2023屆高考二輪專題突破講義：函數(shù)方程不等式之同構(gòu)法

1/12專題突破之——同構(gòu)法解函數(shù)（方程、不等式）綜合問(wèn)題【關(guān)于同構(gòu)的認(rèn)識(shí)】同構(gòu)即結(jié)構(gòu)形式相同．對(duì)于一個(gè)不等式，對(duì)其移項(xiàng)后通過(guò)各種手段將其變形，使其左右兩邊呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)形式完全一樣的狀態(tài)，接著就可以構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性等來(lái)對(duì)式子進(jìn)行處理了．這種題目，實(shí)際上是命題人將原先形式明顯、規(guī)整的式子，打亂重排而形成的一類題目．我們需要對(duì)這個(gè)看似雜亂無(wú)章的式子進(jìn)行整合變形，使其顯現(xiàn)原型，進(jìn)而借助函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行處理．當(dāng)然有些等式也可借助同構(gòu)的思想進(jìn)行處理．【一個(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)換】已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則【黃金變換】1.對(duì)數(shù)恒等式，,2.常見變形,,,,【高考真題】1.(2020?新課標(biāo)卷Ⅱ文數(shù)?12)若，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】．設(shè)，已知是定義在上的增函數(shù)，故由可得，所以，從而，故選A．2.(2020?新課標(biāo)卷Ⅰ理數(shù)?12)若，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算可得，又因?yàn)?，即，令，由指?duì)函數(shù)單調(diào)性可得在內(nèi)單調(diào)遞增，由，可得，故選B.3.【2020?全國(guó)Ⅰ卷?22】已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】（1）略（2）（同構(gòu)轉(zhuǎn)化）等價(jià)于,令,上述不等式等價(jià)于,顯然為單調(diào)增函數(shù)，∴又等價(jià)于，即，令,則在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，∴,，∴的取值范圍是.4.【2021全國(guó)新高考Ⅰ.22】已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【解析】（1）略（2）（同構(gòu)轉(zhuǎn)化，極值點(diǎn)偏移）因?yàn)椋?，即，故，設(shè)，由（1）可知不妨設(shè).往證，過(guò)程從略.【模擬試題】1.（2021?八省模擬高考?8）已知且且且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，故，同理，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，因?yàn)椋?，即，而，故，同理，，，因?yàn)?，故，所?故選：D．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下的大小比較問(wèn)題，應(yīng)根據(jù)代數(shù)式的特征合理構(gòu)建函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性，此類問(wèn)題，代數(shù)式變形很關(guān)鍵．2.(2022?T8聯(lián)考?8)設(shè)a，b都為正數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若aea+1＋b<blnb，則A．a(chǎn)b＞eB．b>ea+1C．a(chǎn)b＜eD．b<ea+13.(2022?湖北十一校第一次聯(lián)考?16)已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為________；若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．【答案】(填亦可)；【解析】,令,得的單調(diào)遞增區(qū)間(或亦可);可化為.設(shè)法一：，記，顯然在上單調(diào)遞增，由零點(diǎn)存在性定理可知存在，使，則可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則=，則，故.法二：==，設(shè)，則，由第一空可知，則，故.法三：易證得，則=,則，故.4.【圓創(chuàng)教育2022屆第二次聯(lián)考?8】已知．且，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)和，利用導(dǎo)數(shù)分別判斷其單調(diào)性，由即可得，最后可得.【詳解】令，則，即在上單調(diào)遞減，∴，即，設(shè)，則，即在上單調(diào)遞增，又∵，∴.故選：.5.[2022武漢二調(diào)?22]已知函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)討論的零點(diǎn).【解析】【典例精析】例1．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________．【答案】【解析】由題意可知，在上單調(diào)遞增，，即任意的恒成立，所以，解得.例2.已知函數(shù)時(shí)定義在R上不恒為0的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，則【答案】0【解析】條件可變形為于是得，而為偶函數(shù)故.例3.設(shè)方程的根為，設(shè)方程的根為，則【答案】4【解析】令，則，而在R上單調(diào)遞增，故，又由得即，故.例4.已知關(guān)于的方程，當(dāng)時(shí)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為____________.【答案】【解析】令，函數(shù)在R上單調(diào)遞增故，令，，，遞減；，，遞增；，，故的取值范圍為.例5.已知，且滿足，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由得，而函數(shù)在上單調(diào)遞增故，即，所以.例6.若對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】令，則不等式等價(jià)于而是上的增函數(shù)，所以，記，，時(shí)，，遞減；時(shí)，，遞增；所以所以.例7.【多選題】下列不等關(guān)系中正確的是【答案】BC【解析】考察函數(shù)知在上單調(diào)遞增，故，即，，故選項(xiàng)B正確；考察函數(shù)知在上單調(diào)遞減，故，即，可得，故選項(xiàng)C正確；【強(qiáng)化訓(xùn)練】1.已知實(shí)數(shù)滿足，則【答案】【解析】即，即令，則時(shí)；時(shí)且單調(diào)遞增；故，又由即兩邊取自然對(duì)數(shù)得可得，故.2.已知正實(shí)數(shù)，則（）【答案】D【解析】設(shè)，則在上單調(diào)遞增故故選項(xiàng)D正確.3.若，則A.B.C.D.【答案】A【解析】可化為令，則故是上的遞增函數(shù)而，故故.4.若則A.B.C.D.【答案】C【解析】A選項(xiàng)：，令，則，，故在R上單調(diào)遞增，而，故，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；即在上不單調(diào)，從而不等式不能恒成立.B選項(xiàng)：，令，則在上單調(diào)遞增，從而，故B錯(cuò)誤.CD選項(xiàng)：，令，則，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，從而，故C正確D錯(cuò)誤.5.已知，且，則若（）A.B.C.D.【答案】B【解析】即考察函數(shù)，因?yàn)?，所以在上為增函?shù)，由有所以，故故選B.6.已知對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】設(shè)，則不等式等價(jià)于而，時(shí)，，遞減；時(shí)，，遞增；結(jié)合函數(shù)的圖象性質(zhì)知：對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，等價(jià)于，即記，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以.7.設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】記，則不等式等價(jià)于,時(shí)，，遞減；時(shí)，，遞增；因?yàn)?，結(jié)合函數(shù)的圖象性質(zhì)知：于是記，時(shí)，，遞增；時(shí)，，遞減；所以，所以.8.（2022湖北八市3月聯(lián)考?22）設(shè)函數(shù).（為自然常數(shù)）(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答