【新人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊課時作業(yè)】空間向量的數(shù)乘運算

空間向量的數(shù)乘運算

（45分鐘100分）

一、選擇題（每小題6分，共30分）

1.已知向量a=4e「42,b=e--^-e2,貝U（）

510

A.a,b一定共線

B.a,b不一定共線

C.只有當e,,已不共線時,a,b才共線

D.只有當e,色為不共線的非零向量時,a,b才共線

2.0為空間任意一點,若加二ok+二而+二&：,則A,B,C,P四點（）

488

A.一定不共面B.一定共面

C.不一定共面D.無法判斷

3.（2013?重慶高二檢測）在三棱柱ABC-ABC中,D是CC1的中點,F是A出的中點,

且正aAB+BAC,則（）

A.a=-,6=-1B.aB=1

7

C.a=1,B=--D.a=-l,B=-

7

4.設(shè)空間四點0,A,B,P滿足OP=mOA+nOB,其中m+n=l,則（）

A.點P一定在直線AB上

B.點P一定不在直線AB上

C.點P可能在直線AB上,也可能不在直線AB上

D.AB與AP的方向一定相同

5.若a,b是平面a內(nèi)的兩個向量,則（）

A.a內(nèi)任一向量p=、a+Pb（入，PGR）

B.若存在入，P￡R使入a+ub=0,則入=u=0

C.若a,b不共線，則空間任一向量p=入a+Pb（入，P￡R）

D.若a,b不共線，則a內(nèi)任一向量p=入a+Pb（入，PCR）

二、填空題（每小題8分，共24分）

6.非零向量ei,e?不共線,若向量kei+e2與ei+ke2共線，則k=.

7.已知0是空間任一點,A,B,C,D四點滿足任三點均不共線，但四點共面，且

OA=2xBO+3yCO+4zDO,則2x+3y+4z=.

8.如圖，在正方體ABCD-ABCD中，人任=三人13,若AE=xAA1+y（AB+AD）,則

4

x=，y=-

三、解答題（9題,10題14分,11題18分）

9.如圖，已知四邊形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，點M,N分別在對角

線BD,AE上,且BM=^BD,AN=aAE,求證:MN〃平面CDE.

33

10.已知A,B,C三點不共線,對平面ABC外一點0,當OP=2OA-OB-OC時，點P是否

與A,B,C共面?

口.（能力挑戰(zhàn)題）如圖所示,若P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，點H為PC

上的點,且穿，點G在AH上,且黑叫若G,B,P,D四點共面,求m的直

答案解析

1.【解析】A.Va=4e-|e2,b=e-^e2,

.?.a=4（e「2e2）=4b,；.a,b一定共線.

2.【解析】選B.?.?三+乙+三1,根據(jù)向量共面定理，

488

:.A,B,C,P四點共面.

3.【解析】選A.而二DC+CB+證

^cTc+CB+^BAi

2121

=--AAi+(AB-AC)+-(AAi-AB)

2171

=(1--)AB-AC=-AB-AC=aAB+BAC,

72

二.a—,B=-1.

7

4.【解題指南】考查點P是否在直線AB上，只需考查AP與眾是否共線.解決本題

的關(guān)鍵是利用條件m+n=1把判斷三點共線問題轉(zhuǎn)化為判斷R與京是否共線.

【解析】選A.已知m+n=1,貝Im=1-n.

0P=(1-n)0A+n0B=0A-n0A+n0B

=>OP-OA=n(OB-OA)=AP=nAB,

因為AB去0,

所以AP和AB共線，即點A,P,B共線，故選A.

5.【解析】選D.當a與b是共線向量時,A不正確；當a與b是相反向量，入二口

*0時，入a+ub=O,故B不正確；若a,b不共線，則平面a內(nèi)的向量都可用a,b表

示，對空間向量則不一定適合，故C不正確，D正確，故選D.

6.【解析】?「kei+ez與e+ke2共線,

:.存在實數(shù)人使得kei+e2-入(e,+ke2)成立.

?.'e”e2不共線,

.(k=入，?k=+l

,,(1=Ak/

答案：士1

【舉一反三】若本題條件改為：設(shè)e“e2是空間兩個不共線的向量，已知AB=2e+

ke2,CB=ei+3e2,CD=2e-e2,且A,B,D三點共線.所求問題不變，結(jié)果如何？

【解析】：A,B,D三點共線，

...向量AB與麗共線，于是存在實數(shù)人，使人昏入麗，即A斤入（CD-CB）,

2ei+ke2-入［（2e「e2）-（e1+3e2）］=（2-入）e,+（k+4入）es-O,

?.?e“e2不共線，

二.2-入=0且k+4入=0,得k=-8.

答案：-8

7.【解析】?.?A,B,C,D共面,

TT-?T

OA=OB+入BC+uBD

=0B+入（OC-OB）+u（OD-OB）

二（1-入-U）OB+入&+uOD

-?—>—>

=（入+u-1）B0-入CO-uDO

=2xBO+3yg4zD0,

2x+3y+4z-（入+|1-1）+（-入）+（-u）

=-1.

答案:-1

8.【解析】A&AAi+A］E=AAi+2AiCi

4

=AA1+YA1B1+A1D1）=AA1+YAB+AD）,對比系數(shù)可得x=1,y*.

答案：1-

4.

9.【證明】MN=MB+BA+AN

=-DB+BA+-AE

33

」(DC+CB)+BA+-(AD+DE)

33

=-DC+-CB+CD+-AD+-DE

3333

2—1―

=-CD+-DE.

33

又CD與而不共線，根據(jù)共面向量定理，可知次N,CD,而共面.因為MN不在平面

CDE內(nèi)，所以MN〃平面CDE.

【拓展提升】利用向量法證明線面平行的技巧

(1)用向量法證明直線與平面平行一般有兩種方法：一是證明直線的方向向量與

平面內(nèi)的一■個向量平行；二是證明直線的方向向量和平面內(nèi)的兩個不共線的向

量共面.

(2)線面平行的證明方法包含著證明空間線與線，面與面平行的方法.

［變式備選】如圖，在平行六面體ABCD-ABCD中，E,F,G分別是AD,DRDC的

中點.求證：平面EFG〃平面ABC

【證明】設(shè)AB=a,AD=b,AA1二c,

則*E^i+DiGYa+b),

AC=a+b=2EG,

.?.EG〃AC,

EF=ED^D^-b-^-(b-c),

222

—TT—

B1C二BC+CiC=b-c=2EF,

，EF〃BiC

又EG與EF相交,AC與BQ相交,

二.平面EFG〃平面ABC

10.【解析】若P與A,B,C共面，則存在惟一的實數(shù)對(x,y)使AP=xAB+yAC,于是

對平面ABC外一點0,有OP-OA二x(OB-OA)+y(OC-OA),

，OP=(1—x—y)OA+xOB+yOC,比較原式得

1—X—y=2,

x=-1,此方程組無解，這樣的x,v不存在，

y=T,

所以A,B,C,P四點不共面.

11.【解析】連接BD,BG.

VAB=PB-PA,AB=DC,

.,.DC=PB-PA,VPC=PD+DC,

/.PC=PD+PB-PA=-PA+PB+PD.

V—APH-PC,

HC23

.,.PH=-(-PA+PB+PD)

3

=--PA+-PB+-PD.

333

又AH=疝-PA,

.,.AH=--PA+-PB+-PD,

333

AH

.,.AG=m-AH=--PA+-PB+-PD,

333