幾何選擇壓軸題-2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸題（浙江新中考）（解析版）

第第頁(yè)題型01直線型類型一三角形綜合題1．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，，．記，．若，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了三角函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，過點(diǎn)作于，作的角平分線交于，過點(diǎn)作于，由題意可得，，，由得到，再證明，得到，，進(jìn)而得到，由可得，求得，，再勾股定理可得，，，得到，由求出，再利用勾股定理即可求出的長(zhǎng)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點(diǎn)作于，作的角平分線交于，過點(diǎn)作于，則，∵，，，∴，，，∵平分，∴，設(shè)，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，，當(dāng)時(shí)，，∴不合，舍去，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故選：．2．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，，為對(duì)角線，且滿足，若，則的長(zhǎng)度為（

）A．13 B． C． D．【答案】B【分析】本題考查四邊形綜合應(yīng)用，涉及等腰直角三角形性質(zhì)及應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及應(yīng)用等知識(shí)，將三角形繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，證明，由，得，由，可得，根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)而可得，作出輔助線，靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】解：將三角形繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，如圖：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故選：B．3．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，于點(diǎn)D，點(diǎn)M是內(nèi)一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)N，已知，若點(diǎn)M是的內(nèi)心，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查等腰三角形性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)及判定，內(nèi)心性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)題意證明，可得，因?yàn)镸是的內(nèi)心，繼而可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，，∴，，∴在和中，，∴，∴，∴，∵M(jìn)是的內(nèi)心，∴，，∴，∵，，∴，即：，∵，∴，，∴，故選：B．4．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）如圖，和都是等腰直角三角形，，點(diǎn)D是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），與交于點(diǎn)，連結(jié)．下列結(jié)論：①；②；③若，則；④在內(nèi)存在唯一一點(diǎn)P，使得的值最小，若點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，且的長(zhǎng)為2，則．其中含所有正確結(jié)論的選項(xiàng)是（）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】①正確．證明，可得結(jié)論；②正確．證明，，，四點(diǎn)共圓，利用圓周角定理證明；③正確．設(shè)，則．，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求出，，可得結(jié)論；④錯(cuò)誤．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)共線時(shí)，值最小，此時(shí)，，，設(shè)，則，構(gòu)建方程求出，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖1中，，，又，，，，，故①正確，，，，，取的中點(diǎn)，連接，，，則，，，，四點(diǎn)共圓，，故②正確，設(shè)，則．，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，故③正確．如圖2中，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，，，是等邊三角形，，，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)共線時(shí)，值最小，此時(shí)，，，，設(shè)，則，，，，，故④錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．5．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)矩形按如圖的方式分割成三個(gè)直角三角形，把較大的兩個(gè)三角形紙片按圖方式放置，若圖中兩個(gè)陰影部分面積滿足，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，證明，再由等角的余角相等可得，所以，可以判斷正確；如圖，過點(diǎn)作于，證明，根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方可得，設(shè)，，則，可判斷正確；如圖，先計(jì)算，由勾股定理得，由三角函數(shù)定義可判斷正確；設(shè)，，則，可判斷錯(cuò)誤．【詳解】解：、如圖，∵四邊形是矩形，∴，∴，如圖，，∴∵，∴，∴，∴，故選項(xiàng)正確，不符合題意；、如圖，過點(diǎn)作于，則，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，設(shè)，，則，∴，∴，故選項(xiàng)正確，不符合題意；、∵，∴如圖，中，，，∵，∴，∴'故選項(xiàng)正確，不符合題意；、設(shè)，則，，∴，∴，∴故項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，設(shè)未知數(shù)表示各線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．6．（2024·浙江寧波·一模）如圖，在中，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，二次根式的混合運(yùn)算，勾股定理等．根據(jù)條件可以得到，，利用四點(diǎn)共圓得到，可證，根據(jù)條件得到，設(shè)，則，，利用勾股定理求出值，繼而得到高線的長(zhǎng)，根據(jù)面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：，，，，又，∴，，，，連接、，作，垂足為，，點(diǎn)、、、四點(diǎn)共圓，，，，，，，∴，，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，解得：，．．故選：A．7．任意一張正方形先對(duì)折再翻折然后加上廢舊的草桿就能做成一個(gè)簡(jiǎn)易的紙風(fēng)車，迎著風(fēng)就會(huì)嘩啦啦轉(zhuǎn)動(dòng)起來，小小的紙風(fēng)車帶來童年滿滿的回憶．如圖是彤彤折疊的一個(gè)紙風(fēng)車，風(fēng)車由四個(gè)全等的直角三角形組成，其中∠DOG為90°．延長(zhǎng)直角三角形的斜邊，恰好交于四個(gè)直角三角形的斜邊中點(diǎn)，若，那么這個(gè)風(fēng)車的面積為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接由題意可得，進(jìn)而說明為等腰直角三角形，再說明垂直平分、垂直平分，進(jìn)而說明，然后再運(yùn)用解直角三角形求得，然后再求得三角形的面積，最后求風(fēng)車面積即可．【詳解】解：如圖：連接由題意可得：，為等腰直角三角形又：，，即又垂直平分同理：垂直平分是等腰三角形頂角的角平分線即由題意可得又，，在中，，，設(shè)，即，，設(shè)（），，，即，，又，，，．故選A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合思想成為解答本題的關(guān)鍵．8．（2023·浙江金華·一模）我們知道訂書針的兩條短邊垂直長(zhǎng)邊．如圖是由三枚完全相同的訂書針，，拼成的圖形，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，點(diǎn)D，K，L分別在，，上，，．當(dāng)點(diǎn)，I重合時(shí)，的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點(diǎn)J作，交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M，證明，設(shè)，利用全等，相似的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】如圖，過點(diǎn)J作，交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M，設(shè)，∵，∴，，∴四邊形是矩形，，∴，，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴∵，∴解得，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2023·浙江杭州·一模）如圖，在中，，點(diǎn)P在邊上，，分別為的中點(diǎn)，連接．過點(diǎn)作的垂線，與分別交于，兩點(diǎn)．連接，交于點(diǎn)．有以下判斷：①；②且；③當(dāng)時(shí)，的面積為；④的最大值為．其中正確的是（

）A．①③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】①由等腰三角形的性質(zhì)可得，由三角形中位線定理可得，可求解；②由可證，全等，可得，，可求解；③由等腰三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理可求的長(zhǎng)，再由三角形面積公式可求解；④利用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)分別求出，的值，即可求得解【詳解】解：①，分別為的中點(diǎn)，，；故①正確；②，是等腰直角三角形，∴，又，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，故②正確；③當(dāng)時(shí)，∵是的中點(diǎn)，∴，故③正確；④設(shè)為，，∴即的最大值為故④正確，綜上所述，①②③④正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．（2022·浙江寧波·一模）如圖，已知中，，，平分交于，是邊上的點(diǎn)，且：：，：：，連結(jié)交于，連結(jié)，則面積的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則，，列比例式，結(jié)合已知條件可求解，，再利用角平分線的定義可求解的長(zhǎng)，根據(jù)當(dāng)時(shí)，最大，即的面積最大，結(jié)合三角形的面積公式計(jì)算可求解．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，，，，：：，，，，，，，，，即，平分交于，，，，，，當(dāng)時(shí)，最大，即的面積最大，的最大值為：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的定義，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，確定的位置是解題的關(guān)鍵．11．如圖，在中，，，，其中，，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】延長(zhǎng)至，使得，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)使得，連接，證明，即可求解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)至，使得，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)使得，連接，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，設(shè)∴,∴；∵，，∴，，∴，∴∵∴是等腰直角三角形，∴設(shè)，∴，∴∵∴又在與中，∴∴設(shè)，則∵,∴解得：即，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．12．如圖（1），有兩全等的正三角形，，且，A分別為，的重心.固定點(diǎn)，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得A落在上，如圖（2）所示.則圖（1）與圖（2）中，兩個(gè)三角形重疊區(qū)域的面積比為（

）A．2：1 B．3：2 C．4：3 D．5：4【答案】C【分析】連接，交于點(diǎn)O，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及三角形重心的性質(zhì)得出，，再結(jié)合圖形及三角函數(shù)計(jì)算陰影部分的面積求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接，交于點(diǎn)O，設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)是x，則高長(zhǎng)為，圖（1）中陰影部分為一個(gè)內(nèi)角是的菱形，∴，，∴，∴，∴，則陰影部分的面積為：，圖2中，，，∴，∴，∴，∴陰影部分的面積為：，兩個(gè)重疊區(qū)域的面積比為：，故選：C．【點(diǎn)睛】題目主要考查等邊三角形的性質(zhì)及解三角形的應(yīng)用，菱形的性質(zhì)等，理解題意，作出相應(yīng)輔助線及掌握三角形重心的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．13．（2022·浙江紹興·二模）如圖，△ABC的兩條內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作一條平分△ABC面積的直線，那么這條直線分成的兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)比是（）A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：1【答案】B【分析】連接AD，過D點(diǎn)作DE⊥AB于點(diǎn)E，作DF⊥AC于點(diǎn)F，作DG⊥BC于點(diǎn)G，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知：AD也是一條角平分線，則有DE=DF=DG，根據(jù)MDN平分△ABC的面積以此來列等式即可求解．【詳解】連接AD，過D點(diǎn)作DE⊥AB于點(diǎn)E，作DF⊥AC于點(diǎn)F，作DG⊥BC于點(diǎn)G，∵△ABC的兩條內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)D，∴DE＝DF＝DG，設(shè)MN平分△ABC的面積，則＋＝＋＋，∵＝BM?DE，＝AM?DE，＝AC?DF，＝NC?DG，＝BN?DG，∴BM?DE＋BN?DG＝AM?DE＋AC?DF＋NC?DG，∴BM＋BN＝AM＋AC＋NC，∴BM＋BN＋MN＝AM＋AC＋NC＋MN，即這條直線分成的兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)比是1：1；故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，掌握三角形中三條角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等是解答本題的關(guān)鍵．14．（2021·浙江湖州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD為BC邊的中線，過點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F．若AC＝2，則線段EF的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點(diǎn)B作BH⊥BC，交CF的延長(zhǎng)線于H，由勾股定理可求AD的長(zhǎng)，由面積法可求CE，由“AAS”可證△ACD≌△CBH，可得CD＝BH＝1，AD＝CH＝，通過證明△ACF∽△BHF，可得＝，可求CF的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作BH⊥BC，交CF的延長(zhǎng)線于H，∵AD為BC邊的中線，AC＝BC＝2，∴CD＝BD＝1，∴AD＝＝＝，∵，∴CE＝＝，∵∠ADC+∠BCH＝90°，∠BCH+∠H＝90°，∴∠ADC＝∠H，在△ACD和△CBH中，，∴△ACD≌△CBH（AAS），∴CD＝BH＝1，AD＝CH＝，∵AC⊥BC，BH⊥BC，∴AC∥BH，∴△ACF∽△BHF，∴＝，∴CF＝，∴EF＝CF﹣CE＝﹣＝，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．15．（2022·浙江溫州·二模）如圖，在中，，分別以AB，AC，BC為邊作三個(gè)等邊三角形：，，，其中，，BD與CE交于點(diǎn)M，AC與BD交于點(diǎn)N，連結(jié)AM，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接ED，作DF∥BC交EC與F，在AM上截取AG=NG，證明△AED≌△ACB，△DFM≌△BCM，得出M是BD中點(diǎn)，再利用勾股定理求出AM、MN即可．【詳解】解：連接ED，作DF∥BC交EC與F，在AM上截取AG=NG，∵和是等邊三角形，∴，，，∴，∴△AED≌△ACB，∴，，∴，∵DF∥BC，∴，∴，∴，∴，∵，∴△DFM≌△BCM，∴，∴，，∵，∴，，∵，∴，∵AG=NG，∴∴設(shè)，則，，∴，解得，，的面積為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)作輔助線，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出是直角三角形，并通過解直角三角形求出邊長(zhǎng)．類型二平行四邊形綜合題16．（2023·浙江紹興·一模）如圖，中，，點(diǎn)分別為上異于端點(diǎn)的四點(diǎn)，滿足，分別為上異于端點(diǎn)的兩點(diǎn)，連接，點(diǎn)O為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)M出發(fā)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N后停止，連接，當(dāng)圖中存在與四邊形時(shí)，隨著點(diǎn)O的移動(dòng)，兩者的面積之和變化趨勢(shì)為（

）A．先變大再變小 B．先變小再變大 C．一直不變 D．以上都不對(duì)【答案】D【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，割補(bǔ)法求陰影部分的面積．熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，利用割補(bǔ)法表示出陰影部分的面積，是解題的關(guān)鍵．連接，設(shè)點(diǎn)到的距離為，到的距離為，到的距離為，到的距離為，利用面積公式求出，，發(fā)現(xiàn)均為定值，和也為定值，利用割補(bǔ)法得到與四邊形的面積之和為，即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接，設(shè)點(diǎn)到的距離為，到的距離為，到的距離為，到的距離為，∵四邊形為平行四邊形，∴，∵，∴，∴，，∵為定值，是平行四邊形的高，均為定值，∴，，均為定值，∵的邊長(zhǎng)是定值，∴也為定值，∵與四邊形的面積之和為，為定值，∴與四邊形的面積之和保持不變，當(dāng)點(diǎn)O在HE，MN交點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，如圖，，而為定值，且變小，故陰影部分面積是變化的，先變小，然后再保持不變，故選：D．17．（22-23九年級(jí)上·浙江寧波·期末）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)分別在邊上，，四邊形四邊形，相似比，則下列一定能求出面積的條件（

）A．四邊形和四邊形的面積之差 B．四邊形和四邊形的面積之差C．四邊形和四邊形的面積之差 D．四邊形和四邊形的面積之差【答案】C【分析】分別過點(diǎn)，作的平行線，根據(jù)相似比，找出對(duì)應(yīng)相似圖形的面積關(guān)系，然后找出符合的選項(xiàng)即可．【詳解】解：如圖，分別過點(diǎn)，作的平行線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，四邊形四邊形，相似比，，，，相似比，則，，，，選項(xiàng)C符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)相似比求面積關(guān)系，平行四邊形性質(zhì)，相似三角形性質(zhì)等知識(shí)，適當(dāng)添加輔助線，找出對(duì)應(yīng)面積關(guān)系，采用面積作差方法是解題關(guān)鍵．類型三矩形綜合題18．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知是矩形的對(duì)角線，以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到，三點(diǎn)恰好在同一條直線上，設(shè)與相交于點(diǎn)，連結(jié)．有以下結(jié)論：①；②；③是線段的黃金分割點(diǎn)；④，其中正確的是（

）A．① B．①③ C．②④ D．①③④【答案】D【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)以及黃金分割點(diǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等綜合知識(shí)，由是繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，得到再由矩形的性質(zhì)得出，從而判斷①；由可得從而判斷②；由及得出可判斷③；在線段上作連接通過得出是等腰直角三角形，可以判斷④，關(guān)鍵是根據(jù)已知比例式確定兩個(gè)三角形相似．【詳解】解：∵是繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，∴，∴，又∵四邊形是矩形，∴，∴，即，∴，即，故①符合題意；∵，∴，即是直角三角形，而顯然不是直角三角形，故②不符合題意；在和中，即∴點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，故③符合題意；在線段上取并連接如圖，在和中，，，是等腰直角三角形，，，故④符合題意；故選：D．19．（2024·浙江杭州·一模）如圖，在矩形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，，點(diǎn)在線段上．若是等腰三角形且底角與相等，則的值為（

）A．6或2 B．3或 C．2或3 D．6或【答案】D【分析】分兩種情況：①為等腰的底邊時(shí)，作于，則，由矩形的性質(zhì)得出，，，得出，，證明，得出利用相似三角形的性質(zhì)求出，證出，由等腰三角形的性質(zhì)得出，，證出，利用相似三角形的性質(zhì)求出，即可得出答案；②為等腰的腰時(shí)，作于，由①得：，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【詳解】解：分兩種情況：①為等腰的底邊時(shí)，作于，如圖所示：則，四邊形是矩形，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，即，解得：，，，，，是等腰三角形且底角與相等，，，，，，，，；②為等腰的腰時(shí)，作于，如圖所示：由①得：，，設(shè)，則，在中，，解得：，即；綜上所述：或．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．20．（2023·浙江寧波·一模）如圖，已知矩形和矩形，正方形面積為矩形面積的兩倍，且點(diǎn)E，G分別落在上，且點(diǎn)在上．若已知的長(zhǎng)，則下列可求的是（

）A．的長(zhǎng) B．的長(zhǎng) C．的長(zhǎng) D．的長(zhǎng)【答案】B【分析】本題考查了矩形和正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，設(shè)，根據(jù)正方形面積為矩形面積的兩倍，可得，利用勾股定理求得，再證明，可得，可得，則可得，即可解答，熟練利用相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)，正方形面積為矩形面積的兩倍，，，四邊形是矩形，四邊形是正方形，，，根據(jù)勾股定理可得，，，，，,,,,已知的長(zhǎng)，可得的長(zhǎng)，故選：B．21．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，在矩形中，為對(duì)角線的中點(diǎn)，．動(dòng)點(diǎn)在線段上，動(dòng)點(diǎn)在線段上，點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，分別向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，且始終保持．點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為；點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為．在整個(gè)過程中，四邊形形狀的變化依次是（

）A．菱形→平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形B．菱形→正方形→平行四邊形→菱形→平行四邊形C．平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形→平行四邊形D．平行四邊形→菱形→正方形→平行四邊形→菱形【答案】A【分析】根據(jù)題意，分別證明四邊形是菱形，平行四邊形，矩形，即可求解．【詳解】∵四邊形是矩形，∴，，∴，，∵、，∴∵對(duì)稱，∴，∴∵對(duì)稱，∴，∴，同理，∴∴∴四邊形是平行四邊形，如圖所示，

當(dāng)三點(diǎn)重合時(shí)，，∴即∴四邊形是菱形，如圖所示，當(dāng)分別為的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)，則，，在中，，連接，，∵，∴是等邊三角形，∵為中點(diǎn)，∴，，∴，根據(jù)對(duì)稱性可得，∴，∴，∴是直角三角形，且，∴四邊形是矩形，

當(dāng)分別與重合時(shí)，都是等邊三角形，則四邊形是菱形

∴在整個(gè)過程中，四邊形形狀的變化依次是菱形→平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理與勾股定理的逆定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．類型四菱形綜合題22．（2023·浙江溫州·二模）如圖，正方形與正方形邊長(zhǎng)相等，且三點(diǎn)共線，以為頂點(diǎn)構(gòu)造菱形，且三點(diǎn)共線，設(shè)兩塊陰影部分的面積分別為和，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)得到，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得到即可解答．【詳解】解：如圖所示連接作，與于點(diǎn)，∵正方形ABCD與正方形DEFG邊長(zhǎng)相等，∴，∴在和中，，∴，∴，∴，同理可得：，∴，，∴，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故選．

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（2024·浙江·一模）如圖，在菱形中，過頂點(diǎn)作，，垂足分別為，，連接，若，的面積為，則菱形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證明，得到，推出，設(shè)，由可得，進(jìn)而根據(jù)銳角三角函數(shù)得到，則，根據(jù)三角形的面積公式求出，再根據(jù)勾股定理求出，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，四邊形是菱形，，，，在和中，，，，，即，設(shè)，，，，，，，，，，，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．24．如圖，在菱形ABCD中，，AC與BD交于點(diǎn)O，E為CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且，連接BE分別交AC、AD于點(diǎn)F、G，連接OG，則下列結(jié)論：①；②與全等的三角形共有5個(gè)；③四邊形ODEG與四邊形OBAG面積相等；④由點(diǎn)A、B、D、E構(gòu)成的四邊形是菱形．其中一定成立的是（

）A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④【答案】A【分析】由AAS證明，得出，證出OG是的中位線，得出，故①正確；先證明四邊形ABDE是平行四邊形，證出、是等邊三角形，得出，因此，得出四邊形ABDE是菱形，故④正確；由菱形的性質(zhì)得出，由SAS證明，得出，故②不正確；由中線的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)可得，，可得四邊形與四邊形面積相等，得出③正確；即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴，∴，，∵，∴，在和中，∴，∴，∴OG是的中位線，∴∴①正確；∵，，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∵，∴、是等邊三角形，∴，∴，四邊形ABDE是菱形，故④正確；∴，由菱形的性質(zhì)得：，在和中，∴，∴，故②不正確；∵，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴四邊形與四邊形面積相等，故③正確；正確的是①③④．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，難度較大．25．如圖，在菱形ABCD中，，，過菱形ABCD的對(duì)稱中心O分別作邊AB，BC的垂線，交各邊于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依次求出OE=OF=OG=OH，利用勾股定理得出EF和OE的長(zhǎng)，即可求出該四邊形的周長(zhǎng)．【詳解】∵HF⊥BC,EG⊥AB,∴∠BEO=∠BFO=90°，∵∠A=120°，∴∠B=60°，∴∠EOF=120°，∠EOH=60°，由菱形的對(duì)邊平行，得HF⊥AD,EG⊥CD，因?yàn)镺點(diǎn)是菱形ABCD的對(duì)稱中心，∴O點(diǎn)到各邊的距離相等，即OE=OF=OG=OH，∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°，∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°，所以四邊形EFGH是矩形；設(shè)OE=OF=OG=OH=x，∴EG=HF=2x，，如圖，連接AC，則AC經(jīng)過點(diǎn)O，可得三角形ABC是等邊三角形，∴∠BAC=60°，AC=AB=2,∴OA=1,∠AOE=30°，∴AE=，∴x=OE=∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)為EF+FG+GH+HE=,故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)等內(nèi)容，要求學(xué)生在理解相關(guān)概念的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)應(yīng)用，能分析并綜合運(yùn)用相關(guān)條件完成線段關(guān)系的轉(zhuǎn)換，考查了學(xué)生的綜合分析與應(yīng)用的能力．類型五正方形綜合題26．（2023·浙江溫州·一模）如圖，在中，，以其三邊為邊分別向外作正方形，連接交于點(diǎn)，連接，當(dāng)時(shí)，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】題目主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解三角形等，理解題意，作出相應(yīng)輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵，延長(zhǎng)到K，使得，延長(zhǎng)交于點(diǎn)L，延長(zhǎng)，過點(diǎn)E作，根據(jù)正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定證明，，，再由其性質(zhì)及勾股定理求解即可【詳解】解：延長(zhǎng)到K，使得，延長(zhǎng)交于點(diǎn)L，延長(zhǎng)，過點(diǎn)E作，∵正方形，正方形，∴，∴，∴，∵正方形，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵正方形，，∴，∵正方形，，∴，，∴，∴，∴，∴，，∵正方形，，∴，∴，∴，∴，∵,，∴即，在中，連接，∵，∴，故選：B27．（2023·浙江金華·三模）四個(gè)全等的直角三角形和小正方形組成的大正方形如圖所示，過點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，連接分別交于點(diǎn)M，N，若已知，則的值為（）A．6 B． C．8 D．【答案】A【分析】設(shè)，則，，進(jìn)而求出，面積公式求出，進(jìn)而得到，根據(jù)同角的余角相等，得到，進(jìn)而得到，勾股定理得到，根據(jù)，得到，進(jìn)而得到，設(shè)，，則，證明，求出的長(zhǎng)，進(jìn)一步求解即可．【詳解】解：設(shè)，則，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴（負(fù)值舍去），∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，設(shè)，，則，∵，∴∴，∴，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，難度大，屬于選擇題中的壓軸題，掌握相關(guān)性質(zhì)和定理，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．28．（2023·浙江金華·一模）如圖，在正方形中，、相交于點(diǎn)．為上一點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)．若，則的值為(

)A． B． C．1 D．【答案】A【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，先證，得到，然后設(shè)，則，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，然后求出的長(zhǎng)，再求出和的長(zhǎng)，根據(jù)求出的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，最后利用即可求出比值．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，四邊形為正方形，，，，，，，，，設(shè)，則，由勾股定理得，，四邊形是正方形，，，，，，，，，，，即，，，，，，，，即，，故選：A．29．把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長(zhǎng)的比值等于較小部分與較大的比值，則這個(gè)比值為黃金分割，比值為，它被公認(rèn)為是最能引起美感的比例，如圖為世界名畫蒙娜麗莎．如圖，點(diǎn)是正方形的邊上的黃金分割點(diǎn)，且，以為邊作正方形，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，則為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形、矩形的性質(zhì)與判定，黃金分割的意義，比例的性質(zhì)，三角形的面積，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，，，根據(jù)黃金分割的意義得出，由，得出，根據(jù)合比性質(zhì)得出，即可得到，根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定得出，最后根據(jù)三角形的面積求出即可求解，掌握黃金分割的意義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∵點(diǎn)是正方形的邊上的黃金分割點(diǎn)，且，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，故選：．30．（2023·浙江紹興·三模）如圖，，點(diǎn)在上，且，是上的點(diǎn)，在上找點(diǎn)，以為邊，，，為頂點(diǎn)作正方形，則的長(zhǎng)不可能是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意作出正方形：①點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，、為正方形的邊長(zhǎng)；②點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，、為正方形的邊長(zhǎng)；③點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，、為正方形的邊長(zhǎng)；④點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，、為正方形的邊長(zhǎng)；然后根據(jù)正方形的性質(zhì)，通過解直角三角形先求得正方形的邊長(zhǎng)，再求得的長(zhǎng)即可判斷；【詳解】解：如圖1，為正方形，點(diǎn)在上，

∵，，∴直角中，，∴正方形的邊長(zhǎng)為1，∵是正方形的對(duì)角線，∴；如圖2，為正方形，點(diǎn)在上，

∵，，∴直角中，，∴正方形的邊長(zhǎng)為1，∵是正方形的對(duì)角線，∴；如圖3，為正方形，點(diǎn)在上，

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，∵，，∴直角中，，∵，∴，解得：，∴；如圖4，為正方形，點(diǎn)在上，

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，∵，，∴直角中，，∵，∴，解得：，∴；綜上所述的長(zhǎng)為或或，B選項(xiàng)符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)；根據(jù)點(diǎn)的位置和正方形邊長(zhǎng)的構(gòu)成情況分類討論是解題關(guān)鍵．題型02圓類型六垂徑定理31．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心，3為半徑作，已知點(diǎn)，N是上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．以上都不正確【答案】B【分析】本題考查軸對(duì)稱——最短路徑問題，圓的有關(guān)性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握求圓外一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最大值距離以及最小距離．作點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，連接，則，連接，由圓外一點(diǎn)的性質(zhì)可知，當(dāng)點(diǎn)P，點(diǎn)N在線段上時(shí)，有最小值，為，求出即可解決問題．【詳解】作點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，連接，則，，連接，由圓外一點(diǎn)的性質(zhì)可知，當(dāng)點(diǎn)P，點(diǎn)N在線段上時(shí)，有最小值，此時(shí)．∵，，∴，∴，即的最小值為．故選：B32．（22-23九年級(jí)上·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，是半圓O的直徑，四邊形和都是正方形，其中點(diǎn)在上，點(diǎn)在半圓上．若半圓O的半徑為10，則正方形的面積與正方形的面積之和是（

）A．50 B．75 C．100 D．125【答案】C【分析】連接，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，正方形邊長(zhǎng)為b，，根據(jù)正方形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理得出得出把等式的左邊分解因式后得出求出，再代入①，即可求出答案．【詳解】解：連接，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，正方形邊長(zhǎng)為b，，則，∵四邊形和都是正方形，∴，∵半圓O的半徑為10，∴，由勾股定理得：①②，得：∴∴∴∴∵，∴，即，把代入①，得，即正方形的面積與正方形的面積之和是100，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，能求出是解此題的關(guān)鍵，題目比較好，難度偏大．33．如圖，在正方形中，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，且，在的右側(cè)作正方形，則線段的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，利用正方形的性質(zhì)，證明△DEC∽△DPF，從而得到PF=，故點(diǎn)F在以P為圓心，為半徑的圓上，根據(jù)圓的基本性質(zhì)，得到當(dāng)點(diǎn)F在PH上時(shí)，F(xiàn)H取得最小值．【詳解】如圖，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)P，使得PC=BC=6，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=CD=6，∠BCD=∠PCD=90°，∴△PCD是等腰直角三角形，∴∠CDP=45°，；∵四邊形DEFG是正方形，∴DE=EF，∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴∠EDF=45°，；∴，∠CDE=∠PDF，∴△DEC∽△DFP，∴，∵CE=4，∴PF=，故點(diǎn)F在以P為圓心，為半徑的圓上，根據(jù)圓的基本性質(zhì)，得到當(dāng)點(diǎn)F在PH上時(shí)，F(xiàn)H取得最小值，∵H是BC的中點(diǎn)，BC=6，∴CH=3，∴PH=9，∴FH=9-，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，圓的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角形相似的判定定理和圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．34．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)E，在上取點(diǎn)F，使得，連接交于點(diǎn)G，連接．若，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了垂徑定理、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)，通過作輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵．連接，先根據(jù)圓周角定理和垂徑定理可得，再證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，從而可得，設(shè)，則，然后在中，利用勾股定理建立方程可求出的值，最后證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：如圖，連接，∵是的直徑，弦，∴，，∵，∴，∵，∴，由圓周角定理得：，，在和中，，，，，即，設(shè)，則，在中，，即，，解得或（不符合題意，舍去），在和中，，，，，故選：A．35．（2023·浙江杭州·一模）如圖，點(diǎn)A，B是半徑為2的⊙O上的兩點(diǎn)且，則下列說法正確的是（）

A．圓心O到的距離為 B．在圓上取異于A，B的一點(diǎn)C，則面積的最大值為2C．取的中點(diǎn)C，當(dāng)繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為π D．以為邊向上作正方形，與⊙O的公共部分的面積為【答案】D【分析】由垂徑定理，勾股定理求出，延長(zhǎng)交圓于，即可求出的最大面積，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路線是以為圓心半徑是1的圓，即可求出運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)，以為邊向上作正方形，與的公共部分的面積扇形的面積+的面積，于是可以得到答案．【詳解】解：如圖①，于，

，，，故A不符合題意；如圖①延長(zhǎng)交圓于，此時(shí)的面積最大，，，的面積，故B不符合題意；

取的中點(diǎn)，連接，，，，，，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路線是以為圓心半徑是1的圓，運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)是，故C不符合題意；如圖②四邊形是正方形，連接，，則過圓心O，作于，

的面積，，的面積的面積的面積，，扇形的面積，以為邊向上作正方形，與的公共部分的面積扇形的面積的面積，故D符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的計(jì)算，三角形面積的計(jì)算，垂徑定理，勾股定理，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．36．（2021·浙江溫州·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AB，BC，CA為直徑作半圓圍成兩月牙形，過點(diǎn)C作DFAB分別交三個(gè)半圓于點(diǎn)D，E，F(xiàn)．若，AC+BC＝15，則陰影部分的面積為（）A．16 B．20 C．25 D．30【答案】C【分析】連接AF，BD，先證明四邊形ABDF是矩形，然后由垂徑定理，矩形的性質(zhì)，勾股定理，表示出相應(yīng)的線段長(zhǎng)度，結(jié)合AC+BC＝15，求出k的值，得到各個(gè)扇形的半徑，再利用間接法求出陰影部分的面積．【詳解】解：連接AF，BD，如圖，∵AC、BC是直徑，∴∠AFC=90°，∠BDC=90°，∵DFAB，∴四邊形ABDF是矩形，∴AB=FD；取AB的中點(diǎn)O，作OG⊥FD，∵，則設(shè)，，由垂徑定理，則，∴，∴，，，由勾股定理，則，，∵AC+BC＝15，∴，∴；∴，，，∴陰影部分的面積為∴；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，以及求不規(guī)則圖形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的作出輔助線，從而求出線段的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出面積．類型七與圓有關(guān)的角37．如圖，在位于軸右側(cè)且半徑為6的，從的位置沿直線向上平移，交直線于點(diǎn)，且是與軸的一個(gè)公共點(diǎn)，若，則四邊形的面積是（

）A．42 B．64 C．68 D．48【答案】D【分析】作軸交軸于，作交于，與相交于點(diǎn)，連接，根據(jù)題意可得四邊形為矩形，為等腰直角三角形，從而得到，進(jìn)而得到，再由垂徑定理結(jié)合勾股定理即可得到，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，列出方程，求出的值，即可求出面積．【詳解】解：如圖所示，作軸交軸于，作交于，與相交于點(diǎn)，連接，，根據(jù)題意可得：軸，軸，四邊形為矩形，點(diǎn)在直線上，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，為等腰直角三角形，，，，，，，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由圖象可知，則，，，點(diǎn)坐標(biāo)為，四邊形的面積為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．38．如圖，為的直徑，點(diǎn)為半圓上一點(diǎn)且，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，弦分別交，于點(diǎn)、．若，則（

）A． B． C．18 D．【答案】A【分析】由于點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理可得垂直平分，垂直平分，再由直徑所對(duì)的圓周角是直角得出、、、都是等腰直角三角形，根據(jù)，設(shè)未知數(shù)，表示，，最后根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系列方程求解即可．【詳解】解：如圖，連接、交、于點(diǎn)、，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，垂直平分，垂直平分，又為的直徑，，，，，、、、都是等腰直角三角形，在中，由，在中，，，設(shè)，則，由勾股定理可得，又，，，，，，，又，，解得，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理及推論，直角三角形的邊角關(guān)系以及解直角三角形，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解決問題的前提，設(shè)未知數(shù)，表示三角形的邊長(zhǎng)是解決問題的關(guān)鍵．39．已知銳角．如圖（1）在射線上取一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作，交射線于點(diǎn)．連接；（2）分別以點(diǎn)、為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)、；（3）連接，．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．B．若，則C．D．點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱【答案】B【分析】由作圖知，OM=OC=OD，再利用對(duì)稱的性質(zhì)逐一判斷可得．【詳解】解：由作圖知，且OM=OD，又OC=OC故△COM≌△COD，故選項(xiàng)正確；故M與D點(diǎn)關(guān)于OA對(duì)稱，故D選項(xiàng)正確；，OM=ON是直角等腰三角形，，，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)，則，，又，，，故選項(xiàng)正確；故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖，內(nèi)角和定理，對(duì)稱等基本性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．40．如圖，已知，正方形邊長(zhǎng)為1，以為直徑在正方形內(nèi)部作半圓，點(diǎn)P是邊的中點(diǎn)，與半圓交于點(diǎn)Q，連接．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】A、正確.連接，易證四邊形是平行四邊形，從而可得結(jié)合，可證到，從而證到，則有；B、正確.連接，根據(jù)勾股定理可求出，易證，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可求出，從而求出的值，就可得到的值；C、正確過點(diǎn)作于，易證，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可求出，從而可求出的值；D、錯(cuò)誤.過點(diǎn)作于，易得，根據(jù)平行線分線段成比例可得，把代入，即可求出，然后在中運(yùn)用三角函數(shù)的定義，就可求出的值.【詳解】連接，如圖.∵正方形的邊長(zhǎng)為，以為直徑作半圓，點(diǎn)是中點(diǎn)，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴.∴∵，∴，∴，在和中，，∴，∴.故正確；連接，如圖.∵正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是中點(diǎn)，，，∵為直徑，，，，，即，，則，故正確；過點(diǎn)作于，如圖.，即，，，故正確；過點(diǎn)作于，如圖.，，，解得：，，，故錯(cuò)誤.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)，常用相似三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)的定義來建立等量關(guān)系，應(yīng)靈活運(yùn)用.41．如圖，等邊邊長(zhǎng)為6，E、F分別是邊、上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且．分別連接、，交于P點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最小值為（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，學(xué)會(huì)利用三角形的三邊關(guān)系解決最值問題，屬于中考填空題中的壓軸題．本題中先證明，角度推導(dǎo)得，繼而確定點(diǎn)P軌跡為以O(shè)為圓心的圓弧，連接，利用等邊對(duì)等角以及四邊形內(nèi)角和定理可求出，后面解含有角的直角三角形即可．【詳解】解：∵等邊，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴點(diǎn)P軌跡為以O(shè)為圓心的圓弧，連接∵，，∴，，∴，∴，由得，，當(dāng)O、P、C三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P位于點(diǎn)時(shí)，取得最小值，∵，∴，∵，∴，∴，由得，∴，∴，即最小值為，故選：A．42．如圖，點(diǎn)在上，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了圓周角定理，解直角三角形，連接，作于點(diǎn)，結(jié)合已知條件，利用圓周角定理及直角三角形性質(zhì)可得，，再由特殊銳角的三角函數(shù)值求得，再結(jié)合等腰直角三角形性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可求得，然后利用三角函數(shù)分別求得的長(zhǎng)度，最后利用線段的和差即可求得答案，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形并求得是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，作于點(diǎn)，∵，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，，∴，故選：．43．如圖，線段，分別為的弦，，，平分，若，則弦的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，過點(diǎn)作垂直于的延長(zhǎng)線，交于，作于，連接，，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，由平分，可得，，，，再證明，，可得，，則，進(jìn)而求得，可知，再由勾股定理即可求解，能根據(jù)角平分線正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點(diǎn)作垂直于的延長(zhǎng)線，交于，作于，連接，，∵平分，，∴，，，則，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，則，∴，則，∴，由勾股定理可得：，即：，∴，故選：D．44．如圖，在中，，，，點(diǎn)D是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為直徑畫圓分別交于點(diǎn)E、F，則弦的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．也考查了垂徑定理和解直角三角形，推出是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得，連接、，作于，作于，如圖，根據(jù)圓周角定理得到＝，再計(jì)算出，則最小時(shí)，的長(zhǎng)度最小，此時(shí)圓的直徑的長(zhǎng)最小，利用垂線段最短得到的長(zhǎng)度最小值為的長(zhǎng)，接著計(jì)算出，從而得到的最小值，然后確定長(zhǎng)度的最小值．【詳解】解：∵中，，，∴連接、，作于，作于，如圖，

，而，，，，在中，，當(dāng)最小時(shí)，的長(zhǎng)度最小，此時(shí)圓的直徑的長(zhǎng)最小，即的長(zhǎng)最小，的長(zhǎng)度最小值為的長(zhǎng)，∵，的最小值為，長(zhǎng)度的最小值為；故選：B．45．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）如圖，的兩條高線交于點(diǎn)，過三點(diǎn)作，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．設(shè)，，則下列線段中可求長(zhǎng)度的是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，直徑所對(duì)的圓周角是直角，四點(diǎn)共圓；連接交于點(diǎn)，則，設(shè)，，則,，設(shè)的半徑為，則，在中，得出，即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接交于點(diǎn)，則，

設(shè)，，依題意，，∴，∴,，設(shè)的半徑為，則∴①在中，；∵，，∴∴∴故選：B．46．（22-23九年級(jí)上·浙江杭州·期末）如圖，是的外角平分線，與的外接圓交于點(diǎn)D，連接交于點(diǎn)F，且，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)推出，再由角平分線的定義得到，即可得到，則，再由得到，即可證明，再，即可證明即可判斷A；再根據(jù)圓周角定理和等量代換把B、C、D三個(gè)選項(xiàng)中的角度用表示出來，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可得到答案．【詳解】解：∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，∵是的外角平分線，∴，又∵，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，故A不符合題意；∵∴，故C不符合題意；∵，，∴，故D不符合題意；∵，∴，根據(jù)現(xiàn)有條件無(wú)法證明，∴無(wú)法證明，故B符合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．47．（2023·浙江溫州·三模）如圖，在矩形中，為中點(diǎn)，以為邊向上作正方形，邊交于點(diǎn)，在邊上取點(diǎn)使，作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，記，，歐幾里得在《幾何原本》中利用該圖解釋了．現(xiàn)以為直徑作半圓，恰好經(jīng)過點(diǎn)，交另一點(diǎn)于，記的面積為，的面積為，若，則的值為(

)

A． B． C．1 D．【答案】A【分析】先根據(jù)矩形、正方形的性質(zhì)得，，，，進(jìn)而得，連接，可依據(jù)“”判定得，則，據(jù)此得，然后證得，即，由此得，進(jìn)而可求出的值．【詳解】解：依題意得：四邊形均為為正方形，四邊形均為矩形，∵，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴，，，，∴，連接，

∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∵為直徑，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即：，∴，∴，∵，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了正方形、矩形的性質(zhì)，三角形的面積，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角等知識(shí)點(diǎn)，解答此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識(shí)圖，找出相關(guān)的相等線段并用a，b的代數(shù)式表示出來，理解直徑所對(duì)的圓周角是直角，同圓或等圓中，平行弦之間所夾的弧相等，難點(diǎn)是利用找出a，b之間的關(guān)系．類型八與圓有關(guān)的位置關(guān)系48．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是的直徑，點(diǎn)C是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，與相切于點(diǎn)D，連接．若，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】連接．根據(jù)切線的性質(zhì)可得出，根據(jù)直徑所對(duì)圓周角為直角得出，結(jié)合題意易證為等邊三角形，最后由含30度角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理逐項(xiàng)計(jì)算判斷即可．【詳解】解：如圖，連接．∵與相切于點(diǎn)D，∴．∵，∴，，∴，即．∵，∴為等邊三角形，∴，∴，故A錯(cuò)誤，不符合題意；∵，，∴，∴，故B正確，符合題意；∵，，∴．∵，∴，∴．∵，∴，故C錯(cuò)誤，不符合題意；∵是的直徑，∴．∵為等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故D錯(cuò)誤，不符合題意．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理的推論，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理．連接常用的輔助線是解題關(guān)鍵．49．（2023·浙江杭州·一模）如圖，經(jīng)過的頂點(diǎn)C，與邊分別交于點(diǎn)M，N，與邊相切．若，則線段長(zhǎng)度的最小值是（

）A．3 B．2 C．2 D．【答案】D【分析】作于點(diǎn)F，當(dāng)CF為的直徑時(shí)，此時(shí)最小，的長(zhǎng)度也最小，連接，，過O作于E，根據(jù)圓周角定理和垂徑定理得到，，，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)求得直徑，然后解直角三角形求得即可．【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)F，∵即為定值，且垂線段最短，∴當(dāng)CF為的直徑時(shí)，此時(shí)最小，的長(zhǎng)度也最小，連接，，則，過O作于E，則，，∵，，，∴，則，∴，∴，即的最小值為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，解答的關(guān)鍵是找到直徑最小時(shí)，線段的長(zhǎng)度也最?。?0．（2022·浙江杭州·二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，延長(zhǎng)BA與弦CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，已知PD=AB，下列結(jié)論：①若=+，則AB=CD；②若∠B=60°，則∠P=20°；③若∠P=30°，則=?1；④的值可能等于．其中正確的序號(hào)是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】A【分析】①求得∠COD=90°，利用勾股定理得到CD=OD，即可判斷；②證明△OBC是等邊三角形，利用等邊對(duì)等角，即可判斷；③證明△ODC是等邊三角形，得到PD=OD=OC=OB=CD=OA，設(shè)PD=OD=OC=OB=CD=OA=R，PA=x，證明△PAD∽△PCB，利用相似三角形的性質(zhì)列方程求得x，即可判斷；④利用反證法，即可判斷．【詳解】解：①連接OC、OD，∵=+，++=180°，∴=90°，∴∠COD=90°，∴CD=OD，∴AB=2OD=CD=CD；故①正確；②連接OC、OD，∵∠B=60°，∴△OBC是等邊三角形，∴∠COB=60°，∵PD=AB，∴PD=OD=OC=OB，∴∠P=∠DOP，∠ODC=∠OCD，∴∠ODC=∠OCD=2∠P，∴2∠P+∠OCD=3∠P=∠COB=60°，∴∠P=20°；故②正確；③連接OC、OD，∵∠P=30°，由②知∠ODC=∠OCD=2∠P=60°，∴△ODC是等邊三角形，∵PD=AB，∴PD=OD=OC=OB=CD=OA，∴設(shè)PD=OD=OC=OB=CD=OA=R，PA=x，∵∠PDA+∠ADC=180°，∠B+∠ADC=180°，∴∠PDA=∠B，∴△PAD∽△PCB，∴，即PC?PD=PA?PB，∴2R?R=x?(x+2R)，整理得x2+2Rx-2R2=0，解得x=(-1)R，∴=-1，故③正確；④假設(shè)=成立．由③知△PAD∽△PCB，∴，∴PD=PB，∵PD=AB，∴PD=PA，∴PD+OD=PA+OA=PO，∴點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，不符合題意，∴假設(shè)=不成立．故④不正確；綜上，正確的有①②③，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，反證法，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．51．（2022·浙江寧波·一模）如圖，是半徑為1的圓弧，∠AOC等于45°，D是上的一動(dòng)點(diǎn)，則四邊形AODC的面積S的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意首先得出△AOC的面積，進(jìn)而得出四邊形最小值，要使四邊形AODC面積最大，則要使△COD面積最大，以CO為底DE為高，要使△COD面積最大，則DE最長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案.【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CF⊥AO于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DE⊥CO于點(diǎn)E，∵CO=AO=1，∠AOC=45°，∴CF=FO=，∴△AOC的面積=×1×=，則面積最小的四邊形面積為D無(wú)限接近點(diǎn)C，∴最小面積無(wú)限接近但是不能取到．∵△AOC面積確定，∴要使四邊形AODC面積最大，則要使△COD面積最大．以CO為底DE為高，要使△COD面積最大，則DE最長(zhǎng)．當(dāng)∠COD=90°時(shí)，DE最長(zhǎng)為半徑，四邊形AODC面積的最大值=△AOC的面積+△COD的面積=+×1×1=，即四邊形AODC的面積S的取值范圍是故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的綜合，正確得出四邊形的最大值是解題關(guān)鍵.52．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，一組同心圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，它們的半徑分別為，按照“加1”依次遞增；一組平行線，都與軸垂直，相鄰兩直線的間距為1，其中與軸重合．若半徑為2的圓與在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，半徑為3的圓與在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，，半徑為的圓與在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）（為正整數(shù)）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．也考查了勾股定理；由題意得出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．連，，，、、與軸分別交于、、，在中，，，由勾股定理得出，同理：，，……，得出的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，……，得出規(guī)律，即可得出結(jié)果．【詳解】解：連接，，，、、與軸分別交于、、，如圖所示：在中，，∴，同理：，，……，∴的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，……，…按照此規(guī)律可得點(diǎn)的坐標(biāo)是，即，故選：B．53．如圖，已知，以為弦的與相切于點(diǎn)P，直徑交于點(diǎn)E，連接，C是上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)D，則下面結(jié)論不一定成立的是（）A．B．C．若為直徑，，則D．若平分，則

【答案】D【分析】本題為圓的綜合題，涉及到三角形相似、解直角三角形、勾股定理的運(yùn)用等，綜合性強(qiáng)，難度較大．由平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)垂徑定理及線段垂直平分線的性質(zhì)判斷選項(xiàng)A、B；設(shè)，則，列方程求解，再根據(jù)中位線的性質(zhì)判斷選項(xiàng)C；證明，得到，得到，由，得到，求解即可判斷選項(xiàng)D．【詳解】直線為圓的切線，則，，，，，故選項(xiàng)A、B成立，不符合題意；如圖，為圓的直徑，則，而點(diǎn)是的中點(diǎn)，則為的中位線，則，設(shè)，則，即，解得：，則，故選項(xiàng)C成立，不符合題意；如圖，平分，則，，，，設(shè)，則，，則，而①，，，，，即，即②，聯(lián)立①②，解得：（不合題意的值已舍去），則，故選項(xiàng)D不成立，符合題意；故選：D54．如圖，是的直徑，C，D是上的兩個(gè)點(diǎn)，將沿弦折疊，圓弧恰好與弦，分別相切于點(diǎn)E，B．若，則弦的長(zhǎng)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)所在的圓的圓心為Q，連接、、，由切線的性質(zhì)得，，而是的直徑，證明四邊形是正方形，因?yàn)榕c關(guān)于直線對(duì)稱，所以，垂直平分，則，，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)F，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接，可得，得，由，，得，則，所以，，于是得到問題的答案．【詳解】解：設(shè)所在的圓的圓心為Q，連接、、，

∵恰好與弦，分別相切于點(diǎn)E，B，∴，，∵是的直徑，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，由折疊得與關(guān)于直線對(duì)稱，∴，垂直平分，∴，，∴，∴，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)F，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接，∵，∴，∵為直徑可得，∴垂直平分，∵，，，∴，∴，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查軸對(duì)稱的性質(zhì)、圓周角定理、切線的性質(zhì)定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．55．如圖，為直徑，C為圓上一點(diǎn)，I為內(nèi)心，交于D，于I，若，則為（

）

A． B． C． D．5【答案】A【分析】如圖，連接，，由題意知，平分，平分，則，，，，由，可得，由垂徑定理得，則，由勾股定理得，，如圖，連接交于，則，設(shè)，則，由勾股定理得，，即，解得，進(jìn)而可得，，由勾股定理得，，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，連接，，

由題意知，平分，平分，∴，，∴，，∵，∴，∵，∴，由勾股定理得，，如圖，連接交于，則，設(shè)，則，由勾股定理得，，即，解得，∴，，由勾股定理得，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了內(nèi)心，勾股定理，垂徑定理，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，等腰三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．題型03相似形類型九相似三角形56．（2023·浙江溫州·二模）有數(shù)學(xué)家證明了定理：任意一個(gè)三角形可以剪拼成一個(gè)矩形．小慧將一張三角形紙片（如圖）分割成四塊，然后拼成一張矩形紙片（無(wú)縫隙無(wú)重疊）．如圖，分別取，的中點(diǎn)，，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連結(jié)，分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)．若的面積為，，，則矩形的周長(zhǎng)是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)題意得出是的中位線，進(jìn)而根據(jù)面積求得，證明，求得，在中，勾股定理求得，根據(jù)等面積法求得，根據(jù)題意得出，進(jìn)而根據(jù)題意，矩形的面積等于的面積，為，進(jìn)而求得，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵是，的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∵，∴，∵，為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，依題意，的面積為，則矩形的面積為，∴，∴，∴矩形的周長(zhǎng)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形的中位線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．57．（2023·浙江嘉興·一模）如圖，正方形邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在邊上運(yùn)動(dòng)，在的左側(cè)作等腰直角三角形，，連接．喜歡探究的小亮通過獨(dú)立思考，得到以下兩個(gè)結(jié)論：①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，；②當(dāng)線段最短時(shí)，．下列判斷正確的是（

）A．①，②都正確 B．①，②都錯(cuò)誤 C．①正確，②錯(cuò)誤 D．①錯(cuò)誤，②正確【答案】A【分析】當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)有，先判斷直線與直線重合，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得；連結(jié)，，即有：，當(dāng)且僅當(dāng)F、A、C三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，可知當(dāng)F、A、C三點(diǎn)共線時(shí)，線段最短，等腰直角三角形中，有，先證明，再證明，即有，可得，即可得．【詳解】當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)有，∵等腰直角三角形中，，∵，∴直線與直線重合，∵，，正方形邊長(zhǎng)為4，∴，故①正確；連接，，如圖，即有：，當(dāng)且僅當(dāng)F、A、C三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，∴當(dāng)F、A、C三點(diǎn)共線時(shí)，線段最短，且為：，如圖，等腰直角三角形中，，，∴，在正方形中，可知：，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，即，即②正確，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判斷與性質(zhì)等知識(shí)，構(gòu)造合理的輔助線，判斷出當(dāng)F、A、C三點(diǎn)共線時(shí)，線段最短，是解答本題的關(guān)鍵．58．如圖，在等邊三角形中，，點(diǎn)，在上，點(diǎn)在上．已知，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得，，，由平行線的判定與性質(zhì)，可證得，，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可求得，，據(jù)此即可求解．【詳解】解：是等邊三角形，，，，，，，，，，，又，，，，解得，，，，解得，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，證得是解決本題的關(guān)鍵．59．（2022·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）正方形ABCD與正方形AEFG如圖所示，AB=5，AG=4．現(xiàn)將正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周．在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠CBG最小時(shí)，點(diǎn)F到AB邊的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)G點(diǎn)軌跡得出與⊙A相切時(shí)，最小，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得點(diǎn)、B、三點(diǎn)共線，由勾股定理求得，從而可得，過點(diǎn)作⊥AB延長(zhǎng)線于H，再由便可解答；【詳解】解：如圖，G點(diǎn)軌跡在⊙A上，圓的半徑=AG=4，由圖可知當(dāng)BG′與⊙A相切時(shí)，∠CBG′最小，即AG′B=90°，AEFG為正方形，則AE′F′G′也為正方形，∴∠AG′F′=90°，∴點(diǎn)F′、B、G′三點(diǎn)共線，∵AG′=AG=4，AB=5，∠AG′B=90°，∴BG′=，又∵F′G′=AG′=AG=4，∴F′B=1，過點(diǎn)F′作F′H⊥AB延長(zhǎng)線于H，∵∠ABG′=∠F′BH，∠AG′B=∠F′HB=90°，∴△ABG′∽△F′BH，∴AB∶F′B=AG′∶F′H，∴5∶1=4∶F′H，∴F′H=，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)；此題綜合性較強(qiáng)，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．60．（2022·浙江麗水·二模）正方形中，兩條對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)M，與交于點(diǎn)N，記，則有（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，推導(dǎo)得q=2，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，推導(dǎo)得r=2，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，通過證明，得p>2，從而完成求解．【詳解】過點(diǎn)B作，延長(zhǎng)DF交BQ于點(diǎn)Q，點(diǎn)Z為DF與AE的交點(diǎn)∵正方形，兩條對(duì)角線交于點(diǎn)O，∴，，∵點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)∴∵∴∴∴q=2∵∴，∴∵點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)∴∴r=2∵∵∴∴∵，，∴∴∴∴∵，∴∴∴∵，∴∴∵∴∴AZ>AM∵∴，∴∴∴∴QB<BF∵∴∴p>2∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形、相似三角形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)，從而完成求解．61．（2020·浙江金華·一模）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)P，Q分別是AC，BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（都不與線段端點(diǎn)重合），且AP=CQ，AQ、BP相交于點(diǎn)O．下列四個(gè)結(jié)論：①若PC=2AP，則BO=6OP；②若BC=8，BP=7，則PC=5；③AP2=OP?AQ；④若AB=3，則OC的最小值為，其中正確的是（

）A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③【答案】A【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AC=BC，根據(jù)線段的和差得到CP=BQ，過P作PD∥BC交AQ于D，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到①正確；過B作BE⊥AC于E，解直角三角形得到②錯(cuò)誤；在根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ABP=∠CAQ，PB=AQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到③正確；以AB為邊作等邊三角形NAB，連接CN，證明點(diǎn)N，A，O，B四點(diǎn)共圓，且圓心即為等邊三角形NAB的中心M，設(shè)CM于圓M交點(diǎn)O′，CO′即為CO的最小值，根據(jù)30度角的直角三角形即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC，∵AP=CQ，∴CP=BQ，∵PC=2AP，∴BQ=2CQ，如圖，過P作PD∥BC交AQ于D，∴△ADP∽△AQC，△POD∽△BOQ，∴，，∴CQ=3PD，∴