山東省“學(xué)情空間”區(qū)域教研共同體2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期5月數(shù)學(xué)試題

“學(xué)情空間”2023年高二5月份質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘分值：150分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先整理集合，再根據(jù)集合運(yùn)算求詳解】，或，故，故選：D2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，所以命題的否定為.故選：A.3.已知事件，若，則（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用條件概率的公式即可求解.【詳解】因?yàn)椋?解得,又，所以.故選：B.4.為研究變量的相關(guān)關(guān)系，收集得到如下數(shù)據(jù)：5678998643若由最小二乘法求得關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則據(jù)此計(jì)算殘差為0的樣本點(diǎn)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出回歸方程的樣本中心點(diǎn)，從而可求得，再根據(jù)殘差的定義可判斷.【詳解】由題意可得：，即樣本中心點(diǎn)為，可得，解得，所以，可得56789986439.27.664.42.80所以殘差為0的樣本點(diǎn)是.故選：C.5.關(guān)于實(shí)數(shù)的一元二次不等式的解集為，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三個(gè)二次之間的關(guān)系結(jié)合韋達(dá)定理可得，且，代入所求不等式運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可得：的解為，且，可得，解得，則不等式，即為，且，則，整理得，解得或，即解集為.故選：D.6.已知函數(shù)，則單調(diào)遞增的一個(gè)充分不必要條件可以是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)遞增有在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)范圍，最后由充分必要性定義，即可得答案.【詳解】由且，令，要使單調(diào)遞增，即恒成立，當(dāng)時(shí)滿足題設(shè)；當(dāng)，可得，則，滿足題設(shè)；綜上，使單調(diào)遞增，則，A為充要條件，B為充分不必要條件，C、D既不充分也不必要條件.故選：B7.已知偶函數(shù)滿足對(duì)恒成立，下列正確是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】令，即可判斷的奇偶性與單調(diào)性，再根據(jù)奇偶性與單調(diào)性比較函數(shù)值的大小.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，令，則，所以為偶函數(shù)，又，則當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，則，所以，即，故A正確；，即，則，即，故B錯(cuò)誤；，即，則，即，故C錯(cuò)誤；，即，則，即，故D錯(cuò)誤；故選：A8.已知，且，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意利用基本不等式以及對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋以诙x域內(nèi)單調(diào)遞增，則，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，所以，故D錯(cuò)誤；故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知某學(xué)校高二年級(jí)男生人數(shù)是女生人數(shù)的2倍，該年級(jí)全部男、女學(xué)生是否喜歡徒步運(yùn)動(dòng)的等高堆積條形圖如下，下列說(shuō)法正確的是（）A.參加調(diào)查的學(xué)生中喜歡徒步的男生比喜歡徒步的女生多B.參加調(diào)查的學(xué)生中不喜歡徒步的男生比不喜歡徒步的女生少C.若參加調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為300，則能根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷喜歡徒步和性別有關(guān)D.無(wú)論參加調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為多少，都能根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷喜歡徒步和性別有關(guān)【答案】AC【解析】【分析】對(duì)AB，設(shè)該學(xué)校高二年級(jí)男生人數(shù)為，女生人數(shù)為，再計(jì)算喜歡與不喜歡徒步的男生與女生人數(shù)判斷即可；對(duì)CD，計(jì)算卡方，對(duì)照表格判斷即可.【詳解】對(duì)AB，設(shè)該學(xué)校高二年級(jí)男生人數(shù)為，女生人數(shù)為，則學(xué)生中喜歡徒步的男生為，喜歡徒步的女生為，故A正確；不喜歡徒步的男生為，不喜歡徒步的女生為，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，若參加調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為300，則男生200人，女生100人，列聯(lián)表可得：是否喜歡徒步性別合計(jì)男生女生喜歡14040180不喜歡6060120合計(jì)200100300則，故能根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷喜歡徒步和性別有關(guān)，故C正確；對(duì)D，設(shè)該學(xué)校高二年級(jí)男生人數(shù)為，女生人數(shù)為，列聯(lián)表可得：是否喜歡徒步性別合計(jì)男生女生喜歡不喜歡合計(jì)則，不能判斷與的大小關(guān)系故不能根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷喜歡徒步和性別有關(guān)，故D錯(cuò)誤；故選：AC10.現(xiàn)有一場(chǎng)流水席，共有6葷4素2湯共十二道菜品在長(zhǎng)桌上擺成一排，下列說(shuō)法正確的是（）A.兩份湯相鄰的擺法共有種B.每道素菜不相鄰的擺法共有種C.若十二道菜品的順序已經(jīng)固定，現(xiàn)又上了四道主食，有種不同擺法D.兩湯不擺在首尾的擺法共有種【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，利用捆綁法即可判斷；對(duì)于B，利用插空法即可判斷；對(duì)于C，利用定序倍縮法即可判斷；對(duì)于D，利用分步計(jì)數(shù)原理即可判斷.【詳解】對(duì)于A，先將兩份湯捆綁在一起，看作一個(gè)整體，有種擺法；再與其余十道菜品排列在一起，有種擺法；所以兩份湯相鄰的擺法共有種，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，先將6葷2湯共八道菜品進(jìn)行排列，有種擺法；再利用插空法將4道素菜插到上述八道菜品共9個(gè)空中，有種擺法；所以每道素菜不相鄰的擺法共有種，故B正確；對(duì)于C，先將十六道菜品進(jìn)行排列，有種擺法；其中十二道菜品的順序已經(jīng)固定，利用定序倍縮法可知有種不同擺法，故C正確；對(duì)于D，將十二道菜品看作12個(gè)空，去掉首尾兩個(gè)空還有10個(gè)空，在其中任選兩個(gè)空將兩份湯放進(jìn)去，共有種方法；再將剩余的十道菜品排列到剩余的10個(gè)空中，共有種方法；所以兩湯不擺在首尾的擺法共有種，故D正確.故選：BCD.11.某大學(xué)文學(xué)院有兩個(gè)自習(xí)室，小王同學(xué)每天晩上都會(huì)去自習(xí)室學(xué)習(xí).假設(shè)他第一天去自習(xí)室的概率為；他第二天去自習(xí)室的概率為；如果他第一天去自習(xí)室，則第二天去自習(xí)室的概率為.下列說(shuō)法正確的是（）A.小王兩天都去自習(xí)室的概率為B.小王兩天都去自習(xí)室的概率為C.小王兩天去不同自習(xí)室的概率為D.如果他第二天去自習(xí)室，則第一天去自習(xí)室的概率為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)條件概率公式及獨(dú)立事件概率公式計(jì)算即可判斷.【詳解】設(shè)小王第一天去自習(xí)室A的事件為，第二天去自習(xí)室A的事件為，設(shè)小王第一天去自習(xí)室的事件為，第二天去自習(xí)室的事件為，由題意，，，又，所以，則，所以B正確；因?yàn)?，所以，所以A錯(cuò)誤；設(shè)小王兩天去不同自習(xí)室的事件為C，則，所以C正確；，所以D錯(cuò)誤；故選：BC12.在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)（也叫圓函數(shù)）是一類與常見(jiàn)的三角函數(shù)類似的函數(shù)．最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)，從它們可以導(dǎo)出雙曲正切函數(shù)等，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.恒成立C.，D，且，則【答案】ACD【解析】【分析】通過(guò)計(jì)算和即可判斷A；求出和的值域，即可判斷B；首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再設(shè)，，判斷出在的單調(diào)遞增，且，得出，即可判斷C；不妨設(shè)，由在上單調(diào)遞增，得出，即可判斷D．【詳解】對(duì)于A：，，，，所以，故A正確；對(duì)于B：設(shè)，則，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，設(shè)，，則，因?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，，故C正確；對(duì)于D：不妨設(shè)，則，由C得，，在上單調(diào)遞增，且，又因?yàn)?，即為上奇函?shù)，所以在上單調(diào)遞增，且，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，故D正確，故選：ACD．第Ⅱ卷（60分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.求函數(shù)在上的最大值_________．【答案】##【解析】【分析】由得出在上單調(diào)遞增，即可得出最大值．【詳解】，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，故答案為：．14.在的展開(kāi)式中，若按的升冪進(jìn)行排列，則第3項(xiàng)為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)，展開(kāi)計(jì)算的系數(shù)即可.【詳解】由，可得按的升冪進(jìn)行排列分別為常數(shù)項(xiàng)，的項(xiàng)和的項(xiàng)，故第3項(xiàng)為含的項(xiàng).其中的項(xiàng)為.故答案為：15.一個(gè)盒子中有個(gè)大小相同的小球，其中個(gè)紅球，個(gè)白球，從中隨機(jī)有放回的抽出個(gè)球作為樣本，用表示樣本中紅球的個(gè)數(shù)，則樣本中紅球的比例與總體中紅球的比例之差的絕對(duì)值不超過(guò)的概率為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】依題意可得，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求出，，依題意可得，從而得到或，則所求概率.【詳解】有放回摸球，每次摸到紅球的概率為，且每次試驗(yàn)之間的結(jié)果是獨(dú)立的，所以，則，，又總體中紅球的比例為，則，解得，即或，所以樣本中紅球的比例與總體中紅球的比例之差的絕對(duì)值不超過(guò)的概率.故答案為：16.用紅、橙、黃、綠四種顏色給圖中的正方體展開(kāi)圖的六個(gè)區(qū)域涂色，要求展開(kāi)后相鄰區(qū)域的顏色以及還原回正方體后的相鄰面所涂顏色均不同，共有_________種不同的涂色方法．【答案】96【解析】【分析】依題意可得正方體三組對(duì)面中至少有兩組必須分別涂上相同的顏色，分情況分別計(jì)算即可.【詳解】如圖，還原回正方體后，、為正方體前后兩個(gè)對(duì)面，、為左右兩個(gè)對(duì)面，、為上下兩個(gè)對(duì)面，依題意，正方體三組對(duì)面中至少有兩組必須分別涂上相同的顏色，當(dāng)三組對(duì)面中有兩組顏色分別相同時(shí)，共有種不同的涂色方法；當(dāng)三組對(duì)面顏色分別相同時(shí)，共有種不同的涂色方法.綜上所述，共有72+24=96種不同的涂色方法.故答案為：96四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，已知第2項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等．（1）求展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和；（2）求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（3）求展開(kāi)式中的有理項(xiàng)．【答案】（1）0（2）（3）有理項(xiàng)為，，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)可得，令，即可得各項(xiàng)系數(shù)之和；（2）根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)最大，結(jié)合展開(kāi)式的通項(xiàng)公式運(yùn)算求解；（3）結(jié)合展開(kāi)式的通項(xiàng)公式運(yùn)算求解，令，運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】依題意，由組合數(shù)的性質(zhì)得，令，得展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槎?xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，因?yàn)?，所以二?xiàng)式的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為.【小問(wèn)3詳解】由（2）可得：二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上所述：二項(xiàng)式展開(kāi)式中的有理項(xiàng)為，，18.今年剛過(guò)去的4月份是“全國(guó)消費(fèi)促進(jìn)月”，各地拼起了特色經(jīng)濟(jì)”，帶動(dòng)消費(fèi)復(fù)蘇、市場(chǎng)回暖.“小餅烤爐加蘸料，靈魂燒烤三件套”，最近，淄博燒烤在社交媒體火爆出圈，吸引全國(guó)各地的游客坐著高鐵，直奔燒烤店，而多家店鋪的營(yíng)業(yè)額也在近一個(gè)月內(nèi)實(shí)現(xiàn)了成倍增長(zhǎng).因此某燒烤店老板考慮投入更多的人工成本，現(xiàn)有以往的服務(wù)人員增量x（單位：人）與年收益增量y單位：萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)如下：服務(wù)人員增量x/人234681013年收益增量y/萬(wàn)元13223142505658據(jù)此，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：模型①：由最小二乘公式可求得與的一元線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為；模型②：由散點(diǎn)圖（如圖）的樣本點(diǎn)分布，可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在曲線的附近．對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行初步處理后，得到了一些統(tǒng)計(jì)的量的值：，，，，其中，（1）根據(jù)所給的統(tǒng)計(jì)量，求模型②中關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（精確到0.1）；（2）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較兩種模型的決定系數(shù)，并選擇擬合精度更高的模型，預(yù)測(cè)服務(wù)人員增加25人時(shí)的年收益增量．回歸模型模型①模型②回歸方程182.479.2附：樣本的最小二乘估計(jì)公式為，，刻畫(huà)樣本回歸效果的決定系數(shù)【答案】（1）＝21.3－14.4（2）模型①的R2小于模型②，說(shuō)明回歸模型②刻畫(huà)的擬合效果更好，92.1萬(wàn)元．【解析】【分析】（1）令，則，然后根據(jù)表中的數(shù)據(jù)和公式可求出模型②中y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（2）由表中的數(shù)據(jù)和樣本回歸效果的決定系數(shù)可判斷回歸模型②刻畫(huà)的擬合效果更好，再根據(jù)模型②的回歸方程可預(yù)測(cè)服務(wù)人員增加25人時(shí)的年收益增量．【小問(wèn)1詳解】令，則.由參考數(shù)據(jù)得＝＝38.9－21.32×2.5≈－14.4，所以，模型②中y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝21.3－14.4．【小問(wèn)2詳解】由表格中的數(shù)據(jù)，有182.4＞79.2，即，模型①的小于模型②，說(shuō)明回歸模型②刻畫(huà)的擬合效果更好當(dāng)x＝25時(shí)，模型②的收益增量的預(yù)測(cè)值為＝21.3×－14.4＝21.3×5－14.4＝92.1(萬(wàn)元)．所以預(yù)測(cè)服務(wù)人員增加25人時(shí)的年收益增量為92.1萬(wàn)元．19.針對(duì)“中學(xué)生追星問(wèn)題”，某校團(tuán)委正在對(duì)“性別與中學(xué)生追星是否有關(guān)”做相關(guān)研究．現(xiàn)從本校隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到下表：是否追星性別合計(jì)男生女生追星4570不追星20合計(jì)100（1）請(qǐng)將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別與中學(xué)生追星有關(guān)聯(lián)？（2）根據(jù)是否追星，在樣本的女生中，按照分層抽樣的方法抽取9人作為研究小組．為了更詳細(xì)地了解情況，再?gòu)难芯啃〗M中隨機(jī)抽取4人，求抽到追星人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考公式：下表給出了獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值．0.0500.0250.0100.0013.84105.0246.63510.828【答案】（1）表格見(jiàn)解析，有關(guān)聯(lián)（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）補(bǔ)充列聯(lián)表，再計(jì)算卡方對(duì)比表格判斷即可；（2）由題意可知，可能取值為0，1，2，3，4，再求解分布列計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可.【小問(wèn)1詳解】列聯(lián)表補(bǔ)充為是否追星性別合計(jì)男性女性追星452570不追星102030合計(jì)5545100零假設(shè)性別與中學(xué)生追星無(wú)關(guān)聯(lián).，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為性別與中學(xué)生追星有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01.【小問(wèn)2詳解】由題意知，9人中追星的有5人，不追星的有4人.由題意可知，的可能取值為0，1，2，3，4.，，，，，的分布列為0123420.某企業(yè)為進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，計(jì)劃在2023年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新，通過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)該產(chǎn)品全年需要投入研發(fā)成本250萬(wàn)元，每生產(chǎn)（千部），需另外投入成本萬(wàn)元，其中，已知每部的售價(jià)為5000元，且生產(chǎn)的當(dāng)年全部銷(xiāo)售完.（1）求2023年該款的利潤(rùn)關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí)，企業(yè)所獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】（1）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為52（千部）時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是5792萬(wàn)元.【解析】【分析】（1）根據(jù)利潤(rùn)等于收入減去成本即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）求出的函數(shù)關(guān)系式直接求最大值即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí),，所以.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，,∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，因此當(dāng)年產(chǎn)量為52（千部）時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是5792萬(wàn)元.21.為提高學(xué)生運(yùn)動(dòng)的積極性，某校擬在六月初進(jìn)行高二年級(jí)班級(jí)籃球賽.體育教師隨機(jī)記錄了高二三班體育委員小楊在五月份中“定點(diǎn)投籃”訓(xùn)練中的成績(jī).小楊每天進(jìn)行投籃訓(xùn)練100次，每次投籃命中得1分，否則不得分，且每次命中結(jié)果互不影響.得到如下頻率分布直方圖．（1）①求小楊在五月份“定點(diǎn)投籃”訓(xùn)練成績(jī)樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）②若小楊在五月份“定點(diǎn)投籃”訓(xùn)練成績(jī)近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，求的值；（2）為進(jìn)一步激發(fā)小楊的訓(xùn)練斗志，體育老師特安排二班體育委員小王與其進(jìn)行比賽.兩人分別連續(xù)投籃100次，小楊得分達(dá)到80分為獲勝，否則小王獲勝．若有人獲勝達(dá)3局，則比賽結(jié)束，記比賽的局?jǐn)?shù)為．以頻率分布直方圖中小楊獲勝的頻率作為概率