第1章 有理數(shù)（知識清單+典型例題與變式練習）-【滿分全攻略】2023-2024學年七年級數(shù)學上冊同步講義全優(yōu)學案（滬科版）

第1章有理數(shù)（知識清單+典型例題與變式練習）【知識導圖】【知識清單】考點1．有理數(shù)的分類：（1）按定義分類：（2）按性質分類：①按整數(shù)、分數(shù)的關系分類：有理數(shù)；②按正數(shù)、負數(shù)與0的關系分類：有理數(shù)．要點詮釋：（1）用正數(shù)、負數(shù)表示相反意義的量；（2）有理數(shù)“0”的作用：作用舉例表示數(shù)的性質0是自然數(shù)、是有理數(shù)表示沒有3個蘋果用+3表示，沒有蘋果用0表示表示某種狀態(tài)表示冰點表示正數(shù)與負數(shù)的界點0非正非負，是一個中性數(shù)【例1】（2022秋?定遠縣校級月考）在﹣2，3.14，，0.1414，0.101001000…中，有理數(shù)的個數(shù)是（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【分析】根據(jù)有理數(shù)的定義解答即可．【解答】解：﹣2，3.14，，0.1414，是有理數(shù)，共4個．故選：B．【點評】本題考查的是有理數(shù)，熟知整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)是解題的關鍵．【變式】（2022秋?霍邱縣校級月考）在﹣，，﹣π，﹣4中，屬于負整數(shù)的是（）A．﹣ B． C．﹣π D．﹣4【分析】根據(jù)負整數(shù)的意義，即可解答．【解答】解：在﹣，，﹣π，﹣4中，屬于負整數(shù)的是﹣4，故選：D．【點評】本題考查了有理數(shù)，熟練掌握有理數(shù)的分類是解題的關鍵．考點2數(shù)軸規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線．要點詮釋：（1）一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示出來，數(shù)軸上的點不都表示的是有理數(shù)，如．（2）在數(shù)軸上，右邊的點所對應的數(shù)總比左邊的點所對應的數(shù)大．【例2】（2022秋?定遠縣校級月考）如圖，數(shù)軸上的兩個點分別表示數(shù)a和﹣2，則a可以是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．2【分析】根據(jù)數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的大得到a的取值范圍，進而得出答案．【解答】解：根據(jù)數(shù)軸得：a＜﹣2，∴a可以是﹣3．故選：A．【點評】本題考查了數(shù)軸，掌握數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的大是解題的關鍵．【變式】（2022秋?淮南期末）已知數(shù)軸上點A，B，C所表示的數(shù)分別是4，﹣6，x．（1）求線段AB的長．（2）若點B是線段AC的中點，求x的值．【解答】解：（1）∵數(shù)軸上點A，B所表示的數(shù)分別是4，﹣6，∴線段AB的長為|4﹣（﹣6）|＝10；（2）∵點B是線段AC的中點，∴AB＝BC，∴4﹣（﹣6）＝﹣6﹣x，解得x＝﹣16，答：x的值是﹣16．考點3.相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)互稱為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0．要點詮釋：（1）一對相反數(shù)在數(shù)軸上對應的點位于原點兩側，并且到原點的距離相等，這兩點是關于原點對稱的．（2）求任意一個數(shù)的相反數(shù)，只要在這個數(shù)的前面添上“”號即可．（3）多重符號的化簡：數(shù)字前面“”號的個數(shù)若有偶數(shù)個時，化簡結果為正，若有奇數(shù)個時，化簡結果為負．【例3】（2022秋?宣城期末）若a、b互為相反數(shù)，則a﹣（5﹣b）的值為．【解答】解：∵a、b互為相反數(shù)，∴a+b＝0，∴a﹣（5﹣b）＝a+b﹣5＝0﹣5＝﹣5．故答案為：﹣5．考點4．絕對值：（1)代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0．數(shù)a的絕對值記作．（2)幾何意義：一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離．【例4】（2022秋?崇川區(qū)期末）已知a，b為有理數(shù)，ab≠0，且．當a，b取不同的值時，M的值等于（）A．±5 B．0或±1 C．0或±5 D．±1或±5【分析】根據(jù)絕對值的定義以及有理數(shù)混合運算法則進行計算即可．【解答】解：由于a，b為有理數(shù)，ab≠0，當a＞0、b＞0時，且＝2+3＝5．當a＞0、b＜0時，且＝2﹣3＝﹣1．當a＜0、b＞0時，且＝﹣2+3＝1．當a＜0、b＜0時，且＝﹣2﹣3＝﹣5．故選：D．【點評】本題考查絕對值，理解絕對值的定義，掌握有理數(shù)混合運算的方法是正確解答的前提．【變式1】如果|x+3|+|y﹣4|=0，求x+2y的值．【思路點撥】根據(jù)非負數(shù)的性質，可求出x、y的值，然后將x、y的值代入代數(shù)式化簡計算即可．【答案與解析】解：∵|x+3|+|y﹣4|=0，∴x+3=0，y﹣y=0，解得，x=﹣3，y=4，x+2y=﹣3+4×2=5．【總結升華】本題考查了絕對值的性質和非負數(shù)的性質，掌握有限個非負數(shù)的和為零，那么每一個加數(shù)也必為零是解題的關鍵．【變式2】已知x與y互為相反數(shù)，m與n互為倒數(shù)，|x+y|+（a-1）2＝0，求a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值．【思路點撥】(1)若有理數(shù)x與y互為相反數(shù)，則x+y＝0，反過來也成立．(2)若有理數(shù)m與n互為倒數(shù)，則mn＝1，反過來也成立．【答案與解析】解：因為x與y互為相反數(shù)，m與n互為倒數(shù)，（a-1）2≥0，所以x+y＝0，mn＝1，a＝1，所以a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010＝a2-(0+1)a+02009+(-1)2010＝a2-a+1．∵a＝1，∴原式＝12-1+1＝1【總結升華】要全面正確地理解倒數(shù)，絕對值，相反數(shù)等概念.【變式3】（2022秋?邗江區(qū)月考）|a|＝4，|b|＝6，且|a﹣b|＝b﹣a，求a+b的值．【分析】先由絕對值性質得出a、b的值，再結合|a﹣b|＝b﹣a知a≤b，從而確定出a和b的值可能取值，再分別代入計算可得．【解答】解：∵|a|＝4，|b|＝6，∴a＝±4，b＝±6，又|a﹣b|＝b﹣a，∴a≤b，則a＝4，b＝6或a＝﹣4，b＝6，當a＝4，b＝6時，a+b＝4+6＝10；當a＝﹣4，b＝6時，a+b＝﹣4+6＝2；綜上，a+b的值為10或2．【變式4】（2022秋?崇川區(qū)校級月考）在有些情況下，不需要計算出結果也能把絕對值符號去掉．例如：例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7；（1）根據(jù)上面的規(guī)律，把下列各式寫成去掉絕對值符號的形式：①|7﹣21|＝；②＝；③＝；④＝；（2）用合理的方法計算：；（3）用簡便的方法計算：．【解答】解：（1）①|7﹣21|＝21﹣7；②|﹣+0.8|＝0.8﹣；③||＝；④|3.2﹣2.8﹣|＝2.8+﹣3.2；故答案為：①21﹣7；②0.8﹣；③；④2.8+﹣3.2；（2）原式＝+﹣＝（﹣）+（）﹣＝﹣；（3）原式＝+++??????+＝＝＝．考點5：倒數(shù)（1）倒數(shù)：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)．一般地，a?＝1（a≠0），就說a（a≠0）的倒數(shù)是．（2）方法指引：①倒數(shù)是除法運算與乘法運算轉化的“橋梁”和“渡船”．正像減法轉化為加法及相反數(shù)一樣，非常重要．倒數(shù)是伴隨著除法運算而產(chǎn)生的．②正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)，而0沒有倒數(shù)，這與相反數(shù)不同．【規(guī)律方法】求相反數(shù)、倒數(shù)的方法求一個數(shù)的相反數(shù)求一個數(shù)的相反數(shù)時，只需在這個數(shù)前面加上“﹣”即可求一個數(shù)的倒數(shù)求一個整數(shù)的倒數(shù)，就是寫成這個整數(shù)分之一求一個分數(shù)的倒數(shù)，就是調換分子和分母的位置注意：0沒有倒數(shù)．【例5】若a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，則____.【答案】3；考點6：乘方（1）有理數(shù)乘方的定義：求n個相同因數(shù)積的運算，叫做乘方．乘方的結果叫做冪，在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．a(chǎn)n讀作a的n次方．（將an看作是a的n次方的結果時，也可以讀作a的n次冪．）（2）乘方的法則：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次冪都是0．（3）方法指引：①有理數(shù)的乘方運算與有理數(shù)的加減乘除運算一樣，首先要確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值；②由于乘方運算比乘除運算又高一級，所以有加減乘除和乘方運算，應先算乘方，再做乘除，最后做加減．【例6】（2022秋?定遠縣校級月考）計算：（1）﹣（）2×（﹣42）÷（﹣）2；（2）（﹣3）3×（﹣1）÷（﹣42）×（﹣1）25．【解答】解：（1）原式＝×（﹣16）÷＝1×64＝64；（2）原式＝﹣27×（）÷（﹣16）×（﹣1）＝﹣27×（）×（）×（﹣1）＝．【變式】（2022秋?定遠縣校級月考）規(guī)定：M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…M（n）＝．（1）計算：M（5）+M（6）；（2）求2×M（2021）+M（2022）的值；（3）試說明：2×M（n）與M（n+1）互為相反數(shù)．【解答】解：（1）M（5）+M（6）＝（﹣2）5+（﹣2）6＝﹣32+64＝32；（2）2M（2021）+M（2022）＝2×（﹣2）202l+（﹣2）2022＝2×（﹣22021）+22022＝﹣22022+22022＝0；（3）2M（n）＝2×（﹣2）n＝﹣（﹣2）×（﹣2）n＝﹣（﹣2）n+1，M（n+1）＝（﹣2）n+1，∵﹣（﹣2）n+1與（﹣2）n+1互為相反數(shù)，∴2M（n）與M（n+1）互為相反數(shù)．考點7：近似數(shù)（1）有效數(shù)字：從一個數(shù)的左邊第一個不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字．（2）近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數(shù)字等說法．（3）規(guī)律方法總結：“精確到第幾位”和“有幾個有效數(shù)字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實際意義是不一樣的，前者可以體現(xiàn)出誤差值絕對數(shù)的大小，而后者往往可以比較幾個近似數(shù)中哪個相對更精確一些．【例7】（2022秋?安慶期末）1.9985精確到百分位，應等于（）A．1.99 B．2.10 C．2.00 D．2【解答】解：1.9985按四舍五入法精確到百分位應寫作2.00；故選：C．【變式】（2022秋?安徽期末）用四舍五入法對1.6854取近似值精確到百分位為．【解答】解：近似數(shù)1.6854精確到百分位為1.69．故答案為：1.69．考點8：科學記數(shù)法把一個大于10的數(shù)表示成的形式（其中，是正整數(shù)），此種記法叫做科學記數(shù)法．例如：200000=．【例8】（2023?蘇州）在比例尺為1：8000000的地圖上，量得A，B兩地在地圖上的距離為3.5厘米，即實際距離為28000000厘米．數(shù)據(jù)28000000用科學記數(shù)法可表示為．【解答】解：28000000＝2.8×107，故答案為：2.8×107．【變式】（2023?鎮(zhèn)江一模）2023年2月15日春運結束，春運40天，全國發(fā)送旅客約15.95億人次，比去年同期增長50.5%，其中，數(shù)據(jù)15.95億用科學記數(shù)法可表示為．【解答】解：15.95億＝15.95×108＝1.595×109．故答案為：1.595×109．考點9、有理數(shù)的大小比較比較大小常用的方法有：（1）數(shù)軸比較法；（2）法則比較法：正數(shù)大于0，0大于負數(shù)，正數(shù)大于負數(shù)；兩個負數(shù)，絕對值大的反而?。?3)作差比較法．（4）作商比較法；（5)倒數(shù)比較法．【例9】在下列兩數(shù)之間填上適當?shù)牟坏忍枺篲_______．【答案】＜【解析】法一：作差法由于，所以法二：倒數(shù)比較法：因為所以【變式1】在下列兩數(shù)之間填上適當?shù)牟坏忍枺篲_______．【答案】＞【解析】法一：作差法：（）=，∴．法二：作商法：由于，所以．再根據(jù)兩個負數(shù)，絕對值大的反而小，得到：．【變式2】在下列兩數(shù)之間填上適當?shù)牟坏忍枺甠________．【答案】＞（提示：倒數(shù)法較簡便）考點10、有理數(shù)的運算1．法則：（1）加法法則：①同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加．②絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．（2）減法法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)．即a-b=a+(-b)．（3）乘法法則：①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘．②任何數(shù)同0相乘，都得0．（4）除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)．即a÷b=a·(b≠0)．（5）乘方運算的符號法則：①負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；②正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何非零次冪都是0．(6)有理數(shù)的混合運算順序：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級運算，從左到右進行；③如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行．要點詮釋：“奇負偶正”口訣的應用：（1）多重負號的化簡，這里奇偶指的是“－”號的個數(shù)，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理數(shù)乘法，當多個非零因數(shù)相乘時，這里奇偶指的是負因數(shù)的個數(shù)，正負指結果中積的符號，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理數(shù)乘方，這里奇偶指的是指數(shù)，當?shù)讛?shù)為負數(shù)時，指數(shù)為奇數(shù)，則冪為負；指數(shù)為偶數(shù)，則冪為正，例如：，．2．運算律：（1）交換律:①加法交換律:a+b=b+a；②乘法交換律:ab=ba；（2）結合律:①加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法結合律：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac【例10】（1）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39）（2）﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4|（3）（4）（5）【答案與解析】解：（1）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39）=﹣12﹣5﹣14+39=﹣31+39=8（2）﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4|=﹣9÷9﹣6+4=﹣1﹣6+4=﹣3（3）=×60﹣×60﹣×60=10﹣25﹣8=﹣23（4）=﹣×[（﹣）÷（﹣）﹣32]=﹣×[2﹣32]=﹣×[﹣30]=24（5）【變式1】(1)(2)(4)(5)【答案與解析】解：（1）原式（2）原式（3）原式（4）原式（5）【變式2】（1）（2）【答案】解：（1）（2）【變式3】先觀察下列各式：；；；…；，根據(jù)以上觀察，計算：…的值．【答案與解析】解：原式【變式4】（2022秋?鎮(zhèn)江期中）我們定義一種新運算：a*b＝a2﹣b+ab．例如：1*3＝12﹣3+1×3＝1．（1）求（﹣3）*（﹣2）的值；（2）求（﹣2）*[（﹣3）*（﹣2）]的值．【解答】解：（1）（﹣3）*（﹣2）＝（﹣3）2﹣（﹣2）+（﹣3）×（﹣2）＝9+2+6＝17；（2）（﹣2）*[（﹣3）*（﹣2）]＝（﹣2）*17＝（﹣2）2﹣17+（﹣2）×17＝4﹣17﹣34＝﹣47．考點11：數(shù)學思想在有理數(shù)中的應用【例11】（1）數(shù)形結合思想：有理數(shù)a在數(shù)軸上對應的點如圖所示，則a，-a，1的大小關系．A．-a＜a＜1B．1＜-a＜aC．1＜-a＜aD．a(chǎn)＜1＜-a（2）分類討論思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y的值．（3）轉化思想：計算：【答案與解析】解：（1）將-a在數(shù)軸上標出，如圖所示，得到a＜1＜-a，所以大小關系為：a＜1＜-a．所以正確選項為：D．（2）因為|x|＝5，所以x為-5或5因為|y|＝3，所以y為3或-3．當x＝5，y＝3時，x-y＝5-3＝2當x＝5，y＝-3時，x-y＝5-(-3)＝8當x＝-5，y＝3時，x-y＝-5-3＝-8當x＝-5，y＝-3時，x-y＝-5-(-3)＝-2故（x-y）的值為±2或±8（3）原式=【變式1】若a是有理數(shù)，|a|-a能不能是負數(shù)?為什么?【答案】解：當a＞0時，|a|-a＝a-a＝0；當a＝0時，|a|-a＝0-0＝0；當a＜0時，|a|-a＝-a-a＝-2a＞0．所以，對于任何有理數(shù)a，|a|-a都不會是負數(shù)．【變式2】（1）閱讀下面材料：點A，B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a，b，A，B兩點之間的距離表示為|AB|．當A，B兩點中有一點在原點時，不妨設點A在原點，如圖（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；當A，B兩點都不在原點時，①如圖（2），點A，B都在原點的右邊，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；②如圖（3），點A，B都在原點的左邊，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；③如圖（4），點A，B在原點的兩邊，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；綜上，數(shù)軸上A，B兩點之間的距離|AB|=|a﹣b|．（2）回答下列問題：①數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示﹣2和﹣5的兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示1和﹣3的兩點之間的距離是；②數(shù)軸上表示x和﹣1的兩點A和B之間的距離是，如果|AB|=2，那么x為；③當代數(shù)式|x+1|+|x﹣2|取最小值時，相應的x的取值范圍是．④解方程|x+1|+|x﹣2|=5．【答案與解析】解：①數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是|2﹣5|=3；數(shù)軸上表示﹣2和﹣5的兩點之間的距離是|﹣2﹣（﹣5）|=3；數(shù)軸上表示1和﹣3的兩點之間的距離是|1﹣（﹣3）|=4．②數(shù)軸上表示x和﹣1的兩點A和B之間的距離是|x﹣（﹣1）|=|x+1|，如果|AB|=2，那么x為1或﹣3．③當代數(shù)式|x+1|十|x﹣2|取最小值時，∴x+1≥0，x﹣2≤0，∴﹣1≤x≤2．④當x≤﹣1時，﹣x﹣1﹣x+2=5，解得x=﹣2；當﹣1＜x≤2時，3≠5，不成立；當x＞2時，x+1+x﹣2=5，解得x=3．故答案為：3，3，4，|x+1|，1或﹣3，﹣1≤x≤2．【變式3】如圖，有兩條線段，AB＝2（單位長度），CD＝1（單位長度）在數(shù)軸上，點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是﹣12，點D在數(shù)軸上表示的數(shù)是15．（1）點B在數(shù)軸上表示的數(shù)是，點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是，線段BC的長＝；（2）若線段AB以1個單位長度秒的速度向右勻速運動，同時線段CD以2個單位長度秒的速度向左勻速運動．當點B與C重合時，點B與點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是多少？（3）若線段AB以1個單位長度秒的速度向左勻速運動，同時線段CD以2個單位長度/秒的速度也向左勻速運動．設運動時間為t秒，當t為何值時，點B與點C之間的距離為1個單位長度？【解答】解：（1）因為點A表示的數(shù)是﹣12，點B在點A右側，且AB＝2，所以﹣12+2＝﹣10，所以點B表示的數(shù)是﹣10；因為點D表示的數(shù)是15，點C在點D的左側，且CD＝1，所以15﹣1＝14，所以點C表示的數(shù)是14，點B與點C的距離是14﹣（﹣10）＝24（單位長度），所以線段BC的長為24個單位長度，故答案為：﹣10，14，24．（2）設運動的時間為t秒，則點B表示的數(shù)是﹣10+t，根據(jù)題意得t+2t＝24，解得t＝8，所以﹣10+