2023屆上海市高考模擬測(cè)數(shù)學(xué)試卷07（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市2023屆高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷07一、填空題1．已知集合，集合，則__________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：2．隨機(jī)變量，，若，，則________〖答案〗〖解析〗∵隨機(jī)變量服從，符合二項(xiàng)分布，由二項(xiàng)分布概率公式：得：∴，解得，又，∴.故〖答案〗為：.3．已知實(shí)數(shù)x、y滿足，則的最小值為____________.〖答案〗〖解析〗依題意，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為.故〖答案〗為：.4．設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，過作軸的垂線，垂足為，若，則_________.〖答案〗4〖解析〗由拋物線的定義知，所以.故〖答案〗為：45．若函數(shù)，為奇函數(shù)，則參數(shù)a的值為___________．〖答案〗1〖解析〗當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，而，故即，故〖答案〗為：1.6．用表示等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則m的值為______．〖答案〗〖解析〗由，則，由，則，所以.故〖答案〗為：7．第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)將在今年7月28日至8月8日在四川省成都市舉行．有編號(hào)為1，2，3，4，5的五位裁判，分別就座于編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)座位上，每個(gè)座位恰好坐一位裁判，則恰有兩位裁判編號(hào)和座位編號(hào)一致的坐法種數(shù)為________．〖答案〗20〖解析〗依題意，5人中選出2人，他們的編號(hào)與座位編號(hào)一致，有種方法，剩余3人都不坐與自己編號(hào)相同的座位有2種方法，由分步計(jì)數(shù)乘法原理得所求的坐法種數(shù)為．故〖答案〗為：208．若函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位所得到，且函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，則__________．〖答案〗〖解析〗由題意得，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，故，即且，則，而，故，故〖答案〗為：9．設(shè)，，為虛數(shù)單位，若是關(guān)于的二次方程的一個(gè)虛根，則______．〖答案〗2〖解析〗將代入方程得：，即，即，所以，解得，所以.故〖答案〗為：210．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，直線與平面成角.設(shè)四面體外接球的圓心為，則球的體積為__________.〖答案〗〖解析〗在底面ABCD上，，AD⊥AB，DC＝2，AD＝AB＝1，所以∠ADB＝∠ABD＝45°，所以，在△BCD上，，由余弦定理可得：，所以，所以∠CBD＝90°．所以BD⊥CB．又因?yàn)镻D⊥平面ABCD，所以PD⊥BC．又PD∩BD＝D，PD面PBD，BD面PBD所以BC⊥面PBD，所以BC⊥PB．則△PCD和△PBC均為直角三角形，當(dāng)O點(diǎn)為PC中點(diǎn)時(shí)，OP＝OD＝OB＝OC，此時(shí)O為四面體PBCD的外接球的球心．∵直線PA與平面ABCD成45°角．PD⊥平面ABCD，則∠PAD＝45°，∴PD＝AD＝1，又，∴四面體PBCD外接球的半徑為，所以四面體PBCD外接球的體積為．故〖答案〗為：．11．已知點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)P滿足，則實(shí)數(shù)a的取值的范圍是____________．〖答案〗〖解析〗設(shè)點(diǎn)，則，而，則，整理得，即點(diǎn)的軌跡是原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，因?yàn)辄c(diǎn)在圓，即圓與圓有公共點(diǎn)，而圓的圓心為，半徑為1，因此，即，解得或，所以實(shí)數(shù)a的取值的范圍是.故〖答案〗為：

12．對(duì)于具有相同定義域D的函數(shù)和，若存在函數(shù)(k，b為常數(shù))，對(duì)任給的正數(shù)m，存在相應(yīng)的，使得當(dāng)且時(shí)，總有，則稱直線為曲線和的“分漸近線”．給出定義域均為的四組函數(shù)如下：①，；②，；③,；④,其中，曲線和存在“分漸近線”的是________．〖答案〗②④〖解析〗和存在分漸近線的充要條件是時(shí)，．對(duì)于①，，當(dāng)時(shí)，令由于，所以為增函數(shù)，不符合時(shí)，，所以①不存在；對(duì)于②，，因?yàn)楫?dāng)且時(shí)，，所以存在分漸近線；對(duì)于③，，當(dāng)且時(shí)，與均單調(diào)遞減，但的遞減速度比快，所以當(dāng)時(shí)會(huì)越來越小，不會(huì)趨近于0，所以不存在分漸近線；對(duì)于④，，當(dāng)時(shí)，，且因此存在分漸近線．故存在分漸近線的是②④．故〖答案〗為②④．二、單選題13．已知為兩個(gè)隨機(jī)事件，則“為互斥事件”是“為對(duì)立事件”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件〖答案〗B〖解析〗根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的概念可知，互斥不一定對(duì)立，對(duì)立一定互斥，所以“A?B為互斥事件”是“A?B為對(duì)立事件”的必要非充分條件.故選：B14．如圖，一組數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為5，方差為，去除，這兩個(gè)數(shù)據(jù)后，平均數(shù)為，方差為，則（

）A．， B．， C．， D．，〖答案〗D〖解析〗由題意可得：，則，故，∵是波幅最大的兩個(gè)點(diǎn)的值，則去除，這兩個(gè)數(shù)據(jù)后，整體波動(dòng)性減小，故.故選：D.15．如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，點(diǎn)G為MC的中點(diǎn).則下列結(jié)論中不正確的是（

）A． B．平面平面ABNC．直線GB與AM是異面直線 D．直線GB與平面AMD無公共點(diǎn)〖答案〗D〖解析〗因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，則，取的中點(diǎn)，連接，如圖，點(diǎn)G為MC的中點(diǎn)，則，且，于是四邊形是平行四邊形，，在正方形中，，則，因此四邊形為平行四邊形，，而，點(diǎn)G為MC的中點(diǎn)，有，所以，A正確；因?yàn)?，平面，平面，則平面，又，平面，平面，則平面，而平面，所以平面平面ABN，B正確；取DM中點(diǎn)O，連接，則有，即四邊形為梯形，因此直線必相交，而平面AMD，于是直線GB與平面AMD有公共點(diǎn)，D錯(cuò)誤；顯然點(diǎn)平面，點(diǎn)平面，直線平面，點(diǎn)直線，所以直線GB與AM是異面直線，C正確.故選：D16．已知曲線：，為上一點(diǎn)，①的取值范圍為；

②的取值范圍為；③不存在點(diǎn)，使得；

④的取值范圍為.則上述命題正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)〖答案〗C〖解析〗對(duì)于①，曲線得到，畫出圖形如下：其中為漸近線，

由曲線和圖形可知，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，可看做曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，顯然無最大值，當(dāng)點(diǎn)位于橢圓上時(shí)，距離原點(diǎn)的距離取得最小值，則，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為1，則的取值范圍為，②正確；對(duì)于③，因?yàn)橹本€與漸近線平行，故不存在點(diǎn)，使得，③正確；對(duì)于④，表示點(diǎn)到直線的距離的倍，又直線與漸近線平行，且距離為，故，由圖形可知，在上時(shí)，到直線的距離取得最大值，設(shè)，則到直線的距離為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的取值范圍為，④正確.故選：C三、解答題17．在中，角的對(duì)邊分別，.（1）求；（2）若的周長為4，面積為，求.（1）解：因?yàn)椋?，即，所以，因?yàn)?，所?所以又，故，所以，即；（2）解：由余弦定理，得，即，又，所以，即整理得，由面積為，即，所以，.18．如圖，為圓O的直徑，點(diǎn)在圓O上，，矩形所在平面和圓O所在的平面互相垂直，已知．（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)?shù)拈L為何值時(shí)，二面角的大小為？（1）證明：∵平面平面，，平面平面，∴平面．∵平面，∴，又為圓O的直徑，∴，而，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面．（2）解：設(shè)中點(diǎn)為G，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，∴，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得取平面的一個(gè)法向量為，，即，解得，則當(dāng)?shù)拈L為時(shí)，二面角的大小為．19．某校舉行了一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，為了了解本次競(jìng)賽學(xué)生的成績情況，從中抽取了部分學(xué)生（男女生各一半）的分?jǐn)?shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本（樣本容量為）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照，，，，的分組作出如圖所示的頻率分布直方圖，已知得分在，的頻數(shù)分別為16，4．（1）求樣本容量和頻率分布直方圖中的，的值；（2）70分以下稱為“不優(yōu)秀”，其中男．女姓中成績優(yōu)秀的分別有24人和30人，請(qǐng)完成列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“學(xué)生的成績優(yōu)秀與性別有關(guān)”？男生女生總計(jì)優(yōu)秀不優(yōu)秀總計(jì)0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：，．解：（1）由題意可知，樣本容量，，（2）100位學(xué)生中男女生各有50名，成績優(yōu)秀共有54名，所以學(xué)生的成績優(yōu)秀與性別列聯(lián)表如下表;男生女生總計(jì)優(yōu)秀243054不優(yōu)秀262046總計(jì)5050100，沒有90%的把握認(rèn)為“學(xué)生的成績優(yōu)秀與性別有關(guān)”.20．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，為上的動(dòng)點(diǎn).（1）若，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，試用〖解析〗式將表示成的函數(shù)；（2）過點(diǎn)的直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求關(guān)于的表達(dá)式；（3）試根據(jù)的不同取值，討論滿足為等腰銳角三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù).解：（1）設(shè)，其中，，由得左焦點(diǎn)，則；（2）設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)為、，由得，于是，由題意，的坐標(biāo)為,因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，所以，即，將和代入并整理,得，即，即，將代入得，于是.（3）設(shè),于是,，且，當(dāng)或或時(shí),為等腰三角形，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，只需討論和兩種情況，此時(shí)，當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫殇J角時(shí)即為等腰銳角三角形，①若且為銳角，如圖1：在中，，則有，即，解得，由對(duì)稱性知當(dāng)時(shí)，如圖2：以為腰的等腰銳角三角形有2個(gè)，②若且為銳角，如圖3：首先大于的最小值，∵的最小值為，于是由得即，又∵為銳角，，于是，即，整理得，解得，結(jié)合，解得，又，所以，由對(duì)稱性知當(dāng)時(shí)，如圖4：以為腰的等腰銳角三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4個(gè)，綜上:當(dāng)時(shí)，只有以為腰的等腰銳角三角形，滿足這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)共有4個(gè)，如圖4.當(dāng)時(shí)，以為腰的等腰銳角三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4個(gè)，以的等腰銳角三角形有2個(gè)，滿足這樣的點(diǎn)共有6個(gè)，圖2與圖4合并.當(dāng)時(shí)，以為腰的等腰銳角三角形有2個(gè)，滿足這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)共有2個(gè),如圖2.21．設(shè)是定義在上的奇函數(shù).若是嚴(yán)格減函數(shù)，則稱為“函數(shù)”.（1）分別判斷和是否為函數(shù)，并說明理由；（2）若是函數(shù)，求正數(shù)的取值范圍；（3）已知奇函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)定義域均為.判斷“在上嚴(yán)格減”是“為函數(shù)”的什么條件，并說明理由.解：（1）設(shè)，所以，所以和均為定義在上的奇函數(shù).當(dāng)時(shí)，函數(shù)嚴(yán)格減，故是函數(shù).而當(dāng)和時(shí)，，故不是函數(shù).（2），設(shè)，定義域?yàn)?，，所以是定義在上的奇函數(shù).當(dāng)時(shí)，不是函數(shù)，下設(shè).當(dāng)時(shí)，令，則.再設(shè)，則.設(shè)，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即恒成立，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即恒成立，則函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即恒成立，則函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞減，所以正數(shù)的取值范圍是.（3）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且在上嚴(yán)格減，故為函數(shù).但當(dāng)或時(shí)取值相等，從而不是上嚴(yán)格減的函數(shù).故“在上嚴(yán)格減”不是“為函數(shù)”的必要條件.下證“在上嚴(yán)格減”是“為函數(shù)”的充分條件.對(duì)任意，定義.則由得，且由嚴(yán)格減得,當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，即.現(xiàn)任取，考慮.則，且當(dāng)時(shí)，.由關(guān)于函數(shù)的討論知，此時(shí).故當(dāng)時(shí)，，即：對(duì)任意，.移項(xiàng)得，故在上嚴(yán)格減，即為函數(shù).綜上，“在上嚴(yán)格減”是“為函數(shù)”的充分非必要條件.上海市2023屆高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷07一、填空題1．已知集合，集合，則__________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：2．隨機(jī)變量，，若，，則________〖答案〗〖解析〗∵隨機(jī)變量服從，符合二項(xiàng)分布，由二項(xiàng)分布概率公式：得：∴，解得，又，∴.故〖答案〗為：.3．已知實(shí)數(shù)x、y滿足，則的最小值為____________.〖答案〗〖解析〗依題意，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為.故〖答案〗為：.4．設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，過作軸的垂線，垂足為，若，則_________.〖答案〗4〖解析〗由拋物線的定義知，所以.故〖答案〗為：45．若函數(shù)，為奇函數(shù)，則參數(shù)a的值為___________．〖答案〗1〖解析〗當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，而，故即，故〖答案〗為：1.6．用表示等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則m的值為______．〖答案〗〖解析〗由，則，由，則，所以.故〖答案〗為：7．第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)將在今年7月28日至8月8日在四川省成都市舉行．有編號(hào)為1，2，3，4，5的五位裁判，分別就座于編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)座位上，每個(gè)座位恰好坐一位裁判，則恰有兩位裁判編號(hào)和座位編號(hào)一致的坐法種數(shù)為________．〖答案〗20〖解析〗依題意，5人中選出2人，他們的編號(hào)與座位編號(hào)一致，有種方法，剩余3人都不坐與自己編號(hào)相同的座位有2種方法，由分步計(jì)數(shù)乘法原理得所求的坐法種數(shù)為．故〖答案〗為：208．若函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位所得到，且函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，則__________．〖答案〗〖解析〗由題意得，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，故，即且，則，而，故，故〖答案〗為：9．設(shè)，，為虛數(shù)單位，若是關(guān)于的二次方程的一個(gè)虛根，則______．〖答案〗2〖解析〗將代入方程得：，即，即，所以，解得，所以.故〖答案〗為：210．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，直線與平面成角.設(shè)四面體外接球的圓心為，則球的體積為__________.〖答案〗〖解析〗在底面ABCD上，，AD⊥AB，DC＝2，AD＝AB＝1，所以∠ADB＝∠ABD＝45°，所以，在△BCD上，，由余弦定理可得：，所以，所以∠CBD＝90°．所以BD⊥CB．又因?yàn)镻D⊥平面ABCD，所以PD⊥BC．又PD∩BD＝D，PD面PBD，BD面PBD所以BC⊥面PBD，所以BC⊥PB．則△PCD和△PBC均為直角三角形，當(dāng)O點(diǎn)為PC中點(diǎn)時(shí)，OP＝OD＝OB＝OC，此時(shí)O為四面體PBCD的外接球的球心．∵直線PA與平面ABCD成45°角．PD⊥平面ABCD，則∠PAD＝45°，∴PD＝AD＝1，又，∴四面體PBCD外接球的半徑為，所以四面體PBCD外接球的體積為．故〖答案〗為：．11．已知點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)P滿足，則實(shí)數(shù)a的取值的范圍是____________．〖答案〗〖解析〗設(shè)點(diǎn)，則，而，則，整理得，即點(diǎn)的軌跡是原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，因?yàn)辄c(diǎn)在圓，即圓與圓有公共點(diǎn)，而圓的圓心為，半徑為1，因此，即，解得或，所以實(shí)數(shù)a的取值的范圍是.故〖答案〗為：

12．對(duì)于具有相同定義域D的函數(shù)和，若存在函數(shù)(k，b為常數(shù))，對(duì)任給的正數(shù)m，存在相應(yīng)的，使得當(dāng)且時(shí)，總有，則稱直線為曲線和的“分漸近線”．給出定義域均為的四組函數(shù)如下：①，；②，；③,；④,其中，曲線和存在“分漸近線”的是________．〖答案〗②④〖解析〗和存在分漸近線的充要條件是時(shí)，．對(duì)于①，，當(dāng)時(shí)，令由于，所以為增函數(shù)，不符合時(shí)，，所以①不存在；對(duì)于②，，因?yàn)楫?dāng)且時(shí)，，所以存在分漸近線；對(duì)于③，，當(dāng)且時(shí)，與均單調(diào)遞減，但的遞減速度比快，所以當(dāng)時(shí)會(huì)越來越小，不會(huì)趨近于0，所以不存在分漸近線；對(duì)于④，，當(dāng)時(shí)，，且因此存在分漸近線．故存在分漸近線的是②④．故〖答案〗為②④．二、單選題13．已知為兩個(gè)隨機(jī)事件，則“為互斥事件”是“為對(duì)立事件”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件〖答案〗B〖解析〗根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的概念可知，互斥不一定對(duì)立，對(duì)立一定互斥，所以“A?B為互斥事件”是“A?B為對(duì)立事件”的必要非充分條件.故選：B14．如圖，一組數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為5，方差為，去除，這兩個(gè)數(shù)據(jù)后，平均數(shù)為，方差為，則（

）A．， B．， C．， D．，〖答案〗D〖解析〗由題意可得：，則，故，∵是波幅最大的兩個(gè)點(diǎn)的值，則去除，這兩個(gè)數(shù)據(jù)后，整體波動(dòng)性減小，故.故選：D.15．如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，點(diǎn)G為MC的中點(diǎn).則下列結(jié)論中不正確的是（

）A． B．平面平面ABNC．直線GB與AM是異面直線 D．直線GB與平面AMD無公共點(diǎn)〖答案〗D〖解析〗因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，則，取的中點(diǎn)，連接，如圖，點(diǎn)G為MC的中點(diǎn)，則，且，于是四邊形是平行四邊形，，在正方形中，，則，因此四邊形為平行四邊形，，而，點(diǎn)G為MC的中點(diǎn)，有，所以，A正確；因?yàn)椋矫?，平面，則平面，又，平面，平面，則平面，而平面，所以平面平面ABN，B正確；取DM中點(diǎn)O，連接，則有，即四邊形為梯形，因此直線必相交，而平面AMD，于是直線GB與平面AMD有公共點(diǎn)，D錯(cuò)誤；顯然點(diǎn)平面，點(diǎn)平面，直線平面，點(diǎn)直線，所以直線GB與AM是異面直線，C正確.故選：D16．已知曲線：，為上一點(diǎn)，①的取值范圍為；

②的取值范圍為；③不存在點(diǎn)，使得；

④的取值范圍為.則上述命題正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)〖答案〗C〖解析〗對(duì)于①，曲線得到，畫出圖形如下：其中為漸近線，

由曲線和圖形可知，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，可看做曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，顯然無最大值，當(dāng)點(diǎn)位于橢圓上時(shí)，距離原點(diǎn)的距離取得最小值，則，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為1，則的取值范圍為，②正確；對(duì)于③，因?yàn)橹本€與漸近線平行，故不存在點(diǎn)，使得，③正確；對(duì)于④，表示點(diǎn)到直線的距離的倍，又直線與漸近線平行，且距離為，故，由圖形可知，在上時(shí)，到直線的距離取得最大值，設(shè)，則到直線的距離為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的取值范圍為，④正確.故選：C三、解答題17．在中，角的對(duì)邊分別，.（1）求；（2）若的周長為4，面積為，求.（1）解：因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)?，所?所以又，故，所以，即；（2）解：由余弦定理，得，即，又，所以，即整理得，由面積為，即，所以，.18．如圖，為圓O的直徑，點(diǎn)在圓O上，，矩形所在平面和圓O所在的平面互相垂直，已知．（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)?shù)拈L為何值時(shí)，二面角的大小為？（1）證明：∵平面平面，，平面平面，∴平面．∵平面，∴，又為圓O的直徑，∴，而，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面．（2）解：設(shè)中點(diǎn)為G，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，∴，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得取平面的一個(gè)法向量為，，即，解得，則當(dāng)?shù)拈L為時(shí)，二面角的大小為．19．某校舉行了一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，為了了解本次競(jìng)賽學(xué)生的成績情況，從中抽取了部分學(xué)生（男女生各一半）的分?jǐn)?shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本（樣本容量為）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照，，，，的分組作出如圖所示的頻率分布直方圖，已知得分在，的頻數(shù)分別為16，4．（1）求樣本容量和頻率分布直方圖中的，的值；（2）70分以下稱為“不優(yōu)秀”，其中男．女姓中成績優(yōu)秀的分別有24人和30人，請(qǐng)完成列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“學(xué)生的成績優(yōu)秀與性別有關(guān)”？男生女生總計(jì)優(yōu)秀不優(yōu)秀總計(jì)0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：，．解：（1）由題意可知，樣本容量，，（2）100位學(xué)生中男女生各有50名，成績優(yōu)秀共有54名，所以學(xué)生的成績優(yōu)秀與性別列聯(lián)表如下表;男生女生總計(jì)優(yōu)秀243054不優(yōu)秀262046總計(jì)5050100，沒有90%的把握認(rèn)為“學(xué)生的成績優(yōu)秀與性別有關(guān)”.20．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，為上的動(dòng)點(diǎn).（1）若，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，試用〖解析〗式將表示成的函數(shù)；（2）過點(diǎn)的直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求關(guān)于的表達(dá)式；（3）試根據(jù)的不同取值，討論滿足為等腰銳角三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù).解：（1）設(shè)，其中，，由得左焦點(diǎn)，則；（2）設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)為、，由得，于是，由題意，的坐標(biāo)為,因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，所以，