浙江省嘉興市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

嘉興市2023~2024學(xué)年第一學(xué)期期末檢測(cè)高二數(shù)學(xué)試題卷（2024．1）本試題卷共6頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.考生注意：1．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙上規(guī)定的位置.2．答題時(shí)，請(qǐng)按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題紙上的相應(yīng)位置規(guī)范作答，在本試題卷上的作答一律無效.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線傾斜角為（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線傾斜角的定義可判斷.【詳解】由直線，可得該直線傾斜角為.故選：D.2.數(shù)列滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合遞推公式求得即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故選：B3.拋物線的準(zhǔn)線方程是A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】根據(jù)拋物線的概念，可得準(zhǔn)線方程為4.已知空間向量，，且，則（）A. B. C.1 D.17【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)關(guān)系運(yùn)算求解.【詳解】，，，即，，解得，.故選：A.5.已知點(diǎn)為圓：外一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知結(jié)合直線與圓相切的性質(zhì)可得四邊形為正方形，，，然后結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式即可求解．【詳解】設(shè)，因?yàn)椋c圓相切，所以，，，，又，所以四邊形為正方形，所以，則，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．故選：A．6.已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，A，是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的不同的兩點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，由橢圓性質(zhì)和已知條件得，由兩點(diǎn)間的距離公式得，然后化簡(jiǎn)、換元結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性可求【詳解】由題意，設(shè)，由于A，是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的不同的兩點(diǎn)，所以，又,令，因?yàn)椋?，所以，由于?duì)稱軸為，所以在單調(diào)遞減，所以，又，即，所以故選：D7.如圖，把正方形紙片沿對(duì)角線進(jìn)行翻折，點(diǎn)，滿足，，是原正方形的中心，當(dāng)，直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為3，求出相關(guān)線段長(zhǎng)，利用余弦定理求出，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律，即可求出，利用向量的夾角公式求得，再結(jié)合異面直線所成角的范圍即可求得答案.【詳解】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為3，由題意知，，，故，則，把正方形紙片沿對(duì)角線進(jìn)行翻折后，直線與為異面直線，則，故，由題意知直線與為異面直線，它們所成角的范圍為，故直線與所成角的余弦值為，故選：C8.已知數(shù)列和均為等差數(shù)列，它們的前項(xiàng)和分別為和，且，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的前項(xiàng)和可得，然后設(shè)，，代入計(jì)算，列出方程，即可得到結(jié)果.【詳解】由可得，即，設(shè)，，則，所以，，．若，則解得，，，此時(shí)，．即；同理，若，則，解得，則，．即；綜上，．故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則空間的另一個(gè)基底可以是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)空間向量基底的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A：因?yàn)闃?gòu)成空間的一個(gè)基底，所以可以得兩兩都不是共線向量，假設(shè)是共面向量，則有顯然無實(shí)數(shù)解，假設(shè)不成立，因此不是共面向量，因此可以成為一組基底；B：因?yàn)闃?gòu)成空間的一個(gè)基底，所以可以得兩兩都不共線向量，因?yàn)?，所以是共面向量，因此不能成為一組基底；C：因?yàn)闃?gòu)成空間的一個(gè)基底，所以可以得兩兩都不是共線向量，假設(shè)是共面向量，則有顯然無實(shí)數(shù)解，假設(shè)不成立，因此不是共面向量，因此可以成為一組基底；D：因?yàn)闃?gòu)成空間的一個(gè)基底，所以可以得兩兩都不是共線向量，因?yàn)椋允枪裁嫦蛄?，因此不能成為一組基底，故選：AC10.已知直線：，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線過定點(diǎn)B.原點(diǎn)到直線距離的最大值為C.若點(diǎn)，到直線的距離相等，則D.若直線經(jīng)過一、二、三象限，則【答案】ABD【解析】【分析】求出直線定點(diǎn)可判選項(xiàng)A；當(dāng)原點(diǎn)到定點(diǎn)的距離即是原點(diǎn)到直線的距離最大值，可判選項(xiàng)B；根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可判選項(xiàng)C；根據(jù)條件列出不等式組求解可判選項(xiàng)D【詳解】將化為，令，即得，即直線過定點(diǎn)，故A對(duì)；當(dāng)原點(diǎn)到定點(diǎn)的距離即是原點(diǎn)到直線的距離最大值，即原點(diǎn)到直線距離的最大值為，故B對(duì)；點(diǎn)，到直線的距離相等，即，即，解得，或，故C錯(cuò)；若直線經(jīng)過一、二、三象限，則直線在x軸的截距為負(fù)、y軸的截距為正，令，則；令，則，則，即，且或，所以，故D對(duì)；故選：ABD11.記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.是遞減數(shù)列 B.有最大項(xiàng)C.是遞增數(shù)列 D.有最小項(xiàng)【答案】BCD【解析】【分析】由已知條件可得首項(xiàng)和公比的范圍，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式對(duì)選項(xiàng)分析即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,因?yàn)?，所以且，?duì)A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，是遞減數(shù)列，，是擺動(dòng)數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，是遞減數(shù)列，最大項(xiàng)為，當(dāng)，是擺動(dòng)數(shù)列，，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，最大項(xiàng)為第一項(xiàng)，故B正確；對(duì)C選項(xiàng)，，且，則，所以，因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞增；故C選項(xiàng)正確；對(duì)D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，是遞減數(shù)列，有最小項(xiàng)，沒有最大項(xiàng)，當(dāng)，是擺動(dòng)數(shù)列，因?yàn)?，所以?shù)列奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，且單調(diào)遞減，所以數(shù)列有最小項(xiàng)為最大項(xiàng)為，故D選項(xiàng)正確；故選：BCD12.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線．例如曲線：，當(dāng)時(shí)，是我們熟知的圓；當(dāng)時(shí)，是形狀如“四角星”的曲線，稱為星形線，則下列關(guān)于曲線的結(jié)論正確的是（）A.對(duì)任意正實(shí)數(shù)，曲線恒過2個(gè)定點(diǎn)B.存在無數(shù)個(gè)正實(shí)數(shù)，曲線至少有4條對(duì)稱軸C.星形線圍成的封閉圖形的面積大于2D.星形線與圓有四個(gè)公共點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】易知曲線過定點(diǎn)和，可判斷A；當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，曲線關(guān)于軸、軸及對(duì)稱，可得B正確；根據(jù)表達(dá)式可判斷出星形線圍成的封閉圖形曲線的內(nèi)部，可判斷C錯(cuò)誤；聯(lián)立星形線方程與圓，并解方程可判斷D正確.【詳解】選項(xiàng)A，曲線過定點(diǎn)和，且與只有兩個(gè)交點(diǎn)和，即A正確；選項(xiàng)B，當(dāng)，時(shí)，曲線至少有4條對(duì)稱軸，，，可得B正確；選項(xiàng)C，對(duì)于方程，用“”替換“”，方程依然成立，用“”替換“”，方程依然成立，所以星形線既關(guān)于軸對(duì)稱，也關(guān)于軸對(duì)稱.考慮星形線在第一象限內(nèi)的圖形，因?yàn)椋詧D形在線段的下方，再根據(jù)對(duì)稱性，星形線的圖形在曲線的內(nèi)部，因?yàn)榍€所圍成的圖形面積為2，所以星形線圍成的圖形面積小于2，可得C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，根據(jù)對(duì)稱性，考慮星形線第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以在第一象限有一個(gè)交點(diǎn)，再根據(jù)對(duì)稱性另外三個(gè)象限各有一個(gè)交點(diǎn)，共4個(gè)交點(diǎn)，即D正確．故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在判斷星形線圍成封閉圖形的面積時(shí)，關(guān)鍵是要與熟悉的圖形進(jìn)行比較，再結(jié)合過定點(diǎn)和，可聯(lián)想到曲線，即可判斷出面積小于2.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.在等差數(shù)列中，，則________．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算即得.【詳解】在等差數(shù)列中，，解得，所以.故答案為：614.已知與圓：和圓：都相切的直線有且僅有兩條，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】由題意可得兩圓相交，再根據(jù)兩圓的位置關(guān)系求參即可.【詳解】圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，因?yàn)榕c圓：和圓：都相切的直線有且僅有兩條，所以兩圓相交，則，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.15.在三棱錐中，和都是等邊三角形，，，為棱上一點(diǎn)，則的最小值是________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，，根據(jù)向量的線性運(yùn)算將用已知向量表示，再利用數(shù)量及運(yùn)算得到的表達(dá)式，利用二次函數(shù)求出最小值.【詳解】如圖，設(shè)，，在中，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：.16.已知雙曲線：的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，傾斜角為的直線與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由余弦定理代入計(jì)算可得，再由雙曲線的定義結(jié)合余弦定理代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】在中，，由余弦定理得，又，所以，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，，在中，由余弦定理得，得，由得，，．所以離心率的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知圓經(jīng)過三點(diǎn)，，．（1）求圓的方程；（2）過的直線與圓交于另一點(diǎn)，且為等腰直角三角形，求的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）法一：設(shè)圓的一般方程，代點(diǎn)即可；法二：分別求得弦的垂直平分線，聯(lián)立得圓心坐標(biāo)，再應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式即可求半徑，進(jìn)而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由題意得圓心到直線的距離為，設(shè)出直線的方程，應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【小問1詳解】法一：設(shè)圓的一般方程為，代入三個(gè)點(diǎn)得，解得，，，所以的方程為．法二：線段的垂直平分線是，線段的垂直平分線是，聯(lián)立得圓心坐標(biāo)，則半徑，所以的方程為．【小問2詳解】由題意得圓心到直線的距離為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為2，故斜率存在；則設(shè)直線的方程為，即，則，解得或，所以的方程為或．18.如圖，在正四棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）求到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）以為原點(diǎn)，以AD，DC所在直線為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面一個(gè)的法向量，根據(jù)平面法向量平行可得證（2）根據(jù)到平面距離的空間向量公式即得【小問1詳解】以為原點(diǎn)，以AD，DC所在直線為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，所以設(shè)可得平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，所以，因?yàn)?，兩平面又不重合，所以平面平面．【小?詳解】因?yàn)?，所以，由?）知平面的一個(gè)法向量，則．19.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線與交于，兩點(diǎn)．（1）求的值；（2）若上存在點(diǎn)，使的重心恰為，求的值及點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）聯(lián)立直線和拋物線方程利用韋達(dá)定理即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)及重心坐標(biāo)公式可求得，代入拋物線方程即可求得及.【小問1詳解】聯(lián)立方程：和，消去得得，則．【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)，易知，如下圖所示：由（1）可得，由的重心恰為可得，即；且，可得由點(diǎn)在上，滿足，可得，解得，所以，，即點(diǎn)為．20.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，可得是等比數(shù)列，求出通項(xiàng)；（2）根據(jù)題意可求出，利用錯(cuò)位相減法可求出答案.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，得，所以；則，得，所以是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，所以，．【小問2詳解】由（1），可得，當(dāng)時(shí)，區(qū)間，所以，當(dāng)時(shí)，，，，即當(dāng)，在區(qū)間內(nèi)的項(xiàng)有，，，，所以，綜上，，，，①，②①②得，，．21.如圖，四棱錐的底平面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先通過證明平面得到，在通過證明即可得結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求平面平面角.【小問1詳解】如圖，連接與交于點(diǎn)，則為中點(diǎn)，也為中點(diǎn)，連接，．因?yàn)?，所以，又，，是平面?nèi)兩條相交線，所以平面，平面，所以，因?yàn)?，分別為，中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以．又，是平面?nèi)兩條相交線，所平面；.【小問2詳解】因?yàn)槠矫?，所以平面平面，作，交點(diǎn)為，則平面，又平面，所以，由，又，平面所以平面，又平面，所以，由于四棱錐的底平面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，所以為等邊三角形，又，，所以點(diǎn)即為的垂心，也為重心，則，，，如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由，即，取，又平面的一個(gè)法向量所以，即平面與平面夾角的余弦值.22.已知橢圓：，其短軸長(zhǎng)為2，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，在上，記直線，的斜率分別為，，試問：是否存在常數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，的面積為定值?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）直接根據(jù)條件列式計(jì)算求出即可；（2）設(shè)，，設(shè)的方程：，與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示出的面積，然后根據(jù)面積為定值求解即可.【小問1詳解】由已知，，又得，所以，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】法一：設(shè)，，當(dāng)直線的斜率