蘇教版高中數(shù)學選修3-4-4.6.3-抽象群初步-(15)課件

抽象群初步

變換群主要應用于研究集合問題，把變換群再推廣，成為抽象群，就能在數(shù)學分支理論及應用中發(fā)揮更大的作用。算術(shù)中的1+2=3，是從“1個人+2個人”、“1張桌+2張桌”等具體問題中抽象概括出來的。形式抽象了，數(shù)學規(guī)律更突出了，應用也更廣泛了。將變換群概念推廣，目光不限于幾何變換，對于任意一個集合，只要具備類似的性質(zhì)，就得到抽象的“群”。

思考:究竟什么是“群”呢？群的定義

1、

設A是一個非空集合，若對A中任意兩個元素a，b，通過某個法則“?”，有A中惟一確定的元素c與之對應，則稱法則“?”為集合上的一個代數(shù)運算（algebraicoperation)。元素c是a，b，通過運算“?”作用的結(jié)果，我們將此結(jié)果記為a?b=c.例1

有理數(shù)的加法、減法和乘法都是有理數(shù)集Q上的代數(shù)運算，除法不是Q上的代數(shù)運算。如果只考慮所有非零有理數(shù)的集合Q*，則除法是Q*上的代數(shù)運算。

2、設G是一個集合，其元素記為a,b,c....又設在G中存在一種操作（把它叫做“乘法”），滿足：（1）封閉性—G中任意兩個元素a與b的“乘積”是G中的一個元素c，記為c=b?a，簡記為c=ba;（2）結(jié)合律—G中任意三個元素的連乘積滿足結(jié)合律（cb）a=c（ab）；（3）恒等元—G中存在一個特殊元素e，叫做恒等元，它與G中任意元素a的乘積仍a；（4）逆元—對于G中每個元素a，都有G中某個相應的元素，叫做a的逆元，使它與a的乘積等于e（元素a的逆元記為a-1）。則稱G關(guān)于運算“?”構(gòu)成一個群(group)，記作(G,o)，在不致引起混淆的情況下，也把G稱為群。這樣定義的群，不管它的元素究竟是什么（可以是幾何變換、字母置換、實數(shù)，或者其它任何對象），也不管叫做“乘法”的到底是什么操作，只要滿足條件就行。以上只考慮抽象的運算關(guān)系，所以又叫做“抽象群”。群是我們定義的一種抽象結(jié)構(gòu)，具有一般性，它象一個空筐子，可以裝入各種具有相同抽象結(jié)構(gòu)的實際對象。通過研究抽象結(jié)構(gòu)的一般性質(zhì)，就可以掌握各種實際對象的性質(zhì)。例2整數(shù)集{z}及其上的加法+單位元為0，逆元z-1=-z，構(gòu)成整數(shù)加法群。

證對任意的a，b∈Z，有a+b∈Z，所以“+”是Z上的一個代數(shù)運算。同時，對任意的a，b，c∈Z，有(a+b)+c=a+(b+c)，所以結(jié)合律成立。另一方面0∈Z，且a∈Z，有a+0=0+a=a，所以0為Z的單位元，又對每個a∈Z，有a+(-a)=(-a)+a=0，所以-a是a的逆元。從而Z關(guān)于“+”構(gòu)成群，顯然這是一個交換群。例3實數(shù)集R，運算為加法：單位元e=0，逆元：a∈R，a-1=-a，構(gòu)成加群。若運算為數(shù)乘，R不構(gòu)成群，0-1不存在。不過不包含0的所有實數(shù)R/0，構(gòu)成乘法群，單位元e=1，逆元：a∈R/0，a-1=1/a.當群的運算用加號“+”表示時，通常將G的單位元記作0，并稱0為G的零元；將a∈G的逆元記作-a，并稱-a為a的負元。習慣上，只有當群為交換群時，才用“+”來表示群的運算，并稱這個運算為加法，把運算的結(jié)果叫做和，同時稱這樣的群為加群。將不是加群的群稱為乘群，并把乘群的運算叫做乘法，結(jié)果叫做積。全體非零有理數(shù)的集合Q*關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成交換群，這個群的單位元是數(shù)1，非零有理數(shù)的逆元是的倒數(shù)。同理，全體非零實數(shù)的集R*、全體非零復數(shù)的集合C*關(guān)于數(shù)的乘法也構(gòu)成交換群。

以幾何變換作為元素，變換的合成作為乘法，所得到的群就是變換群。變換群的許多有關(guān)概念，例如子群和擴群等，都能推廣到抽象群。謝謝指導！長風破浪會有時，直掛云帆濟滄海。努力，終會有所收獲，功夫不負有心人。以銅為鏡，可以正衣冠；以古為鏡，可以知興替；以人為鏡，可以明得失。前進的路上，要不斷反思、關(guān)照自己的不足，學習更多東西，更進一步。窮則獨善其身，達則兼濟天下?，F(xiàn)代社會，有很多人，鉆進錢眼，不惜違法亂紀；做人，窮，也要窮的有骨氣！古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有堅忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修煉才華和能力，更重要的是要能堅持下來。士不可以不弘毅，任重而道遠。仁以為己任，不亦重乎?死而后已，不亦遠乎?心中有理想，腳下的路再遠，也不會迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，雖久不廢，此謂不朽。任何事業(yè)，學業(yè)的基礎(chǔ)，都要以自身品德的修煉為根基。飯疏食，飲水，曲肱而枕之，樂亦在其中矣。不義而富且貴，于我如浮云。財富如浮云，生不帶來，死不帶去，真正留下的，是我們對這個世界的貢獻。英雄者，胸懷大志，腹有良策，有包藏宇宙之機，吞吐天地之志者也英雄氣概，威壓八萬里，體恤弱小，善德加身。老當益壯，寧移白首之心；窮且益堅，不墜青云之志老去的只是身體，心靈可以永遠保持豐盛。樂民之樂者，民亦樂其樂；憂民之憂者，民亦憂其憂。做領(lǐng)導，要能體恤下屬，一味打壓，盡失民心。勿以惡小而為之，勿以善小而不為。越是微小的事情，越見品質(zhì)。學而不知道，與不學同；知而不能行，與不知同。知行合一，方可成就事業(yè)。以家為家，以鄉(xiāng)為鄉(xiāng)，以國為國，以天下為天下。若是天下人都能互相體諒，紛擾世事可以停歇。志不強者智不達，言不信者行不果。立志越高，所需要的能力越強，相應的，逼迫自己所學的，也就越多。臣心一片磁針石，不指南方不肯休。忠心，也是很多現(xiàn)代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。為人謀而不忠乎?與朋友交而不信乎?傳不習乎?若人人皆每日反省自身，世間又會多出多少君子。人人好公，則天下太平；人人營私，則天下大亂。給世界和身邊人，多一點寬容，多一份擔當。為天地立心，為生民立命，為往圣繼絕學，為萬世開太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老將至，貧賤于我如浮云。淡看世間事，心情如浮云天行健，君子以自強不息。地勢坤，君子以厚德載物。君子，生在世間，當靠自己拼搏奮斗。博學之，審問之，慎思之，明辨之，篤行之。進學之道，一步步逼近真相，逼近更高。百學須先立志。天下大事，不立志，難成！海納百川，有容乃大；壁立千仞，無欲則剛做人，心胸要寬廣。其身正，不令而行；其身不正，雖令不從。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不憂，勇者不懼?！闭嬲M者，不會把時間耗費在負性情緒上。好學近乎知，力行近乎仁，知恥近乎勇。力行善事，有羞恥之心，方可成君子。操千曲爾后曉聲，觀千劍爾后識器做學問和學技術(shù)，都需要無數(shù)次的練習。第一個青春是上帝給的；第二個的青春是靠自己努力當眼淚流盡的時候，留下的應該是堅強。人總是珍惜未得到的，而遺忘了所擁有的。誰傷害過你，誰擊潰過你，都不重要。重要的是誰讓你重現(xiàn)笑容。幸運并非沒有恐懼和煩惱；厄運并非沒有安慰與希望。你不要一直不滿人家，你應該一直檢討自己才對。不滿人家，是苦了你自己。最深的孤獨不是長久的一個人，而是心里沒有了任何期望。要銘記在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一個過往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福卻很短暫。一個人的價值，應該看他貢獻什么，而不應當看他取得什么。做個明媚的女子。不傾國，不傾城，只傾其所有過的生活。生活就是生下來，活下去。人生最美的是過程，最難的是相知，最苦的是等待，最幸福的是真愛，最后悔的是錯過。兩個人在一起能過就好好過！不能過就麻利點分開。當一個人真正覺悟的一刻，他放下追尋外在世界的財富，而開始追尋他內(nèi)心世界的真正財富。人若軟弱就是自己最大的敵人。日出東海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不轉(zhuǎn)牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。烏云總會被驅(qū)散的，即使它籠罩了整個地球。心態(tài)便是黑暗中的那一盞明燈，可以照亮整個世界。生活不是單行線，一條路走不通，你可以轉(zhuǎn)彎。給我一場車禍。要么失憶。要么死。有些人說：我愛你、又不是說我只愛你一個。生命太過短暫，今天放棄了明天不一定能得到。刪掉了關(guān)于你的一切，唯獨刪不掉關(guān)于你的回憶。任何事都是有可能的。所以別放棄，相信自己，你可以做到的。、相信自己，堅信自己的目標，去承受常人承受不了的磨難與挫折，不斷去努力、去奮斗，成功最終就會是你的！既然愛，為什么不說出口，有些東西失去了，就在也回不來了！對于人來說，問心無愧是最舒服的枕頭。嫉妒他人，表明他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人當人；在人之下，要把自己當人。人不怕卑微，就怕失去希望，期待明天，期待陽光，人就會從卑微中站起來，帶著封存夢想去擁抱藍天。成功需要成本，時間也是一種成本，對時間的珍惜就是對成本的節(jié)約。人只要不失去方向，就不會失去自己。過去的習慣，決定今天的你，所以，過去的懶惰，決定你今天的一敗涂地。讓我記起容易，但讓我忘記我怕我是做不到。不要跟一個人和他議論同一個圈子里的人，不管你認為他有多可靠。想象困難做出的反應，不是逃避或繞開它們，而是面對它們，同它們打交道，以一種進取的和明智的方式同它們奮斗。他不愛你，你為他擋一百顆子彈也沒用。坐在電腦前，不知道做什么，卻又不想關(guān)掉它。做不了決定的時候，讓時間幫你決定。如果還是無法決定，做了再說。寧愿犯錯，不留遺憾。發(fā)現(xiàn)者，尤其是一個初出茅廬的年輕發(fā)現(xiàn)者，需要勇氣才能無視他人的冷漠和懷疑，才能堅持自己發(fā)現(xiàn)的意志，并把研究繼續(xù)下去。我的本質(zhì)不是我的意志的結(jié)果，相反，我的意志是我的本質(zhì)的結(jié)果，因為我先有存在，后有意志，存在可以沒有意志，但是沒有存在就沒有意志。公共的利益，人類的福利，可以使可憎的工作變?yōu)榭少F，只有開明人士才能知道克服困難所需要的熱忱。立志用功如種樹然，方其根芽，猶未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后葉，葉而后花。意志的出現(xiàn)不是對愿望的否定，而是把愿望合并和提升到一個更高的意識無論是美女的歌聲，還是鬢狗的狂吠，無論是鱷魚的眼淚，還是惡狼的嚎叫，都不會使我動搖。即使遇到了不幸的災難，已經(jīng)開始了的事情決不放棄。最可怕的敵人，就是沒有堅強的信念。既然我已經(jīng)踏上這條道路，那么，任何東西都不應妨礙我沿著這條路走下去。意志若是屈從，不論程度如何，它都幫助了暴