2015年湖北省荊州市中考數(shù)學(xué)試卷（含解析版）

2015年湖北省荊州市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題只有唯一正確答案，每小題3分，共30

分）

1.-2的相反數(shù)是（）

A.2B.-2C.1D.-1

22

2.如圖，直線h〃12,直線b與11，12分別交于A,B兩點,若Nl=70。，則N2=

（）

A.70°B.80°C.110°D.120°

3.下列運算正確的是（）

A.y=±2B.x2?x3=x6C.V3+A/2=V5D.（X2）3=X6

4.將拋物線y=x2-2x+3向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度后，

得到的拋物線的解析式為（）

A.y=（x-1）2+4B.y=（x-4）2+4C.y=（x+2）2+6D.y=（x-4）2+6

5.如圖，A,B,C是。O上三點，ZACB=25°,則NBAO的度數(shù)是（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

6.如圖，點P在AABC的邊AC上，要判斷AABPsZiACB,添加一個條件,

不正確的是（）

A.ZABP=ZCB.ZAPB=ZABCC.里空D.奧空

ABACBPCB

7.若關(guān)于x的分式方程巴二1=2的解為非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是（）

X-1

A.m>-IB.m>lC.m>一1且m^lD.m>一1且m^l

8.如圖所示，將正方形紙片三次對折后，沿圖中AB線剪掉一個等腰直角三角

形，展開鋪平得到的圖形是()

9.如圖，正方形ABCD的邊長為3cm,動點P從B點出發(fā)以3cm/s的速度沿著

邊BC-CD-DA運動，到達(dá)A點停止運動；另一動點Q同時從B點出發(fā)，以

lcm/s的速度沿著邊BA向A點運動，到達(dá)A點停止運動.設(shè)P點運動時間為x

(s),ZkBPQ的面積為y(cm2),則y關(guān)于x的函數(shù)圖象是()

10.把所有正奇數(shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組：(1),(3,5,7),(9,

11,13,15,17),(19,21,23,25,27,29,31),...?現(xiàn)有等式Am=(i,

j)表示正奇數(shù)m是第i組第j個數(shù)(從左往右數(shù))，如A7=(2,3),則A2oi5=

()

A.(31,50)B.(32,47)C.(33,46)D.(34,42)

二、填空題(本大題共8小題，每小題3分，共24分)

11.計算：79-2-1+3^-|-2|+(-1)。=.

3

12.分解因式：ab2-ac2=.

13.如圖，AABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交邊AB于D點，交邊AC于

E點，若4ABC與aEBC的周長分別是40cm,24cm,貝I]AB=cm.

Dt

Bc

14.若m,n是方程x2+x-1=0的兩個實數(shù)根，則m2+2m+n的值為.

15.如圖，小明在一塊平地上測山高，先在B處測得山頂A的仰角為30。，然后

向山腳直行100米到達(dá)C處，再測得山頂A的仰角為45。，那么山高AD為—

米（結(jié)果保留整數(shù)，測角儀忽略不計，72=1.414,灰，1.732）

16.如圖，矩形ABCD中，OA在x軸上，OC在y軸上，且OA=2,AB=5,把

△ABC沿著AC對折得至U^ABC,AB，交y軸于D點，貝UB'

點的坐標(biāo)為___________.

17.如圖，將一張邊長為6cm的正方形紙片按虛線裁剪后，恰好圍成底面是正

六邊形的棱柱，則這個六棱柱的側(cè)面積為cm2.

18.如圖，OA在x軸上，OB在y軸上，OA=8,AB=10,點C在邊OA上，AC=2,

OP的圓心P在線段BC上，且。P與邊AB.AO都相切.若反比例函數(shù)y=KkM）

X

的圖象經(jīng)過圓心P,則卜=

B

三、解答題（本大題共7小題，共66分）

'3x-2y=-1(D

19.（7分）解方程組：、.

.x+3尸7②

20.（8分）某校八年級（1）班語文楊老師為了了解學(xué)生漢字聽寫能力情況，

對班上一個組學(xué)生的漢字聽寫成績按A,B,C,D四個等級進(jìn)行了統(tǒng)計，并繪

制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：

該組各等級的人數(shù)

條形統(tǒng)計圖

該組各等級人數(shù)占

該組總?cè)藬?shù)的百分

（1）求D等級所對扇形的圓心角，并將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；

（2）該組達(dá)到A等級的同學(xué)中只有1位男同學(xué)，楊老師打算從該組達(dá)到A等級

的同學(xué)中隨機(jī)選出2位同學(xué)在全班介紹經(jīng)驗，請用列表法或畫樹狀圖的方法，求

出所選兩位同學(xué)恰好是1位男同學(xué)和1位女同學(xué)的概率.

21.（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點，直線AB分別與x軸、y

軸交于B和A,與反比例函數(shù)的圖象交于C、D,CE±x軸于點E,tanNABO」,

2

OB=4,OE=2.

（1）求直線AB和反比例函數(shù)的解析式；

（2）求ZkOCD的面積.

22.（9分）如圖1,在正方形ABCD中，P是對角線BD上的一點，點E在AD

的延長線上，且PA=PE,PE交CD于F.

（1）證明：PC=PE；

（2）求NCPE的度數(shù)；

（3）如圖2,把正方形ABCD改為菱形ABCD,其他條件不變，當(dāng)NABC=120。

時，連接CE,試探究線段AP與線段CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

23.(10分)荊州素有“魚米之鄉(xiāng)"的美稱，某漁業(yè)公司組織20輛汽車裝運鯉魚、

草魚、青魚共120噸去外地銷售，按計劃20輛汽車都要裝運，每輛汽車只能裝

運同一種魚，且必須裝滿，根據(jù)下表提供的信息，解答以下問題：

鯉魚草魚青魚

每輛汽車載魚量(噸)865

每噸魚獲利(萬元)0.250.30.2

(1)設(shè)裝運鯉魚的車輛為x輛，裝運草魚的車輛為y輛，求y與x之間的函數(shù)

關(guān)系式；

(2)如果裝運每種魚的車輛都不少于2輛，那么怎樣安排車輛能使此次銷售獲

利最大？并求出最大利潤.

24.(12分)已知關(guān)于x的方程kx2+(2k+l)x+2=0.

(1)求證：無論k取任何實數(shù)時，方程總有實數(shù)根；

(2)當(dāng)拋物線丫=岫2+(2k+l)x+2圖象與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且k

為正整數(shù)時，若P(a,yi),Q(1,y2)是此拋物線上的兩點，且yi>y2,請結(jié)

合函數(shù)圖象確定實數(shù)a的取值范圍；

(3)已知拋物線y=kx2+(2k+l)x+2恒過定點，求出定點坐標(biāo).

25.（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，0為原點，平行四邊形ABCD的邊

BC在x軸上，D點在y軸上，C點坐標(biāo)為（2,0）,BC=6,NBCD=60。，點E

是AB上一點，AE=3EB,OP過D,0,C三點，拋物線y=ax2+bx+c過點D,B,

C三點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）求證：ED是OP的切線；

（3）若將AADE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°,E點的對應(yīng)點E會落在拋物線y=ax2+bx+c

上嗎？請說明理由；

（4）若點M為此拋物線的頂點，平面上是否存在點N,使得以點B,D,M,

N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在,

請說明理由.

2015年湖北省荊州市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共10小題，每小題只有唯一正確答案，每小題3分，共30

分）

1.-2的相反數(shù)是（）

A.2B.-2C.1D.-1

22

【考點】相反數(shù).

【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)即可得到答

案.

【解答】解：-2的相反數(shù)是2,

故選：A.

【點評】此題主要考查了相反數(shù)，關(guān)鍵是掌握相反數(shù)的定義.

2.如圖，直線直線b與11，12分別交于A,B兩點,若Nl=70。，則N2=

（）

A.70°B.80°C.110°D.120°

【考點】平行線的性質(zhì).

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出N3=N1=7O。，即可求出答案.

【解答】解：

?直線11〃b,Zl=70",

AZ3=Z1=7O",

AZ2=180°-Z3=110°,

故選c.

【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角定義的應(yīng)用,解此題的關(guān)鍵是求出/

3的度數(shù)，注意：兩直線平行，同位角相等.

3.下列運算正確的是()

A.Vl=±2B.x2?x3=x6C.A/3+V2=V5D.(X2)3=X6

【考點】易的乘方與積的乘方；實數(shù)的運算；同底數(shù)募的乘法.

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義對A進(jìn)行判斷；根據(jù)同底數(shù)易的乘法對B進(jìn)行

運算；根據(jù)同類二次根式的定義對C進(jìn)行判斷；根據(jù)易的乘方對D進(jìn)行運算.

【解答】解：A.y=2,所以A錯誤；

B.x2-3=x5,所以B錯誤；

C.T+&不是同類二次根式，不能合并；

D.(x2)3=x6,所以D正確.

故選D.

【點評】本題考查實數(shù)的綜合運算能力，綜合運用各種運算法則是解答此題的關(guān)

鍵.

4.將拋物線y=x2-2x+3向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度后，

得到的拋物線的解析式為()

A.y=(x-1)2+4B.y=(x-4)2+4C.y=(x+2)2+6D.y=(x-4)2+6

【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換.

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象向上平移加，向右平移減，可得函數(shù)解析式.

【解答】解：將y=x2-2x+3化為頂點式，得丫=(x-1)2+2.

將拋物線y=x2-2x+3向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度后，得

到的拋物線的解析式為丫=(x-4)2+4,

故選：B.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，函數(shù)圖象的平移規(guī)律是：左加右

減，上加下減.

5.如圖，A,B,C是。0上三點，ZACB=25°,則NBAO的度數(shù)是()

【考點】圓周角定理.

【分析】連接0B,要求NBAO的度數(shù)，只要在等腰三角形OAB中求得一個角

的度數(shù)即可得到答案，利用同弧所對的圓周角是圓心角的一半可得NAOB=50。，

然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等和三角形內(nèi)角和定理即可求得.

【解答】解：連接0B,

VZACB=25°,

AZAOB=2X25°=50°,

由0A=0B,

AZBA0=ZAB0,

AZBA0=l(180°-50°)=65°.

2

【點評】本題考查了圓周角定理；作出輔助線，構(gòu)建等腰三角形是正確解答本題

的關(guān)鍵.

6.如圖，點P在AABC的邊AC上，要判斷△ABPs^ACB,添加一個條件,

不正確的是()

B

CP

A.ZABP=ZCB.ZAPB=ZABCC.鯉=空D.盛典

ABACBPCB

【考點】相似三角形的判定.

【分析】分別利用相似三角形的判定方法判斷得出即可.

【解答】解：A、當(dāng)NABP=NC時，又.?.△ABPs/^ACB,故此選

項錯誤；

B、當(dāng)NAPB=NABC時，又"：4右乙N,AAABP^AACB,故此選項錯誤；

C、當(dāng)起=維時，又,：乙心乙/.AABP^AACB,故此選項錯誤；

ABAC

D、無法得到AABPs^ACB,故此選項正確.

故選：D.

【點評】此題主要考查了相似三角形的判定，正確把握判定方法是解題關(guān)鍵.

7.若關(guān)于x的分式方程過二1=2的解為非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是（）

x-1

A.m>-IB.m>lC.m>-1且m，lD.m>-1且m^l

【考點】分式方程的解.

【專題】計算題.

【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，表示出整式方程的解，根據(jù)解為非負(fù)

數(shù)及分式方程分母不為0求出m的范圍即可.

【解答】解：去分母得：m-l=2x-2,

解得：x=Z2,

2

由題意得：地且迫，1,

22

解得：m2-1且mHl,

故選D

【點評】此題考查了分式方程的解，需注意在任何時候都要考慮分母不為0.

8.如圖所示，將正方形紙片三次對折后，沿圖中AB線剪掉一個等腰直角三角

形，展開鋪平得到的圖形是（）

【考點】剪紙問題.

【分析】根據(jù)題意直接動手操作得出即可.

【解答】解：找一張正方形的紙片，按上述順序折疊、裁剪，然后展開后得到的

圖形如圖所示：

故選A.

【點評】本題考查了剪紙問題，難點在于根據(jù)折痕逐層展開，動手操作會更簡便.

9.如圖，正方形ABCD的邊長為3cm,動點P從B點出發(fā)以3cm/s的速度沿著

邊BC-CD-DA運動，到達(dá)A點停止運動；另一動點Q同時從B點出發(fā)，以

lcm/s的速度沿著邊BA向A點運動，到達(dá)A點停止運動.設(shè)P點運動時間為x

(s),ABPQ的面積為y(cm2),則y關(guān)于x的函數(shù)圖象是()

【考點】動點問題的函數(shù)圖象.

【分析】首先根據(jù)正方形的邊長與動點P、Q的速度可知動點Q始終在AB邊上,

而動點P可以在BC邊、CD邊、AD邊上，再分三種情況進(jìn)行討論：@0<x<l；

@l<x<2;③2<xW3；分別求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，然后根據(jù)函數(shù)的圖象

與性質(zhì)即可求解.

【解答】解：由題意可得BQ=x.

①04x41時，P點在BC邊上，BP=3x,

則ABPQ的面積=2BP?BQ,

2

解y=L3x?x=3：2；故A選項錯誤；

22

②1VXW2時，P點在CD邊上，

則ABPQ的面積=」BQ?BC,

2

解y=l?x?3=A；故B選項錯誤；

22

(3)2<x<3時，P點在AD邊上，AP=9-3x,

則ABPQ的面積“AP?BQ,

2

解y=L(9-3x)?x=-^x-A2；故D選項錯誤.

222

故選C.

【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，正方形的性質(zhì)，三角形的面積，利用

數(shù)形結(jié)合、分類討論是解題的關(guān)鍵.

10.把所有正奇數(shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組：(1)，(3,5,7),(9,

11,13,15,17),(19,21,23,25,27,29,31),...?現(xiàn)有等式Am=(i,

j)表示正奇數(shù)m是第i組第j個數(shù)(從左往右數(shù))，如A7=(2,3),則A2oi5=

()

A.(31,50)B.(32,47)C.(33,46)D.(34,42)

【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類.

【分析】先計算出2015是第1008個數(shù)，然后判斷第1008個數(shù)在第幾組，再判

斷是這一組的第幾個數(shù)即可.

【解答】解：2015是第2015+1=1008個數(shù),

2

設(shè)2015在第n組，則1+3+5+7+...+(2n-1)>1008,

即ll+2n_1Jn>1008,

2

解得：n>71008-

當(dāng)n=31時，1+3+5+7+...+61=961；

當(dāng)n=32時，1+3+5+7+...+63=1024；

故第1008個數(shù)在第32組，

第1024個數(shù)為:2x1024-1=2047,

第32組的第一個數(shù)為：2x962-1=1923,

則2015是(?U15T'923+I)=47個數(shù).

2

故A2O15=(32,47).

故選B.

【點評】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的運算規(guī)律，利用規(guī)律解決問

題.

二、填空題(本大題共8小題，每小題3分，共24分)

11.計算：爪-2-1+版-|-2|+(-±)

【考點】實數(shù)的運算；零指數(shù)募；負(fù)整數(shù)指數(shù)募.

【專題】計算題.

【分析】原式第一項利用算術(shù)平方根定義計算，第二項利用負(fù)整數(shù)指數(shù)募法則計

算，第三項利用立方根定義計算，第四項利用絕對值的代數(shù)意義化簡，最后一項

利用零指數(shù)募法則計算即可得到結(jié)果.

【解答】解：原式=3-1+2-2+1=3』，

22

故答案為：31

2

【點評】此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

12.分解因式：ab2-ac2=a(b+c)(b-c).

【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.

【專題】計算題.

【分析】原式提取a,再利用平方差公式分解即可.

【解答】解：原式=a(b2-c2)=a(b+c)(b-c),

故答案為：a(b+c)(b-c)

【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法

是解本題的關(guān)鍵.

13.如圖，AABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交邊AB于D點，交邊AC于

E點，若AABC與AEBC的周長分別是40cm,24cm,則AB=16cm.

【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).

【分析】首先根據(jù)DE是AB的垂直平分線，可得AE=BE；然后根據(jù)^ABC的

周長=AB+AC+BC,AEBC的周長=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC,可得^ABC

的周長-4EBC的周長=AB,據(jù)此求出AB的長度是多少即可.

【解答】解：???口￡是AB的垂直平分線，

，AE=BE；

,.,△ABC的周長=AB+AC+BC,AEBC的周長=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC,

.'.△ABC的周長-ZkEBC的周長=AB,

.*.AB=40-24=16(cm).

故答案為：16.

【點評】(1)此題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)，要熟練掌握，解答此題的關(guān)

鍵是要明確：垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等.

(2)此題還考查了等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形的周長的求法，要熟練掌握.

14.若m,n是方程x2+x-1=0的兩個實數(shù)根，則m2+2m+n的值為0.

【考點】根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解.

【專題】計算題.

【分析】由題意m為已知方程的解，把x=m代入方程求出m2+m的值，利用根

與系數(shù)的關(guān)系求出m+n的值，原式變形后代入計算即可求出值.

【解答】解：:!!!，n是方程X2+X-1=0的兩個實數(shù)根，

m+n=-1,m2+m=l,

則原式=(m2+m)+(m+n)=1-1=0,

故答案為：0

【點評】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，以及一元二次方程的解，熟練掌握根與系

數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.

15.如圖，小明在一塊平地上測山高，先在B處測得山頂A的仰角為30。，然后

向山腳直行100米到達(dá)C處，再測得山頂A的仰角為45。，那么山高AD為137

米(結(jié)果保留整數(shù)，測角儀忽略不計，72=1.414,灰，1.732)

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】計算題.

【分析】根據(jù)仰角和俯角的定義得到NABD=30。，NACD=45。，設(shè)AD=xm,先

在RtZkACD中，利用NACD的正切可得CD=AD=x,則BD=BC+CD=x+100,然

后在RtAABD中，利用NABD的正切得到x=^(x+100),解得x=50(加+1),

3

再進(jìn)行近似計算即可.

【解答】解：如圖，ZABD=30°,NACD=45。，BC=100m,

設(shè)AD=xm,

在RtAACD中，tanNACD=迪，

CD

.?.CD=AD=x,

BD=BC+CD=x+100,

在RtAABD中，tanNABD=迪，

BD

x=2^(x+100),

3

.\x=50(V3+1)=137,

即山高AD為137米.

故答案為137.

【點評】本題考查了解直角三角形-的應(yīng)用-仰角俯角：解決此類問題要了解角

之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，要善于讀懂題意，把實際

問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決.

16.如圖，矩形ABCD中，0A在x軸上，0C在y軸上，且0A=2,AB=5,把

△ABC沿著AC對折得至U△ABC,AB，交y軸于D點，則B'

【考點】翻折變換(折疊問題)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì).

【分析】作B，E，x軸，設(shè)OD=x,在RSAOD中，根據(jù)勾股定理列方程，再由

△ADOs^AB'E,求出B'E和OE.

【解答】解：作B，E，x軸，

易證AD=CD,

設(shè)OD=x,AD=5-x,

在Rt^AOD中，根據(jù)勾股定理列方程得：2?+x2=(5-x)2,

解得：x=2.1,

，AD=2.9,

.,.△ADO^AAB^,

yAD_QD_QA.

一由，E區(qū)'

?_2.9_2.1_2.

一5=B，E=AE'

解得：B，E=越，

29

AE=JM

29

/.OE=12P-2=里

2929

；.B，（里，越）

2929

【點評】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，根

據(jù)勾股定理列方程求出0D是解決問題的關(guān)鍵.

17.如圖，將一張邊長為6cm的正方形紙片按虛線裁剪后，恰好圍成底面是正

六邊形的棱柱，則這個六棱柱的側(cè)面積為36-12勵cm?.

【考點】展開圖折疊成幾何體.

【分析】這個棱柱的側(cè)面展開正好是一個長方形，長為6,寬為6減去兩個六邊

形的高，再用長方形的面積公式計算即可求得答案.

【解答】解：???將一張邊長為6的正方形紙片按虛線裁剪后，恰好圍成一個底面

是正六邊形的棱柱，

???這個正六邊形的底面邊長為1,高為遙，

側(cè)面積為長為6,寬為6-2?的長方形，

???面積為:6x(6-=36-12T.

故答案為：36-12-1/3.

【點評】此題主要考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及剪紙問題的應(yīng)用.此題

難度不大，注意動手操作拼出圖形，并能正確進(jìn)行計算是解答本題的關(guān)鍵.

18.如圖，0A在x軸上，OB在y軸上，OA=8,AB=10,點C在邊OA上，AC=2,

OP的圓心P在線段BC上,且。P與邊AB,AO都相切.若反比例函數(shù)y=X(kM)

的圖象經(jīng)過圓心P,則卜=^27.

【考點】切線的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；反比例函數(shù)圖象上點的坐

標(biāo)特征.

【專題】計算題.

【分析】作PDLOA于D,PELAB于E,作CHLAB于H,如圖，設(shè)(DP的半

徑為r,根據(jù)切線的性質(zhì)和切線長定理得到PD=PE=r,AD=AE,再利用勾股定理

計算出0B=6,則可判斷AOBC為等腰直角三角形，從而得到APCD為等腰直角

三角形，則PD=CD=r,AE=AD=2+r,通過證明△ACHs^ABO,利用相似比計

算出CH4,接著利用勾股定理計算出AHj,所以BH=10-&=里，然后證明

5555

△BEH-ABHC,利用相似比得到即1L=也解得r=W從而易得P點

4262

55

坐標(biāo)，再利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求出k的值.

【解答】解：作PDLOA于D,PELAB于E,作CHLAB于H,如圖，設(shè)OP

的半徑為r,

與邊AB,AO都相切，

，PD=PE=r,AD=AE,

在R3OAB中，*/OA=8,AB=10,

0B=7102-82=6'

VAC=2,

??.OC=6,

...△OBC為等腰直角三角形，

/.△PCD為等腰直角三角形,

.?.PD=CD=r,

AE=AD=2+r,

VZCAH=ZBAO,

/.△ACH^AABO,

.?.史=想，即里=2解得CH=g

OBAB6105

*l,AH=7AC2-CH2=^22-（-|）2=|

.*.BH=10-包里，

55

：PE〃CH,

.,.△BEP^ABHC,

.經(jīng)=旦，即1°一瀘）”,解得r4,

BECH絲出2

55

.OD=OC-CD=6-2=2

22

.p（2-乜），

22

'.k=gx（-J）=-ZL.

224

故答案為-27.

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.若出現(xiàn)圓的

切線不確定切點，則過圓心作切線的垂線，則垂線段等于圓的半徑.也考查了勾

股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)和反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.

三、解答題（本大題共7小題，共66分）

19.（7分）解方程組：（3x-2k-l①.

.x+3尸7②

【考點】解二元一次方程組.

【專題】計算題.

【分析】方程組利用加減消元法求出解即可.

【解答】解：@x3-①得：lly=22,即y=2,

把y=2代入②得：x=l,

則方程組的解為［x=l.

ly=2

【點評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代

入消元法與加減消元法.

20.（8分）某校八年級（1）班語文楊老師為了了解學(xué)生漢字聽寫能力情況，

對班上一個組學(xué)生的漢字聽寫成績按A,B,C,D四個等級進(jìn)行了統(tǒng)計，并繪

制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：

該組各等級的人數(shù)

數(shù)條形統(tǒng)計圖

9

該組各等級人數(shù)占8

該組總、人數(shù)的百分7

6

5

4

3

2

1

O

（1）求D等級所對扇形的圓心角，并將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；

（2）該組達(dá)到A等級的同學(xué)中只有1位男同學(xué)，楊老師打算從該組達(dá)到A等級

的同學(xué)中隨機(jī)選出2位同學(xué)在全班介紹經(jīng)驗，請用列表法或畫樹狀圖的方法，求

出所選兩位同學(xué)恰好是1位男同學(xué)和1位女同學(xué)的概率.

【考點】列表法與樹狀圖法；扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖.

【分析】（1）根據(jù)C等級的人數(shù)及所占的比例即可得出總?cè)藬?shù)，進(jìn)而可得出D

級學(xué)生的人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分?jǐn)?shù)及扇形統(tǒng)計圖中D級所在的扇形的圓心角;

根據(jù)A、B等級的人數(shù)=總數(shù)x所占的百分比可補(bǔ)全圖形.

（2）畫出樹狀圖，然后根據(jù)概率公式列式計算即可得解.

【解答】解：（1）總?cè)藬?shù)=5+25%=20,

AD級學(xué)生的人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分?jǐn)?shù)為：_lxlOO%=15%,

20

扇形統(tǒng)計圖中D級所在的扇形的圓心角為15%x360°=54°.

由題意得：B等級的人數(shù)=20x40%=8(人)，A等級的人數(shù)=20x20%=4.

該蛆各等級的人數(shù)

條形統(tǒng)計圖

(2)根據(jù)題意畫出樹狀圖如下:

一共有12種情況，恰好是1位男同學(xué)和1位女同學(xué)有7種情況，

所以，P(恰好是1位男同學(xué)和1位女同學(xué))

12

【點評】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從不

同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每

個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小.

21.(8分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點，直線AB分別與x軸、y

軸交于B和A,與反比例函數(shù)的圖象交于C、D,CE±x軸于點E,tan/ABO」,

2

0B=4,0氏2.

(1)求直線AB和反比例函數(shù)的解析式；

(2)求ZkOCD的面積.

y

【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

【分析】（1）根據(jù)已知條件求出A、B、C點坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線AB

和反比例的函數(shù)解析式；

（2）聯(lián)立一次函數(shù)的解析式和反比例的函數(shù)解析式可得交點D的坐標(biāo)，從而根

據(jù)三角形面積公式求解.

【解答】解：（1）V0B=4,0E=2,

.\BE=2+4=6.

：CE，x軸于點E,tanZABO=-^=^=l.

BOBE2

/.0A=2,CE=3.

???點A的坐標(biāo)為（0,2）、點B的坐標(biāo)為C（4,0）、點C的坐標(biāo)為（-2,3）.

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,則!°+b=2,

I4k+b=0

fk--l

解得2.

b=2

故直線AB的解析式為y=-lx+2.

2

設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=E（m，0）,

X

將點C的坐標(biāo)代入，得3=_工，

-2

m=-6.

???該反比例函數(shù)的解析式為y=-0

X

（2）聯(lián)立反比例函數(shù)的解析式和直線AB的解析式可得:，

尸-Q+2

可得交點D的坐標(biāo)為（6,-1）,

則ABOD的面積=4xl+2=2,

△BOD的面積=4x3+2=6,

故AOCD的面積為2+6=8.

【點評】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合題.主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解

析式.求A、B、C點的坐標(biāo)需用正切定義或相似三角形的性質(zhì)，起點稍高，部

分學(xué)生感覺較難.

22.(9分)如圖1,在正方形ABCD中，P是對角線BD上的一點，點E在AD

的延長線上，且PA=PE,PE交CD于F.

(1)證明：PC=PE；

(2)求NCPE的度數(shù)；

(3)如圖2,把正方形ABCD改為菱形ABCD,其他條件不變，當(dāng)NABC=120。

時，連接CE,試探究線段AP與線段CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

二W

BCBC

圖1圖2

【考點】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì).

【分析】(1)先證出AABP等ACBP,得PA=PC,由于PA=PE,得PC=PE；

(2)由△ABPgZXCBP,得NBAP=NBCP,進(jìn)而得NDAP=NDCP,由PA=PC,

得到NDAP=NE,ZDCP=ZE,最后NCPF=NEDF=90。得到結(jié)論；

(3)借助(1)和(2)的證明方法容易證明結(jié)論.

【解答】(1)證明：在正方形ABCD中，AB=BC,

ZABP=ZCBP=45°,

在AABP和2\CBP中，

'AB=BC

<ZABP=ZCBP，

PB=PB

/.△ABP^ACBP(SAS),

.?.PA=PC,

VPA=PE,

.*.PC=PE；

(2)由(1)知，AABP^ACBP,

AZBAP=ZBCP,

AZDAP=ZDCP,

VPA=PC,

NDAP=NE,

.*.ZDCP=ZE,

VZCFP=ZEFD(對頂角相等)，

180°-ZPFC-ZPCF=180°-ZDFE-NE,

即NCPF=NEDF=90。；

(3)在正方形ABCD中，AB=BC,ZABP=ZCBP=45°,

在AABP和ACBP中，

/.△ABP^ACBP(SAS),

'AB=BC

,ZABP=ZCBP

PB=PB

.?.PA=PC,ZBAP=ZBCP,

VPA=PE,

.?.PC=PE,

I.NDAP=NDCP,

VPA=PC,

NDAP=NE,

/.ZDCP=ZE

ZCFP=ZEFD(對頂角相等)，

.?.180。-ZPFC-ZPCF=180°-ZDFE-NE,

IPZCPF=ZEDF=18O°-ZADC=180°-120°=60°,

??.AEPC是等邊三角形，

；.PC=CE,

，AP=CE；

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等

邊對等角的性質(zhì)，熟記正方形的性質(zhì)確定出NABP=NCBP是解題的關(guān)鍵.

23.（10分）荊州素有“魚米之鄉(xiāng)"的美稱，某漁業(yè)公司組織20輛汽車裝運鯉魚、

草魚、青魚共120噸去外地銷售，按計劃20輛汽車都要裝運，每輛汽車只能裝

運同一種魚，且必須裝滿，根據(jù)下表提供的信息，解答以下問題：

鯉魚草魚青魚

每輛汽車載魚量（噸）865

每噸魚獲利（萬元）0.250.30.2

（1）設(shè)裝運鯉魚的車輛為x輛，裝運草魚的車輛為y輛，求y與x之間的函數(shù)

關(guān)系式；

（2）如果裝運每種魚的車輛都不少于2輛，那么怎樣安排車輛能使此次銷售獲

利最大？并求出最大利潤.

【考點】一次函數(shù)的應(yīng)用.

【分析】（1）設(shè)裝運鯉魚的車輛為x輛，裝運草魚的車輛為y輛，則由（20-x

-y）輛汽車裝運青魚，由20輛汽車的總運輸量為120噸建立等式就可以求出結(jié)

論；

（2）根據(jù)建立不等裝運每種魚的車輛都不少于2輛，列出不等式組求出x的范

圍，設(shè)此次銷售所獲利潤為w元，

w=0.25xx8+0.3（-3x+20）x6+0.2（20-x+3x-20）x5=-1.4x+36,再利用一次

函數(shù)的性質(zhì)即可解答.

【解答】解：（1）設(shè)裝運鯉魚的車輛為x輛，裝運草魚的車輛為y輛，則由（20

-x-y）輛汽車裝運青魚，由題意，得

8x+6y+5（20-x-y）=120,

y=-3x+20.

答:y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-3x+20；

'x>2

(2),根據(jù)題意，得,y>2

20-x-y>2

'x>2

<-3x+20>2,

20-x+3x-20》2

解得：2<x<6,

設(shè)此次銷售所獲利潤為w元，

w=0.25xx8+0.3(-3x+20)x6+0.2(20-x+3x-20)x5=-1.4x+36

Vk=-1.4<0,

???w隨x的增大而減小.

??.當(dāng)x=2時，w取最大值，最大值為：-1.4x2+36=33.2(萬元).

裝運鯉魚的車輛為2輛，裝運草魚的車輛為14輛，裝運青魚的車輛為4輛時

獲利最大，最大利潤為33.2萬兀.

【點評】本題考查了一次函數(shù)的解析式的運用，一次函數(shù)的性質(zhì)的運用，一元一

次不等式組的運用，解答時求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.

24.(12分)已知關(guān)于x的方程kx2+(2k+l)x+2=0.

(1)求證：無論k取任何實數(shù)時，方程總有實數(shù)根；

(2)當(dāng)拋物線丫=1?2+(2k+l)x+2圖象與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且k

為正整數(shù)時，若P(a,”)，Q(1,y2)是此拋物線上的兩點，且yi>y2,請結(jié)

合函數(shù)圖象確定實數(shù)a的取值范圍；

(3)已知拋物線y=kx2+(2k+l)x+2恒過定點,求出定點坐標(biāo).

【考點】拋物線與x軸的交點；根的判別式；二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.

【分析】(1)分類討論：該方程是一元一次方程和一元二次方程兩種情況.當(dāng)

該方程為一元二次方程時，根的判別式ANO,方程總有實數(shù)根；

(2)通過解1?2+(21<+1及+2=0得到k=l,由此得到該拋物線解析式為y=x2+3x+2,

結(jié)合圖象回答問題.

(3)根據(jù)題意得到kx2+(2k+l)x+2-y=0恒成立，由此列出關(guān)于x、y的方程

組，通過解方程組求得該定點坐標(biāo).

【解答】(1)證明：①當(dāng)k=0時，方程為x+2=0,所以x=-2,方程有實數(shù)根,

②當(dāng)?0時，：△=(2k+l)2-4kx2=(2k-1)220,即ANO,

無論k取任何實數(shù)時，方程總有實數(shù)根；

(2)解：令y=0,則kx2+(2k+l)x+2=0,

解關(guān)于x的一元二次方程，得xi=-2,x2=-1,

k

???二次函數(shù)的圖象與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且k為正整數(shù)，

/.k=l.

該拋物線解析式為y=x2+3x+2,

由圖象得到：當(dāng)yi>y2時，a>1或a<-3.

(3)依題意得kx?+(2k+l)x+2-y=0恒成立，即k(x2+2x)+x-y+2=0恒成立,

ro

則,X+2x=0,

x-y+2=0

所以該拋物線恒過定點(0,2)、(-2,0).

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點與判別式的關(guān)系及二次函數(shù)圖象上點的

坐標(biāo)特征，解答(1)題時要注意分類討論.

25.(12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點，平行四邊形ABCD的邊

BC在x軸上，D點在y軸上，C點坐標(biāo)為(2,0),BC=6,NBCD=60。，點E

是AB上一點，AE=3EB,OP過D,O,C三點，拋物線y=ax2+bx+c過點D,B,

C三點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求證：ED是(DP的切線；

(3)若將AADE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°,E點的對應(yīng)點E會落在拋物線y=ax2+bx+c

上嗎？請說明理由；

(4)若點M為此拋物線的頂點，平面上是否存在點N,使得以點B,D,M,

N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在,

【專題】綜合題.

【分析】(1)先確定B(-4,0),再在RtAOCD中利用NOCD的正切求出

OD=2泥，D(0,2?),然后利用交點式求拋物線的解析式；

(2)先計算出CD=2OC=4,再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD=4,AB〃CD,

ZA=ZBCD=60°,AD=BC=6,則由AE=3BE得至UAE=3,接著計算旭型=旦加