因式分解（ 能力提升練）-【單元測試】 七年級數(shù)學下冊分層訓練AB卷（湘教版）（解析版）

班級姓名學號分數(shù)第3章因式分解（B卷·能力提升練）（時間：120分鐘，滿分：150分）一、單選題(共40分)1．(本題4分)下列從左到右的變形，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】因式分解是把一個多項式化為幾個整式的積的形式．根據(jù)因式分解的定義分析判斷即可．【詳解】解：A.，原變形錯誤，不符合題意；B.，是單項式乘多項式，不是因式分解，故不符合題意；C.，是因式分解，故符合題意；D.，是多項式乘多項式，不是因式分解，故不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了因式分解，理解因式分解的定義是解題關(guān)鍵．2．(本題4分)下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)因式分解的方法進行逐一判斷即可．【詳解】解：A、不能進行因式分解，不符合題意；B、，原因式分解錯誤，不符合題意；C、，原因式分解錯誤，不符合題意；D、，因式分解正確，符合題意；故選D．【點睛】本題主要考查了因式分解，熟知因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．3．(本題4分)將下列多項式因式分解，結(jié)果中不含因式的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】將四個選項的式子分別進行因式分解，即可作出判斷．【詳解】A、，故該選項不符合題意；B、，故該選項不符合題意；C、，故該選項符合題意；D、，故該選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了因式分解，涉及提公因式法、公式法、十字相乘法，熟練掌握因式分解的方法是解決本題的關(guān)鍵．4．(本題4分)一次數(shù)學課上，老師出了下面一道因式分解的題目：，請問正確的結(jié)果為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平方差公式分解因式即可．【詳解】解：，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了分解因式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式，注意分解因式要分解到最后結(jié)果．5．(本題4分)已知，，則的值為（）A．3 B．6 C．8 D．11【答案】B【分析】將變形為，同時將化為，可得出的值，再將分解因式，最后將和的值代入即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，即，∴，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查因式分解的應用，求代數(shù)式的值，運用完全平方分式變形求值．靈活運用所學知識進行恒等變形是解題的關(guān)鍵．6．(本題4分)已知，，則（）A． B．2 C． D．4【答案】A【分析】先對所求的式子進行因式分解，再整體代入計算即可．【詳解】解：，，．故選：A．【點睛】本題考查了整式的因式分解、代數(shù)式求值，熟練掌握提公因式法與公式法的綜合運用是解決本題的關(guān)鍵．7．(本題4分)若能分解成兩個一次因式的積，則的值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】首先設(shè)原式，進而求出即可．【詳解】解：原式故，，，解得：，，或，，，∴．故選C．【點睛】此題主要考查了分組分解法分解因式，正確得出等式是解題關(guān)鍵．8．(本題4分)在日常生活中，如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種利用“因式分解”法生成的密碼，方便記憶．如：對于多項式，因式分解的結(jié)果是，若取，時，則各個因式的值是：，，，于是就可以把“”作為一個六位數(shù)的密碼．對于多項式，取，時，用上述方法生成的密碼可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先對多項式提公因式，再利用平方差公式分解因式，然后把數(shù)值代入計算，即可確定出密碼．【詳解】解：，當，時，，，，∴上述方法生成的密碼可以是．故選：D【點睛】本題考查了因式分解的應用，涉及分解因式的方法有：提公因式法，以及平方差公式法，屬于閱讀型的新定義題，其中根據(jù)閱讀材料得出產(chǎn)生密碼的方法是解本題的關(guān)鍵．9．(本題4分)已知，，，那么，代數(shù)式的值是（

）A． B．2022 C． D．3【答案】D【分析】先求解，，，再把原式化為，再代入求值即可．【詳解】解：∵，，，∴，，，∴；故選D．【點睛】本題考查的是利用完全平方公式分解因式，因式分解的應用，求解代數(shù)式的值，掌握“完全平方公式的應用”是解本題的關(guān)鍵．10．(本題4分)將幾個圖形拼成一個新的圖形，再通過兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個等式．例如，由圖（1）可得等式：．將圖（2）所示的卡片若干張進行拼圖，可以將二次三項式分解因式為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】畫出圖形，根據(jù)圖形因式分解即可．【詳解】解：如下圖：，故選：C．【點睛】本題考查了因式分解的應用，能夠根據(jù)所給的單項式畫出幾何圖形，利用等積法進行因式分解是解題的關(guān)鍵．二、填空題(共32分)11．(本題4分)因式分解______．【答案】【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式繼續(xù)分解即可【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題考查提公因式法與公式法的綜合運用，一定要注意如果多項式的各項含有公因式，必須先提公因式．靈活運用因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．12．(本題4分)已知多項式能分解為，則______，______．【答案】

；

．【分析】把展開，找到所有和的項的系數(shù)，令它們的系數(shù)分別為，列式求解即可．【詳解】解：∵．∴展開式乘積中不含、項，∴，解得：．故答案為：，．【點睛】本題考查了整式乘法的運算、整式乘法和因式分解的關(guān)系，將結(jié)果式子運用整式乘法展開后，抓住“若某項不存在，即其前面的系數(shù)為0”列出式子求解即可．13．(本題4分)已知長方形兩條鄰邊的長分別為x和y，其周長為14，面積為10，其代數(shù)式的值為______．【答案】【分析】根據(jù)長方形的周長及面積得到，，將代數(shù)式利用提公因式法分解因式后代入計算即可．【詳解】解：∵長方形兩條鄰邊的長分別為x和y，其周長為14，面積為10，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了提公因式法分解因式，已知式子的值求代數(shù)式的值，正確掌握因式分解的方法及長方形的周長、面積計算公式是解題的關(guān)鍵．14．(本題4分)若多項式因式分解的結(jié)果是，則______．【答案】【分析】此題主要考查了多項式乘法，正確利用多項式乘以多項式運算法則將原式展開是解題關(guān)鍵．首先利用多項式乘法將原式展開，進而得出a，b的值，即可得出答案．【詳解】解：∵多項式分解因式的結(jié)果為，∴，故，，則．故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解，整式的乘方運算，熟練掌握多項式乘多項式法則是解本題的關(guān)鍵．15．(本題4分)已知，則的值為________________．【答案】【分析】根據(jù)多項式乘以多項式進行計算，根據(jù)等式得出系數(shù)相等，進而求得，將代數(shù)式因式分解然后整體代入即可求解．【詳解】解：∵，，∴∴，故答案為：．【點睛】本題考查了多項式乘以多項式，因式分解，正確的計算是解題的關(guān)鍵．16．(本題4分)甲、乙兩個同學分解因式時，甲看錯了，分解結(jié)果為；乙看錯了，分解結(jié)果為，則正確的分解結(jié)果為_____．【答案】【分析】根據(jù)題意分別運算和，確定、的值，然后進行因式分解即可．【詳解】解：∵甲看錯了，分解結(jié)果為，∴由，可知，又∵乙看錯了，分解結(jié)果為，∴由，可知，∴，∵，∴正確的分解結(jié)果為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了整式乘法運算以及因式分解的知識，解決本題的關(guān)鍵是理解題意，求出、的值．17．(本題4分)若a，b都是有理數(shù)，且滿足，則_____________．【答案】1【分析】由，可得可得，，再代入求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，，解得：，，∴故答案為：1．【點睛】本題考查的是非負數(shù)的性質(zhì)，因式分解的應用，乘方運算的符號的確定，求解是解本題的關(guān)鍵．18．(本題4分)如圖，邊長為4的正方形ABCD中放置兩個長寬分別為a，b的長方形AEFG與長方形CHIJ，如圖陰影部分的面積之和記為，長方形AEFG的面積記為，若，，則長方形AEFG的周長為________．【答案】【分析】根據(jù)可設(shè)a＝3x，b＝2x，由此可表示出相關(guān)線段長，進而可表示出S1＝38x2－80x＋48，S2＝6x2，再根據(jù)即可列出等式化簡整理可得（6x－5）2＝0，由此可求得x＝，最后根據(jù)長方形的周長公式即可求得答案．【詳解】解：∵，∴設(shè)a＝3x，b＝2x，則AG＝EF＝CJ＝HI＝3x，AE＝FG＝CH＝IJ＝2x，∵正方形ABCD的邊長為4，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∴BH＝BE＝4－2x，DG＝DJ＝4－3x，IP＝IQ＝3x－(4－2x)＝5x－4，∴S1＝S正方形BEPH＋S正方形IPFQ＋S正方形DGQJ＝（4－2x）2＋（5x－4）2＋（4－3x）2＝16－16x＋4x2＋25x2－40x＋16＋16－24x＋9x2＝38x2－80x＋48，S2＝ab＝3x·2x＝6x2，又∵，∴3（38x2－80x＋48）＋5×6x2＝44，∴114x2－240x＋144＋30x2＝44，∴144x2－240x＋100＝0，∴36x2－60x＋25＝0，∴（6x－5）2＝0，解得：x＝，∴C長方形AEFG＝2（a＋b）＝2（3x＋2x）＝10x＝10×＝，故答案為：．【點睛】本題考查了整式的混合運算以及用完全平方公式進行因式分解的應用，熟練掌握完全平方公式是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題(共78分)19．(本題8分)因式分解(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可；（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解題的關(guān)鍵．20．(本題8分)利用因式分解計算(1)(2)【答案】(1)36(2)31.4【分析】（1）先將變形為的形式，再利用平方差公式求解；（2）先提取公因式，再進行計算即可．【詳解】（1）解：（2）解：【點睛】本題考查通過因式分解進行簡化計算，解題關(guān)鍵是提取公因式或根據(jù)數(shù)字特點將所求式子進行變形后利用公式求解．21．(本題8分)下面是樂樂同學把多項式分解因式的具體步驟：……第一步……第二步……第三步……第四步(1)事實上，樂樂的解法是錯誤的，造成錯誤的原因是________．(2)請給出這個問題的正確解法．【答案】(1)分解因式不徹底，沒有把公因式提盡（意思對即可）(2)【分析】（1）觀察同學的解法，找出錯誤原因即可；（2）寫出正確解法即可．【詳解】（1）解：造成錯誤的原因是：分解因式不徹底，沒有把公因式提盡；（2）解：

．【點睛】本題主要考查因式分解，熟練掌握分解因式的方法是解題的關(guān)鍵．22．(本題10分)已知：x、y滿足：（x+y）2=5，（x﹣y）2=41；求x3y+xy3的值．【答案】-207【詳解】試題分析：直接利用已知將原式變形得出x2+y2=23，xy=-9，進而求出答案．試題解析：∵（x+y）2=5，（x﹣y）2=41，∴（x+y）2+（x﹣y）2=46，則x2+2xy+y2+x2﹣2xy+y2=46，2（x2+y2）=46，故x2+y2=23，（x+y）2﹣（x﹣y）2=﹣36，則x2+2xy+y2﹣x2+2xy﹣y2=﹣36，故4xy=﹣36，則xy=﹣9，x3y+xy3=xy（x2+y2）=﹣9×23=﹣207．23．(本題10分)試說明：(n為正整數(shù))能被24整除．【答案】見解析【分析】利用平方差公式分解因式，得出，即可證明能被24整除．【詳解】解：，∵n為正整數(shù)，∴為正整數(shù)，∴能被24整除，∴能被24整除．【點睛】本題主要考查了因式分解的應用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式．24．(本題10分)常用的分解因式的方法有提取公因式法、運用公式法．有些多項式分解因式時，需要先分組，然后再提取公因式或運用公式．如分解因式：這種分解因式的方法叫分組分解法．利用這種方法解決以下問題：三邊滿足，判斷的形狀．【答案】等腰三角形【分析】根據(jù)分組分解法對整式的左邊進行因式分解，由此可確定的三邊的關(guān)系．【詳解】解：由，得，∴，，∴，或者，即，或者，∴是等腰三角形．【點睛】本題主要考查因式分解的方法，理解題目中分組分解法進行因式分解是解題的關(guān)鍵．25．(本題12分)我們已經(jīng)學過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法等等．①分組分解法：例如：．②拆項法：例如：．仿照以上方法分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）采用分組法，結(jié)合完全平方公式和平方差公式分解因式即可；（2）將原式先變形為，再按照完全平方公式和平方差公式分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題主要考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是理解分組分解法，熟練掌握平方差公式，完全平方公式．26．(本題12分)(1)【閱讀與思考】整式乘法與因式分解是方向相反的變形．如何把二次三項式分解因式呢？我們已經(jīng)知道：．反過來，就得到：．我們發(fā)現(xiàn)，二次三項式的二次項的系數(shù)分解成，常數(shù)項分解成，并且把，，，，如圖1所示擺放，按對角線交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次項系數(shù)，那么就可以分解為，其中，位于圖的上一行，，位于下一行．像這種借助畫十字交叉圖分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，將式子分解因式的具體步驟為：首先把二次項的系數(shù)1分解為兩個因數(shù)的積，即，把常數(shù)項也分解為兩個因數(shù)的積，即；然后把1，1，2，按圖2所示的擺放，按對角線交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次項的系數(shù)，于是就可以分解為．請同學們認真觀察和思考，嘗試在圖3的虛線方框內(nèi)填入適當?shù)臄?shù)，并用“十字相乘法”分解因式：__________．(2)【理解與應用】請你仔細體會上述方法并嘗試對下面兩個二次三項式進行分解因式：①

__________；②

__________．(3)【探究與拓展】對于形如的關(guān)于，的二