2016文科數(shù)學(xué)高考真題全國卷Ⅱ試卷及答案

2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試【陜西省】

文科數(shù)學(xué)

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號

填寫在本試卷和答題卡相應(yīng)位置上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號框涂黑，如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號框。寫在本試卷上無效。

3.答第II卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束，將試題卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題：本題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合A={1,2,3},B={x|X2<9},則AnB=(

A.{-2,-1,0,1,2,3}B.{-2,-1,0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2}

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+i=3-i,則2=()

A.-l+2iB.l-2iC.3+2iD.3-2i

3.函數(shù)y=Asin(sx+0)的部分圖象如圖所示，貝!]()

T

A.y=2sinV67B.y=2sinX3/

(%+-)

C.y=2sinV67D.y=2sinV

4.體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）

1

32

3

A.12JiB.JiC.8兀D.4兀

5.設(shè)F為拋物線C:y」4x的焦點，曲線y='(k>0)與C交于點P,PF，x軸，則k=()

13

A.2B.1C.2D.2

6.圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=()

3

A.-3B.UC.巡D.2

7.下圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()

A.20兀B.24兀C.28兀D.32兀

8.某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn),紅燈持續(xù)時間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈,

則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()

733

A.元8

B.c.aD.10

9.中國古代有計算多項式值的泰九韶算法,下圖是實現(xiàn)該算法的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖，若輸入的

x=2,n=2,依次輸入的a為2,2,5,則輸出的s=()

/輸曲/

2

A.7B.12C.17D.34

10.下列函數(shù)中,其定義域和值域分別與函數(shù)尸10好的定義域和值域相同的是()

1

A.y=xB.y=lgxC.y=2xD.y=1

11.函數(shù)f(x)二cos2x+6cogs-*x)’的最大值為()

A.4B.5C.6D.7

12.已知函數(shù)f(x)(xGR)滿足f(x)=f(2-x),若函數(shù)y=，-2x-3|與y=f(x)圖象的交點為

SXj

(xi,yi),(x2,y2),(xm,ym)，則匚】=()

A.0B.mC.2mD.4m

第n卷(非選擇題，共90分)

本卷包括必考題和選考題兩部分.第13~21題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22~24題為選考題,

考生根據(jù)要求作答.

二、填空題:本題共4小題,每小題5分.

13.已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且aIIb,貝！|m=.

x-y+1.0,

■x+y-3>0,

14.若x,y滿足約束條件Q-3W0,則z=x.2y的最小值為.

45_

15.AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cosA=*,cosC=13,a=l,則b=.

16.有三張卡片,分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙,丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說:“我與乙

的卡片上相同的數(shù)字不是2",乙看了丙的卡片后說:“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1",丙說:“我的卡片上

的數(shù)字之和不是5”,則甲的卡片上的數(shù)字是.

三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本小題滿分12分)

3

婁攵列｛a.｝中，a3+ad=4,a§+a7=6.

(I)求｛aj的通項公式；

(II)設(shè)b?=[an],求數(shù)列瓜｝的前10項和,其中[x]表示不超過X的最大整數(shù),如[0.9]=0,[2.6]=2.

18.(本小題滿分12分)

某險種的基本保費為a(單位:元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費與其上年度出

險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：

上年度出險次數(shù)01234>5

保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況,得到如下統(tǒng)計表:

出險次數(shù)01234>5

頻數(shù)605030302010

(I)記A為事件:"一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費求P(A)的估計值；

(II)記B為事件:“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”.求P(B)的估計值;

(III)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值.

4

19.(本小題滿分12分)

如圖,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點0,點E,F分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點H.將4DEF沿EF

折到△D'EF的位置.

(I)證明:AC_LHD';

(II)若AB=5,AC=6,AE=10D'=2應(yīng),求五棱錐D'-ABCFE的體積.

20.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).

⑴當(dāng)a=4時,求曲線y=f(x)在(1,f⑴)處的切線方程;

(II)若當(dāng)x￡(1,+8)時，f(x)>0,求a的取值范圍.

5

21.（本小題滿分12分）

已知A是橢圓E:4+3=l的左頂點,斜率為k（k〉0）的直線交E于A,M兩點點N在E上,MA±NA.

（I）當(dāng)山|=|煦|時,求小AMN的面積；

（H）當(dāng)21AMi=|AN|時,證明:?<k<2.

請考生在第22~24題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分.

22.（本小題滿分10分）選修4-1:幾何證明選講

如圖,在正方形ABCD中,E,G分別在邊DA,DC上（不與端點重合），且DE=DG,過D點作DF±CE,垂足為F.

（I）證明:B,C,G,F四點共圓；

（II）若AB=1,E為DA的中點,求四邊形BCGF的面積.

23.（本小題滿分10分）選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

6

在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x+6)2+y2=25.

(D以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求C的極坐標(biāo)方程；

(X=tcosa,

(II)直線1的參數(shù)方程是“=tSina(t為參數(shù))，1與C交于A,B兩點，|AB|求1的斜率.

24.(本小題滿分10分)選修4—5:不等式選講

|x-i|卜+:

已知函數(shù)f(x)」2l+'21”為不等式￡&)〈2的解集.

⑴求M;

(II)證明:當(dāng)a,b￡M時，|a+b|<11+ab|.

7

2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

文科數(shù)學(xué)答案

第I卷

一.選擇題

(1)【答案】D(2)【答案】C⑶【答案】A⑷【答案】A

⑸【答案】D(6)【答案】A⑺【答案】C(8)【答案】B

⑼【答案】C(10)【答案】D(11)【答案】B(12)【答案】B

填空題

21

(13)【答案】-6(14)【答案】-5(15)【答案】(16)【答案】1和3

13

解答題

(17)(本小題滿分12分)

【答案1(1)a=---------；(II)24.

"5

【解析】

試題分析：(I)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求生,d,從而求得a“；(II)根據(jù)已知條件求勿，再求數(shù)列｛4｝的

前10項和.

2

試題解析：(I)設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,學(xué).科網(wǎng)由題意有2%—5d=4,%—5d=3,解得q=l,d=w，

所以｛%｝的通項公式為

2〃+3

(II)由(I)知么=

5

當(dāng)n=l,2,3時，1〈至土3<2/=1；

5

當(dāng)n=4,5時，2〈出3<3,2=2；

5

8

2〃+3

當(dāng)n=6,7,8時,3<<4也=3；

5

2n+3

當(dāng)n=9,10時，4<<5也=4,

5

所以數(shù)歹!!{2}的前10項和為1x3+2x2+3x3+4x2=24.

考點：等茶數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列的求和.

【結(jié)束】

（18）（本小題滿分12分）

【答案】（I）由奧葉竺求P（A）的估計值；（II）由亞土型求P（B）的估計值；（III）根據(jù)平均值得計算公

200200

式求解.

【解析】

試題分析:

試題解析：（I）事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)險次數(shù)小于2的頻率為

嚼0m.

故P（A）的估計值為0.55.

（II）事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4.由是給數(shù)據(jù)知，學(xué).科網(wǎng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1

且小于4的頻率為30+30=0.3,

200

故P（B）的估計值為0.3.

（III）由題所求分布列為:

保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

頻率0.300.250.150.150.100.05

調(diào)查200名續(xù)保人的平均保費為

0.85ax0.30+?x0.25+1.25ax0.15+1.5ax0.15+1.75?x0.30+2ax0.10=1.1925a,

因此，續(xù)保人本年度平均保費估計值為1.19250.

考點：樣本的頻率、平均值的計算.

【結(jié)束】

（19）（本小題滿分12分）

69

【答案】（I）詳見解析；（II）不

【解析】

9

試題分析：(I)證AC//EE再證AC//HD'.(II)證明OD'_LOH.再證OD'，平面ABC最后呢五棱

錐￡>'—ABCEF體積.

試題解析：(I)由已知得，AC±BD,AD^CD.

ApCF

又由AE=C/得￡二=匕,故ACIIEF.

ADCD

由此得"，印),即，加'，所以AC//HEJ

CHAE1

(II)由EF//AC得空

DOAD-4

由AB=5,AC=6得￡)0=50=JAB?—A。？=4.

所以O(shè)H=1,07/=OH=3.

于是OD"+OH?=(2y/2)2+l2=9=D'H2,故OD上OH.

由⑴知ACLHD',又ACLBD,BDHD'=H,

所以AC，平面BHD；于是AC±OD'.

又由O。'，077,ACOH=O,所以，OD'_L平面ABC

FFDH9

又由￡￡="得EP='.

ACDO2

11969

五邊形ABCEE的面積S=—x6x8——x-x3=—.

2224

所以五棱錐DABCEF體積V=工x竺x2行=生旦.

342

考點：空間中的線面關(guān)系判斷，幾何體的體積.

【結(jié)束】

(20)(本小題滿分12分)

【答案】(I)2x+y—2=0.；(II)(-00,2]..

【解析】

試題分析：(I)先求定義域，再求/'(x),/⑴，/⑴，由直線方程得點斜式可求曲線y=/(x)在(1,/⑴)

處的切線方程為2x+y-2=0.(II)構(gòu)造新函數(shù)g(x)=lnx_a(x1),學(xué).科網(wǎng)對實數(shù)。分類討論，用導(dǎo)

x+1

數(shù)法求解.

10

試題解析：(l)/(%)的定義域為(0,+8).當(dāng)。=4時，

/(x)=(^+l)lnx-4(x-l),/,(x)=lnx+--3,f'(l)=-2,/(I)=0.曲線y=/(x)在(1,/(I))處的

X

切線方程為2x+y—2=0.

(II)當(dāng)xe(l,+oo)時，/(x)>0等價于lnx-色^~—>0.

x+1

令g(x)=InX-~,貝I]

x+1

，/、12ax2+2(l-o)x+l

g(%)=一一7一KT=----；—不——，g⑴=0，

X(%+1)x(x+1)

(i)當(dāng)aW2,xe(l,+oo)時，x2+2(1-d)x+1>X2-2X+1>0,故g'(x)>0,g(x)在xe(l,+8)上單

調(diào)遞增，因此g(x)>0；

(ii)當(dāng)a>2時，令g'(x)=0得

/=a-1-J(a1+J(a-1/-1，

由〉1和占%2=1得占<1，故當(dāng)xe。,％)時，g'(x)<0,g(x)在xe。,％)單調(diào)遞減，學(xué).科網(wǎng)因此

g(x)<0.

綜上，a的取值范圍是(TO,2].

考點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的單調(diào)性.

【結(jié)束】

(21)(本小題滿分12分)

【答案】(I)黑；(II)(次，2).

【解析】

試題分析：(I)先求直線40的方程，再求點M的縱坐標(biāo)，最后求AAMN的面積；(II)設(shè)"(%,%),,

將直線AM的方程與橢圓方程組成方程組，消去y,用左表示X],從而表示|AM|,同理用上表示|AN|,

再由2|40|=|AN|求h

試題解析：(I)設(shè)〃(七,%),則由題意知%>0.

11

IT

由已知及橢圓的對稱性知，直線AM的傾斜角為一,

4

又4(—2,0),因此直線A"的方程為y=x+2.

將工=y—2代入?+5=1得7/一i2y=0,

1212

解得〉=0或、=亍，所以弘=亍.

1I?12144

因此A4MN的面積SIMZX—x—x—二——.

AAMN27749

22

(2)將直線AM的方程y=k(x+2)(左＞0)代入?+=1得

2

(3+4k2)x+16k~x+16左2—12=0.

16^-12

由x/(—2)=得m二2：二故|AM|=FF|X|+2|=1妻J

3+442

由題設(shè)，直線AN的方程為丁=—L(X+2),故同理可得|AN|=12、l：f2.

2k

由21AMl=|AN|得-------=-------,即4/—6左2+3左一8=0.

3+4左-4+3左一

設(shè)/⑴=4/—6?+3”8,則左是/⑺的零點，/?)=12?-12/+3=3(2/-1)2)0,

所以/⑺在(0,+oo)單調(diào)遞增，又/(^)=15^-26<0,/(2)=6>0,

因此/⑺在(0,+8)有唯一的零點，且零點左在(6,2)內(nèi)，所以者<上<2.

考點：橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系.

【結(jié)束】

請考生在22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，做答時請寫清題號

(22)(本小題滿分10分)選修4-1：幾何證明選講

【答案】(I)詳見解析；(H)

2

【解析】

試題分析：(I)證ADGE~AC5F,再證氏C,G,歹四點共圓；(II)證明HfABCG~HfABbG,四邊形

BCGF的面積S是AGCB面積SAGCB的2倍.

12

試題解析：(I)因為DF工EC,所以ADEF?ACDF,

T-XJ-lT-AT-l

則有ZGDF=/DEF=ZFCB,—=—=—,

CFCDCB

所以ADGF~ACBF,由此可得ZDGF=ZCBF,

由此NCGP+NC3F=180°,所以B,C,G,歹四點共圓.

(II)由5C,G,尸四點共圓，CGLCB知產(chǎn)GLEB,連結(jié)GB,

由G為RtADFC斜邊CD的中點，知GF=GC,故RtABCG?RtABFG,

因此四邊形5CG/的面積S是AGCB面積SAGCB的2倍，即

S=25AGCB=2x—x—xl=—.

考點：三角形相似、全等，四點共圓

【結(jié)束】

（23）（本小題滿分10分）選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

【答案】（I）夕2+12QCOS8+11=0；（II）土萼.

【解析】

試題分析：（I）利用夕2=必+/，x=〃cos?？傻肅的極坐標(biāo)方程；（II）先將直線/的參數(shù)方程化為普通

方程，學(xué).科網(wǎng)再利用弦長公式可得/的斜率.

試題解析：（I）由％=夕以%。,丁=/?sin。可得。的極坐標(biāo)方程夕2+I2pcos6+ll=0.

（II）在（I）中建立的極坐標(biāo)系中，直線/的極坐標(biāo)方程為夕=2（夕￡尺）

由A5所對應(yīng)的極徑分別為8,外，將/的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得

13

p1+12/7COS+11=0.

于是Pi+Q2=-12cosa,PiR=11,

IAB|=|P\_p21=J（夕］+夕2）2_4夕10=V144COS2?-44,

由|AB|=V10得COS?a=3,tana=，

83

所以/的斜率為邊5或-"5.

33

考點：圓的極坐標(biāo)方程與普通方程互化，直線的參數(shù)方程，點到直線的距離公式.

【結(jié)束】

(24)(本小題滿分10分)選修4—5:不等式選講

【答案】(I)M={x|-l<x<l};(II)詳見解析.

【解析】

試題分析：(I)先去掉絕對值，再分x<-工，-〈工和三種情況解不等式，即可得M；(II)

2222

采用平方作差法，再進行因式分解，進而可證當(dāng)a,時，卜+4<|1+而>

試題解析:⑴

當(dāng)％W時，由/(%)<2得一2%<2,解得光>一1；

當(dāng)一]<九</時，f(犬)v2；

當(dāng)時，學(xué).科網(wǎng)由/(x)<2得2x<2,解得X<1.

所以/(x)<2的解集M={x[—l<x<l}.

(II)由(I)知，當(dāng)時，-1<。<1,一1vZ?<1,從而

14

(a+b)2-(1+ab)2=〃+/—02b2-1=(a2-1)(1-Z?2)<0,

因止匕|a+b|<|l+ab|.

考點：絕對值不等式，不等式的證明.

【結(jié)束】

一、選擇題

1.D由已知得B={xl-3<x<3},0=也2,3},.?.AcB={L2}v故選D.

2.Cz=3-2i,所以2=3+2i,故選C.

三3（一三）二（二2）

3.A由題圖可知A=2,2=3」則1",所以3=2,則y=2sin（2x+6）,因為題圖經(jīng)過點'所以

（2x-+（p）勺II

2sin'3=2,所以+小=2kn+,kGZ,即<t>=2kn-,k￡Z,當(dāng)k=0時，小所以y=2sin'6，故選A.

4.A設(shè)正方體的棱長為a,則a3=8,解得a=2.

設(shè)球的半徑為R,則2R=ba,即R=V3,所以球的表面積S=4"R2=12n.故選A.

ii

5.D由題意得點P的坐標(biāo)為（1,2）.把點P的坐標(biāo)代入y="（k〉O）得k=lX2=2,故選D.

4

6.A由圓的方程可知圓心為（1,4）.由點到直線的距離公式可得''再1=1,解得a=/，故選A.

易錯警示圓心的坐標(biāo)容易誤寫為（-1,-4）或⑵8）.

7.C由三視圖知圓錐的高為2臼,底面半徑為2,則圓錐的母線長為4,所以圓錐的側(cè)面積為2x4mX4=8JI.

圓柱的底面積為4n,

圓柱的側(cè)面積為4X4"=16Ji,從而該幾何體的表面積為8Ji+16Ji+4Ji=28"，故選C.

8.B行人在紅燈亮起的25秒內(nèi)到達該路口，即滿足至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈,根據(jù)幾何概型的概率公

255

式知所求事件的概率P="=',故選B.

9.C執(zhí)行程序框圖,輸入a為2時,s=OX2+2=2,k=l,此時k>2不成立;再輸入a為2時,s=2X2+2=6,k=2,此

15

時k>2不成立;再輸入a為5,s=6X2+5=17,k=3,此時k>2成立,結(jié)束循環(huán),輸出s為17,故選C.

s

10.D函數(shù)y=101x的定義域、值域均為(0,+8),而y=x,y=2'的定義域均為R,排除A,C;y=lgx的值域為R,

排