2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(文)真題含解析

2023年高考數(shù)學(xué)全國甲卷(文)滿分150分考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題1.設(shè)全集U=1,2,3,4,5，集合，則（）A.2,3,5 B.1,3,4 C.1,2,4,5 D.2,3,4,52.（）A. B.1 C.1?i D.1+i3.已知向量，則cosa+b,A.117 B.1717 C.554.某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率為（）A.16 B. C.12 D.5.記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和．若，則S5=A.25 B.22 C.20 D.156.執(zhí)行下邊的程序框圖，則輸出的B=（）A.21 B.34 C.55 D.897.設(shè)F1,F2為橢圓C:x25+y2=1A.1 B.2 C.4 D.58.曲線y=exx+1在點(diǎn)1,A. B. C. D.9.已知雙曲線的離心率為5，其中一條漸近線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|=（）A55 B.255 C.3510.在三棱錐P?ABC中，△ABC是邊長為2等邊三角形，，則該棱錐的體積為（）A.1 B. C.2 D.311.已知函數(shù)．記，則（）A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b12.函數(shù)的圖象由y=cos2x+π6的圖象向左平移π6個(gè)單位長度得到，則的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題13.記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和．若，則an的公比為14.若fx=(x?1)215.若x，y滿足約束條件3x?2y≤3,?2x+3y≤3x+y≥1,，則z=3x+2y的最大值為16.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，為A三、解答題17.記△ABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為a,b,c，已知．（1）求bc；（2）若，求△ABC面積．18.如圖，在三棱柱ABC?A1B1C（1）證明：平面ACC1A（2）設(shè)，求四棱錐A1?B19.一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）．試驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?5.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）計(jì)算試驗(yàn)組的樣本平均數(shù)；（2）（ⅰ）求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表<m≥m對(duì)照組試驗(yàn)組（ⅱ）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？附：K2P0.1000.0500.010k27063.8416.63520已知函數(shù)fx=ax?（1）當(dāng)a=1時(shí)，討論fx（2）若，求a的取值范圍．21.已知直線x?2y+1=0與拋物線C:y2=2px(p>0)交于A,B（1）求；（2）設(shè)F為C焦點(diǎn)，M,N為C上兩點(diǎn)，且FM?FN=0，求（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22.已知點(diǎn)P2,1，直線l:x=2+tcosα,y=1+tsinα（t為參數(shù)），α為l的傾斜角，l與（1）求α；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求l的極坐標(biāo)方程．[選修4-5：不等式選講]（10分）23.已知．（1）求不等式fx（2）若曲線與x軸所圍成的圖形的面積為2，求a2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(文)滿分150分考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。選擇題1.設(shè)全集U=1,2,3,4,5，集合，則（）A.2,3,5 B.1,3,4 C.1,2,4,5 D.2,3,4,5【答案】A【解析】因?yàn)槿疷={1,2,3,4,5}，集合M={1,4}，所以?U又N={2,5}，所以N∪?2.（）A. B.1 C.1-i D.1+i【答案】C【解析】51+i33.已知向量，則cosa+b,A.117 B.1717 C.55【答案】B【解析】因?yàn)閍=(3,1),b=(2,2)則a+b=所以cosa+b4.某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率為（）A.16 B. C.12 D.【答案】D【解析】依題意，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有C4其中這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的基本事件有C2所以這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率為46=25.記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和．若，則S5=A.25 B.22 C.20 D.15【答案】C【解析】方法一：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，首項(xiàng)為aa2+a又a4a8所以S5方法二：a2+a6=2a4從而d=a8-所以S5故選：C.6.執(zhí)行下邊的程序框圖，則輸出的B=（）A.21 B.34 C.55 D.89【答案】B【解析】當(dāng)k=1時(shí)，判斷框條件滿足，第一次執(zhí)行循環(huán)體，A=1+2=3，B=3+2=5，k=1+1=2；當(dāng)k=2時(shí)，判斷框條件滿足，第二次執(zhí)行循環(huán)體，A=3+5=8，B=8+5=13，k=2+1=3；當(dāng)k=3時(shí)，判斷框條件滿足，第三次執(zhí)行循環(huán)體，A=8+13=21，B=21+13=34，k=3+1=4；當(dāng)k=4時(shí)，判斷框條件不滿足，跳出循環(huán)體，輸出B=34．故選：B.7.設(shè)F1,F2為橢圓C:x25+y2=1A.1 B.2 C.4 D.5【答案】B【解析】方法一：因?yàn)镻F1?從而S△FP1故選：B.方法二：因?yàn)镻F1?PF所以PF12PF12故選：B.8.曲線y=exx+1在點(diǎn)1,A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)曲線y=exx+1在點(diǎn)1,因?yàn)閥=exx+1所以k=y'|所以曲線y=exx+1在點(diǎn)1,故選：C9.已知雙曲線的離心率為5，其中一條漸近線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|=（）A.55 B.255 C.3【答案】D【解析】由e=5，則c2a所以雙曲線的一條漸近線不妨取y=2x，則圓心(2,3)到漸近線的距離d=|2×2-3|所以弦長|AB|=2r故選：D10.在三棱錐P-ABC中，△ABC是邊長為2等邊三角形，，則該棱錐的體積為（）A.1 B. C.2 D.3【答案】A【解析】取AB中點(diǎn)E，連接PE,CE，如圖，∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA=PB=2，∴PE⊥AB,CE⊥AB，又PE,CE?平面PEC，PE∩CE=E，∴AB⊥平面PEC，又PE=CE=2×32=故PC2=P所以V=VB-PEC11.已知函數(shù)．記，則（）A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b【答案】A【解析】令g(x)=-(x-1)2，則g(x)開口向下，對(duì)稱軸為因?yàn)?2-1-1-所以62-1-由二次函數(shù)性質(zhì)知g(6因?yàn)?2-1-1-即62-1<1-22，所以又y=ex為增函數(shù)，故a<c<b，即b>c>a.12.函數(shù)的圖象由y=cos2x+π6的圖象向左平移π6個(gè)單位長度得到，則的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因?yàn)閥=cos2x+π6向左平移π6而顯然過0,-12與1,0兩點(diǎn)，作出fx與考慮2x=-3π2,2x=3π2,2x=7π當(dāng)x=-3π4時(shí)，f-當(dāng)x=3π4時(shí)，f3π當(dāng)x=7π4時(shí)，f7π所以由圖可知，fx與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.故選：C.填空題13.記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和．若，則an的公比為【答案】-【解析】若q=1，則由得8?6a1=7?3a1所以q≠1.當(dāng)q≠1時(shí)，因?yàn)?，所??即8?1-q6=7?1-解得q=-12.14.若fx=(x-1)2【答案】2【解析】∵f且函數(shù)為偶函數(shù)，∴a-2=0，解得a=2，故答案為：215.若x，y滿足約束條件3x-2y≤3,-2x+3y≤3x+y≥1,，則z=3x+2y的最大值為【答案】15【解析】作出可行域，如圖，由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)y=-32x+z2由-2x+3y=33x-2y=3可得x=3y=3，即,所以z故答案為：1516.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，為A【答案】[2【解析】設(shè)球的半徑為.當(dāng)球是正方體的外接球時(shí)，恰好經(jīng)過正方體的每個(gè)頂點(diǎn)，所求的球的半徑最大，若半徑變得更大，球會(huì)包含正方體，導(dǎo)致球面和棱沒有交點(diǎn)，正方體的外接球直徑2R'為體對(duì)角線長AC1=分別取側(cè)棱AA1,BB1,CC1,DD1連接MG，則MG=42，當(dāng)球的一個(gè)大圓恰好是四邊形MNGH的外接圓，球的半徑達(dá)到最小，即的最小值為22.綜上，R故答案為：[2解答題17.記△ABC內(nèi)角的對(duì)邊分別為a,b,c，已知．（1）求bc；（2）若，求△ABC面積．【答案】（1）1（2）【解析】【1】因?yàn)閍2=b2+【2】由正弦定理可得a=sin變形可得：sinA-B-sin而0<sinB≤1，所以cosA=-故△ABC的面積為．18.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C（1）證明：平面ACC1A（2）設(shè)，求四棱錐A1-B【答案】（1）證明見解析.（2）1【解析】【1】證明：因?yàn)锳1C⊥平面ABC，BC?平面所以A1C⊥BC,又因?yàn)椤螦CB=90A1C,AC?平面ACC1A1，A又因?yàn)锽C?平面BCC1B1,所以平面【2】如圖，過點(diǎn)A1作A1O⊥C因?yàn)槠矫鍭CC1A1⊥平面BCC1B1所以A1O⊥平面BCC1B因?yàn)锳1C⊥平面ABC，AC,BC?平面ABC,所以A1又因?yàn)锳1B=AB，BC為公共邊，所以△ABC與△A設(shè)A1C=AC=x，則A1C1=x，所以又因?yàn)锳1C⊥AC,所以A1C2+A所以A1所以四棱錐A1-BB19.一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）．試驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?5.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）計(jì)算試驗(yàn)組的樣本平均數(shù)；（2）（ⅰ）求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表<m≥m對(duì)照組試驗(yàn)組（ⅱ）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？附：K2P0.1000.0500.010k2.7063.8416.635【答案】（1）（2）（i）m=23.4；列聯(lián)表見解析，（ii）能【解析】【1】試驗(yàn)組樣本平均數(shù)為：1+21.6+22.8+23.6+23.9+25.1+28.2+32.3+36.5)=【2】（i）依題意，可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由原數(shù)據(jù)可得第11位數(shù)據(jù)為18.8，后續(xù)依次為19.2,19.8,20.2,20.2,21.3,21.6,22.5,22.8,23.2,23.6,?故第20位23.2，第21位數(shù)據(jù)為23.6，所以m=23.2+23.6故列聯(lián)表為：<m≥m合計(jì)對(duì)照組61420試驗(yàn)組14620合計(jì)202040（ii）由（i）可得，K2所以能有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異.20.已知函數(shù)fx（1）當(dāng)a=1時(shí)，討論fx（2）若，求a的取值范圍．【答案】（1）fx在0,π2【解析】【1】因?yàn)閍=1，所以，則，令t=cosx，由于x∈0,所以cos3因?yàn)閠2+2t+2=t+12+1>0所以在0,π2所以fx在0,π【2】法一：構(gòu)建，則，若gx=fx則g'0=a-1+1=a≤0當(dāng)a=0時(shí)，因?yàn)?，又x∈0,π2，所以0<sinx所以，滿足題意；當(dāng)a<0時(shí)，由于0<x<π2，顯然所以，滿足題意；綜上所述：若，等價(jià)于a≤0，所以a的取值范圍為-∞,0.法二：因?yàn)?，因?yàn)閤∈0,π2，所以0<故在0,π2所以當(dāng)a=0時(shí)，，滿足題意；當(dāng)a<0時(shí)，由于0<x<π2，顯然所以，滿足題意；當(dāng)a>0時(shí)，因?yàn)?，令，則，注意到，若?0<x<π2，g'x>0注意到g0=0，所以gx若?0<x0<π2所以在0,π2上最靠近x=0處必存在零點(diǎn)x1此時(shí)g'x0,x1上有g(shù)'x則在0,x1上有g(shù)x綜上：a≤0.21.已知直線x-2y+1=0與拋物線C:y2=2px(p>0)交于A,B（1）求；（2）設(shè)F為C的焦點(diǎn)，M,N為C上兩點(diǎn)，且FM?FN=0【答案】（1）p=2（2）12-8【解析】【1】設(shè)Ax由x-2y+1=0y2=