與圓有關(guān)的證明和計(jì)算（學(xué)生版）- 2024年中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破

與圓有關(guān)的證明和計(jì)算

(1)切線判定：①經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

②和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線(定義法)

③如果圓心到一條直線的距離等于圓的半徑，那么這條直線是圓的切線

(2)切線判定常用的證明方法：

①知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，連半徑，證垂直；

②不知道直線與圓有沒有公共點(diǎn)時(shí)，作垂直，證垂線段等于半徑.

1.如圖，在ABC中，AB^AC,以AB為直徑作圓。，分別交于點(diǎn)。，交C4的延長(zhǎng)

線于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)。作￡>"_LAC于點(diǎn)連接DE交線段Q4于點(diǎn)

(1)求證：EH=CH；

(2)求證：斯是圓。的切線；

(3)若￡4=￡F=1,求圓。的半徑.

2.小明學(xué)習(xí)了垂徑定理，做了下面的探究，請(qǐng)根據(jù)題目要求幫小明完成探究.

(1)更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題.如圖1,在《o中，C是劣弧AB的中點(diǎn)，

直線CD_LAB于點(diǎn)E,則4￡=防.請(qǐng)證明此結(jié)論；

(2)從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦.如圖2,PA,PB

組成。的一條折弦.C是劣弧的中點(diǎn)，直線CD_LB4于點(diǎn)E,則AE=PE+R5.可以

通過(guò)延長(zhǎng)。8、AP相交于點(diǎn)/，再連接AD證明結(jié)論成立.請(qǐng)寫出證明過(guò)程；

(3)如圖3,PA,尸3組成，。的一條折弦，若C是優(yōu)弧AB的中點(diǎn)，直線CD_LPA于點(diǎn)E,

則AE,PE與PB之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出證明過(guò)程.

3.如圖，AB是(，0的直徑，AC是?。的切線，連接。C,肱BD/IOC,連接BC,DC.

(1)求證：DC是：。的切線；

3

(2)若cosZACB=g，求tanZCBD的值.

4.圖，是：。的直徑，點(diǎn)C在A2的延長(zhǎng)線上，AO平分NC4E交(。于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)/

作AE_LCD,垂足為點(diǎn)E.

E

D

⑴判斷直線CE與：。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;

(2)若BC=3,CD=3-B,求(。的半徑以及線段區(qū))的長(zhǎng).

5.如圖，在等腰ABC中，AB^AC,以AB為直徑的。與BC交于點(diǎn)。，DELAC,垂

足為E,ED的延長(zhǎng)線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸.

⑴求證：EF是的切線；

7

(2)若。的半徑為,，BD=3,求CE的長(zhǎng).

6.如圖，在中，ZACB=90°,以AC為直徑的C。與斜邊A2交于點(diǎn)。，點(diǎn)E為

邊BC的中點(diǎn)，連接OE.

A

⑴求證：DE是I。的切線；

(2)填空

①若N3=30。，AC=6，則OE=；

②當(dāng)N3=。時(shí)，以。，D,E,C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形.

7.如圖，N8是回。的直徑，弦CDLAB,E是C4延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接。E交回。于點(diǎn)尸

連接/RCE.

(1)若NA4c=20。，求ZAPC的度數(shù).

⑵求證：AF平分NCFE.

(3)若A3=5,CD=4,且C/經(jīng)過(guò)圓心。，求CE的長(zhǎng).

8.如圖，四邊形N8CD內(nèi)接于團(tuán)。，5c為回。的直徑，AC與BD交于點(diǎn)、E,P為C3延長(zhǎng)線

上一點(diǎn)，連接且洶

A

⑴求證：以為回。的切線；

3

⑵若N2=6,tanEL4DS=-,求P8的長(zhǎng)；

4

⑶在（2）的條件下，若/￡>=CD,求回CDE的面積.

9.問(wèn)題提出

圖1圖2圖3

⑴如圖1,為圓。的弦，在圓。上找一點(diǎn)尸，使點(diǎn)尸到的距離最大.

（2）問(wèn)題探究

如圖2,在扇形中，點(diǎn)M為扇形所在圓的圓心，點(diǎn)P為他上任意一點(diǎn)，連接與

48交于點(diǎn)0，若/2=10,AM=7,求出PQ的最大值.

⑶問(wèn)題解決

如圖3,小華家有一塊扇形N08的田地，線段。4線段以及AB分別為扇形的邊

沿部分.經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，小華爸爸打算在扇形的田地中圈出一片空地用作種植當(dāng)

季蔬菜，具體操作方式如下：在AB上選取點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作。W7/02,CN//OA,則四邊形

A/ONC為小華爸爸所圈空地.已知：扇形N08的圓心角的。8=60。，OA=OB=90m,且用

于修建圍擋的線段MC部分與線段CN部分的成本均為30元/米.請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)計(jì)算:

小華爸爸最終所花費(fèi)的修建費(fèi)預(yù)算最多是多少元？（即求出CM+CN的最大值）（結(jié)果保留

整數(shù),取指=1.73）

10.如圖，在AABC中，BA=BC,ZABC=90°,以AB為直徑的半圓。交AC于點(diǎn)D,點(diǎn)

E是2。上不與點(diǎn)B,D重合的任意一點(diǎn)，連接AE交BD于點(diǎn)F,連接BE并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)G.

（1）求證：AADF^ABDG；

(2)填空：

①若AB=4,且點(diǎn)E是80的中點(diǎn)，則DF的長(zhǎng)為；

②取AE的中點(diǎn)H,當(dāng)NE4B的度數(shù)為時(shí)，四邊形0BEH為菱形.

11.如圖，AB是回。的直徑，弦CD回AB于