24.(8分)隨著粵港澳大灣區(qū)建設(shè)的加速推進，廣東省正加速布局以5G等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)，據(jù)統(tǒng)計，目前

廣東5G基站的數(shù)量約1.5萬座，計劃到2020年底，全省5G基站數(shù)是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站數(shù)量

將達(dá)到17.34萬座。

(1)計劃到2020年底，全省5G基站的數(shù)量是多少萬座？；

(2)按照計劃，求2020年底到2022年底，全省5G基站數(shù)量的年平均增長率。

25.(10分)已知直線丫="+2建通0)經(jīng)過點(-1,3).

(1)求A的值；

(2)求此直線與x軸、y軸圍成的三角形面積.

26.(10分)某研究性學(xué)習(xí)小組在探究矩形的折紙問題時，將一塊直角三角板的直角頂點繞矩形ABCD(ABVBC)的對

角線的交點O旋轉(zhuǎn)(①一②—③)，圖中的M、N分別為直角三角形的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點.

⑴該學(xué)習(xí)小組成員意外的發(fā)現(xiàn)圖①中（三角板一邊與CC重合），BN、CN、CD這三條線段之間存在一定的數(shù)量關(guān)系：

CN2=BN2+CD2,請你對這名成員在圖①中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論說明理由；

（2）在圖③中（三角板一直角邊與OD重合），試探究圖③中BN、CN、CD這三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)

論.

（3）試探究圖②中BN、CN、CM、DM這四條線段之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由.

參考答案

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1、C

【解題分析】

已知直角三角形的兩條直角邊，根據(jù)勾股定理即可求斜邊的長度，根據(jù)斜邊中線長為斜邊長的一半即可解題.

【題目詳解】

已知直角三角形的兩直角邊為6、8,

則斜邊長為7^7記=io,

故斜邊的中線長為《義10=5,

2

故選：C.

【題目點撥】

考查了勾股定理在直角三角形中的運用，考查了斜邊中線長為斜邊長的一半的性質(zhì)，本題中正確的運用勾股定理求斜

邊的長是解題的關(guān)鍵.

2、D

【解題分析】

通過觀察頻率分布直方圖，發(fā)現(xiàn)一共分為6組，每一組的最大值和最小值的差都是10,做出判斷.

【題目詳解】

解：頻率分布直方圖中共有6個直條，故組數(shù)是6,每組的最大值和最小值的差都是10,因此組距是10,

故選:D.

【題目點撥】

考查頻率分布直方圖的制作方法，明確組距、組數(shù)的意義是繪制頻率分布直方圖的兩個基本的步驟.

3、C

【解題分析】

如圖：連接AA',BB',作線段AA',BB'的垂直平分線交點為O,點O即為旋轉(zhuǎn)中心.連接OA,OB，,NAOA，

即為旋轉(zhuǎn)角.

【題目詳解】

解：如圖：連接AA',BB',作線段AA，,BB/的垂直平分線交點為O,點O即為旋轉(zhuǎn)中心.連接OA,OB，

NAOA'即為旋轉(zhuǎn)角,

二旋轉(zhuǎn)角為90。

故選：C.

【題目點撥】

考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意確定旋轉(zhuǎn)中心的知識，難度不大.

4、B

【解題分析】

絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為aX10”,與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是

負(fù)指數(shù)塞，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.

【題目詳解】

解：0.0000065=6.5X106,

則n=-6,

故選：B.

【題目點撥】

本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為aX10,其中l(wèi)W|a|<10,n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字

前面的0的個數(shù)所決定.

5、B

【解題分析】

根據(jù)相反數(shù)的概念解答即可.

【題目詳解】

解：一(-1)=1.

故選:B.

【題目點撥】

本題主要考查相反數(shù)的概念，屬于應(yīng)知應(yīng)會題型，熟知定義是關(guān)鍵.

6、C

【解題分析】

根據(jù)環(huán)比和同比的比較方法，驗證每一個選項即可.

【題目詳解】

2017年第二季度支出948元，第一季度支出859元，所以第二季度比第一季度提高，故A正確；

2017年第三季度支出1113元，第二季度支出948元，所以第三季度比第二季度提高，故5正確；

2018年第一季度支出839元，2017年第一季度支出859元，所以2018年第一季度同比有所降低，故C錯誤；

2018年第四季度支出1012元，2017年第一季度支出997元，所以2018年第四季度同比有所降低，故O正確；

故選C.

【題目點撥】

本題考查折線統(tǒng)計圖，同比和環(huán)比的意義；能夠從統(tǒng)計圖中獲取數(shù)據(jù)，按要求對比數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵.

7、D

【解題分析】

試題解析：由題意得，x+lNO且(x—2)2

解得x>-lS.x^2.

故選D.

8、A

【解題分析】

無理方程的定義是:根號下含有未知數(shù)的方程即為無理方程,根據(jù)定義即可判斷.

【題目詳解】

無理方程的定義是:根號下含有未知數(shù)的方程即為無理方程，根據(jù)定義只有第一個方程為無理方程.即而T+3x=9,1

個，

故選：A.

【題目點撥】

本題直接考查了無理方程的概念-根號下含有未知數(shù)的方程即為無理方程.準(zhǔn)確掌握此概念即可解題..

9、C

【解題分析】

根據(jù)小華，小紅，小剛和小強四位同學(xué)的單詞記憶效率y與復(fù)習(xí)的單詞個數(shù)x的情況的圖表，回答問題即可.

【題目詳解】

解：由圖可得：小華同學(xué)的單詞的記憶效率最高，但復(fù)習(xí)個數(shù)最少，小強同學(xué)的復(fù)習(xí)個數(shù)最多，但記憶效率最低，小

紅和小剛兩位同學(xué)的記憶效率基本相同，但是小剛同學(xué)復(fù)習(xí)個數(shù)較多，所以這四位同學(xué)在這次單詞復(fù)習(xí)中正確默寫出

的單詞個數(shù)最多的是小剛.

故選：C.

【題目點撥】

本題考查函數(shù)的圖象，正確理解題目的意思是解題的關(guān)鍵.

10、A

【解題分析】

A.6是最簡二次根式；

B.J不是最簡二次根式，R=

C.&不是最簡二次根式，*=20;

D.歷不是最簡二次根式，屈=。島?

故選A.

【題目點撥】

本題考查最簡二次根式：（D被開方數(shù)不含分母；

（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

二、填空題（每小題3分，共24分）

11、6

【解題分析】

首先利用勾股定理求得斜邊長，然后利用三角形中位線定理求得答案即可.

【題目詳解】

解：YRtZkABC中，ZC=90°，AC=3,BC=4,

AB=J"2+BC2=F+小=5,

?.?點D、E、F分別是邊AB、AC、BC的中點，

.\DE=1BC,DF=UC,EF=UB,

222

ACADEF=DE+DF+EF=1BC+UC+UB=1(BC+AC+AB)=l(4+3+5)=6.

22222

故答案為：6.

【題目點撥】

本題考查了勾股定理和三角形中位線定理.

12、30°

【解題分析】

根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得NACC，=NCAB,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=AO,然后利用等腰三角形兩底角相等

求NCAC,再根據(jù)NCAC、NBAB，都是旋轉(zhuǎn)角解答.

【題目詳解】

；CO〃AB,

；.NACC，=NCAB=75。，

「△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)得到AAB，。，

.*.AC=ACf,

:.ZCACf=l80°-2ZACC=180°-2x75°=30°,

:.NCAC=NBAB，=30。.

故答案為：30°.

【題目點撥】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵.

13、1.

【解題分析】

利用(1,4),(2,7)兩點求出所在的直線解析式，再將點(a,10)代入解析式即可.

【題目詳解】

設(shè)經(jīng)過（1,4）,（2,7）兩點的直線解析式為7=h+方,

（k+b=4

'[2k+b=1,

.?.y=lx+L

將點（a,10）代入解析式，則a=l；

故答案為：L

【題目點撥】

此題考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，正確理解題意，利用一次函數(shù)解析式確定點的橫坐標(biāo)a的值.

14、20

【解題分析】

根據(jù)菱形面積公式可求BD的長，根據(jù)勾股定理可求菱形邊長，即可求周長.

【題目詳解】

解：菱形ABCD=】ACXBD,

2

.\24=1x8xBD,

2

；.BD=6,

VABCD是菱形，

/.AO=CO=4,BO=DO=3,AC±BD,

?*.AB=^AO2+BO2=5，

二菱形ABCD的周長為4x5=20.

【題目點撥】

本題考查了菱形的性質(zhì)，利用菱形的面積公式求BD的長是本題的關(guān)鍵.

15、1

【解題分析】

過點G作GFLBC于F,交AD于E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到GF=GH=5,GE=GH=5,計算即可.

【題目詳解】

解：過點G作GF1.BC于F,交AD于E,

B

G

H\/\

AED

VAD/7BC,GF±BC,

AGE±AD,

TAG是NBAD的平分線，GE±AD,GH±AB,

AGE=GH=4,

TBG是NABC的平分線，F(xiàn)G±BC,GH±AB,

AGF=GE=4,

.\EF=GF+GE=1,

故答案為：L

【題目點撥】

本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.

16、1

【解題分析】

???△ABC是直角三角形，CD是斜邊的中線，

1

ACD=-AB,

2

.*.AB=2CD=2xl=10cm,

又??,EF是AABC的中位線，

1

:.EF=—xlO=lcm.

2

故答案為1.

考點：三角形中位線定理；直角三角形斜邊上的中線.

17、x>2

【解題分析】

分析：根據(jù)被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)列不等式求解即可.

詳解：由題意得，

x-2>0,

.\x>2.

故答案為忘2.

點睛：本題考查了代數(shù)式有意義時字母的取值范圍，代數(shù)式有意義時字母的取值范圍一般從幾個方面考慮：①當(dāng)代數(shù)

式是整式時，字母可取全體實數(shù)；②當(dāng)代數(shù)式是分式時，考慮分式的分母不能為0；③當(dāng)代數(shù)式是二次根式時，被開

方數(shù)為非負(fù)數(shù).

18、6。

【解題分析】

根據(jù)角平分線的定義得到NABD=NCBD,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NADE=NC,ZEDB=ZCBD,求得NC=30。，

根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【題目詳解】

VBD平分NABC,

.\ZABD=ZCBD,

VDE//BC,

.*.ZADE=ZC,ZEDB=ZCBD,

VDE平分NADB,

/.ZADE=ZEDB,

AZCBD=ZC,

.\ZABC=2ZC,

VZA=90°,

.\ZABC+ZC=90°,

AZC=30°,

???NADE=30。，

VAE=a,

:.DE=2a,

VZEDB=ZDBC,

ZDBE=ZEBD,

/.BE=DE=2a,

:.AB=3a,

.\BC=2AB=6a.

故答案為：6a.

【題目點撥】

本題考查角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、及含30。角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握30。角所對的直角邊等于斜邊一

半的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

三、解答題(共66分)

3

19、(1)y=-x+3;(2)AEBC周長的最小值為3百+而；(1)滿足條件的點尸坐標(biāo)為(-2,0)或(2,6).

【解題分析】

(1)設(shè)直線的解析式為7=h+方，把4、。兩點坐標(biāo)代入，把問題轉(zhuǎn)化為解方程組即可；

(2)因為A、5關(guān)于y軸對稱，連接AC交y軸于E,此時A5EC的周長最小；

(1)分兩種情形分別討論求解即可解決問題；

【題目詳解】

.解：(1)設(shè)直線的解析式為》=h+方，

仿=3

把A(-2,0),D(0,1)代入)=丘+方，得到＜…，八，

—2k+b=0

k=3

解得一5，

b=3

3

直線AD的解析式為j=-x+l.

(2)如圖1中，-：A(-2,0),B(2,0),

；.4、5關(guān)于y軸對稱，

連接AC交y軸于E,此時的周長最小，

周長的最小值=E8+EC+3C=EA+EC+BC=AC+3C,

VA(-2,0),C(4,1),B(2,0),

???AC=右?+6?=3A/5,BC=V22+32=V13>

.?.△E5c周長的最小值為：36+而.

(1)如圖2中,

①當(dāng)點尸與A重合時，四邊形OPQB是菱形，此時尸（-2,0）,

②當(dāng)點P，在AO的延長線上時，DP'=AD,此時四邊形5DP。是菱形，此時P，（2,6）.

綜上所述，滿足條件的點尸坐標(biāo)為（-2,0）或（2,6）；

【題目點撥】

本題考查一次函數(shù)綜合題、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、軸對稱最短問題、待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)

鍵是學(xué)會利用軸對稱解決最短問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題.

20、24m2

【解題分析】

連接AC,利用勾股定理逆定理可以得出AABC是直角三角形，用AABC的面積減去AACD的面積就是所求的面積.

【題目詳解】

連接AC,

■:ZADC=90°

在RtAADC中，AC2=AD2+CD2=42+32=25,

,.,AC2+BC2=25+122=169,AB2=132=169,

AC2+BC2=AB2,NACB=90。，

11,

:.S=SAACB-SAADC=_xl2x5——x4x3=24m2

22

答：這塊地的面積是24平方米

考點：1.勾股定理的逆定理2.勾股定理

21、（1）①；-2沒有乘以最簡公分母；（2）小明得解題步驟不完善，少了檢驗；（3）分式方程無解.

【解題分析】

(1)出現(xiàn)錯誤的步驟為第一步，原因是各項都要乘以最簡公分母；

(2)不完善，最后沒有進行檢驗；

(3)寫出正確解題過程即可.

【題目詳解】

解：(1)出現(xiàn)錯誤的為①，原因是-2沒有乘以最簡公分母；

故答案為：①；-2沒有乘以最簡公分母；

(2)小明得解題步驟不完善，少了檢驗；

(3)去分母得：2-x=-1-2(x-3),

去括號得：2-x=-1-2x+6,

移項合并得：x=3,

經(jīng)檢驗x=3是增根，分式方程無解.

【題目點撥】

此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解.解分式方程一定注

意要驗根.

22、(1)7+9忘(2)-夜)，K,(2+夜，-2-72)

2

【解題分析】

(1)根據(jù)題意求得點A、B、C、E的坐標(biāo)，進而求得直線4和直線AC解析式.過點P作x軸垂線PG交AC于

點”，設(shè)點P橫坐標(biāo)為/，即能用/表示尸、H的坐標(biāo)進而表示7W的長.由

+=04=2叫得到關(guān)于'的二次函數(shù)'即求得'為何值時WC面積最

大，求得此時點尸坐標(biāo).把點尸向上平移的長，易證四邊形〃VWP是平行四邊形，故有=在直線4的

上方以EN為斜邊作等腰RtANEQ,則有NQ=?EN.所以PM+MN+^EN=PN+MN+NQ,其中ACV的長為

定值，易得當(dāng)點尸'、N、。在同一直線上時，線段和的值最小.又點N是動點，NQLEQ,由垂線段最短可知過點

P作EQ的垂線段P'H時，PN+NQ=PR最期.求直線EQ、PR解析式，聯(lián)立方程組即求得點R坐標(biāo)，進而求得

P7?的長.

(2)先求得C,D,歹的坐標(biāo)，可得AC。9是等腰直角三角形，當(dāng)AC。咒繞口逆時針旋轉(zhuǎn)45。再沿直線PD平移

可得△尸C"ZT,根據(jù)以。，C",D',K為頂點的四邊形為菱形，可得OK//CTT,PDVC'D',OKVPD,OK=2,

即可求得K的坐標(biāo)，當(dāng)AC。尸繞廠順時針旋轉(zhuǎn)45。再沿直線PD平移可得△尸CTT,根據(jù)以。，C",D',K為

頂點的四邊形為菱形，可得OKLPD,OK=2&+2,即可求得K的坐標(biāo).

【題目詳解】

解：（1）如圖1,過點P作軸于點G,交AC于點H,在PG上截取=連接p'N，

以NE為斜邊在直線NE上方作等腰RtANEQ,過點p作P'RLEQ于點R

尤=0時，y=^x2+x-4=-4

C(0,-4)

1

y=o時,—x92+無-4=0

2

解得：西=-4,%=2

.?.A(-4,0),B(2,0)

二直線AC解析式為y=-x—4

拋物線上的點E的橫坐標(biāo)為3

1,7

y?=—x3-+3—4=—

￡22

77

??.EQ]),直線4：y=]

點M在x軸上，點N在直線4上，軸

7

：.PP'=MN=-

2

設(shè)拋物線上的點尸1r+r-4)(-4<r<0)

11

/.PH=9+t-4)=——t9-2t

22

111

92

/.SAAPC=SMPH+

ZX/1/V7S?Z\P(^ZH17=-PH.AG+-PH.OG=-PH.OA=2PH=-t-4t

??當(dāng)，=--=一2時，5pc最大

-2AA

12.__.71

yP=—t+^—4=2—2—4=—4,yp,=yP+—=――

.?.尸(一2,-4),PT-3

PP=MN,PP'//MN

四邊形尸肱VP'是平行四邊形

:.PM=P'N

等腰RtANEQ中，NE為斜邊

:"NEQ=NENQ=45。,NQLEQ

:.NQ=^EN

J77

:.PM+MN+-^-EN=P'N+PP'+NQ=-+P'N+NQ

當(dāng)點P、N、。在同一直線上時，PN+NQ=PR最小

7

:.PM+MN+—EN=-+P'R

22

設(shè)直線EQ解析式為y=-x+a

713

「?-3+a=—解得：ci——

22

13

直線EQ：kf+耳

設(shè)直線PH解析式為丁=%+^

13

/.—2+b=—解得：b=-

22

3

直線P'R:y=x+-

-2

13

V=-XH-----5

2x=—

解得「2

V=x+一y=4

：.吟,4)

■■■P'R=舊+2)2+(4+y=竽

:.PM+MN+—EN最小值為7+9拒

22

(2)PD±AC,P(-2,-4),

，直線P￡)解析式為：y=x-2,

：.￡>(0,-2),F(-l-3),

：.CD=2,DF=CF=42,△COE是等腰直角三角形，

如圖2,把ADbC繞頂點尸逆時針旋轉(zhuǎn)45°,得到△ZZFC,(應(yīng)-1,-3),。(-1,五-3)

把△。尸。沿直線P￡)平移至尸C",連接"ZT,CC"

/圖2

則直線CC”解析式為y=x-2-夜，直線"。解析式為y=x+行-2,顯然0C〃..也+1>2=C〃D”

..?以。，C",D',K為頂點的四邊形為菱形，OC”不可能為邊，只能以O(shè)/P、C〃O〃為鄰邊構(gòu)成菱形

:.OD'=C'D'=OK=2,

OKIIC'D',PDVC'D'

:.OK±PD

Ky(^2,--\/2),

如圖3,把AD回。繞頂點尸順時針旋轉(zhuǎn)45。，得到△ZXFC,

圖3

二。(-1,-3-衣，D'(yf2-1,-72-3)

把△。尸。沿直線P￡)平移至尸C",連接"ZT,CC",

顯然，CD'UPD,0C"..>12+\>C"D",0D"..j2+l>C"D",

..?以。，C",D',K為頂點的四邊形為菱形，C'D'只能為對角線，

;.((2+忘，-2-^2).

綜上所述，點K的坐標(biāo)為：&(&,-72),((2+應(yīng)，-2-忘).

【題目點撥】

本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)最值應(yīng)用，線段和最小值問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平移、旋轉(zhuǎn)

等幾何變換，等腰直角三角形性質(zhì)，菱形性質(zhì)等知識點，能熟練運用相關(guān)的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

23、(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解題分析】

⑴根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到DB=DC,從而/B=NDCB,由DE〃BC,得至()NDCB=NCDE,

由CE=CD,得至|]NCDE=NDEC,利用等量代換，得至!]NB=NDEC；

⑵先利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，證明四邊形ADCE是平行四邊形，再由CD=CE,證明平行四

邊形ADCE是菱形.

【題目詳解】

(1)證明：在AABC中，?.?NAC5=90。，點O是斜邊A5的中點，

：.CD=DB,

：.NB=NDCB,

,JDE//BC,

:.ZDCB=ZCDE,

'：CD=CE,

：.ZCDE=ZCED,

：.ZB=ZCED.

(2)證明：-JDE//BC,

:.ZADE=ZB,

?:NB=NDEC,

：.ZADE=ZDEC,

J.AD//EC,

；EC=CD=AD,

，四邊形ADCE是平行四邊形，

'：CD=CE,

二四邊形AOCE是菱形.

故答案為：（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【題目點撥】

本題考查了直角三角形的性質(zhì)，菱形的判定.

24、（1）到2020年底，全省5G基站的數(shù)量是6萬座；（2）2020年底到2022年底，全