專題15 二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)【十大題型】（舉一反三）（解析版）

專題15二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)【十大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1根據(jù)二次函數(shù)解析式判斷其性質(zhì)】 3【題型2二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)】 6【題型3二次函數(shù)平移變換問題】 12【題型4根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求字母的取值范圍】 15【題型5根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值】 18【題型6根據(jù)二次函數(shù)的最值求字母的取值范圍】 21【題型7根據(jù)二次函數(shù)自變量的情況求函數(shù)值的取值范圍】 24【題型8根據(jù)二次函數(shù)的增減性求字母的取值范圍】 27【題型9二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)】 29【題型10二次函數(shù)與三角形相結(jié)合的應(yīng)用方法】 34【知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)】1.定義：一般的，形如y=ax2+bx+c(a.b.c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)。其中x是自變量，a.b.c分別是函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù).一次項(xiàng)系數(shù).常數(shù)項(xiàng)。二次函數(shù)解析式的表示方法(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常數(shù)，a≠0)；(2)頂點(diǎn)式：y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)，它直接顯示二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h，k)；(3)交點(diǎn)式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與軸有交點(diǎn)，即時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.2.二次函數(shù)的圖象是一條拋物線。當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口向上；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開口向下。|a|越大，拋物線的開口越??；|a|越小，拋物線的開口越大。y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c對(duì)稱軸y軸y軸x=hx=h頂點(diǎn)(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)a>0時(shí)，頂點(diǎn)是最低點(diǎn)，此時(shí)y有最小值；a<0時(shí)，頂點(diǎn)是最高點(diǎn)，此時(shí)y有最大值。最小值(或最大值)為0(k或)。增

減

性a>0x<0(h或)時(shí)，y隨x的增大而減??；x>0(h或)時(shí)，y隨x的增大而增大。即在對(duì)稱軸的左邊，y隨x的增大而減??；在對(duì)稱軸的右邊，y隨x的增大而增大。a<0x<0(h或)時(shí)，y隨x的增大而增大；x>0(h或)時(shí)，y隨x的增大而減小。即在對(duì)稱軸的左邊，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右邊，y隨x的增大而減小。3.二次函數(shù)的平移：方法一：在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”．概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”．任意拋物線y＝a(x－h(huán))2＋k可以由拋物線y＝ax2經(jīng)過平移得到，具體平移方法如下：方法二：⑴沿軸平移:向上（下）平移個(gè)單位，變成（或）⑵沿x軸平移：向左（右）平移個(gè)單位，變成（或）4.二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1.a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負(fù)決定開口方向，的大小決定開口的大?。?.b的符號(hào)的判定：對(duì)稱軸在軸左邊則，在軸的右側(cè)則，概括的說就是“左同右異”3.c決定了拋物線與軸交點(diǎn)的位置字母的符號(hào)圖象的特征aa＞0開口向上a＜0開口向下bb＝0對(duì)稱軸為y軸ab＞0(a與b同號(hào))對(duì)稱軸在y軸左側(cè)ab＜0(a與b異號(hào))對(duì)稱軸在y軸右側(cè)cc＝0經(jīng)過原點(diǎn)c＞0與y軸正半軸相交c＜0與y軸負(fù)半軸相交5.二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系判別式情況b2－4ac＞0b2－4ac＝0b2－4ac＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸的交點(diǎn)a＞0a＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的實(shí)數(shù)根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2沒有實(shí)數(shù)根當(dāng)b2－4ac＜0時(shí)當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的上方，無論為任何實(shí)數(shù)，都有；當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的下方，無論為任何實(shí)數(shù)，都有．【題型1根據(jù)二次函數(shù)解析式判斷其性質(zhì)】【例1】（2023·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）下列關(guān)于二次函數(shù)y=(x-2)2-3的說法正確的是(

)A．圖象是一條開口向下的拋物線 B．圖象與x軸沒有交點(diǎn)C．當(dāng)x<2時(shí)，y隨x增大而增大 D．圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,-3)【答案】D【分析】由二次函數(shù)解析式可得拋物線開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由此解答即可．【詳解】解：A、∵a=1>0，圖象的開口向上，故此選項(xiàng)不符合題意；B、∵y=(x-2)∴Δ=即圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故此選項(xiàng)不符合題意；C、∵拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線x=2，∴當(dāng)x<2時(shí)，y隨x增大而減小，故此選項(xiàng)不符合題意；D、∵y=(x-2)∴圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,-3)，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．【變式1-1】（2023·四川樂山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）二次函數(shù)y=-x2-1A．開口向上 B．當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)的最大值是-1C．對(duì)稱軸是直線x=1 D．拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=-x【詳解】解：∵y=-x2-1∴拋物線開口向下，故A錯(cuò)誤；∵當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)的最大值是-1，故B正確；∵拋物線的對(duì)稱軸是y軸，故C錯(cuò)誤；∵Δ=∴拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的系數(shù)的幾何意義，是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023·廣東江門·鶴山市沙坪中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）關(guān)于二次函數(shù)y=x2A．圖象的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)B．圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為0C．圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為-2,0和4,0D．y的最小值為-9【答案】D【分析】把二次函數(shù)的解析式化成頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)就可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題．【詳解】解：∵二次函數(shù)y=x∴該函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x=-1，在y軸的左側(cè)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)x=0時(shí)，y=-8，即該函數(shù)與y軸交于點(diǎn)0，-8，故選項(xiàng)當(dāng)y=0時(shí)，x=2或x=-4，即圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為2,0和-4,0，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)x=-1時(shí)，該函數(shù)取得最小值y=-9，故選項(xiàng)D正確．故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，把二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線y=mx2-4mx過點(diǎn)AA．若x1-x2≤x3C．若y1<y3≤y2【答案】D【分析】由拋物線解析式可得拋物線對(duì)稱軸為直線x=2，從而可得點(diǎn)B為頂點(diǎn)，由m>0拋物線開口向上可判斷A，B選項(xiàng)，由點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離與函數(shù)值的關(guān)系可判斷C，D；【詳解】解：∵y=mx∴拋物線對(duì)稱軸為直線x=2，頂點(diǎn)為(2,-4m)，∵y2∴Bx2,當(dāng)m>0時(shí)，拋物線開口向上，y2∴選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤．若y1∴∴選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考察二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，開口向下時(shí)，圖象上的點(diǎn)離頂點(diǎn)越遠(yuǎn)，即橫坐標(biāo)到對(duì)稱軸的距離越大時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)就越小【題型2二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)】【例2】（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）已知P1x1,y1,P2x2,y2是拋物線y=ax2+4ax+3（a是常數(shù)，a≠0上的點(diǎn)，現(xiàn)有以下四個(gè)結(jié)論：①該拋物線的對(duì)稱軸是直線x=-2；②A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)稱軸公式x=-b2a=-4a2a=-2可判斷①；當(dāng)x=0時(shí)，y=3，可判斷②；根據(jù)拋物線的增減性，分兩種情況計(jì)算可判斷【詳解】解：∵拋物線y=ax2+4ax+3（a∴x=-b故①正確；當(dāng)x=0時(shí)，y=3，∴點(diǎn)0,3在拋物線上，故②正確；當(dāng)a>0時(shí)，y1當(dāng)a<0時(shí)，y1故③錯(cuò)誤；根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)得到x1x1故④錯(cuò)誤．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的對(duì)稱性，增減性，熟練掌握拋物線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的二次函數(shù)y=mx①對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，都有x1=3+a對(duì)應(yīng)的函數(shù)值與②若圖象過點(diǎn)Ax1,y1，點(diǎn)Bx2③若3≤x≤6，對(duì)應(yīng)的y的整數(shù)值有4個(gè)，則-49<m≤-④當(dāng)m>0且n≤x≤3時(shí)，-14≤y≤n2+1其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】先求出該函數(shù)對(duì)稱軸為直線x=3，再得出x1=3+a和x2=3-a關(guān)于直線x=3對(duì)稱，即可判斷①；把C2,-13代入y=mx2-6mx-5m≠0，求出m=1，則當(dāng)x>3時(shí)，y隨x的增大而增大，得出x1-x2>0,y1-y2>0，即可判斷②；根據(jù)y=mx2-6mx-5=mx-32-5-9m，然后進(jìn)行分類討論：當(dāng)m>0時(shí)，當(dāng)【詳解】解：①∵二次函數(shù)y=mx∴該函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=--6m∵x1=3+a，∴x1+x22=3，即∴x1=3+a對(duì)應(yīng)的函數(shù)值與x2②把C2,-13代入y=mx2-6mx-5解得：m=1，∴二次函數(shù)表達(dá)式為y=x∵a=1>0，該函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=3，∴當(dāng)x>3時(shí)，y隨x的增大而增大，∵x1∴y1∴x1∴y1-y③∵y=mx∴當(dāng)x=3時(shí)，y=-5-9m，當(dāng)x=6時(shí)，y=-5，當(dāng)m>0時(shí)，∵3≤x≤6，∴y隨x的增大而增大，∵3≤x≤6，對(duì)應(yīng)的y的整數(shù)值有4個(gè)，∴四個(gè)整數(shù)解為：-5,-6,-7,-8，∴-9<-5-9m≤-8，解得：13當(dāng)m<0時(shí)，∵3≤x≤6，∴y隨x的增大而減小，∵3≤x≤6，對(duì)應(yīng)的y的整數(shù)值有4個(gè)，∴四個(gè)整數(shù)解為：-5,-4,-3,-2，∴-2≤-5-9m<-1，解得：-4綜上：-49<m≤-13④當(dāng)m>0且n≤x≤3時(shí)，y隨x的增大而減小，∵-14≤y≤n∴當(dāng)x=3時(shí)，y=-5-9m=-14，解得：m=1，∴y=x當(dāng)x=n時(shí)，y=n解得：n=-1，故④不正確，不符合題意；綜上：正確的有①③，共2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握y=x-h2+k的對(duì)稱軸為x=h，頂點(diǎn)坐標(biāo)為h,k；a>0時(shí)，函數(shù)開口向上，在對(duì)稱軸左邊，y隨x的增大而減小，在對(duì)稱軸右邊，y隨x的增大而增大，a<0時(shí)，函數(shù)開口向下，在對(duì)稱軸左邊，y隨x的增大而增大，在對(duì)稱軸右邊，y【變式2-2】（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）二次函數(shù)y=ax①abc>0；②4a+2b+c<0；③a+b≥x(ax+b）；④3a+c>0其中正確的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)位置．由拋物線的開口方向、與y軸交點(diǎn)以及對(duì)稱軸的位置可判斷a、b、c的符號(hào)，由此可判斷①正確；由拋物線的對(duì)稱軸為x=1，可知x=2時(shí)和x=0時(shí)的y值相等可判斷②正確；由圖知x=1時(shí)二次函數(shù)有最小值，可判斷③錯(cuò)誤：由拋物線的對(duì)稱軸為x=1可得b=-2a，因此y=ax2-2ax+c【詳解】解：①∵拋物線的開口向上，∴a>0∵拋物線與y軸交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，∴c<0由-b2a∴abc>0，故①正確；②由拋物線的對(duì)稱軸為x=1，可知x=2時(shí)和x=0時(shí)的y值相等，由圖知x=0時(shí)，y<0，∴x=2時(shí)，y<0，即4a+2b+c<0．故②正確；③由圖知x=1時(shí)二次函數(shù)有最小值，∴a+b+c≤ax∴a+b≤axa+b≤xax+b故③④由拋物線的對(duì)稱軸為x=1可得-b∴b=-2a，∴y=ax當(dāng)x=-1由圖知x=-1∴3a+c>0，故④正確．綜上所述：正確的是①②④．故選：B．【變式2-3】（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）拋物線y=ax2+bx+ca≠0與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A-3,0，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線x=-1，其部分圖象如圖所示，則以下4個(gè)結(jié)論：①abc>0；②Ex1,y1，F(xiàn)x2,y2是拋物線y=ax2+bxa≠0上的兩個(gè)點(diǎn)，若x1<x2，且x1+x

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】由圖可知a>0,b>0,c<0，即可判斷①；易得y=ax2+bx+c向上平移c個(gè)到位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=ax2+bx，則y=ax2+bx的對(duì)稱軸也為直線x=-1，根據(jù)x1+x2<-2，得出x1+x22<-1，則Ex1,y1離對(duì)稱軸的距離大于Fx2,y2離對(duì)稱軸的距離，即可判斷②；作點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'，連接C'D，交x軸于點(diǎn)P，把A-3,0【詳解】解：由圖可知，∵該拋物線開口向上，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，與y軸交于負(fù)半軸，∴a>0,b>0,c<0，∴abc<0，故①不正確，不符合題意；∵y=ax2+bx+c向上平移c∴y=ax2+bx∵x1∴x1∵x1∴Ex1,∵函數(shù)開口向上，離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大，∴y1>y作點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'，連接C'D，交x把A-3,0代入y=ax2∵拋物線y=ax2+bx+c∴-b2a=-1∴0=9a-6a+c，整理得：c=-3a，∴C0,-3a，則C把x=-1代入y=ax2+bx+c∴D1,-4a設(shè)直線C'D的函數(shù)解析式為把C'0,3a，3a=n-4a=-m+n，解得：m=7a∴直線C'D的函數(shù)解析式為把y=0代入得：0=7ax+3a，解得：x=-3∴P-37

方程ax2+b∵D-1,-4a由圖可知，當(dāng)2b-4<-4a時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c則原方程無實(shí)數(shù)根，∵b=2a，∴2b-4<-2b，解得：b<1，∵b>0，∴b的取值范圍為0<b<1，故④不正確，不符合題意；綜上：正確的有③，共1個(gè)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)所給函數(shù)圖象，得出a、b、c的符號(hào)，利用拋物線的對(duì)稱性和增減性是解析的關(guān)鍵．【題型3二次函數(shù)平移變換問題】【例3】（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）若點(diǎn)Pm,n在拋物線y=ax2（a≠0）上，則下列各點(diǎn)在拋物線y=aA．m,n+1 B．m+1,n C．m,n-1 D．m-1,n【答案】D【分析】觀察拋物線y=ax2和拋物線y=ax+12可以發(fā)現(xiàn)，它們通過平移得到，故點(diǎn)【詳解】∵拋物線y=ax+12是拋物線y=ax2（∴拋物線y=ax2上點(diǎn)Pm,n向左平移1∴點(diǎn)m-1,n在拋物線y=ax+1故選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象與點(diǎn)的平移，通過函數(shù)解析式得到平移方式是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=x2+2x-1先繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，再向下平移5【答案】1【分析】先把拋物線配方為頂點(diǎn)式，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，求出旋轉(zhuǎn)后的拋物線，再根據(jù)“上加下減，左加右減”的法則進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵y=x∴拋物線的頂點(diǎn)為（-1，-2），將拋物線y=x2+2x-1先繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°拋物線頂點(diǎn)為（1旋轉(zhuǎn)后的拋物線為y=-x-1再向下平移5個(gè)單位，y=-x-12+2-5∴新拋物線的頂點(diǎn)（1，-3）故答案是：（1，-3）．【點(diǎn)睛】本題考查的是拋物線的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象旋轉(zhuǎn)與平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）將拋物線y=x+32向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移【答案】2或4/4或2【分析】先求出拋物線y=x+32向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后與【詳解】解：拋物線y=x+32向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后的解析式為令y=0，則x+32解得，x1∴拋物線y=x+32-1與x的交點(diǎn)坐標(biāo)為-2,0∴將拋物線y=x+32-1向右平移2故答案為：2或4．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)圖象的平移與幾何變換，利用拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減是解題關(guān)鍵．【變式3-3】（2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）函數(shù)y=ax2+bx+ca>0,b2-4ac>0的圖象是由函數(shù)①2a+b=0；②c=3；

③abc>0；④將圖象向上平移1個(gè)單位后與直線y=5有3個(gè)交點(diǎn)．A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)求出對(duì)稱軸為-b2a=1，進(jìn)而可得2a+b=0，故①正確；由函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），y=ax2+bx+ca>0,b2-4ac>0的圖象x軸上方部分不變，下方部分沿x軸向上翻折而成可知c＝-3，故②錯(cuò)誤；根據(jù)對(duì)稱軸求出【詳解】解：由函數(shù)圖象可得：y=ax2+bx+c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－1∴對(duì)稱軸為x=-1+32=1∴整理得：2a+b=0，故①正確；∵y=ax2+bx+ca>0,b2y=ax2+bx+c∴c＝-3，故②錯(cuò)誤；∵y=ax2+bx+ca>0,b2-4ac>0∴b＜0，又∵c＝-3＜0，∴abc>0，故③正確；設(shè)拋物線y=ax2+bx+c代入（0，3）得：3=-3a，解得：a＝－1，∴y=-x+1∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），∵點(diǎn)（1，4）向上平移1個(gè)單位后的坐標(biāo)為（1，5），∴將圖象向上平移1個(gè)單位后與直線y=5有3個(gè)交點(diǎn)，故④正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的對(duì)稱軸公式，頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法是解題的關(guān)鍵．【題型4根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求字母的取值范圍】【例4】（2023·浙江杭州·一模）點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,y2在拋物線y=ax2-2ax-3A．1<m≤4 B．2<m≤4C．0<m≤1或m≥4 D．1<m≤2或m≥4【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)解析式求出對(duì)稱軸，根據(jù)關(guān)于拋物線的軸對(duì)稱性質(zhì)求出y1【詳解】解：由題意可得，拋物線對(duì)稱軸為直線x=--2a根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱性可得，當(dāng)-2<x當(dāng)1×2-0<x2<1×2-(-2)即2<x∵存在正數(shù)m，使得-2<x1<0且m<∴m≥4或0<mm+1≤2解得：0<m≤1或m≥4，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的軸對(duì)稱性及對(duì)稱軸公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，利用數(shù)形結(jié)合思想解題．【變式4-1】（2023·浙江·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)y=x2-4x+2，關(guān)于該函數(shù)在a≤x≤3的取值范圍內(nèi)有最大值-1，aA．-2 B．-1 C．0.5 D．1.5【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=2，最小值為-2，從而得到點(diǎn)3,-1關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為1,-1，即可求解．【詳解】解：∵1>0，∴二次函數(shù)的圖象開口向上，y=x∴二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=2，最小值為-2，當(dāng)x=3時(shí)，y=3∴點(diǎn)3,-1在二次函數(shù)圖象上，且點(diǎn)3,-1關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為1,-1，∵該函數(shù)在a≤x≤3的取值范圍內(nèi)有最大值-1，∴1≤a≤3，∴a可能為1.5．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023·江蘇·中考真題）已知二次函數(shù)y=ax2+bx-3自變量x的部分取值和對(duì)應(yīng)函數(shù)值y如下表：則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能使得y-5>0成立的x【答案】x＞4或x＜-2【分析】根據(jù)圖表求出函數(shù)對(duì)稱軸，再根據(jù)圖表信息和二次函數(shù)的對(duì)稱性得出y=5的自變量x的值即可．【詳解】解：∵根據(jù)表格可得：x=0，x=2的函數(shù)值都是-3，相等，∴由二次函數(shù)的對(duì)稱性可知：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=1，∵當(dāng)x=－2時(shí)，y=5，∴x=4時(shí)，y=5，根據(jù)表格得：自變量x<1時(shí)，函數(shù)值逐點(diǎn)減??；；當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)值最??；當(dāng)x>1時(shí)，函數(shù)值逐點(diǎn)增大；∴拋物線的開口向上，∴y-5>0成立的x取值范圍是x<－2或x>4；故答案為：x＞4或x＜-2．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了二次函數(shù)的對(duì)稱性，讀懂圖表信息，求出對(duì)稱軸解析式是解題的關(guān)鍵；此題也可以確定出拋物線的解析式，再解不等式或利用函數(shù)圖形來確定．【變式4-3】（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，二次函數(shù)圖象的表達(dá)式為y=ax2+(1)若此函數(shù)圖象過點(diǎn)1,3，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．(2)若x1,y1、x2,y(3)若點(diǎn)-1,t在此二次函數(shù)圖象上，且當(dāng)x≥-1時(shí)y隨x的增大而增大，求t的范圍．【答案】(1)y=2(2)a=-(3)-5<t≤-4【分析】（1）將1,3，a-b=4代入y=ax（2）由y1（3）由題意可得t=a-5，分a>0和a<0分別求解即可．【詳解】（1）解：將1,3，a-b=4代入y=ax2+解得：a=2，∴b=a-4=-2,∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=2x（2）∵y1∴這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，∴-b∴-a+1∴a=-1（3）解：點(diǎn)-1,t在二次函數(shù)圖象上，∴t=a-a-1+a-4=a-5，∵當(dāng)x≥-1時(shí)y隨x的增大而增大，當(dāng)a>0時(shí)，有-a+1∴0<a≤1，∴-5<t≤-4，當(dāng)a<0時(shí)，不符合題意舍去，∴-5<t≤-4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的各知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．【題型5根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值】【例5】（2023·安徽六安·統(tǒng)考一模）若a≥0，b≥0，且2a+b=2，2a2-4b的最小值為m，最大值為n，則m+n=A．-14 B．-6 C．-8 D．2【答案】B【分析】先用a表示b，然后代入2a2-4b中，利用配方法進(jìn)行配方，再根據(jù)a≥0，b≥0確定a的取值范圍，根據(jù)二次函數(shù)的增減性確定m【詳解】解：∵2a+b=2，∴b=2-2a，設(shè)y=2=2=2=2(=2(=2[(a+2=2(a+2)∵a≥0，b≥0，∴a≥0解得：0≤a≤1，∵2>0，∴拋物線開口向上，對(duì)稱軸為a=-2，當(dāng)a>-2時(shí)，y隨a的增大而增大，當(dāng)a=0時(shí)，y最小，即m=2×2當(dāng)a=1時(shí)，y最大，即n=2×3∴m+n=-8+2=-6故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的最值問題，用a表示b，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的二次函數(shù)，根據(jù)a的取值范圍確定最大值和最小值是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023·廣東梅州·統(tǒng)考二模）已知實(shí)數(shù)a≥0，b≥0，且a+b=4，記代數(shù)式w=a2+ab+b2，記w1，w2分別為代數(shù)式【答案】4【分析】由a+b=4得到b=4-a，則w=a2+ab+b2=a+b2-ab=42-a【詳解】∵a+b=4，∴b=4-a，∴w=====a-2∵a≥0，∴a≥04-a≥0∴0≤a≤4∴當(dāng)a=0或a=4時(shí)，w=a-22+12當(dāng)a=2時(shí)，w=a-22+12∴w1故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的最值，將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的二次函數(shù)，通過二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023·河北保定·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于二次函數(shù)y=-x-m2+1，已知m>3①若y的最大值為-8，則m=4②若y的最小值為-8，則m=6③若m=5，則y的最大值為-3．則上達(dá)說法（）A．只有①正確 B．只有②正確 C．只有③正確 D．均不正確【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=-x-m2+1可得對(duì)稱軸為直線x=m，由a=-1<0，可得拋物線開口向下，再由m>3，所以當(dāng)-1≤x≤3時(shí)，拋物線單調(diào)遞增，從而可得x=3時(shí)，y有最大值，x=-1時(shí)，y有最小值，把x=3、y=-8和x=-1、y=-8分別代入解析式求得m的值，再根據(jù)m的取值范圍進(jìn)行判斷①②即可；把x=3、m=5，代入解析式求得y【詳解】解：二次函數(shù)y=-x-m2+1∵a=-1<0，∴拋物線開口向下，因?yàn)閙>3，所以當(dāng)-1≤x≤3時(shí)，函數(shù)y=-x-m若y的最大值為-8，則-3-m2+1=-8，解得m=6或若y的最小值為-8，則--1-m2+1=-8，解得m=2或m=-4，此時(shí)不存在若m=5，則y=-x-52+1，所以y的最大值為-故選C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)最值，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023·江蘇南通·南通田家炳中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+ca<0的圖像過m,b，m+1,a兩點(diǎn).當(dāng)b≥a，m<0時(shí)，二次函數(shù)圖象y=ax【答案】-【分析】根據(jù)題意求出-1≤m<0，再用二次函數(shù)圖象y=ax2+bx+c有最大值-2，得到a【詳解】解：∵二次函數(shù)y=ax2+bx+ca<∴am②-①得，∵b≥a，m<0，∴-1≤m<0，把b=-am代入①得，am∵二次函數(shù)圖象y=ax2+bx+c∴4ac-b∴4a×-am整理得，8a=m∵-1≤m<0，∴-3≤m+20<am+2∴8≤-3a，∴a≤-8即a的最大值是-8故答案為：-【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的最值問題是解題的關(guān)鍵．【題型6根據(jù)二次函數(shù)的最值求字母的取值范圍】【例6】（2023·浙江紹興·校聯(lián)考三模）二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0),(2,3)，在a≤x≤6范圍內(nèi)有最大值為4，最小值為-5，則aA．a(chǎn)≥6 B．3≤a≤6 C．0≤a≤3 D．a(chǎn)≤0【答案】C【分析】先利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，進(jìn)而得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為3,4，由于當(dāng)x=6時(shí)，y=-5，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得：a的取值范圍是0≤a≤3.【詳解】解：∵二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0)∴-1+b+c=0-4+2b+c=3解得b=6c=-5∴拋物線的解析式是y=-x∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為3,4，∴當(dāng)x=3時(shí)，拋物線有最大值4，由于當(dāng)x=6時(shí)，y=-6-32+4=-5，且在a≤x≤6范圍內(nèi)有最大值為4∴根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得：a的取值范圍是0≤a≤3；故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，正確理解題意、熟練掌握拋物線的相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.【變式6-1】（2023·福建廈門·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)y=-x2+2ax+a+1，若對(duì)于-1<x<a范圍內(nèi)的任意自變量x，都有y>a+1，則a【答案】-1<a<-【分析】先將解析式化成頂點(diǎn)式，然后根據(jù)題意可得-x-a2+a2+a+1>a+1可求得x-a的取值范圍，再結(jié)合-1<x<a可知x-a<0，進(jìn)而得到【詳解】解：y=-∵y>a+1∴-x-a2+a2+a+1>a+1，即∵-1<x<a∴x-a<0∴a>x>2a，即2a<-1，解得：a<-又∵a>-1∴-1<a<-1故答案為-1<a<-1【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、解一元二次不等式、等式的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，理解二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）已知拋物線y1=x2，該拋物線經(jīng)過平移得到新拋物線y2，新拋物線與x軸正半軸交于兩點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在1到2之間，若點(diǎn)P1,p，Q2,qA．0≤PQ<1 B．1≤PQ<2 C．1≤PQ<2 D．【答案】C【分析】設(shè)平移后解析式為y2=x-k2+h，由新拋物線與x軸正半軸交于兩點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在1到2之間得1<k<2，由點(diǎn)P1,p，Q2,q在拋物線y【詳解】∵拋物線y1=x∴平移后解析式為y2∵新拋物線與x軸正半軸交于兩點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在1到2之間，∴1<k<2，∵點(diǎn)P1,p，Q2,q在拋物線∴p=k-12+h=∴PQ∴當(dāng)k=32時(shí)，當(dāng)k=1或k=2時(shí)，PQ∴1≤PQ<2故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的平移，表示出PQ【變式6-3】（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考二模）對(duì)于二次函數(shù)y=x2-4x+3，圖象的對(duì)稱軸為，當(dāng)自變量x滿足a≤x≤3時(shí)，函數(shù)值y的取值范圍為-1≤y≤0，則a【答案】直線x=21≤a≤2【分析】根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸公式代入，可得到對(duì)稱軸；利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，可得到點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(1,0),(3,0)，畫出圖形，觀察圖形，即可求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)y=x∴對(duì)稱軸為直線x=--4∵y=x∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為y=-1，當(dāng)y=0時(shí)，有x2解得：x1=1,∴如圖所示，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(1,0),(3,0)，∴當(dāng)1≤x≤3時(shí)，-1≤y≤0，∵a≤x≤3時(shí)，函數(shù)值y的取值范圍為-1≤y≤0，從圖象中可得到-1≤y≤0時(shí)，1≤a≤2．故答案為：直線x=2；1≤a≤2．【點(diǎn)睛】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，主要考查函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，及這些點(diǎn)代表的意義及函數(shù)特征是解題的關(guān)鍵．【題型7根據(jù)二次函數(shù)自變量的情況求函數(shù)值的取值范圍】【例7】（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)y=x2+bx+5的圖象經(jīng)過點(diǎn)1,0，則當(dāng)2≤x≤6時(shí)，yA．-5≤y≤5 B．-4≤y≤5 C．-3≤y≤5 D．0≤y≤5【答案】B【分析】先將點(diǎn)1,0代入y=x2+bx+5【詳解】解：將點(diǎn)1,0代入y=x2+bx+5解得：b=-6，∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x∴該函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=--6∵a=1>0，∴該二次函數(shù)圖象開口向上，離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大，∵6-3>3-2，∴再2≤x≤6之間，當(dāng)x=6時(shí)，函數(shù)有最大值y=6當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)有最小值y=3∴當(dāng)2≤x≤6時(shí)，y的取值范圍是-4≤y≤5．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握a>0時(shí)，函數(shù)開口向上，在對(duì)稱軸左邊，y隨x的增大而減小，在對(duì)稱軸右邊，y隨x的增大而增大，a<0時(shí)，函數(shù)開口向下，在對(duì)稱軸左邊，y隨x的增大而增大，在對(duì)稱軸右邊，y隨x的增大而減?。咀兪?-1】（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c，函數(shù)yx…-1013…y…-2366…當(dāng)0<x<4時(shí)，y的取值范圍是（

）A．3<y≤6 B．3<y≤7 C．y<7 D．y>3【答案】B【分析】利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，即可求得開口方向，對(duì)稱軸，函數(shù)的最值，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到當(dāng)0<x<4時(shí)，y的取值范圍．【詳解】解：將點(diǎn)(-1,-2)，(0,3)，(1,6)代入y=axa-b+c=-2c=3a+b+c=6，解得∴y=-x∴該函數(shù)圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線x=2，函數(shù)有最大值7，∴x=0和x=4時(shí)的函數(shù)值相等，則0<x<4時(shí)，y的取值范圍是：3<y≤7，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023·河南南陽·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)y=-2x2+4x+3，當(dāng)-1≤x≤2時(shí)，yA．y≤5 B．y≤3 C．-3≤y≤3 D．-3≤y≤5【答案】D【分析】先求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=1，然后根據(jù)x的取值范圍求出y的最大值和最小值，即可得出y的取值范圍．【詳解】解：∵y=-2x∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=1，∵a=-2＜∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最大值，且最大值為y=5，∵在-1≤x≤2的范圍內(nèi)，x=-1時(shí)，距離對(duì)稱軸最遠(yuǎn)，∴x=-1時(shí)，函數(shù)取最小值，且最小值為：y=-2×-1-1∴y的取值范圍是：-3≤y≤5，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值5，最小值-3，是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知y=2x2-4x+1，且x+n=2m-32x-n=m，其中m≤3，n≥-3，則A．-1≤y≤17 B．1≤y≤17 C．-1≤y≤8 D．-1≤y≤1【答案】A【分析】首先根據(jù)x+n=2m-32x-n=m求出x的值，根據(jù)m≤3，n≥-3確定x的取值范圍，根據(jù)二次函數(shù)的增減性確定y【詳解】解：由x+n=2m-32x-n=mx=n+1x=m-1∵m≤3，n≥-3，∴x=n+1≥-3+1=-2x=m-1≤3-1=2即-2≤x≤2，∵y=2x2-4x+1，對(duì)稱軸為直線x=-b2a=1且a=2＞∴當(dāng)x=1時(shí)，y有最小值，最小值為y=2×12-4×1+1=-1，當(dāng)x=-2時(shí)，y有最大值，最大值為y=2×（-2）2-4×（-2）+1=17，∴-1≤y≤17，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是求出自變量x的取值范圍，進(jìn)而求出y的取值．【題型8根據(jù)二次函數(shù)的增減性求字母的取值范圍】【例8】（2023·四川瀘州·二模）已知函數(shù)fx=x2-2ax+7，當(dāng)x≤3時(shí)，函數(shù)值隨x增大而減小，且對(duì)任意的1≤x1≤a+2和1≤x2≤a+2，x1，A．-3≤a≤4 B．-2≤a≤4 C．-3≤a≤3 D．3≤a≤4【答案】D【分析】對(duì)任意的1?x1?a+2和1?x2?a+2，x1，x2相應(yīng)的函數(shù)值【詳解】解：函數(shù)的對(duì)稱軸為x=a，而x?3時(shí)，函數(shù)值隨x增大而減小，故a?3；∵1?x1?a+2∴x=a時(shí)，函數(shù)的最小值=7-a故函數(shù)的最大值在x=1和x=a+2中產(chǎn)生，則x=1，x=a+2中，哪個(gè)距x=a越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，∵a?3，∴a-1?2，而a+2-a=2，∴1距離a更遠(yuǎn)，∴x=1時(shí)，函數(shù)取得最大值為：8-2a，∵對(duì)任意的1?x1?a+2和1?x2?a+2，x1，x只需最大值與最小值的差小于等于9即可，∴8-2a-(7-aa2解得-2?a?4，而a?3，∴3?a?4，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將|y1-【變式8-1】（2023·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考一模）如果拋物線y＝（3﹣m）x2﹣3有最高點(diǎn)，那么m的取值范圍是．【答案】m＞3【分析】根據(jù)二次函數(shù)y＝（3﹣m）x2﹣3的頂點(diǎn)是此拋物線的最高點(diǎn)，得出拋物線開口向下，即3﹣m＜0，即可得出答案．【詳解】∵拋物線y＝（3﹣m）x2﹣3的頂點(diǎn)是此拋物線的最高點(diǎn)，∴拋物線開口向下，∴3﹣m＜0，∴m＞3，故答案為m＞3.【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)位置確定圖象開口方向，此題型是中考中考查重點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)熟練掌握．【變式8-2】（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）已知y=ax2+2ax+2a2+3二次函數(shù)（其中x是自變量），當(dāng)x≥2時(shí)，y隨x的增大而減小，且-2≤x≤1時(shí)，y的最大值為9A．2或-32 B．-2 C．-【答案】C【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式可以求得該函數(shù)的對(duì)稱軸，然后根據(jù)當(dāng)x≥2時(shí)，y隨x的增大而減小，且-2≤x≤1時(shí)，y的最大值為9，可以判斷a的正負(fù)，得到關(guān)于a的方程，從而可以求得a的值．【詳解】解：∵二次函數(shù)y=ax2+2ax+2a2+3=a（x+1）2+2a2-a+3，∴該函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=﹣1，∵當(dāng)x≥2時(shí)，y隨x的增大而減小，且﹣2≤x≤1時(shí)，y的最大值為9，∴a＜0，當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=9，∴9=2a2-a+3，解得，a1=﹣32，a2=2故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．【變式8-3】（2023·浙江杭州·統(tǒng)考三模）已知二次函數(shù)y＝12(s﹣1)x2+(t﹣6)x+1，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，y隨x的增大而減小，則st的最大為（

A．4 B．6 C．8 D．49【答案】C【分析】由二次函數(shù)解析式求出對(duì)稱軸直線方程，分類討論拋物線開口向下及開口向上的s，t的取值范圍，將st轉(zhuǎn)化為含一個(gè)未知數(shù)的整式求最值．【詳解】解：拋物線y＝12(s﹣1)x2+(t﹣6)x+1，的對(duì)稱軸為直線x＝6-t①當(dāng)s＞1時(shí)，拋物線開口向上，∵1≤x≤2時(shí)，y隨x的增大而減小，∴6-ts-1≥2，即2s+t≤8解得t≤8﹣2s，∴st≤s(8﹣2s)，∵s(8﹣2s)＝﹣2(s﹣2)2+8，∴st≤8．②當(dāng)0≤s＜1時(shí)，拋物線開口向下，∵1≤x≤2時(shí)，y隨x的增大而減小，∴6-ts-1≤1，即s+t≤7解得s≤7﹣t，∴st≤t(7﹣t)，t(7﹣t)＝﹣(t﹣72)2+49當(dāng)s＝t＝72時(shí)，st有最大值49∵0≤s＜1，∴此情況不存在．綜上所述，st最大值為8．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意把st轉(zhuǎn)換成關(guān)于t的二次函數(shù)求最值．【題型9二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)】【例9】（2023·安徽合肥·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)y=ax2a≠0和一次函數(shù)y=bx+cb≠0的圖象如圖所示，則函數(shù)

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)題干中的函數(shù)圖象，可知a>0,b<0,c>0，然后即可得到函數(shù)y=ax2+bx-c【詳解】解：由圖象得，二次函數(shù)y=ax∴二次項(xiàng)系數(shù)a>0，一次函數(shù)y=bx+cb≠0∴b<0,c>0，∴-b2a∴函數(shù)y=ax2+bx-c的圖象開口向上，對(duì)稱軸在y故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，判斷a、b、c的符號(hào)，利用一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)解答．【變式9-1】（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=cx的圖象在第二象限有兩個(gè)交點(diǎn)，且其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，則二次函數(shù)y=axA．B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的位置關(guān)系即可得到a，b，c和0的大小關(guān)系，從而判斷二次函數(shù)y=ax2【詳解】∵一次函數(shù)和反比例函數(shù)的兩個(gè)交點(diǎn)在第二象限∴a>0，b>0，c<0∴二次函數(shù)y=ax2+bx-c的圖像開口向上，與y軸交于正半軸，-∵其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1∴-a+b=-c，即a-b-c=0∴二次函數(shù)y=ax2+bx-c的圖像與x故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了通過一次函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系判斷a、b、c和0的大小關(guān)系；得到三者的相關(guān)特性是判斷二次函數(shù)圖像走勢(shì)的關(guān)鍵.錯(cuò)因分析中等難度題.失分原因是：1.不會(huì)通過題干給出的一次函數(shù)和反比例函數(shù)的兩個(gè)交點(diǎn)在第二象限得出a、b、c和0的大小關(guān)系；2.不會(huì)運(yùn)用題干給出的其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為得出a、b、c三者之間的關(guān)系.【變式9-2】（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH．設(shè)A、E兩點(diǎn)間的距離為x，四邊形EFGH的面積為

A．

B．C．

D．

【答案】A【分析】本題考查了動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)圖象，先判定圖中的四個(gè)小直角三角形全等，再用大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積，得函數(shù)y的表達(dá)式，結(jié)合選項(xiàng)的圖象可得答案．【詳解】解：∵正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，AE=BF=CG=DH∴AH=BE=CF=DG，∠A=∠B=∠C=∠D∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG∴y=4×4-=16-8x+2=2∴y是x的二次函數(shù)，函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,8)，開口向上從4個(gè)選項(xiàng)來看，開口向上的只有A和B，C和D圖象開口向下，不符合題意但是B的頂點(diǎn)在x軸上，故B不符合題意，只有A符合題意故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，正確地寫出函數(shù)解析式并數(shù)形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）已知反比例函數(shù)y=bx(b≠0)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=cx-a(c≠0)和二次函數(shù)y=aB．C． D．【答案】D【分析】先由反比例函數(shù)圖象得出b>0，再分當(dāng)a>0，a<0時(shí)分別判定二次函數(shù)圖象符合的選項(xiàng)，在符合的選項(xiàng)中，再判定一次函數(shù)圖象符合的即可得出答案．【詳解】解：∵反比例函數(shù)y=b∴b>0，若a<0，則-b2a>0，所以二次函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，故A、B、C、D當(dāng)a>0，則-b2a<0時(shí)，所以二次函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，故只有C、D兩選項(xiàng)可能符合題意，由C、D兩選圖象知，c<0又∵a>0，則-a<0，當(dāng)c<0,a>0時(shí)，一次函數(shù)y=cx-a圖象經(jīng)過第二、第三、第四象限，故只有D選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握反比例函數(shù)圖象、一次函數(shù)圖象、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【題型10二次函數(shù)與三角形相結(jié)合的應(yīng)用方法】【例10】（2023·青?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象與x軸相交于點(diǎn)A和點(diǎn)C1,0，交

(1)求此二次函數(shù)的解析式；(2)設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為P，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)Q，求四邊形AOBP的面積（請(qǐng)?jiān)趫D1中探索）；(3)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得△AMB是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由（請(qǐng)?jiān)趫D2中探索）．【答案】(1)y=-x(2)152(3)M(-1，1)【分析】（1）將B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式，進(jìn)一步求解得出結(jié)果；（2）連接OP，將二次函數(shù)的解析式配方求得頂點(diǎn)的坐標(biāo)，鄰y=0求得A的坐標(biāo)，從而求得OQ，PQ，OA的長(zhǎng)，再根據(jù)S四邊形（3）設(shè)M(-1，m)，表示出AM和BM，根據(jù)AM2=B【詳解】（1）解：由題意得，-1+b+c=0c=3∴b=-2c=3∴y=-x（2）解：如圖，連接OP，

∵y=-x∴P(-1，∴PQ=4，OQ=1，由-x2-2x+3=0∴OA=3，∴S四邊形（3）解：設(shè)M(-1，m)，∵OA=3，∴A-3由AM2=B∴m=l，∴M(-1，【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)．【變式10-1】（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖1，二次函數(shù)y=ax2+bx+4

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P在二次函數(shù)對(duì)稱軸上，當(dāng)△BCP面積為5時(shí)，求P坐標(biāo)；(3)小明認(rèn)為，在第三象限拋物線上有一點(diǎn)D，使∠DAB+∠ACB=90°；請(qǐng)判斷小明的說法是否正確，如果正確，請(qǐng)求出D的坐標(biāo)；如果不正確，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)y=(2)-52(3)正確，D【分析】（1）直接運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；（2）首先求出直線BC解析式，然后通過設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，并表示對(duì)應(yīng)Q點(diǎn)坐標(biāo)，從而利用“割補(bǔ)法”計(jì)算△BCP的面積表達(dá)式并建立方程求解即可；（3）首先連接AC，BC，設(shè)AC與對(duì)稱軸交點(diǎn)為K，對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)為H，連接BK，延長(zhǎng)AD與對(duì)稱軸交于點(diǎn)M，根據(jù)已知信息求出tan∠CBK，然后推出∠DAB=∠CBK，從而在Rt△AHM中求出HM，確定出M點(diǎn)坐標(biāo)，再求出直線AM解析式，通過與拋物線解析式聯(lián)立，求出交點(diǎn)【詳解】（1）解：將A(-4,0),B(-1,0)代入y=ax16a-4b+4=0a-b+4=0，解得：a=1∴拋物線解析式為：y=x（2）解：由拋物線y=x2+5x+4可知，其對(duì)稱軸為直線x=-設(shè)直線BC解析式為：y=kx+c，將B-1,0，C0,4代入解得：∴直線BC解析式為：y=4x+4，此時(shí)，如圖所示，作PQ∥x軸，交BC于點(diǎn)

∵點(diǎn)P在二次函數(shù)對(duì)稱軸上，∴設(shè)P-52∴PQ=m-4∴S△BCP∵要使得△BCP面積為5，∴m+62=5，解得：m=4或∴P的坐標(biāo)為-52,4（3）解：正確，D-如圖所示，連接AC，BC，設(shè)AC與對(duì)稱軸交點(diǎn)為K，對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)為H，連接BK，延長(zhǎng)AD與對(duì)稱軸交于點(diǎn)M，

由（1）、（2）可得OA=OC=4，∠AOC=90°，∴∠CAO=45°，AC=42根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，AK=BK，∴∠KAB=∠KBA=45°，∠AKB=90°，∵AB=3，∴AK=BK=3∴CK=AC-AK=5在Rt△CKB中，tan∵∠CBK+∠ACB=90°且∠DAB+∠ACB=90°，∴∠DAB=∠CBK，∴tan∠DAB=即：在Rt△AHM中，HM∵AH=-5∴HM=3∴M-設(shè)直線AM解析式為：y=sx+t，將A-4,0、M-5∴直線AM解析式為：y=-5聯(lián)立y=x2+5x+4y=-5∴小明說法正確，D的坐標(biāo)為D-【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合問題，包括“割補(bǔ)法”計(jì)算面積，以及解直角三角形等，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，并熟練運(yùn)用解三角形的方法進(jìn)行數(shù)形結(jié)合分析是解題關(guān)鍵．【變式10-2】（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，其中B

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)在二