廣東六校聯(lián)盟2024年高考數(shù)學(xué)押題試卷含解析

廣東六校聯(lián)盟2024年高考數(shù)學(xué)押題試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

x-ay+3>0

1.已知y=ox+人與函數(shù)/（%）=21nx+5和8（%）=k+4都相切，則不等式組<-cC所確定的平面區(qū)域在

x+by-2>0

犬+丁+2%—2y—22=0內(nèi)的面積為（）

A.27tB.3"C.67rD.12萬

2.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)利用暑假游玩某風(fēng)景名勝大峽谷，四人各自去景區(qū)的百里絕壁、千丈瀑布、原始森林、遠(yuǎn)

古村寨四大景點(diǎn)中的一個，每個景點(diǎn)去一人.已知：①甲不在遠(yuǎn)古村寨，也不在百里絕壁；②乙不在原始森林，也不

在遠(yuǎn)古村寨；③“丙在遠(yuǎn)古村寨”是“甲在原始森林”的充分條件；④丁不在百里絕壁，也不在遠(yuǎn)古村寨.若以上語句都

正確，則游玩千丈瀑布景點(diǎn)的同學(xué)是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

3.各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝的公比qwl,且生，1的，。1成等差數(shù)列，則亍愛的值為（）

1—A/5+1

A.---------B.---------

22

C.D.5+1或

222

4.已知等比數(shù)列｛。"｝滿足％=3,q+4+%=21,則%+%+%=（）

A.21B.42C.63D.84

5.定義在［-2,2］上的函數(shù)/（#與其導(dǎo)函數(shù)/'（X）的圖象如圖所示，設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B、。、。四點(diǎn)的橫坐

標(biāo)依次為-；、-：、1、p則函數(shù)y=/星的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

D.(1,2)

6.設(shè)耳，為是雙曲線C：.—==1（。>04>0）的左，右焦點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)B作C的一條漸近線的垂

ub

線，垂足為尸.若歸用=癡|。升，則C的離心率為（）

A.V2B.73C.2D.3

7.若函數(shù)/（》）=必"-。恰有3個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（：，+8）B.（0，!）C.（0,4e2）D.（0,+<x>）

8.已知正三棱錐A-BCD的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，其底面邊長為4,E、F、G分別為側(cè)棱AB,AC,AD

的中點(diǎn).若。在三棱錐A-BCD內(nèi)，且三棱錐A-BCD的體積是三棱錐O-5CD體積的4倍，則此外接球的體積與

三棱錐O-E與G體積的比值為（）

A.兀B.8#）兀C.126萬D.246兀

%,%<0

9.已知SwR,函數(shù)/（%）=131,八2八，若函數(shù)>=/（%）—辦—b恰有三個零點(diǎn)，則（）

—X（Q+1）X+6ZX,%2。

132

A.a<-l,b<0B.a<-l,b>0

C.a>-l,b<0D.a>-l,b>0

10.若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝滿足。3=3%+2/，則公比q=（）

A.1B.2C.3D.4

II.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)且一個焦點(diǎn)為爪6,0),直線y=x-1與其相交于“，N兩點(diǎn)，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)

2

為-一，則此雙曲線的方程是

3

2222

A.^-^=1B.工-匕=1

3443

2222

C.土-匕=1D.土-工=1

5225

12.一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時24海里的速度沿南偏東40。的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)5處，在C處有一

座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70。，在8處觀察燈塔，其方向是北偏東65。，那么8,C兩點(diǎn)間的距

離是()

B*

A.6a海里B.6G海里C.80海里D.8G海里

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)〃x)=eXcosx+x5,則曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程是.

14.如圖，在正四棱柱A3CD—A用中，P是側(cè)棱CC上一點(diǎn)，且￡P(guān)=2PC.設(shè)三棱錐尸―的體積為匕，

正四棱柱ABCD-4瓦￡9的體積為V,則￡的值為.

5G

15.已知等差數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，4=1,且。2+&=/，若?！?=10,則4一%=.

16.(x+j)(2x—j)5的展開式中ry的系數(shù)為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.⑴分)已知函數(shù)/(x)=lnx+￡-a'g⑴=一+空?》‘(代⑷

(1)討論/(尤)的單調(diào)性;

(2)若"X)在定義域內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)，且此時/(x)?g(x)+相恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

18.(12分)已知數(shù)列｛a,J的前〃項(xiàng)和為S",2S“+a”=l(“eN*).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

11『11

(2)若--+-,1為數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和.求證：Tn>2n—.

1+%1-4+13

19.(12分)已知函數(shù)."x)=e"(Q%+l),aeR.

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)/(。，/⑼)處的切線方程；

(2)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(3)判斷函數(shù)/(%)的零點(diǎn)個數(shù).

20.(12分)2019年9月26日，攜程網(wǎng)發(fā)布《2019國慶假期旅游出行趨勢預(yù)測報告》，2018年國慶假日期間，西安共

接待游客1692.56萬人次，今年國慶有望超過2000萬人次，成為西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司規(guī)定：若

公司某位導(dǎo)游接待旅客，旅游年總收人不低于40(單位：萬元)，則稱該導(dǎo)游為優(yōu)秀導(dǎo)游.經(jīng)驗(yàn)表明，如果公司的優(yōu)秀導(dǎo)

游率越高，則該公司的影響度越高.已知甲、乙家旅游公司各有導(dǎo)游40名，統(tǒng)計(jì)他們一年內(nèi)旅游總收入，分別得到甲

公司的頻率分布直方圖和乙公司的頻數(shù)分布表如下：

分組[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)

頻數(shù)2b2010

(1)求。，〃的值，并比較甲、乙兩家旅游公司，哪家的影響度高？

(2)從甲、乙兩家公司旅游總收人在口。,20)(單位：萬元)的導(dǎo)游中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)行業(yè)務(wù)培訓(xùn)，設(shè)來自甲公司的人

數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

21.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=%2—2x+2“l(fā)nx(Q￡R).

(I)討論函數(shù)/("的單調(diào)性；

(II)若函數(shù)/(%)有兩個極值點(diǎn)以〃，求證：/(Z?7)~/(n)>4/^-1.

m—n

22.(10分)設(shè)函數(shù)〃x)=l+ln(x+l)(x〉0).

X

(1)若/(x)〉工恒成立，求整數(shù)上的最大值；

X+1

(2)求證：(l+lx2)-(l+2x3)[l+"x(〃+l)]>e2"-3.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

根據(jù)直線y=ox+人與/(%)和g(x)都相切，求得d6的值，由此畫出不等式組所表示的平面區(qū)域以及圓

x~+y2+2x-2y-22^0,由此求得正確選項(xiàng).

【詳解】

22

f(x)=—,g'(x)=2x.設(shè)直線y=ax+/7與/(%)相切于點(diǎn)A?,21n%o+5),斜率為一，所以切線方程為

22.21(1)1

y-(21nx0+5)=—(x-x0),化簡得y=-x+21n/+3①.令g(x)=2x=—，解得x=一,g一=—+4,

%X。%%*

(\\2(1211

所以切線方程為y——+4=—x——,化簡得，=—%-二+4②.由①②對比系數(shù)得21nx。+3=—二+4,

xxxxx

<oJo<xoJooo

化簡得21nx0+4—1=0③.構(gòu)造函數(shù)/z(x)=21nx+±—l(x>0),"⑴==2(x+[(x—1),所以妝%)在

X0xxXX

(0,1)上遞減，在(1,+8)上遞增，所以〃⑺在x=l處取得極小值也即是最小值，而從1)=0,所以〃(尤)=0有唯一

x-tzy+3>0x-2y+3>0

解.也即方程③有唯一解=1.所以切線方程為y=2x+3.即a=2力=3.不等式組<即4

x+by-2>0x+3y-2>0'

畫出其對應(yīng)的區(qū)域如下圖所示.圓必+/+2x—2y—22=0可化為（％+1了+（y—1了=24,圓心為A（-l,l）.而方程

\x=-l

組x-2/y+c3=0八的解也是，?畫出圖像如下圖所示，不等式組x-2y/+3c>0八所確定的平面區(qū)域在

x+3y-2=0[y=l[x+3y-2>0

f+V+2x—2y—22=0內(nèi)的部分如下圖陰影部分所示.直線x-2y+3=0的斜率為直線x+3y—2=0的斜率

11

1—1—

為――.所以tan44C=tan（NA￡D+N/4D￡）=/T、=l,所以NR4C=工，而圓4的半徑為宿=2?,所

31——x—4

23

以陰影部分的面積是（2斯了=3》.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)公共切線求參數(shù)，考查不等式組表示區(qū)域的畫法，考查圓的方程，考查兩條直線夾角的計(jì)算，考

查扇形面積公式，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查分析思考與解決問題的能力，屬于難題.

2、D

【解析】

根據(jù)演繹推理進(jìn)行判斷.

【詳解】

由①②④可知甲乙丁都不在遠(yuǎn)古村寨，必有丙同學(xué)去了遠(yuǎn)古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千

丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景點(diǎn)的同學(xué)是丁.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查演繹推理，掌握演繹推理的定義是解題基礎(chǔ).

3、C

【解析】

分析：解決該題的關(guān)鍵是求得等比數(shù)列的公比，利用題中所給的條件，建立項(xiàng)之間的關(guān)系，從而得到公比q所滿足的

等量關(guān)系式，解方程即可得結(jié)果.

詳解：根據(jù)題意有出+q=2即4-1=0,因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)都是正數(shù)，所以q=匕正，而

22

=L=故選c.

%+。5qi+V52

點(diǎn)睛：該題應(yīng)用題的條件可以求得等比數(shù)列的公比心而待求量就是,，代入即可得結(jié)果.

q

4、B

【解析】

由ai+a3+a5=21得。］（l+q?+不）=21?/+/+/=7?/=2?33+35+37=+生+%）=2x21=42,選B.

5、B

【解析】

先辨別出圖象中實(shí)線部分為函數(shù)y=/（"的圖象，虛線部分為其導(dǎo)函數(shù)的圖象，求出函數(shù)y=的導(dǎo)數(shù)為

ex

yj（x）-〃x）,由y＜o(jì),得出r（x）＜〃x）,只需在圖中找出滿足不等式/'（力＜/（力對應(yīng)的x的取值范圍

ex

即可.

【詳解】

若虛線部分為函數(shù)y=/（x）的圖象，則該函數(shù)只有一個極值點(diǎn)，但其導(dǎo)函數(shù)圖象（實(shí)線）與x軸有三個交點(diǎn)，不合乎

題意；

若實(shí)線部分為函數(shù)y=/（力的圖象，則該函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，則其導(dǎo)函數(shù)圖象（虛線）與％軸恰好也只有兩個交點(diǎn)，

合乎題意.

對函數(shù)丫=但求導(dǎo)得y=1（X）一/（“）,由了＜。得/'（%）＜/（力，

exex

由圖象可知，滿足不等式/'（九）＜/（力的X的取值范圍是，

因此，函數(shù)丁="?的單調(diào)遞減區(qū)間為［-:,11.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時也考查了利用圖象辨別函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象，考查推理能力，屬于中等

題.

6、B

【解析】

j2f2＞、

設(shè)過點(diǎn)M（c,O）作丁=2%的垂線，其方程為y=—4（x—c）,聯(lián)立方程，求得戈=￡,y=也,即P—,由

abcc\＜cc）

|P^|=V6|OP|,列出相應(yīng)方程，求出離心率.

【詳解】

解：不妨設(shè)過點(diǎn)耳（G。）作y的垂線，其方程為丁=—藍(lán)（x—c）,

b

y=~X27（2r\

5后口c。

由,＜a解得%=—a,y=一ab，即n尸—a,——a,

a（、cc{ccJ

y=—^\x-c）

底而［、［七//＜2422y

,IaV（aab

由埒=，6|O尸I，所以有1一+—+c=6二+「一，

cyc）\cc）

化簡得3/=02,所以離心率e=￡=g.

a

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查雙曲線的概念、直線與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解、推理論證能力，屬于中檔題.

7、B

【解析】

求導(dǎo)函數(shù)，求出函數(shù)的極值，利用函數(shù)/。）=必/-。恰有三個零點(diǎn)，即可求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】

函數(shù)y=必/的導(dǎo)數(shù)為y'=2x數(shù)+%V=xe\x+2），

令y'=0,則％=0或-2,

-2<%<0上單調(diào)遞減，(-*-2),(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以0或-2是函數(shù)y的極值點(diǎn)，

函數(shù)的極值為：/(0)=0,/(-2)=4e-2=—,

e

4

函數(shù)/(%)=必靖-。恰有三個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是：(0，r).

e~

故選B.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)，來確定參數(shù)的取值范圍的問題，在解題的過程中，注意應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象

的走向，利用數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象間交點(diǎn)個數(shù)的問題，難度不大.

8、D

【解析】

如圖，平面跳G截球。所得截面的圖形為圓面，計(jì)算=由勾股定理解得尺="，此外接球的體積為

生3，三棱錐O-EFG體積為也，得到答案.

33

【詳解】

如圖，平面跳G截球。所得截面的圖形為圓面.

正三棱錐A-BCD中，過A作底面的垂線AH,垂足為“，與平面EFG交點(diǎn)記為K,連接8、HD.

依題意匕.BC?=4%-B”，所以AH=4W,設(shè)球的半徑為R,

在中，OD=R,330=延，OH=-OA=-,

3333

由勾股定理：氏2=苧,解得R=?,此外接球的體積為馬普萬,

由于平面E/G〃平面5CD,所以AH_L平面EFG,

球心。到平面EFG的距離為KO,

則KO=OA-必===0=

2333

所以三棱錐o—EEG體積為L工x且x42x亞=立，

34433

所以此外接球的體積與三棱錐O-EFG體積比值為24辰.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三棱錐的外接球問題，三棱錐體積，球體積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.

9、C

【解析】

當(dāng)％<0時，y=—==—最多一個零點(diǎn)；當(dāng)X..0時，

y=f(x)-ax-b=^x3-^a+V)x2+ajc-ax-b=jx3-^a+V)x2-b,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)

性畫函數(shù)草圖，根據(jù)草圖可得.

【詳解】

b

當(dāng)％<0時，y^f(x)-ax-b=x-ax-b=(l-a)x-b=O,得工=----；y=/(%)—依一匕最多一個零點(diǎn)；

1-a

當(dāng)X..0時，y=f(%)——/?=_d——(a+1)%2+ox—cix—b=1——(a+1)%2—b,

y'-x2_(a+l)x,

當(dāng)a+L,0,即④—1時，y..0,y=f(x)-ax-b^[0,+到上遞增，y=/(%)—公一人最多一個零點(diǎn).不合題意;

當(dāng)a+l>0,即a>—1時，令y'>0得xe[a+l,+?),函數(shù)遞增，令V<0得xe[0,a+1),函數(shù)遞減；函數(shù)最

多有2個零點(diǎn)；

根據(jù)題意函數(shù)y=/(x)-狽一人恰有3個零點(diǎn)o函數(shù)y=/(尤)一以一人在(-8,0)上有一個零點(diǎn)，在[0,+8)上有2

個零點(diǎn)，

如圖：

f-Z?>0

b

，----<。且｛1.1

1-a—(a+Ip——(a+1)(〃+1)92-Z?T<0

、32

,1a

解得6<。，1—a>0,0>Z?>—(tz+1)4z>—1.

遇到此類問題，不少考生會一籌莫展.由于方程中涉及。力兩個參數(shù)，故按“一元化”想法，逐步分類討論，這一過程中

有可能分類不全面、不徹底.

10、C

【解析】

由正項(xiàng)等比數(shù)列滿足。3=3%+24，即％/=3q+2qq,又。尸0,即寸―2q—3=0,運(yùn)算即可得解.

【詳解】

解：因?yàn)?=3%+2a2,所以=3q+2qq,又q/0,所以/-2q-3=0,

又q>0,解得4=3.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等比數(shù)列基本量的求法，屬基礎(chǔ)題.

11、D

【解析】

25

根據(jù)點(diǎn)差法得二=不，再根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得/+〃=7,解方程組得4=2,〃=5,即得結(jié)果.

ab

【詳解】

22

設(shè)雙曲線的方程為工—1=1（?！?］〉0）,由題意可得儲+廿=7,設(shè)"（七,％）,Ng%），則"N的中點(diǎn)為

ab

2)

2_52222(%+%)(%-%)2x(--)2x(—5

,由冬一冬=1且冬—咚=1,得

，--------------------------'33,

33a2b2a2b2a2

b2

2522

即==7T，聯(lián)立標(biāo)+〃=7,解得標(biāo)=2,b2=5,故所求雙曲線的方程為匕-乙=1.故選D.

a2b225

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用點(diǎn)差法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，考查基本求解能力，屬于中檔題.

12、A

【解析】

先根據(jù)給的條件求出三角形A5C的三個內(nèi)角，再結(jié)合A3可求，應(yīng)用正弦定理即可求解.

【詳解】

由題意可知：ZBAC=70°-40。=30。./4。。=110。，AZACB=110°-65。=45。,

：.ZABC=180°-30°-45°=105°.XAB=24x0.5=12.

BC

sin30°'

12BC

即也一1，：,BC=6&

V2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是將給的角度、線段長度轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系，利用正余弦定理求解.屬于中

檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、y=x+l

【解析】

求導(dǎo)，x=0代入求k,點(diǎn)斜式求切線方程即可

【詳解】

/'(%)=ex(^cosx-siwc^+5x4，貝!)/'(0)=1,又/⑼=1

故切線方程為y=x+l

故答案為y=x+l

【點(diǎn)睛】

本題考查切線方程，求導(dǎo)法則及運(yùn)算，考查直線方程，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題

1

14、-

6

【解析】

設(shè)正四棱柱的底面邊長45=5。=。，高再根據(jù)柱體、錐體的體積公式計(jì)算可得.

【詳解】

解：設(shè)正四棱柱ABC。-4耳CR的底面邊長AB=6C=a,高朋二人，

X

則匕BS-4B1G4=，ABCDAA-ab,

VP-D,DB=VB-D,DP=；SgDP.BC=gx3ab-a=：a%

3326

.PaJ即匕」

VABC￡>-44G46V6

故答案為：~

6

【點(diǎn)睛】

本題考查柱體、錐體的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

15、10

【解析】

設(shè)等差數(shù)列｛。“｝的公差為d>0,根據(jù)4=1,且。2+4=%，可得2+6d=l+7d,解得d,進(jìn)而得出結(jié)論.

【詳解】

設(shè)公差為d,

因?yàn)?+%=〃8，

所以4+d+q+5d=q+7d,

所以d=q=1,

所以4_%=(〃一〃)[=10*1=10

故答案為：10

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

16、40

【解析】

先求出(2x-y)5的展開式的通項(xiàng)，再求出篤,《即得解.

【詳解】

設(shè)(2x—y)5的展開式的通項(xiàng)為I；.=C；(2x)5-r(-y)r=(-l)r25-rC；x5-ryr,

23

令r=3,則T&=—4C〉2y3=_40xy,

令尸2,貝(J刀=8C5%3y2=80x3/,

所以展開式中含xY的項(xiàng)為公(―40必/)+y.(80x3y2)=40x3y3.

所以xY的系數(shù)為40.

故答案為：40

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二項(xiàng)式定理求指定項(xiàng)的系數(shù)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)a4O時，/(尤)在(0,+8)上單調(diào)遞增，a>0時，f(x)在(0,。)上遞減，在3,”)上遞增.(2)

【解析】

(1)求出導(dǎo)函數(shù)/'(x),分類討論，由/(盼>0確定增區(qū)間，由((x)<0確定減區(qū)間；

(2)由/(1)=0,利用(1)首先得“V0或。=1,求出/(%)—g(x)的最小值即可得結(jié)論.

【詳解】

(1)函數(shù)定義域是(0,+8),

當(dāng)時，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

a〉0時，令/'(%)=。得x=a,0<x<a時，f'(x)<Q,遞減，x>a時，f'(x)>Q,/(x)遞增,

綜上所述，“WO時，f(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，a>0時，/。)在(0,。)上遞減，在3,y)上遞增.

(2)易知/⑴=0,由函數(shù)單調(diào)性，若/(x)有唯一零點(diǎn)，則或4=1.

〃一1I

當(dāng)〃<0時,g(x)=----,/(x)-g(x)=lnx+——a,

xx

從而只需〃=0時，/(%)—g(x)N加恒成立，即根Vln%+,，

%

令丸(x)=lnx+」，/(乃=!—二=三=，/i(x)在(0,1)上遞減，在(1,內(nèi))上遞增，

XXXX

；?飄九)1^=〃⑴=1，從而加￡1.

JQ]

a=1時，g(x)=—,f(x)=In%H----1,

e一x

1YX—11—V11

令t(x)=/(x)-g(x)=Inx+——77-1，由t'(x)=———==(%-1)(—+F)，知?)在(0,1)遞減，在(1,y)

xex'ex'e

上遞增，^(^)min=?(1)=-1>*'?W<-1.

綜上所述，加的取值范圍是(一亞-1].

【點(diǎn)睛】

本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)與不等式恒成立問題，解題關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化，不等式恒成立問題

通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.這又可通過導(dǎo)數(shù)求解.

18、(1)(2)證明見解析

【解析】

⑴利用。"=二。c求得數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

[5?-5?_pn>2

(2)先將?！翱s小即c”〉2-擊)，由此結(jié)合裂項(xiàng)求和法、放縮法，證得不等式成立.

【詳解】

⑴f+eUeN)令〃=1,得

/、a”1

又2SM+4T=1(〃22),兩式相減，得工=子

an-\3

11

3"3"111

-------------1--------;-------=2—------------1--------;------

3，，+i3"+i—13"+13"鬼一1

11

=2—

3"+13"i—1廣

又；

c11cl

=2n-\---：---->2n——.

3Z33

T〉2〃—.

3

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查已知S“求劣,考查利用放縮法證明不等式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

19、(1)(a+l)x-y+l=O(2)答案見解析(3)答案見解析

【解析】

(1)設(shè)曲線y=/(x)在點(diǎn)M(0,f(0))處的切線的斜率為左，可求得上=/(0)=。+1,/(0)=1,利用直線的點(diǎn)斜式

方程即可求得答案；

(2)由(I)知，f\x)=e\ax+a+X),分a=0時，a>0,a<0三類討論，即可求得各種情況下的的單調(diào)區(qū)

間為；

(3)分a=0與aw0兩類討論，即可判斷函數(shù)Ax)的零點(diǎn)個數(shù).

【詳解】

(1)Qf(x)=ex(ax+1),

/'(x)=ex(ax+l)+aex=ex(ax+a+V),

設(shè)曲線y=/(x)在點(diǎn)M(O,/(0))處的切線的斜率為3

則左=r(。)=ex(ax+l)+aex=e0(a+l)=a+l,

又/(0)=l,

?二曲線y=/(x)在點(diǎn)加(0,7(。))處的切線方程為：y-l=(a+I)x9即(a+l)%—y+l=O；

(2)由(1)知，fr(x)=ex(ax+a+I),

x

故當(dāng)〃=。時，f(x)=e>09所以/(%)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)〃>0時，XG(—00,------),/'(X)V。；XG(------，+8),f\X)>0?

aa

???/(X)的遞減區(qū)間為(口,-但)，遞增區(qū)間為(-但，+8)；

aa

當(dāng)a<0時，同理可得/Xx)的遞增區(qū)間為(口,-但)，遞減區(qū)間為(-3，+8)；

aa

綜上所述，4=0時，“X)單調(diào)遞增為(-8,+8),無遞減區(qū)間；

當(dāng)。>0時，/(元)的遞減區(qū)間為(-也-但)，遞增區(qū)間為(-@里，+與；

aa

當(dāng)。<0時，/(X)的遞增區(qū)間為(-也-"3,遞減區(qū)間為(-竺+?);

aa

(3)當(dāng)。=0時，/(乃=靖>0恒成立，所以/Xx)無零點(diǎn)；

當(dāng)a/0時，由/(x)=，(ar+l)=O,得：x=----,只有一個零點(diǎn).

a

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想與推理、運(yùn)算能力，

屬于中檔題.

20、(1)4=0.013=5,乙公司影響度高；(2)見解析，E(X)=2

【解析】

(1)利用各小矩形的面積和等于1可得。，由導(dǎo)游人數(shù)為40人可得心再由總收人不低于40可計(jì)算出優(yōu)秀率；

(2)易得總收入在口。,20)中甲公司有4人，乙公司有2人，則甲公司的人數(shù)X的值可能為1,2,3,再計(jì)算出相應(yīng)

取值的概率即可.

【詳解】

(1)由直方圖知，(a+O.O25+O.O35+O.O2+a)xlO=l,解得。=0.01,

由頻數(shù)分布表中知：2+》+20+10+3=40,解得3=5.

所以，甲公司的導(dǎo)游優(yōu)秀率為：(0.02+0.01)x10x100%=30%,

乙公司的導(dǎo)游優(yōu)秀率為：且9x100%=32.5%,

40

由于32.5%>30%,所以乙公司影響度高.

(2)甲公司旅游總收入在口0,20)中的有0.01x10x40=4人，

乙公司旅游總收入在口。,20）中的有2人，故X的可能取值為1,2,3,易知:

j2

P(X=1)=^Cc^=4—=1-,P(X=2)=C-2^cl=1—2=3-

d205Cf205

3

p(X=3)=-C^-=—4=-1

Cg205

所以X的分布列為:

X123

31

P

555

131

E(X)=lx—+2x—+3x—=2.

【點(diǎn)睛】

本題考查頻率分布直方圖、隨機(jī)變量的分布列與期望，考查學(xué)生數(shù)據(jù)處理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，是一道中檔題.

21、（I）見解析（II）見解析

【解析】

(I)求導(dǎo)得到/'(的=生3^,討論0<?<p。40三種情況得到單調(diào)區(qū)間.

f(rn)—f(ri)

(II)設(shè)相>〃，要證^---------->4mn-l,即證/(加)―/(〃)>(4相〃-1)(加一〃)，m+n=l,mn=a,設(shè)

m—n

g(rri)=lnm-ln(l-m)-4m+2(g<m<1),根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到證明.

【詳解】

/丫、「,/、八八2。2x2-2x+2a/、八、

(I)/'(%)=2%—2+—=-----------------(x>0),

xx

2

令g(%)=2x-2x+2a9A=4(1-4tz),

(1)當(dāng)AWO,即時，g(x)>0,f'(x)>0,/(尤)在(0,+8)上單調(diào)遞增;

4

(2)當(dāng)/>0,即?！垂r，設(shè)g(x)=0的兩根為公dxl<x2),

4

1—Jl—4a1+Jl—4a

%1=2，%2=2'

①若0<a<^,0<x<x2,xe(0,七)1,(%2，+°0)時，f\x)>0,

4.一

所以/3在（0,占）和（X2，+8）上單調(diào)遞增,

時，/'(x)＜。，所以/(x)在(如％2)上單調(diào)遞減，

②若aWO,%1<0<x2,xe(0,%2)時，/'(x)<0，所以/(x)在(0，%)上單調(diào)遞減，xe(x2,+°o)f\x)>0,

所以/(x)在(x2,+8)上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)a2工時，f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

4

當(dāng)0<a<:時，f(x)在(0,匕*四)和(1±^2也,+8)上單調(diào)遞增,

在工正且匕正邁上單調(diào)遞減；

22

當(dāng)4Vo時，在(0,匕牛9)上單調(diào)遞減,在(1+4",+00)上單調(diào)遞增.

(II)不妨設(shè)血〉”，要證[(“"一—(")

m—n

即證/(加)―/(〃)>(4mn-l)(m-n),

即證于(市)—f(ji)—(4m九-l)(m—n)>0,

由(I)可知，m+n=l,mn=a,0<a<—,可得0<〃<,<加<1,

42

f(m)—于(ri)=(jn—ri)(m+ri)—2(m—ri)+2a(Inm—Inn),

所以有/(m)—f(ri)—(4m幾—l)(m—n)=2a[Inm—ln(l—m)—4m+2],

令g(m)=lnm—ln(l—m)—4m+2(；<m<l),