第16講等比數(shù)列（人教A版2019選擇性）（原卷版）

第16講等比數(shù)列【人教A版2019】·模塊一等比數(shù)列的概念·模塊二等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一等比數(shù)列的概念1．等比數(shù)列的概念文字

語言一般地，如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)符號

語言在數(shù)列{}中，如果（或）(q≠0)成立，則稱數(shù)列{}為等比數(shù)列，常數(shù)q稱為等比數(shù)列的公比遞推

關(guān)系或2．等比中項(xiàng)如果在a與b中間插入一個數(shù)G(G≠0)，使a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).

若G是a與b的等比中項(xiàng)，則，所以=ab，即G=.3．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式若等比數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公比為q，則這個等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是=(,q≠0).4．等比數(shù)列的單調(diào)性已知等比數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公比為q，則

(1)當(dāng)或時，等比數(shù)列{}為遞增數(shù)列；

(2)當(dāng)或時，等比數(shù)列{}為遞減數(shù)列；

(3)當(dāng)q=1時，等比數(shù)列{}為常數(shù)列(這個常數(shù)列中各項(xiàng)均不等于0)；

(4)當(dāng)q<0時，等比數(shù)列{}為擺動數(shù)列(它所有的奇數(shù)項(xiàng)同號，所有的偶數(shù)項(xiàng)也同號，但是奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)異號).5．等比數(shù)列的性質(zhì)設(shè){}為等比數(shù)列，公比為q，則

(1)若m+n=p+q，m,n,p,q，則.

(2)若m,n,p(m,n,p)成等差數(shù)列，則成等比數(shù)列.

(3)數(shù)列{}(為不等于零的常數(shù))仍是公比為q的等比數(shù)列；

數(shù)列{}是公比為的等比數(shù)列；

數(shù)列{}是公比為的等比數(shù)列；

若數(shù)列{}是公比為q'的等比數(shù)列，則數(shù)列{}是公比為q·q'的等比數(shù)列.

(4)在數(shù)列{}中，每隔k(k)項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來的順序排列，所得數(shù)列仍為等比數(shù)列，且公比為.

(5)在數(shù)列{}中，連續(xù)相鄰k項(xiàng)的和(或積)構(gòu)成公比為(或)的等比數(shù)列.

(6)若數(shù)列{}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，則數(shù)列{}(c>0且c≠1)是公差為的等差數(shù)列.【考點(diǎn)1等比數(shù)列的基本量的求解】【例1.1】（2023春·黑龍江哈爾濱·高二?？计谥校┰诘缺葦?shù)列an中，2a1+a2=2A．3 B．2 C．12 D．【例1.2】（2023春·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）設(shè)an是等比數(shù)列，且a1?a2=1，A．8 B．?8 C．4 D．?4【變式1.1】（2023秋·浙江寧波·高二?？奸_學(xué)考試）設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公比為q，前n項(xiàng)和為Sn．令bn=SA．12 B．32 C．52【變式1.2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且2S3,3S5A．1或?12 B．?1C．?1或2 D．1或?2【考點(diǎn)2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解】【例2.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=2，an+1=anA．2n?1 B．2n?1 C．22n?1【例2.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=13anA．a(chǎn)n=?C．a(chǎn)n=?【變式2.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且滿足a1=1，A．2×32021 B．32021 C．3【變式2.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，且a6=0,a1+a4+A．22?n B．2n+2 C．23?n【考點(diǎn)3等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用】【例3.1】（2023春·全國·高二期中）等比數(shù)列an中，a2a4=16，A．4 B．2 C．4 D．±4【例3.2】（2023秋·甘肅金昌·高二?？茧A段練習(xí)）在等比數(shù)列an中，a2+a3+aA．323 B．643 C．32【變式3.1】（2023春·廣東廣州·高二?？计谥校┰诘缺葦?shù)列an中，如果a1+a2=16，A．72 B．81 C．36 D．54【變式3.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=|lnx|，各項(xiàng)互不相等的等比數(shù)列an滿足fa6A．a(chǎn)n≥a1 B．a(chǎn)n≤【考點(diǎn)4等比數(shù)列的判定與證明】【例4.1】（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期中）在數(shù)列an中，a1=3(1)證明：an(2)設(shè)bn=4n+【例4.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1(1)設(shè)bn=a(2)設(shè)cn=a【變式4.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列bn滿足bn=an+an+1（n∈N?），再從下面的條件①與②中任選一個作為已知條件，證明：bn【變式4.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1(1)判斷數(shù)列a2n?1(2)若數(shù)列an的前10項(xiàng)和為361，記bn=1(log2a2n+1模塊模塊二等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式1．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式若等比數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公比為q，則等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和公式為

=.2．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)已知等比數(shù)列{}的公比為q，前n項(xiàng)和為，則有如下性質(zhì)：

(1).

(2)若(k)均不為0，則成等比數(shù)列，且公比為.

(3)若{}共有2n(n)項(xiàng)，則=q；

若{}共有(2n+1)(n)項(xiàng)，則=q.【考點(diǎn)5等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)】【例5.1】（2023秋·江西宜春·高三校考階段練習(xí)）記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S4=?5，S6A．120 B．85 C．?85 D．?120【例5.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）一個項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，它的偶數(shù)項(xiàng)和是奇數(shù)項(xiàng)和的2倍，又它的首項(xiàng)為1，且中間兩項(xiàng)的和為24，則此等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【變式5.1】（2023春·高二課時練習(xí)）公比q≠?1的等比數(shù)列的前3項(xiàng)，前6項(xiàng)，前9項(xiàng)的和分別為S3，S6，S9A．S3+SC．S3+S【變式5.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，其前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn，并滿足條件a1>1，aA．S2019<S2020

C．T2020是數(shù)列Tn中的最大值

D．?dāng)?shù)列【考點(diǎn)6求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和】【例6.1】（2023秋·福建寧德·高二校考階段練習(xí)）記Sn為等比數(shù)列anan>0的前n項(xiàng)和，且aA．126 B．128 C．254 D．256【例6.2】（2023春·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期中）已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1?an=A．22023?1 B．21013?3 C．【變式6.1】（2023春·江西贛州·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a3=2，A．?dāng)?shù)列an為等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列SC．S100=32【變式6.2】（2023春·上海松江·高三校考階段練習(xí)）已知an是公比不為1的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，滿足2aA．S2022S2023C．S2021S2023【考點(diǎn)7等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用】【例7.1】（2023秋·天津和平·高三校考階段練習(xí)）數(shù)列an是等差數(shù)列，數(shù)列bn是等比數(shù)列，且a1=1，b1(1)求數(shù)列an的公差以及數(shù)列b(2)求數(shù)列an+b(3)求數(shù)列(?1)nan【例7.2】（2023秋·江蘇南通·高三校考階段練習(xí)）在數(shù)列an中，a1=0，且對任意k∈N*，a2k?1，(1)若對任意k∈N*，a2k，a2k+1，a2k+2成等比數(shù)列，其公比為q(2)若dk=2k，證明：a2k，a2k+1，【變式7.1】（2023秋·天津?qū)幒印じ呷？计谀┮阎獢?shù)列an是公差為1的等差數(shù)列，且a1+a2(1)求an和b(2)令dn=b(3)記cn=1a2n?1a2n+3,n=2k?1(2【變式7.2】（2023秋·天津北辰·高三?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列an與等比數(shù)列bn滿足a1=1，a3=5，b2(1)求數(shù)列an和b(2)記cn=1anan+2,n=2k?1a(3)記dn=32?1n?1bn?1，其前n項(xiàng)和為【考點(diǎn)8數(shù)列求和】【例8.1】（2023秋·江西宜春·高三校考開學(xué)考試）已知在正項(xiàng)數(shù)列an中，a1=13(1)求數(shù)列an(2)已知數(shù)列bn滿足bn=an,n為偶數(shù)2log【例8.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=12x2+12x，數(shù)列an(1)求數(shù)列an(2)求gx(3)令bn=gan2021【變式8.1】（2023秋·湖南常德·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列an為等差數(shù)列，數(shù)列bn為等比數(shù)列，且a4=7，a1(1)求an，b(2)已知cn=anbn,n(3)求證：i=1n【變式8.2】（2023秋·江西宜春·高三?？奸_學(xué)考試）在①Sn=a已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，(1)證明:數(shù)列an是等差數(shù)列，并求a(2)設(shè)bn=2n?32nan（i）求Tn（ii）判斷是否存在互不相等的正整數(shù)p，q，r使得p，q，r成等差數(shù)列且Tp+2,Tq+2,Tr模塊模塊三課后作業(yè)1．（2023春·廣東佛山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，a2+a6=10，a4A．2 B．2 C．2或12 D．2或2．（2023秋·江西南昌·高三校考階段練習(xí)）已知正項(xiàng)等差數(shù)列an和正項(xiàng)等比數(shù)列bn，a1=b1=1，b3是A．a(chǎn)2<b2 B．a(chǎn)1024=3．（2023春·遼寧·高二校聯(lián)考期末）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，其前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn，且滿足條件a1>1，aA．a(chǎn)n為遞減數(shù)列 B．C．T2022是數(shù)列Tn中的最大項(xiàng) 4．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？级＃┮阎獢?shù)列an為等比數(shù)列，首項(xiàng)a1>0，公比q∈A．?dāng)?shù)列an的最大項(xiàng)為a1 B．?dāng)?shù)列aC．?dāng)?shù)列anan+1為嚴(yán)格遞增數(shù)列 5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列an的公差不為0，設(shè)bi=anii∈N?，若n2=2A．a(chǎn)81 B．a(chǎn)121 C．a(chǎn)1226．（2023春·河南洛陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S10S5A．32 B．154 C．217．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在一個單位正方形中，首先將它等分成4個邊長為12的小正方形，保留一組不相鄰的2個小正方形，記這2個小正方形的面積之和為S1；然后將剩余的2個小正方形分別繼續(xù)四等分，各自保留一組不相鄰的2個小正方形，記這4個小正方形的面積之和為S2．以此類推，操作n次，若S1+A．9 B．10 C．11 D．128．（2023秋·江西宜春·高三校考階段練習(xí)）已知定義數(shù)列an+1?an為數(shù)列an的“差數(shù)列”，若a1=2,an的“差數(shù)列”的第nA．22022?1 B．22022 C．29．（2023秋·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）定義maxa,b=a,a≥bb,a<b．若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=λn2+20+λnλ∈A．?4,?3 B．?3,?2 C．?23,?10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}滿足：a1=0，an+1=ln(eaA．{a2n?1}B．a(chǎn)C．SD．a(chǎn)11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=1，且a(1)證明：bn(2)求an12．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知an是一個無窮等比數(shù)列，公比為q（1）將數(shù)列an中的前k（2）取出數(shù)列an（3）在數(shù)列an13．（2023春·湖北十堰·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等比數(shù)列an，公比q>1，前n項(xiàng)和為