浙江省嘉興市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末檢測(cè)數(shù)學(xué)試題(含答案解析)_第1頁
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嘉興市2023~2024學(xué)年第一學(xué)期期末檢測(cè)高二數(shù)學(xué)試題卷(2024.1)本試題卷共6頁,滿分150分,考試時(shí)間120分鐘.考生注意:1.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙上規(guī)定的位置.2.答題時(shí),請(qǐng)按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求,在答題紙上的相應(yīng)位置規(guī)范作答,在本試題卷上的作答一律無效.一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線傾斜角為()A.0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線傾斜角的定義可判斷.【詳解】由直線,可得該直線傾斜角為.故選:D.2.數(shù)列滿足,,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合遞推公式求得即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,故選:B3.拋物線的準(zhǔn)線方程是A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】根據(jù)拋物線的概念,可得準(zhǔn)線方程為4.已知空間向量,,且,則()A. B. C.1 D.17【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)關(guān)系運(yùn)算求解.【詳解】,,,即,,解得,.故選:A.5.已知點(diǎn)為圓:外一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作圓的兩條切線,,切點(diǎn)分別為,,且,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知結(jié)合直線與圓相切的性質(zhì)可得四邊形為正方形,,,然后結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式即可求解.【詳解】設(shè),因?yàn)椋c圓相切,所以,,,,又,所以四邊形為正方形,所以,則,即動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心,為半徑的圓,所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.故選:A.6.已知,是橢圓:的兩個(gè)焦點(diǎn),A,是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的不同的兩點(diǎn),則的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè),由橢圓性質(zhì)和已知條件得,由兩點(diǎn)間的距離公式得,然后化簡(jiǎn)、換元結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性可求【詳解】由題意,設(shè),由于A,是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的不同的兩點(diǎn),所以,又,令,因?yàn)椋?,所以,由于?duì)稱軸為,所以在單調(diào)遞減,所以,又,即,所以故選:D7.如圖,把正方形紙片沿對(duì)角線進(jìn)行翻折,點(diǎn),滿足,,是原正方形的中心,當(dāng),直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為3,求出相關(guān)線段長(zhǎng),利用余弦定理求出,結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律,即可求出,利用向量的夾角公式求得,再結(jié)合異面直線所成角的范圍即可求得答案.【詳解】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為3,由題意知,,,故,則,把正方形紙片沿對(duì)角線進(jìn)行翻折后,直線與為異面直線,則,故,由題意知直線與為異面直線,它們所成角的范圍為,故直線與所成角的余弦值為,故選:C8.已知數(shù)列和均為等差數(shù)列,它們的前項(xiàng)和分別為和,且,,,則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意,由等差數(shù)列的前項(xiàng)和可得,然后設(shè),,代入計(jì)算,列出方程,即可得到結(jié)果.【詳解】由可得,即,設(shè),,則,所以,,.若,則解得,,,此時(shí),.即;同理,若,則,解得,則,.即;綜上,.故選:D二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,有選錯(cuò)的得0分,部分選對(duì)的得2分.9.若構(gòu)成空間的一個(gè)基底,則空間的另一個(gè)基底可以是()A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)空間向量基底的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A:因?yàn)闃?gòu)成空間的一個(gè)基底,所以可以得兩兩都不是共線向量,假設(shè)是共面向量,則有顯然無實(shí)數(shù)解,假設(shè)不成立,因此不是共面向量,因此可以成為一組基底;B:因?yàn)闃?gòu)成空間的一個(gè)基底,所以可以得兩兩都不共線向量,因?yàn)?,所以是共面向量,因此不能成為一組基底;C:因?yàn)闃?gòu)成空間的一個(gè)基底,所以可以得兩兩都不是共線向量,假設(shè)是共面向量,則有顯然無實(shí)數(shù)解,假設(shè)不成立,因此不是共面向量,因此可以成為一組基底;D:因?yàn)闃?gòu)成空間的一個(gè)基底,所以可以得兩兩都不是共線向量,因?yàn)椋允枪裁嫦蛄?,因此不能成為一組基底,故選:AC10.已知直線:,則下列結(jié)論正確的是()A.直線過定點(diǎn)B.原點(diǎn)到直線距離的最大值為C.若點(diǎn),到直線的距離相等,則D.若直線經(jīng)過一、二、三象限,則【答案】ABD【解析】【分析】求出直線定點(diǎn)可判選項(xiàng)A;當(dāng)原點(diǎn)到定點(diǎn)的距離即是原點(diǎn)到直線的距離最大值,可判選項(xiàng)B;根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可判選項(xiàng)C;根據(jù)條件列出不等式組求解可判選項(xiàng)D【詳解】將化為,令,即得,即直線過定點(diǎn),故A對(duì);當(dāng)原點(diǎn)到定點(diǎn)的距離即是原點(diǎn)到直線的距離最大值,即原點(diǎn)到直線距離的最大值為,故B對(duì);點(diǎn),到直線的距離相等,即,即,解得,或,故C錯(cuò);若直線經(jīng)過一、二、三象限,則直線在x軸的截距為負(fù)、y軸的截距為正,令,則;令,則,則,即,且或,所以,故D對(duì);故選:ABD11.記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則()A.是遞減數(shù)列 B.有最大項(xiàng)C.是遞增數(shù)列 D.有最小項(xiàng)【答案】BCD【解析】【分析】由已知條件可得首項(xiàng)和公比的范圍,結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式對(duì)選項(xiàng)分析即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,因?yàn)?,所以且,?duì)A選項(xiàng),當(dāng)時(shí),是遞減數(shù)列,,是擺動(dòng)數(shù)列,故A錯(cuò)誤;對(duì)B選項(xiàng),當(dāng)時(shí),是遞減數(shù)列,最大項(xiàng)為,當(dāng),是擺動(dòng)數(shù)列,,所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為正,偶數(shù)項(xiàng)為負(fù),最大項(xiàng)為第一項(xiàng),故B正確;對(duì)C選項(xiàng),,且,則,所以,因?yàn)閱握{(diào)遞減,所以單調(diào)遞增,所以單調(diào)遞增;故C選項(xiàng)正確;對(duì)D選項(xiàng),當(dāng)時(shí),是遞減數(shù)列,有最小項(xiàng),沒有最大項(xiàng),當(dāng),是擺動(dòng)數(shù)列,因?yàn)?,所以?shù)列奇數(shù)項(xiàng)為正,偶數(shù)項(xiàng)為負(fù),且單調(diào)遞減,所以數(shù)列有最小項(xiàng)為最大項(xiàng)為,故D選項(xiàng)正確;故選:BCD12.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線.例如曲線:,當(dāng)時(shí),是我們熟知的圓;當(dāng)時(shí),是形狀如“四角星”的曲線,稱為星形線,則下列關(guān)于曲線的結(jié)論正確的是()A.對(duì)任意正實(shí)數(shù),曲線恒過2個(gè)定點(diǎn)B.存在無數(shù)個(gè)正實(shí)數(shù),曲線至少有4條對(duì)稱軸C.星形線圍成的封閉圖形的面積大于2D.星形線與圓有四個(gè)公共點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】易知曲線過定點(diǎn)和,可判斷A;當(dāng)為正偶數(shù)時(shí),曲線關(guān)于軸、軸及對(duì)稱,可得B正確;根據(jù)表達(dá)式可判斷出星形線圍成的封閉圖形曲線的內(nèi)部,可判斷C錯(cuò)誤;聯(lián)立星形線方程與圓,并解方程可判斷D正確.【詳解】選項(xiàng)A,曲線過定點(diǎn)和,且與只有兩個(gè)交點(diǎn)和,即A正確;選項(xiàng)B,當(dāng),時(shí),曲線至少有4條對(duì)稱軸,,,可得B正確;選項(xiàng)C,對(duì)于方程,用“”替換“”,方程依然成立,用“”替換“”,方程依然成立,所以星形線既關(guān)于軸對(duì)稱,也關(guān)于軸對(duì)稱.考慮星形線在第一象限內(nèi)的圖形,因?yàn)椋詧D形在線段的下方,再根據(jù)對(duì)稱性,星形線的圖形在曲線的內(nèi)部,因?yàn)榍€所圍成的圖形面積為2,所以星形線圍成的圖形面積小于2,可得C錯(cuò)誤;選項(xiàng)D,根據(jù)對(duì)稱性,考慮星形線第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn),則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以在第一象限有一個(gè)交點(diǎn),再根據(jù)對(duì)稱性另外三個(gè)象限各有一個(gè)交點(diǎn),共4個(gè)交點(diǎn),即D正確.故選:ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:在判斷星形線圍成封閉圖形的面積時(shí),關(guān)鍵是要與熟悉的圖形進(jìn)行比較,再結(jié)合過定點(diǎn)和,可聯(lián)想到曲線,即可判斷出面積小于2.三、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.13.在等差數(shù)列中,,則________.【答案】6【解析】【分析】根據(jù)給定條件,利用等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算即得.【詳解】在等差數(shù)列中,,解得,所以.故答案為:614.已知與圓:和圓:都相切的直線有且僅有兩條,則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】由題意可得兩圓相交,再根據(jù)兩圓的位置關(guān)系求參即可.【詳解】圓:的圓心,半徑,圓:的圓心,半徑,因?yàn)榕c圓:和圓:都相切的直線有且僅有兩條,所以兩圓相交,則,即,解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為:.15.在三棱錐中,和都是等邊三角形,,,為棱上一點(diǎn),則的最小值是________.【答案】【解析】【分析】設(shè),,根據(jù)向量的線性運(yùn)算將用已知向量表示,再利用數(shù)量及運(yùn)算得到的表達(dá)式,利用二次函數(shù)求出最小值.【詳解】如圖,設(shè),,在中,,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.故答案為:.16.已知雙曲線:的左頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,傾斜角為的直線與雙曲線在第一象限交于點(diǎn),若,則雙曲線的離心率的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意,由余弦定理代入計(jì)算可得,再由雙曲線的定義結(jié)合余弦定理代入計(jì)算,即可得到結(jié)果.【詳解】在中,,由余弦定理得,又,所以,設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為,,在中,由余弦定理得,得,由得,,.所以離心率的取值范圍是.故答案為:四、解答題:本大題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知圓經(jīng)過三點(diǎn),,.(1)求圓的方程;(2)過的直線與圓交于另一點(diǎn),且為等腰直角三角形,求的方程.【答案】(1)(2)或【解析】【分析】(1)法一:設(shè)圓的一般方程,代點(diǎn)即可;法二:分別求得弦的垂直平分線,聯(lián)立得圓心坐標(biāo),再應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式即可求半徑,進(jìn)而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)由題意得圓心到直線的距離為,設(shè)出直線的方程,應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【小問1詳解】法一:設(shè)圓的一般方程為,代入三個(gè)點(diǎn)得,解得,,,所以的方程為.法二:線段的垂直平分線是,線段的垂直平分線是,聯(lián)立得圓心坐標(biāo),則半徑,所以的方程為.【小問2詳解】由題意得圓心到直線的距離為,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),直線方程為,此時(shí)圓心到直線的距離為2,故斜率存在;則設(shè)直線的方程為,即,則,解得或,所以的方程為或.18.如圖,在正四棱柱中,,,分別為,的中點(diǎn).(1)證明:平面平面;(2)求到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)以為原點(diǎn),以AD,DC所在直線為x軸,y軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面和平面一個(gè)的法向量,根據(jù)平面法向量平行可得證(2)根據(jù)到平面距離的空間向量公式即得【小問1詳解】以為原點(diǎn),以AD,DC所在直線為x軸,y軸建立空間直角坐標(biāo)系,,,,,,,,.設(shè)平面的一個(gè)法向量,則,即,令,則,所以設(shè)可得平面的一個(gè)法向量,則,即,令,則,所以,因?yàn)?,兩平面又不重合,所以平面平面.【小?詳解】因?yàn)?,所以,由?)知平面的一個(gè)法向量,則.19.已知拋物線:的焦點(diǎn)為,直線與交于,兩點(diǎn).(1)求的值;(2)若上存在點(diǎn),使的重心恰為,求的值及點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2),【解析】【分析】(1)聯(lián)立直線和拋物線方程利用韋達(dá)定理即可得出結(jié)果;(2)根據(jù)拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)及重心坐標(biāo)公式可求得,代入拋物線方程即可求得及.【小問1詳解】聯(lián)立方程:和,消去得得,則.【小問2詳解】設(shè)點(diǎn),易知,如下圖所示:由(1)可得,由的重心恰為可得,即;且,可得由點(diǎn)在上,滿足,可得,解得,所以,,即點(diǎn)為.20.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),其前項(xiàng)和為,且.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù),求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)與的關(guān)系,可得是等比數(shù)列,求出通項(xiàng);(2)根據(jù)題意可求出,利用錯(cuò)位相減法可求出答案.【小問1詳解】當(dāng)時(shí),,得,所以;則,得,所以是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列,所以,.【小問2詳解】由(1),可得,當(dāng)時(shí),區(qū)間,所以,當(dāng)時(shí),,,,即當(dāng),在區(qū)間內(nèi)的項(xiàng)有,,,,所以,綜上,,,,①,②①②得,,.21.如圖,四棱錐的底平面是邊長(zhǎng)為2的菱形,,,,為的中點(diǎn).(1)證明:平面;(2)若,求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)先通過證明平面得到,在通過證明即可得結(jié)論;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求平面平面角.【小問1詳解】如圖,連接與交于點(diǎn),則為中點(diǎn),也為中點(diǎn),連接,.因?yàn)?,所以,又,,是平面?nèi)兩條相交線,所以平面,平面,所以,因?yàn)?,分別為,中點(diǎn),所以,因?yàn)?,所以.又,是平面?nèi)兩條相交線,所平面;.【小問2詳解】因?yàn)槠矫?,所以平面平面,作,交點(diǎn)為,則平面,又平面,所以,由,又,平面所以平面,又平面,所以,由于四棱錐的底平面是邊長(zhǎng)為2的菱形,,所以為等邊三角形,又,,所以點(diǎn)即為的垂心,也為重心,則,,,如圖,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,則,,設(shè)平面的一個(gè)法向量,由,即,取,又平面的一個(gè)法向量所以,即平面與平面夾角的余弦值.22.已知橢圓:,其短軸長(zhǎng)為2,離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn),在上,記直線,的斜率分別為,,試問:是否存在常數(shù),使得當(dāng)時(shí),的面積為定值?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)存在,【解析】【分析】(1)直接根據(jù)條件列式計(jì)算求出即可;(2)設(shè),,設(shè)的方程:,與橢圓聯(lián)立,利用韋達(dá)定理表示出的面積,然后根據(jù)面積為定值求解即可.【小問1詳解】由已知,,又得,所以,所以橢圓的方程為;【小問2詳解】法一:設(shè),,當(dāng)直線的斜率

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