《數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用》示范公開(kāi)課教學(xué)設(shè)計(jì)【高中數(shù)學(xué)人教A版】

環(huán)節(jié)二數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)

復(fù)習(xí)導(dǎo)入

問(wèn)題1:什么時(shí)候需要應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法？

答案：例如，要證明對(duì)任意的正整數(shù)〃，等式(〃-1)(〃+2)=〃2+〃—2恒成立，可以

直接利用多項(xiàng)式的乘法法則，左邊展開(kāi)，合并同類(lèi)項(xiàng)，就能得到右邊.這時(shí)，我們就不必

應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法了.再如，證明(1+工)”(〃wN*)的單調(diào)性，用數(shù)學(xué)歸納法就難以實(shí)現(xiàn).

n

例1下面這道題在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過(guò)程中，有沒(méi)有錯(cuò)誤？

求證：『+2?+…+〃2=_L〃(〃+D(2〃+I)(?€N,).

6

證明：假設(shè)當(dāng)〃=時(shí)，等式成立，即

12+22+---+^2=-^+1)(2^+1),則當(dāng)〃=%+1時(shí)，有

6

『+22+…+(&+1)2=4(左+1)[(&+1)+1[2伙+1)+1],所以當(dāng)〃=2+1時(shí)等式也成立.

6

由此得出，對(duì)任何〃eN*,等式都成立.

答案：證法有錯(cuò)誤.

追問(wèn)1：這道題需要證明〃=1的情況嗎？

答案：這道題需要證明"=1的情況.這個(gè)證法只有第二步，而缺少了第一步，沒(méi)有證

明〃=1的情況.第一步是后面遞推的出發(fā)點(diǎn)，沒(méi)有它，遞推就成為無(wú)源之水.所以，我們

應(yīng)該先考慮當(dāng)〃=1時(shí)該式是否成立.當(dāng)”=1時(shí)，該式的左邊=『=1.而右邊

11x9x3

=-xlx(l+l)x(2xl+l)=------=1.左邊等于右邊，所以〃=1時(shí)該式成立.

66

追問(wèn)2：上述證法如果加上證明〃=1的情況，還有錯(cuò)誤嗎？

答案：這個(gè)證法當(dāng)”=什1時(shí)，有F+2?+…+/+(%+1)2

(左+1)[供+1)+1][2(A+1)+1],直接把左給換成％+1.然后就說(shuō)當(dāng)"=%+1時(shí)也成立.而

6

把人換成才+1的前提是產(chǎn)+22+…+〃2=工”(〃+1)(2〃+1)當(dāng)〃=*+1時(shí)成立，這正是我們

要證明的結(jié)論，不能把它當(dāng)作己經(jīng)條件.

追問(wèn)3：如何修改上述證法？

答案：首先要明確目標(biāo)：我們是假設(shè)"斗時(shí)該式成立，并以此為條件證明*%+1時(shí)該

式也成立，從而證明命題的成立具有遞推性.所以，-+2?+…+左2+供+1)2

='(左+1)[供+1)+1][2/+1)+1]這個(gè)式子是需要我們證明的，是我們的目標(biāo).那該怎么

6

證明呢？我們一定要用上假設(shè).既然假設(shè)當(dāng)〃=左時(shí)該式成立，那么『+22+…+公

=-k(k+l)(2k+1)這個(gè)式子就成了已知條件.然后比較一下已知條件和要證明的式子，

6

等號(hào)左邊多了一個(gè)(后+1)2這一項(xiàng)，那不妨在式子兩邊同時(shí)加上(％+1-，就有

F+22+…+^+(%+1)2=_1燈火+1)(24+1)+/+1)2.再進(jìn)行化簡(jiǎn)，我們的目標(biāo)就達(dá)成

6

T.說(shuō)明〃4時(shí)該式成立能推出〃=上+1時(shí)該式也成立，加之后的任意性，我們由這兩個(gè)步

驟就可知：對(duì)任何〃wN*,等式都成立.

方法歸納

問(wèn)題2：怎樣正確地使用數(shù)學(xué)歸納法？

答案：首先，一定不要忘了驗(yàn)證第一步，我們稱這一步為歸納奠基，它為后續(xù)的證明

奠定了基礎(chǔ)，是必不可少的.其次，我們的第二步是在第一步基礎(chǔ)上證明命題的成立具有

遞推性，這實(shí)際上是以邏輯的推理代替了無(wú)限的驗(yàn)證過(guò)程.假設(shè)P(左)為真，要用上假

設(shè)，以此為已知條件，證明P(K1)也為真，要明確“用上假設(shè)，遞推才真”.

典例剖析

例2已知數(shù)列｛q)滿足q=0,2an+l-anan+i=1(neN*),試猜想數(shù)列｛a?｝的通

項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.

答案：這個(gè)數(shù)列，已知首項(xiàng)，又已知反映相鄰兩項(xiàng)關(guān)系的遞推公式.我們可以對(duì)這個(gè)

式子稍加變形，把提出來(lái)，化為a“M=」一(〃eN*),這樣我們就能清晰地看出

2-

后一項(xiàng)與前一項(xiàng)之間的關(guān)系.然后我們由4=0,可得a,=——=-.同理可得

'-2-02

—1^-=-3?%==1？=4?.歸納一下：每一項(xiàng)的分母就是該項(xiàng)

2二4s2一35

34

fl—1

的序號(hào)，分子比分母小1.故猜想為=生」（〃金N*）.

n

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想.第一步，當(dāng)〃=1時(shí)，該式左邊=q=0,右邊="

=0,猜想成立.第二步，假設(shè)〃=%（々eN*）時(shí)，該式成立，即q=三，這個(gè)式子就

可以作為已知條件，我們后面要用上它.而我們此時(shí)要證明n=k+\時(shí)也成立，即證明

JU,這是我們的目標(biāo).那么為與知之間有什么關(guān)系？根據(jù)遞推公式

Z+1

4+i=」一，把q=工二代入，得出一J，分子分母同時(shí)乘上上就得出3,

+l

*2-a,卜k2k-\k+i

一k

也就是出±D二！.這樣就證明了片人1時(shí)也成立.由這兩個(gè)步驟可知，猜想對(duì)任何〃eN*

k+l

都成立.這樣，我們就通過(guò)“觀察一一歸納——猜想一一證明”的過(guò)程解決了這一問(wèn)題.

例3：已知數(shù)列何20,<71=0,a：+i+?！?|-1求證：當(dāng)"GN*時(shí)，

答案：（1）由題意得，當(dāng)"=1時(shí)，a；+a,—1=0,因?yàn)閍20,所以a,=~~->即ai<

4〃2

〃2成立.（2）假設(shè)當(dāng)n=k（）時(shí)，0/以Va^\,所以

d+l~ak=（d+2+ak+2—1）—（。；+1+以+1—1）=（或+2—以+1）（以+2+以+1+1）>0,又

所以詼+2+。a1+1>0，所以像+1V或+2,即當(dāng)〃=攵+1時(shí)，a〃V〃〃+|也成立.

綜上可知，an<an+\對(duì)任意"￡N*都成立.

例4：用數(shù)學(xué)歸納法證明：l+L+l+…+-L<1+〃（〃GN*）.

232"2

思路點(diǎn)撥：分別確定當(dāng)〃=1,〃=怎〃=左+1時(shí)不等式的左邊的值，找到它們之間的關(guān)系,

運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證題.

證明（1）當(dāng)〃=1時(shí)，1+工=3①，不等式成立.

22

（2）假設(shè)當(dāng)”=后（無(wú)WN*）時(shí)，不等式成立,

即l+'+Ld—+」-這」+3貝！I當(dāng)n—k+1時(shí)

232*2

1+-+-+—+—+???+--!~-<-+k+2k--!-=-+（^+1）,即當(dāng)

232*2*+122+22*+2*22"2',

+1時(shí)，不等式成立.

由（1）和（2）可知，不等式對(duì)任意〃WN*都成立.

例5設(shè)x為正實(shí)數(shù)，〃為大于1的正整數(shù)，若數(shù)列I,1+x,(1+x)2,…，(l+x)"T,-

的前〃項(xiàng)和為S,,試比較S“與〃的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.這道題有哪些思

路？

答案：一種思路是不求和，直接通過(guò)〃取特殊值比較S“與〃的大小關(guān)系，并作出猜

想；另一種思路是先由等比數(shù)列的求和公式求出S“，再通過(guò)〃取特殊值比較S,與〃的大

小關(guān)系，然后做出猜想.

追問(wèn)1：該如何解決這道題？

答案：我們不求和，由已知可得S“=l+(l+x)+(l+x)2+…+(l+x)"，然后我們通

過(guò)"取特殊值比較S“與”的大小關(guān)系.當(dāng)"=2時(shí)，S?=l+(l+x)=2+x,而此時(shí)"=2,

那就是要比較2+x與2的大小.這取決于x的正負(fù).而題目中說(shuō)了x為正實(shí)數(shù)，所以可得

22

S2>2.當(dāng)〃=3時(shí)，S3=l+(l+x)+(l+x)=3+3x+x.同樣，因?yàn)閤>0,所以3x+x)

這一部分是大于0的，那自然就有S3>3.由此，我們猜想">〃，這在是x為正實(shí)數(shù)

(xeR*),”為大于1的正整數(shù)的前提下(〃eN*且〃>1).

下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想.首先，我們這里的〃是大于1的正整數(shù)，最小是

2.所以第一步應(yīng)證明n=2時(shí)命題成立.而n=2的情況我們前面己經(jīng)算過(guò)了，不等式是成立

的.然后是第二步，假設(shè)片上時(shí)不等式成立.因?yàn)椤ㄗ钚∫驳檬?,所以無(wú)應(yīng)該是22的正整

數(shù).那么我們就有這個(gè)式子就可以作為已知條件使用了.然后，我們必須明確一下

證明的目標(biāo)，就是要證明片人1時(shí)不等式成立，即&用>%+1,那我們接下來(lái)就要尋求臬

與&用之間的關(guān)系。不難發(fā)現(xiàn)，S*+1=S*+(l+x)?,而&>左，所以S*M>Z+(l+x)。

而我們要證明的是既+|>女+1,如果有(l+x?>1就可以了.因?yàn)閤>0,所以1+%>1,而后

又是大于等于2的正整數(shù)，所以1+x的k次塞一定是大于1的.這就說(shuō)明當(dāng)n=k+\時(shí)不等

式也成立.綜合以上兩步，就證明了S“>〃對(duì)任何大于1的正整數(shù)〃都成立.

追問(wèn)2：這道題還有其他解法嗎？

答案：實(shí)際上這個(gè)數(shù)列是一個(gè)以1為首項(xiàng)，以1+x為公比的等比數(shù)列，我們可以先把前

〃項(xiàng)和給求出來(lái)，s“=]x[l_(l+x)”.〕=(l+x)”_l.我們接下來(lái)通過(guò)〃取幾個(gè)特殊值來(lái)比

l-(l+x)x

較S“與”的大小關(guān)系.當(dāng)〃=2時(shí)，S,=(1+X)2T=%+2,因?yàn)閤為正實(shí)數(shù)，所以可得

X

1+2

5,>2.當(dāng)〃=3時(shí)，S3=--=X+3%+3.因?yàn)閄>0,所以S3>3.由此，我們猜

X

想Sn>n.

下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想.第一步，應(yīng)證明片2時(shí)命題成立.而〃=2的情

況我們前面已經(jīng)算過(guò)了，不等式是成立的.然后是第二步，假設(shè)片人時(shí)不等式成立，那么

我們就有Sk>k,即(""7>k這個(gè)式子就可以作為已知條件使用T-而我們的目標(biāo)