2023年初高中數學銜接知識點及習題

數學親愛的2023屆平岡學子：?恭喜你進入平岡中學!你們是高中生了，做好了充足的準備嗎?其實學好高中數學并不難，你只要有堅韌不拔的毅力,認真做題,善于總結歸納，持之以恒,相信你一定能成功。?從２02３年開始,廣東省高考數學試題使用全國I卷,縱觀今年高考數學試題，我們發(fā)現它最大的特點就是區(qū)分度特別大,選拔性很明顯，難度相比以前廣東自主命題難度大大提高。打鐵還需自身硬,因此,讓自己變強大才是硬道理。假期發(fā)給你們的這本小冊子，是為了使你們在初高中數學學習上形成較好的連續(xù)性,能有效地克服知識和方法上的跳躍，利于激發(fā)你們學習數學的愛好。你們一定要運用好暑假，做好充足的準備工作。這里給大家?guī)讉€學數學的建議:2、建立數學糾錯本。把平時容易出現錯誤的知識或推理記載下來，以防再犯。爭取做到：找錯、析錯、改錯、防錯。達成：能從反面入手進一步理解對的東西；能由果朔因把錯誤因素弄個水落石出、以便對癥下藥;解答問題完整、推理嚴密。3、熟記一些數學規(guī)律和數學小結論,使自己平時的運算技能達成了自動化或半自動化的純熟限度。4、經常對知識結構進行梳理，形成板塊結構,實行“整體集裝”,如表格化，使知識結構一目了然;經常對習題進行類化,由一例到一類,由一類到多類,由多類到統(tǒng)一;使幾類問題歸納于同一知識方法。5、閱讀數學課外書籍與報刊,參與數學學科課外活動與講座，多做數學課外題,加大自學力度，拓展自己的知識面。７、學會從多角度、多層次地進行總結歸類。如：①從數學思想分類②從解題方法歸類③從知識應用上分類等,使所學的知識系統(tǒng)化、條理化、專題化、網絡化。8、經常在做題后進行一定的“反思”,思考一下本題所用的基礎知識，數學思想方法是什么,為什么要這樣想,是否尚有別的想法和解法，本題的分析方法與解法，在解其它問題時，是否也用到過。９、無論是作業(yè)還是測驗，都應把準確性放在第一位,通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，這是學好數學的重要問題。初高中數學銜接呼應版塊1．立方和與差的公式初中已刪去不講，而高中的運算還在用。2.因式分解初中一般只限于二次項且系數為“1”的分解，對系數不為“１”的涉及不多,并且對三次或高次多項式因式分解幾乎不作要求,但高中教材許多化簡求值都要用到,如解方程、不等式等。３.二次根式中對分子、分母有理化初中不作規(guī)定，而分子、分母有理化是高中函數、不等式常用的解題技巧。4．初中教材對二次函數規(guī)定較低,學生處在了解水平,但二次函數卻是高中貫穿始終的重要內容。配方、作簡圖、求值域、解二次不等式、判斷單調區(qū)間、求最大、最小值,研究閉區(qū)間上函數最值等等是高中數學必須掌握的基本題型與常用方法。5．二次函數、二次不等式與二次方程的聯系，根與系數的關系(韋達定理)在初中不作規(guī)定,此類題目僅限于簡樸常規(guī)運算和難度不大的應用題型，而在高中二次函數、二次不等式與二次方程互相轉化被視為重要內容，6．圖像的對稱、平移變換,初中只作簡樸介紹,而在高中講授函數后,對其圖像的上、下;左、右平移，兩個函數關于原點,軸、直線的對稱問題必須掌握。７．具有參數的函數、方程、不等式,初中不作規(guī)定，只作定量研究,而高中這部分內容視為重難點。方程、不等式、函數的綜合考察常成為高考綜合題。8．幾何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行線分線段比例定理,射影定理，相交弦定理等）初中生大都沒有學習，而高中都要涉及。9．角度問題，三角函數問題。在初中只涉及36０°范圍內的角,而高中是任意角。三角函數在初中也只是銳角三角函數，高中是任意角三角函數，定義的范圍大大不同。同時,度量角也引進了弧度制這個新的度量辦法。10.高中階段特別注重數學思維，數學思想方法的培養(yǎng)。此外,像配方法、換元法、待定系數法初中教學大大弱化，不利于高中知識的講授。目錄1.１數與式的運算1.1.1絕對值1.1．2.乘法公式１.１.3．二次根式1.１.４．分式1．2分解因式2．１一元二次方程2．1．1根的判別式２.１.2根與系數的關系（韋達定理）2．2二次函數２．2.1二次函數ｙ=ax2＋bｘ＋c的圖像和性質２.２.2二次函數的三種表達方式2.２.3二次函數的簡樸應用2.3方程與不等式２．３.１二元二次方程組解法２.3．2一元二次不等式解法1.1數與式的運算1.1．1．絕對值一、概念:絕對值的代數意義：正數的絕對值是它的自身,負數的絕對值是它的相反數，零的絕對值仍是零．即絕對值的幾何意義:一個數的絕對值,是數軸上表達它的點到原點的距離．兩個數的差的絕對值的幾何意義:表達在數軸上,數和數之間的距離．二、典型例題： 例1解不等式：?解法一:由,得;①若,不等式可變?yōu)?，?得,又x＜1,∴x＜-3;②若，不等式可變?yōu)?，即又∴綜上所述，原不等式的解為或。1Ax-3CxP|x－1|圖1．1－1D5解法二：如圖1．１-１，表達x軸上坐標為x1Ax-3CxP|x－1|圖1．1－1D5所以的幾何意義即為|PA|＞４．可知點P在點Ｃ(坐標為-3)的左側、或點P在點Ｄ（坐標5）的右側. ∴或。練習A1．填空:(1）若,則x=＿________；若，則ｘ=___＿__＿＿_.（２）假如,且，則b＝________;若,則c＝_＿____＿_.２．選擇題:下列敘述對的的是（)（A）若,則（B）若,則(C)若,則(D）若,則練習B3.解不等式:4、化簡:|x-5|－|2x－13|（ｘ＞５).1.1.2.乘法公式一、復習：我們在初中已經學習過了下列一些乘法公式:(1）平方差公式;(2)完全平方公式.我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式:（1）立方和公式;必須記住(２)立方差公式;必須記住(3)三數和平方公式；(4)兩數和立方公式；(5)兩數差立方公式．對上面列出的五個公式,有愛好的同學可以自己去證明.二、典型例題例１計算：.解法一：原式===.解法二：原式==＝.例2已知,,求的值.解:．練習A1．填空:（1）（）;(2);(3）.2.選擇題:（１）若是一個完全平方式，則等于（）(A)(B)(C)(Ｄ）（2)不管,為什么實數，的值(）（A)總是正數(B)總是負數(Ｃ)可以是零（D）可以是正數也可以是負數1.１.3.二次根式一、概念:一般地，形如的代數式叫做二次根式．根號下具有字母、且不可以開得盡方的式子稱為無理式.例如,等是無理式，而,，等是有理式.1.分母（子）有理化把分母(子)中的根號化去,叫做分母(子）有理化.為了進行分母(子)有理化，需要引入有理化因式的概念．兩個具有二次根式的代數式相乘，假如它們的積不具有二次根式，我們就說這兩個代數式互為有理化因式,例如與,與，與，與，等等.一般地，與,與，與互為有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分子的有理化因式,化去分子中的根號的過程在二次根式的化簡與運算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進行，運算中要運用公式；而對于二次根式的除法,通常先寫成分式的形式，然后通過度母有理化進行運算；二次根式的加減法與多項式的加減法類似，應在化簡的基礎上去括號與合并同類二次根式．二次根式的意義二、典型例題例１將下列式子化為最簡二次根式:(1);(2）；（3)．解:(1）;(2);(3).例2計算：.解法一:＝＝===．解法二:===＝=．例3試比較下列各組數的大小:（1)和；(2)和.解：(1）∵,，又，∴＜．(2)∵又4>２eｑ\r(2)，∴eq\r（6)＋4＞eq＼r(6)＋2ｅｑ＼r(２),∴<.例4化簡:．解：＝＝=＝.例5化簡:（1)；（2).解:(1）原式=.（2)原式=，∵，∴，所以，原式=．練習A1．填空:(１)＝_____；(2)若，則的取值范圍是_____；（3）_＿___；(4）若，則_______＿．???? ???? ?(提醒先簡化后代入)２．選擇題:等式成立的條件是（)(Ａ)(B）(C)（D）練習Ｂ3.若,求的值.４.比較大小:2－eq\r(3)eq\ｒ(5）－eq＼r(4)(填“＞”，或“＜”)．1.1．4.分式一、概念：１.分式的意義形如的式子,若B中具有字母,且,則稱為分式．當Ｍ≠0時，分式具有下列性質：；.上述性質被稱為分式的基本性質.2.繁分式像,這樣,分子或分母中又具有分式的分式叫做繁分式．二、典型例題：例１若,求常數的值．解:∵，∴解得.例2(1)試證:(其中n是正整數）；（2）計算：;．(1）證明:∵，∴（其中n是正整數）成立.（２）解:由(1）可知＝．(3）證明：∵＝=,又n≥2,且n是正整數，∴eq\f(１,n＋1)一定為正數，∴＜eq\f(1,2).例３設，且e＞1，2c2-5ａc+2a2＝0,求e的值．解:在2c２－5ac+2a2=0兩邊同除以ａ2，得2e2-5e＋2＝0,∴(2e-１)（e－2）=０，∴e＝ｅq\ｆ(１,2）<1,舍去;或e=２．∴e=2．練習A1.填空題：對任意的正整數ｎ,();２.選擇題：若，則＝()(A)１(Ｂ）(C）（D)3.正數滿足，求的值．４.計算．習題１．１A組１．解不等式:2．已知,求的值.３.填空：(1）＝_＿__________＿__＿___；(2)若,則的取值范圍是__＿____＿_＿__＿＿___＿__;（3）___＿___＿＿_____＿＿____.４.填空:,，則__＿_＿__＿_＿___＿___＿;５.已知：,求的值.B組1.選擇題：(1）若，則(）(A）（B）（C）（D）（２）計算等于()（Ａ）(B)（C）(D)２．計算:.１.2分解因式一、復習引申:因式分解的重要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法,此外還應了解求根法及待定系數法．1．十字相乘法例1分解因式：(1）x2-3x+２；(2)x２+4x-１2；（３）；(4）．解：（1）如圖1．２-1，將二次項ｘ2分解成圖中的兩個x的積，再將常數項2分解成-1與－2的乘積,而圖中的對角線上的兩個數乘積的和為-３x，就是x2-3x+2中的一次項,所以,有ｘ２-３x＋2＝(x－1)（ｘ-２)．－1－1－2xx圖1．2－1－1－211圖1．2－2－2611圖1．2－3－ay－byxx圖1．2－4－11xy圖1．2－5說明：此后在分解與本例類似的二次三項式時,可以直接將圖１.2－１中的兩個x用１來表達(如圖1．２-2所示）．（2)由圖１．２-３，得x2+４x-12=(ｘ－2)(ｘ＋6）．(3）由圖1．2－4,得＝(4)＝ｘy+(x－y)-1=(x－1)（y+１)(如圖1．2-５所示）．２.提取公因式法與分組分解法例2分解因式：（1)；(2).解:(1)===．或=＝=＝=.二次項一次項常數項（２）＝x+y2x-y2x+y2x-y2-3=.3．關于ｘ的二次三項式ax２+bｘ+c(a≠0)的因式分解．若關于x的方程的兩個實數根是、,則二次三項式就可分解為.例3把下列關于x的二次多項式分解因式:(1);(2）．解:(1）令＝0，則解得，,∴＝=.(2）令=０,則解得，,∴＝．二、練習Ａ１.選擇題:多項式的一個因式為(）（A）（B)(C）(D）２．分解因式:(1)x2＋6ｘ+8；（2)8a3－b3;(3）x2-2x-１；（4）.練習B組１．分解因式：（1）；（２）；(3）；2．在實數范圍內因式分解：（1）；（２）；（3）；3.分解因式：x2＋x－(a2－ａ).2.１一元二次方程2.１.1根的判別式一、概念：我們知道,對于一元二次方程ａx2+bx＋c＝0(a≠0）,用配方法可以將其變形為.①由于ａ≠0，所以,４a2＞0．于是(1）當ｂ2－4ac>０時,方程①的右端是一個正數，因此,原方程有兩個不相等的實數根x１，２=;(2)當b2-４aｃ＝0時，方程①的右端為零,因此,原方程有兩個相等的實數根x１=x2＝－；（３)當ｂ2-4ac＜0時,方程①的右端是一個負數，而方程①的左邊一定大于或等于零,因此,原方程沒有實數根.由此可知,一元二次方程ax2＋bx+c=0(a≠0)的根的情況可以由b２－4ac來鑒定,我們把ｂ2－4ac叫做一元二次方程aｘ2+bx＋c=0（a≠0）的根的判別式，通常用符號“Δ”來表達．綜上所述，對于一元二次方程ax2＋bx+ｃ＝0(ａ≠0)，有當Δ>0時，方程有兩個不相等的實數根x1,2＝;(2)當Δ＝０時，方程有兩個相等的實數根x1＝x２＝-;(3）當Δ<０時，方程沒有實數根.二、典型例題：例1鑒定下列關于x的方程的根的情況(其中a為常數),假如方程有實數根，寫出方程的實數根.(1）x２-3x＋3=０；（2）x2-ax－1＝0;（3)ｘ２－ax+(ａ-1)=0;(4）ｘ2-２x+ａ=０.解:（１)∵Δ＝３2－4×1×3＝－３＜０,∴方程沒有實數根．（２）該方程的根的判別式Δ＝a２-4×１×(－1）＝a2＋4＞0，所以方程一定有兩個不等的實數根，.(３）由于該方程的根的判別式為Δ=a２－4×1×（a-１)＝a２－4a+4＝(a-2)2,所以,?①當a=2時,Δ＝0，所以方程有兩個相等的實數根x1=x2＝１； ②當ａ≠2時，Δ>0，所以方程有兩個不相等的實數根x1＝1，x2＝a-1.(4）由于該方程的根的判別式為Δ=22-4×１×a=4－４ａ＝４（1－a),所以①當Δ＞0,即４（1－a)>０,即a<1時，方程有兩個不相等的實數根,；?②當Δ=０,即ａ=1時，方程有兩個相等的實數根x１＝ｘ２=1； ③當Δ<0，即a>1時，方程沒有實數根.說明:在第３,4小題中，方程的根的判別式的符號隨著a的取值的變化而變化，于是,在解題過程中，需要對a的取值情況進行討論,這一方法叫做分類討論.分類討論這一思想方法是高中數學中一個非常重要的方法，在此后的解題中會經常地運用這一方法來解決問題.2.1.2根與系數的關系(韋達定理)一、概念:1、若一元二次方程ａx2+ｂｘ＋ｃ＝0（a≠0）有兩個實數根,,則有?；. 所以，一元二次方程的根與系數之間存在下列關系: 假如ax２＋bx＋ｃ=0(ａ≠０)的兩根分別是x１，x2,那么ｘ1＋x?2＝,x１·x2＝.這一關系也被稱為韋達定理．?2、特別地,對于二次項系數為1的一元二次方程x２+px+q=0，若ｘ1，x2是其兩根,由韋達定理可知ｘ1＋x2=-p，x１·x2=q， 即p＝－（x１+x2),q＝x1·ｘ2,?所以,方程x2＋pｘ+q＝0可化為x2-(x1+ｘ2)ｘ＋x1·ｘ２=0，由于ｘ1，ｘ2是一元二次方程x2＋ｐx+q=0的兩根,所以,x1，ｘ2也是一元二次方程x２-(x１+x?2)x+x1·x2＝０的兩根,因此有以兩個數x1,x2為根的一元二次方程(二次項系數為１）是x２－（ｘ1＋x２)x+x1·x２＝0．二、典型例題：例2已知方程的一個根是2，求它的另一個根及ｋ的值.分析：由于已知了方程的一個根，可以直接將這一根代入，求出k的值,再由方程解出另一個根．但由于我們學習了韋達定理，又可以運用韋達定理來解題，即由于已知了方程的一個根及方程的二次項系數和常數項,于是可以運用兩根之積求出方程的另一個根，再由兩根之和求出k的值.解法一:∵2是方程的一個根,∴５×22+k×2-６=０，∴k＝-7.所以,方程就為５x2-7x-6＝0,解得x1=2，x2＝－．所以,方程的另一個根為-，k的值為－7.解法二：設方程的另一個根為x1，則2x1＝－，∴x１=-.由（-）+2=－，得k=-7.所以，方程的另一個根為-,k的值為－7．例3已知關于x的方程ｘ2＋2(m－2)x+m2+4=0有兩個實數根，并且這兩個實數根的平方和比兩個根的積大２1，求m的值.分析:?本題可以運用韋達定理,由實數根的平方和比兩個根的積大21得到關于m的方程,從而解得m的值．但在解題中需要特別注意的是,由于所給的方程有兩個實數根,因此,其根的判別式應大于零.解：設x1，x2是方程的兩根，由韋達定理,得x1＋x2=－2(m-2),x1·x2＝m2＋4．∵x１2＋x22-x1·x2＝２1,∴(x1＋x2）2-3x1·x2＝２1,即[－2(ｍ-2)]2－３(m2+4)＝21，化簡，得ｍ２－１6m-1７＝０,解得ｍ=-１，或m＝17.當m=-1時，方程為x2＋６x＋５=0,Δ>0，滿足題意；當m=17時，方程為x2+3０x+２93＝０,Δ＝302-4×1×293<0，不合題意,舍去.綜上，m＝-1．說明：（1)在本題的解題過程中,也可以先研究滿足方程有兩個實數根所相應的m的范圍,然后再由“兩個實數根的平方和比兩個根的積大2１”求出m的值，取滿足條件的m的值即可．(★）在此后的解題過程中,假如用由韋達定理解題時，還要考慮到根的判別式Δ是否大于或大于等于零．由于，韋達定理成立的前提是一元二次方程有實數根．例4已知兩個數的和為4，積為-12，求這兩個數.分析:我們可以設出這兩個數分別為x,ｙ，運用二元方程求解出這兩個數.也可以運用韋達定理轉化出一元二次方程來求解．解法一:設這兩個數分別是x,y,則ｘ＋y=4，①xy=－12．②由①，得y=4-ｘ，代入②，得x(４-x)=-12，即ｘ2－4ｘ-12＝0,∴x１=－2,x2＝6.∴或因此,這兩個數是-2和6．解法二:由韋達定理可知,這兩個數是方程x2－4x－12＝0的兩個根．解這個方程,得x１=－2,x2＝6． 所以，這兩個數是-2和6. 說明：從上面的兩種解法我們不難發(fā)現，解法二（直接運用韋達定理來解題)要比解法一簡捷. 例5若ｘ1和x２分別是一元二次方程2ｘ２+５x-3=0的兩根． （1)求｜x1-x2｜的值;(2）求的值；(3）ｘ１３+ｘ23.?解：∵x１和ｘ２分別是一元二次方程２ｘ2＋５x-3＝０的兩根，∴,． （１)∵|x１－x２|２＝x1２+ｘ22-２x1x２＝（x1+x２)2－4ｘ1x2=＝+6=,∴|x1-x2｜=． (2）． （3)x1３+x23＝（x1+x2）(x12－x１x2+x22）=(x1+ｘ２)［(x1+x２）2-3x1ｘ2］=(－)×［(-)2－3×(）]=－.注意:說明：一元二次方程的兩根之差的絕對值是一個重要的量，此后我們經常會碰到求這一個量的問題，為了解題簡便，我們可以探討出其一般規(guī)律:設x1和x2分別是一元二次方程ａｘ2+bx+c=0(a≠０),則，，∴|x1-x2|=.于是有下面的結論：若ｘ1和x2分別是一元二次方程ax2+bx+ｃ＝0（a≠0)，則｜ｘ1-x2|=（其中Δ=b2-4ac)．此后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對值時,可以直接運用上面的結論．例6若關于x的一元二次方程x2-ｘ+a－４＝0的一根大于零、另一根小于零，求實數a的取值范圍．解:設x1，ｘ2是方程的兩根，則ｘ1x2＝a－4＜０，①且Δ＝(-1)2-４（a－4)＞０.②由①得a＜4,由②得ａ＜eq\f(17，4).∴a的取值范圍是a＜4.練習A１．選擇題：（1）方程的根的情況是（)（A)有一個實數根(B)有兩個不相等的實數根(C）有兩個相等的實數根(D)沒有實數根(2）若關于x的方程mx2＋（2m+1)x＋ｍ＝0有兩個不相等的實數根,則實數ｍ的取值范圍是()(Ａ)ｍ＜(Ｂ）m＞-（C)m<，且m≠0（D）m＞-，且ｍ≠0(3)已知關于x的方程x２＋kx-2＝０的一個根是1,則它的另一個根是（)(A)-3(B)３（C)-2(Ｄ）2（4)下列四個說法:①方程x2+2x-7＝０的兩根之和為－２,兩根之積為－7;②方程ｘ2-２x＋7＝0的兩根之和為-2，兩根之積為7；③方程3x2-7=0的兩根之和為0，兩根之積為；④方程3ｘ２+2x=0的兩根之和為-2，兩根之積為0．其中對的說法的個數是(）(A）1個(B）２個(C）3個（D)4個（５）關于x的一元二次方程ax２-５x＋ａ2+a＝０的一個根是0，則ａ的值是（)(Ａ）0（B）１(C)-1(Ｄ)0，或－12.填空:(1)若方程x2-3x－1＝0的兩根分別是ｘ1和x２，則=．(2）方程mx2+x-２ｍ＝0(ｍ≠0）的根的情況是．(3)以-3和1為根的一元二次方程是．(4）方程kx2+4x－1=0的兩根之和為－2，則k＝．（5)方程2x2－x－4＝0的兩根為α，β,則α2+β2＝.(６)已知關于ｘ的方程x2-ax－３a＝0的一個根是-2，則它的另一個根是．（7)方程２x2＋２x－1＝０的兩根為x1和x2,則|x1-x2|=.3．已知，當k取何值時，方程kｘ2＋ax＋b＝0有兩個不相等的實數根?4.已知方程x2－3x-１＝0的兩根為x1和x2,求（x1－3）(x2-3)的值.5.試鑒定當m取何值時,關于x的一元二次方程m2ｘ2-(2ｍ＋１)ｘ＋1=0有兩個不相等的實數根?有兩個相等的實數根？沒有實數根？6．求一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程x2－７x－１＝0各根的相反數．練習B組１．選擇題:若關于x的方程x２＋(k2-1）x+k+１=０的兩實根互為相反數,則k的值為（）(A）１，或－1(Ｂ)1（C）－1(Ｄ）0２．填空:(１）若m，n是方程ｘ2+2０23x－1=０的兩個實數根，則m2ｎ＋ｍｎ2-mn的值等于．(2）假如a,b是方程x２＋x-1=0的兩個實數根，那么代數式a3＋a2b+aｂ2+b３的值是．3.已知關于x的方程x2-ｋx-2=0.（1)求證：方程有兩個不相等的實數根;(2）設方程的兩根為x1和x2,假如２(x１+x２)>ｘ1ｘ2,求實數k的取值范圍.４.一元二次方程aｘ2+bx+c＝0（a≠0)的兩根為ｘ１和x2.求:（1）|x１－x2|和;(２）x1３+x23．５.關于ｘ的方程x2＋4x＋m＝0的兩根為x1，x2滿足｜x1－ｘ2｜＝2,求實數m的值．2．2二次函數2.2.1二次函數y=ax2＋ｂx＋ｃ的圖像和性質一、復習引申：問題1函數y=aｘ2與y＝x2的圖象之間存在如何的關系?為了研究這一問題,我們可以先畫出y＝2x２，ｙ=ｘ2，ｙ＝－2ｘ2的圖象,通過這些函數圖象與函數y=x２的圖象之間的關系,推導出函數y＝aｘ2與y=x2的圖象之間所存在的關系.先畫出函數y=x2，ｙ＝2x2的圖象.先列表：x…－３-2-10123…x2…９41014９…2x２…1８8２０2818從表中不難看出,要得到2x2的值,只要把相應的x2的值擴大兩倍就可以了．再描點、連線，就分別得到了函數ｙ=x2,y=2x２的圖象(如圖2－1所示)，從圖２-1我們可以得到這兩個函數圖象之間的關系：函數y=２x2的圖象可以由函數y=x2的圖象各點的縱坐標變?yōu)楸緛淼膬杀兜玫?y＝x2y＝2x2圖2.2-1xOy同學們也可以用類似于上面的方法畫出函數y=x2，y＝x2y＝2x2圖2.2-1xOy通過上面的研究，我們可以得到以下結論：1、二次函數y=ax2(a≠0)的圖象可以由ｙ=x2的圖象各點的縱坐標變?yōu)楸緛淼腶倍得到.在二次函數y＝ax2（a≠0）中,二次項系數ａ決定了圖象的開口方向和在同一個坐標系中的開口的大?。畣栴}2函數y＝a(x＋h)2+k與ｙ=ax2的圖象之間存在如何的關系？同樣地，我們可以運用幾個特殊的函數圖象之間的關系來研究它們之間的關系．同學們可以作出函數y＝２(x＋１）２+1與ｙ=2ｘ2的圖象（如圖２-2所示）,從函數的同學我們不難發(fā)現,只要把函數y＝2x2的圖象向左平移一個單位,再向上平移一個單位，就可以得到函數y＝２(x+1)２+1的圖象．這兩個函數圖象之間具有“形狀相同，位置不同”的特點.類似地，還可以通過畫函數y＝-3x２,y＝－３(x－1)2＋１的圖象,研究它們圖象之間的互相關系．圖2.2-2x圖2.2-2xyO－1y＝2x2y＝2(x＋1)2y＝2(x＋1)2＋12、二次函數ｙ=ａ（x+h)2＋k(a≠0）中，a決定了二次函數圖象的開口大小及方向;h決定了二次函數圖象的左右平移，并且“h正左移,h負右移”；k決定了二次函數圖象的上下平移，并且“k正上移,k負下移”.由上面的結論，我們可以得到研究二次函數ｙ＝ax2＋bx+c(a≠0)的圖象的方法：由于y＝ax２+bｘ+c＝a（x2＋)＋c＝a(ｘ2+＋）＋c-,所以,y＝ａｘ2＋bx＋c(a≠0)的圖象可以看作是將函數y＝aｘ2的圖象作左右平移、上下平移得到的,于是，二次函數y＝ax2＋bｘ＋c（ａ≠0)具有下列性質:３、（1）當a＞０時，函數y=ax2＋bx＋c圖象開口向上;頂點坐標為,對稱軸為直線x＝－；當x＜時，y隨著ｘ的增大而減小;當x>時，ｙ隨著x的增大而增大；當x＝時，函數取最小值y=．(2）當a<0時，函數y=ax２+ｂx+c圖象開口向下；頂點坐標為，對稱軸為直線x＝－；當x＜時,y隨著x的增大而增大;當x>時，y隨著x的增大而減小;當ｘ=時,函數取最大值ｙ＝.xyxyOx＝－A圖2.2-3xyOx＝－A圖2.2-4二、典型例題：例1求二次函數y＝-3x２－6x＋１圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大值(或最小值),并指出當ｘ取何值時，ｙ隨x的增大而增大(或減小)?并畫出該函數的圖象.解:∵y=－3x2－6x＋１=－３(x+1)2＋４,xOyxOyx＝－1A(－1,4)D(0,1)BC圖2.2－5對稱軸是直線ｘ＝-１；頂點坐標為（-1,４）;當ｘ=－1時，函數ｙ取最大值ｙ=4；當x＜－１時，ｙ隨著ｘ的增大而增大;當x＞-1時，ｙ隨著x的增大而減小;采用描點法畫圖，選頂點A(-1,4))，與x軸交于點B和C，與y軸的交點為D（０，１），過這四點畫出圖象（如圖2－5所示).說明：從這個例題可以看出,根據配方后得到的性質畫函數的圖象,可以直接選出關鍵點，減少了選點的盲目性，使畫圖更簡便、圖象更精確．例2某種產品的成本是120元/件,試銷階段每件產品的售價x（元)與產品的日銷售量y(件)之間關系如下表所示:x/元１301501６５y／件70５０3５若日銷售量y是銷售價x的一次函數，那么,要使天天所獲得最大的利潤，每件產品的銷售價應定為多少元?此時天天的銷售利潤是多少？分析:由于天天的利潤＝日銷售量y×(銷售價ｘ－１２0）,日銷售量ｙ又是銷售價x的一次函數，所以，欲求天天所獲得的利潤最大值,一方面需規(guī)定出天天的利潤與銷售價x之間的函數關系,然后，再由它們之間的函數關系求出天天利潤的最大值．解:由于ｙ是x的一次函數,于是，設ｙ=ｋｘ+b將x＝130，y＝70;ｘ=15０，y＝5０代入方程，有解得k=-1,b=200．∴y＝-x+20０.設天天的利潤為z(元），則ｚ＝（－x＋200)(x－120)=-x２+３20x－2400０＝-(x-160）2＋1６00,∴當x=160時,z取最大值1６00.答:當售價為１６０元/件時，天天的利潤最大，為1６0０元.例3把二次函數y＝x2+ｂx+c的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到函數y=x2的圖像，求b，c的值.解法一：y=x２＋bx+ｃ=(x+)2，把它的圖像向上平移2個單位，再向左平移４個單位,得到的圖像,也就是函數y=x２的圖像，所以,解得b＝－8,ｃ=１４． 解法二：把二次函數y=ｘ2+bx＋c的圖像向上平移２個單位，再向左平移4個單位，得到函數y=x2的圖像，等價于把二次函數y＝x2的圖像向下平移２個單位，再向右平移４個單位,得到函數y＝x2＋bx+c的圖像． 由于把二次函數y＝x2的圖像向下平移２個單位,再向右平移４個單位,得到函數y＝(x-4)2＋2的圖像,即為y=ｘ2-8x+14的圖像，∴函數ｙ＝x２-８x＋１4與函數y=x2＋ｂx＋c表達同一個函數，∴ｂ＝-8，c=14.說明:本例的兩種解法都是運用二次函數圖像的平移規(guī)律來解決問題,所以，同學們要牢固掌握二次函數圖像的變換規(guī)律．這兩種解法反映了兩種不同的思維方法:解法一,是直接運用條件進行正向的思維來解決的,其運算量相對較大；而解法二，則是運用逆向思維,將本來的問題等價轉化成與之等價的問題來解，具有計算量小的優(yōu)點.此后，我們在解題時，可以根據題目的具體情況,選擇恰當的方法來解決問題.三、練習A1.選擇題：(1）下列函數圖象中，頂點不在坐標軸上的是()（Ａ)y＝2x２（B）ｙ＝2x2-４x＋2（Ｃ)y=2x２－1（D）ｙ＝2ｘ２-4x（２)函數y＝2(ｘ-1）2+２是將函數y＝2x２（)(A）向左平移1個單位、再向上平移2個單位得到的(B)向右平移２個單位、再向上平移1個單位得到的（Ｃ)向下平移2個單位、再向右平移1個單位得到的(Ｄ)向上平移２個單位、再向右平移1個單位得到的2．填空題(1)二次函數y＝２x2－ｍx+ｎ圖象的頂點坐標為(1,－２），則m＝,ｎ=.（2)已知二次函數y＝x2+（m-2)ｘ-2ｍ,當ｍ＝時,函數圖象的頂點在y軸上；當m=時,函數圖象的頂點在x軸上;當m＝時,函數圖象通過原點．（3）函數y＝-３(x＋２)2+5的圖象的開口向,對稱軸為，頂點坐標為；當x=時,函數取最值ｙ＝;當ｘ時,y隨著x的增大而減?。?.求下列拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大(?。┲导皔隨x的變化情況，并畫出其圖象.（1）y=ｘ2－2x－3;（2）y=1＋6ｘ－ｘ2.2．2.2二次函數的三種表達方式一、復習引申：通過上一小節(jié)的學習,我們知道，二次函數可以表達成以下兩種形式：1.一般式:ｙ＝aｘ2+bｘ+c(ａ≠0);2.頂點式:y＝a（x＋h)2＋ｋ(a≠０),其中頂點坐標是(－h(huán),k).除了上述兩種表達方法外，它還可以用另一種形式來表達．為了研究另一種表達方式,我們先來研究二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與ｘ軸交點個數．當拋物線y=ａｘ2＋bｘ+ｃ(ａ≠0）與x軸相交時,其函數值為零，于是有ａx2+bｘ+c＝0．① 并且方程①的解就是拋物線y=ａx2＋bｘ＋c（ａ≠0)與x軸交點的橫坐標（縱坐標為零），于是，不難發(fā)現,拋物線y=aｘ2＋bｘ+c(a≠０）與x軸交點個數與方程①的解的個數有關，而方程①的解的個數又與方程①的根的判別式Δ＝b2-４ａc有關，由此可知，拋物線ｙ＝ax２＋bx＋ｃ(a≠0)與x軸交點個數與根的判別式Δ＝ｂ2－４ａc存在下列關系:（１）當Δ>0時，拋物線y＝ax2+bｘ+c(ａ≠0）與x軸有兩個交點;反過來，若拋物線y=ax2+bx+c(a≠0）與ｘ軸有兩個交點，則Δ＞0也成立.（２）當Δ＝0時，拋物線y=ax2＋bｘ+c（a≠0）與ｘ軸有一個交點(拋物線的頂點）；反過來，若拋物線y=ax2＋bx＋c(a≠０）與x軸有一個交點,則Δ＝０也成立．（３）當Δ＜0時，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸沒有交點；反過來,若拋物線ｙ=ａx2+bx＋ｃ(a≠０）與ｘ軸沒有交點，則Δ＜0也成立．于是,若拋物線y＝ax2＋bｘ+ｃ(a≠０)與x軸有兩個交點A(ｘ１，0)，B（x2,0）,則ｘ1,ｘ2是方程ａx２+bx+c＝0的兩根,所以x1＋ｘ2=，x１x2=,即＝－(x1+x2),＝ｘ1x2.?所以,y=ａx2＋bx＋c=ａ()=a[x2－(x１+x2)ｘ+x1x2]＝a(x－ｘ1)（x－x２).由上面的推導過程可以得到下面結論： 若拋物線y=ax2＋bx＋c（a≠0)與x軸交于A(x1，０)，Ｂ(x2，0)兩點，則其函數關系式可以表達為y=ａ(ｘ－x1）(x-ｘ2)(a≠０).?這樣，也就得到了表達二次函數的第三種方法:3．交點式：y=a(x－ｘ1)（x－ｘ2)（a≠0)，其中x１，x2是二次函數圖象與x軸交點的橫坐標.此后,在求二次函數的表達式時，我們可以根據題目所提供的條件,選用一般式、頂點式、交點式這三種表達形式中的某一形式來解題.二、典型例題:例1已知某二次函數的最大值為２，圖像的頂點在直線y＝x＋1上,并且圖象通過點（3，-1)，求二次函數的解析式.分析：在解本例時,要充足運用題目中所給出的條件——最大值、頂點位置，從而可以將二次函數設成頂點式,再由函數圖象過定點來求解出系數ａ．解:∵二次函數的最大值為2，而最大值一定是其頂點的縱坐標，∴頂點的縱坐標為2.又頂點在直線ｙ＝x＋1上,所以，2=x+１,∴x=１．∴頂點坐標是（1，2).設該二次函數的解析式為,∵二次函數的圖像通過點（3，－１）,∴，解得a＝．∴二次函數的解析式為,即y＝說明：在解題時,由最大值擬定出頂點的縱坐標,再運用頂點的位置求出頂點坐標，然后設出二次函數的頂點式,最終解決了問題.因此,在解題時,要充足挖掘題目所給的條件,并巧妙地運用條件簡捷地解決問題．例2已知二次函數的圖象過點（－3，0）,(１，0),且頂點到x軸的距離等于2,求此二次函數的表達式.分析一：由于題目所給的條件中，二次函數的圖象所過的兩點事實上就是二次函數的圖象與x軸的交點坐標，于是可以將函數的表達式設成交點式.解法一:∵二次函數的圖象過點(-3,０）,（１,0）,∴可設二次函數為ｙ=ａ(x＋3)(ｘ-1）（a≠0),展開,得ｙ=aｘ２+２ax-3ａ,頂點的縱坐標為，由于二次函數圖象的頂點到x軸的距離2，∴｜-4a｜=２，即ａ=．所以,二次函數的表達式為y＝,或y=-. 分析二：由于二次函數的圖象過點(－3,０)，(1，0），所以,對稱軸為直線ｘ=－1,又由頂點到x軸的距離為2,可知頂點的縱坐標為2，或-2，于是,又可以將二次函數的表達式設成頂點式來解,然后再運用圖象過點（－3，0)，或(1,０），就可以求得函數的表達式.?解法二：∵二次函數的圖象過點(－3,０),(1,0)，∴對稱軸為直線x=－1．又頂點到x軸的距離為2,∴頂點的縱坐標為2,或-2.于是可設二次函數為y＝a(x＋１）2+２,或y＝a(x＋1)2－2,由于函數圖象過點（1，０)，∴0=a(1＋1）2+2,或0＝ａ(1＋１)2-2．∴a＝－，或ａ＝．所以,所求的二次函數為y＝－(x+1)2＋２，或y=(x+１)２－２. 說明:上述兩種解法分別從與x軸的交點坐標及頂點的坐標這兩個不同角度,運用交點式和頂點式來解題，在此后的解題過程中,要善于運用條件,選擇恰當的方法來解決問題.例3已知二次函數的圖象過點(－1,-２2),（0，－8)，（2，8)，求此二次函數的表達式.解：設該二次函數為y=ａx２+bｘ+ｃ(a≠０).由函數圖象過點(-１，-22),(0，-8),(2,８),可得解得ａ=－2,b=1２，c=-８．所以，所求的二次函數為y＝-2x2＋1２x-８．通過上面的幾道例題,同學們能否歸納出：在什么情況下，分別運用函數的一般式、頂點式、交點式來求二次函數的表達式?三、練習Ａ1．選擇題:（1)函數y=-x２＋ｘ-1圖象與x軸的交點個數是()（Ａ）0個(B）１個(C）2個(Ｄ)無法擬定（2）函數y＝－eq\f(１,２)(x＋1)２+2的頂點坐標是()(Ａ)(1，2）(B)(1,－2)(C）(-1,2）（D)(－1,－2)2．填空:（1）已知二次函數的圖象通過與x軸交于點(-1，０)和(2，０),則該二次函數的解析式可設為y＝a(ａ≠0)．(2）二次函數y＝-ｘ2+２eq＼r（3)x+１的函數圖象與x軸兩交點之間的距離為．3.根據下列條件，求二次函數的解析式.（1）圖象通過點(1,－2),(0，－3),(-1，-6);（2)當ｘ=３時，函數有最小值5，且通過點(１，1１);（3）函數圖象與x軸交于兩點(1-eq\r(2),０)和（1+eｑ\ｒ(2)，0)，并與y軸交于(0,-2).２.２.3二次函數的簡樸應用 一、函數圖象的平移變換與對稱變換?１.平移變換 問題1在把二次函數的圖象進行平移時,有什么特點?依據這一特點,可以如何來研究二次函數的圖象平移？ 我們不難發(fā)現:在對二次函數的圖象進行平移時,具有這樣的特點——只改變函數圖象的位置、不改變其形狀，因此，在研究二次函數的圖象平移問題時,只需運用二次函數圖象的頂點式研究其頂點的位置即可.?例1求把二次函數y＝ｘ2－4ｘ＋3的圖象通過下列平移變換后得到的圖象所相應的函數解析式：?(1）向右平移２個單位，向下平移1個單位； (2)向上平移３個單位,向左平移2個單位． ?分析:由于平移變換只改變函數圖象的位置而不改變其形狀(即不改變二次項系數),所以只改變二次函數圖象的頂點位置(即只改變一次項和常數項）,所以，一方面將二次函數的解析式變形為頂點式,然后,再依據平移變換后的二次函數圖象的頂點位置求出平移后函數圖像所相應的解析式．??解:二次函數ｙ＝2ｘ２－４ｘ－3的解析式可變?yōu)閥＝2（ｘ－1)2－1,??其頂點坐標為(１,－１)． ?（1)把函數y＝2(x-1）２－1的圖象向右平移2個單位,向下平移1個單位后,其函數圖象的頂點坐標是(3,－2），所以,平移后所得到的函數圖象相應的函數表達式就為y=2（x-3)2－2．xyOx＝－1A(1,－1)A1(－3,－1)圖2.2－7xyOxyOx＝－1A(1,－1)A1(－3,－1)圖2.2－7xyOy＝1A(1,－1)B(1，3)圖2.2－8? 2.對稱變換 問題2在把二次函數的圖象關于與坐標軸平行的直線進行對稱變換時，有什么特點?依據這一特點，可以如何來研究二次函數的圖象平移???例2求把二次函數y＝２x2-4x+1的圖象關于下列直線對稱后所得到圖象相應的函數解析式:?（1)直線x=-1;?（2)直線ｙ＝１.? 解：（1）如圖2.2－7，把二次函數y＝2x2－4ｘ＋1的圖象關于直線ｘ=－1作對稱變換后,只改變圖象的頂點位置，不改變其形狀. 由于y＝2x２-４x+１=2（x－1）2-１，可知，函數y=2x２-４ｘ+１圖象的頂點為A(1，-1），所以，對稱后所得到圖象的頂點為A１（－３，-1)，所以,二次函數y=2x2-4x＋１的圖象關于直線x=-１對稱后所得到圖象的函數解析式為y=２(ｘ+3)2-1,即y=２x2+1２x＋1７.??（２)如圖2．2－8,把二次函數y＝2x2-4x＋1的圖象關于直線y=-1作對稱變換后，只改變圖象的頂點位置和開口方向，不改變其形狀.??由于y＝２ｘ２－4x＋1＝2（x－1）２－1，可知，函數y=2x２-４x＋1圖象的頂點為A(１，-１),所以，對稱后所得到圖象的頂點為B(1,3),且開口向下，所以，二次函數y=2x２-4x+1的圖象關于直線y＝１對稱后所得到圖象的函數解析式為ｙ=－２(x－1)2+3,即ｙ＝－2x2＋４ｘ+1．二、分段函數 一般地，假如自變量在不同取值范圍內時，函數由不同的解析式給出，這種函數，叫作分段函數.?例3在國內投遞外埠平信，每封信不超過20g付郵資８0分，超過20g不超過４0g付郵資1６0分,超過４0g不超過6０g付郵資24０分,依此類推，每封xg(0<x≤1００)的信應付多少郵資（單位:分）?寫出函數表達式,作出函數圖象. 分析:由于當自變量ｘ在各個不同的范圍內時，應付郵資的數量是不同的．所以,可以用分段函數給出其相應的函數解析式.在解題時，需要注意的是，當ｘ在各個小范圍內(如２0＜x≤４0）變化時,它所相應的函數值(郵資)并不變化（都是160分).?解:設每封信的郵資為y(單位:分），則y是x的函數.這個函數的解析式為x(克)yx(克)y(分)O圖2.2－92040608010040032024016080 由上述的函數解析式，可以得到其圖象如圖2.２-9所示.三、配方法及其應用1、同學們知道，在求二次函數的圖象的頂點坐標或求最大(小)值時需用到變形：,這種變形的過程就叫配方。具體過程為 ?? 用配方來解決最大(小)值等問題的方法叫作配方法,這是高中數學最重要的方法之一，望同學們給予足夠的重視,在上高中之前務必先學會并掌握配方。例1、將下列二次函數式配方:(1) ? （2)（３) ?? (4）解：（1)（2)（３）（４)例2、求下列二次函數的最大（或最小)值：（1)? ?(2）(3)????（４）解：(1）∴當時ｙ取最小值(2)∴當x=3時，ｙ取最大值10(3)∴當x=-2時,y取最小值-1(4）∴當ｘ＝－２時，ｙ取最大值-３思考:1、二次函數式的配方和分解因式的區(qū)別是什么？２、你是否已概括出了配方的幾個環(huán)節(jié)？(注:最佳不要用公式去套）四、練習A組將下列二次函數配方 ? ?(１）? ?? ?（2）? ? (3)? ?? ?(4) ? ?（5) ? ????（6）? ?? （7） ?（8）? ? ?（9）? ? (10)? ? ?(1１) ? ? （1２） ? ?(13）?? ???(１4） ???（15) 2．３方程與不等式2.3.1二元二次方程組解法一、概念：方程是一個具有兩個未知數,并且具有未知數的項的最高次數是2的整式方程,這樣的方程叫做二元二次方程.其中,，叫做這個方程的二次項,，叫做一次項,6叫做常數項.我們看下面的兩個方程組：第一個方程組是由一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的,第二個方程組是由兩個二元二次方程組成的，像這樣的方程組叫做二元二次方程組.下面我們重要來研究由一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的方程組的解法．一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的方程組一般可以用代入消元法來解．二、典型例題：①②例1解方程組①②分析：二元二次方程組對我們來說較為生疏,在解此方程組時,可以將其轉化為我們熟悉的形式．注意到方程②是一個一元一次方程,于是，可以運用該方程消去一個元,再代入到方程①，得到一個一元二次方程，從而將所求的較為生疏的問題轉化為我們所熟悉的問題．解：由②，得ｘ=2y＋2，③把③代入①,整理,得8y２＋8ｙ＝０,即y(ｙ+1)＝0．解得y1＝0,y2=-1.把y１＝0代入③,得x1＝２;把y2=－1代入③,得x２=0.所以原方程組的解是說明：在解類似于本例的二元二次方程組時,通常采用本例所介紹的代入消元法來求解．例2解方程組①②①②解法一：由①，得③把③代入②,整理，得解這個方程，得．把代入③,得；把代入③，得.xO－23y＝xO－23y＝x2－x－6yy＞0y＞0y＜0圖2.3－1解法二:對這個方程組，也可以根據一元二次方程的根與系數的關系,把看作一個一元二次方程的兩個根，通過解這個一元二次方程來求.這個方程組的是一元二次方程的兩個根，解這個方程,得,或.所以原方程組的解是三、練習A１.下列各組中的值是不是方程組的解?（)（1)（2)(3)(4)2.解下列方程組:（1)(2)(3)（4)２.3.2一元二次不等式解法一、引入：二次函數y＝x2-x－6的相應值表與圖象如下：x-３－2-1012３4y60－4-6-6－40６由相應值表及函數圖象(如圖2.3－１)可知當x＝-２,或x＝3時,y＝０,即x2－x-6=0;當x<-2,或x＞3時,y＞0,即x2－x－6＞0;當-2＜x＜3時，y<0，即ｘ２－x－6＜0.這就是說，假如拋物線y=x2－x-6與x軸的交點是(－２，０）與(3，０），那么一元二次方程x2－ｘ-6=０的解就是x１=-2,x2＝3;同樣，結合拋物線與ｘ軸的相關位置,可以得到一元二次不等式ｘ2－x-6>0的解是x<－2,或x＞3；一元二次不等式x2-x-６<０的解是-2<x＜3.上例表白:由拋物線與x軸的交點可以擬定相應的一元二次方程的解和相應的一元二次不等式的解集. 那么,如何解一元二次不等式aｘ２＋bｘ＋c>0(a≠0)呢??我們可以用類似于上面例子的方法,借助于二次函數y＝ax2+bｘ＋c(ａ≠0)的圖象來解一元二次不等式aｘ２＋bｘ＋c>0(a≠0).為了方便起見,我們先來研究二次項系數a>０時的一元二次不等式的解.我們知道，對于一元二次方程ax２+bx+c＝0（ａ>0),設△=ｂ2-4ac,它的解的情形按照△＞0,△=０，△<0分別為下列三種情況——有兩個不相等的實數解、有兩個相等的實數解和沒有實數解,相應地,拋物線y＝ax２+ｂx＋ｃ(ａ＞0)與x軸分別有兩個公共點、一個公共點和沒有公共點(如圖2.3-２所示），因此,我們可以分下列三種情況討論相應的一元二次不等式ａｘ2＋ｂx+c＞０(a>0）與ａx2＋ｂx+ｃ<０（a>0)的解． (1）當Δ>0時，拋物線y=ａx2+bx+ｃ（a>0）與x軸有兩個公共點(ｘ1,０)和（ｘ2,0),方程ax２＋bx＋c=0有兩個不相等的實數根x１和x2(x1<x2）,由圖2.３-２①可知xxyOx1x2xyOx1=x2yxO圖2.3－2②③①不等式ax2＋bx＋ｃ>0的解為x＜x１,或x＞ｘ2；不等式ax２＋bｘ＋c＜０的解為ｘ1＜x＜x2．（2）當Δ=０時，拋物線y=ａx2＋bx+c（a＞0)與x軸有且僅有一個公共點,方程aｘ2＋bx+ｃ＝0有兩個相等的實數根x１＝x2=－eｑ\f(b，2a)，由圖2．3－2②可知不等式ａx2+bx+ｃ>0的解為x≠－ｅq＼f(ｂ,2a);不等式aｘ2＋ｂx＋c<0無解． (3）假如△<0,拋物線y＝ａx2＋bx＋c（ａ＞0）與x軸沒有公共點，方程ａx2+bｘ＋c=0沒有實數根,由圖2.3－2③可知不等式ax2+bｘ＋c＞0的解為一切實數;不等式aｘ2+bｘ+c＜0無解.?此后,我們在解一元二次不等式時，假如二次項系數大于零，可以運用上面的結論直接求解;假如二次項系數小于零,則可以先在不等式兩邊同乘以-1,將不等式變成二次項系數大于零的形式，再運用上面的結論去解不等式． 二、典型例題:例3解不等式：（1）x２+2x-3<0；（2)x－x2+６＜０;(3)４ｘ２＋4x+１≥０；(4)x２－６ｘ+9≤0;(5)－4+x－x２＜０．解:（１）∵Δ＞０,方程x2＋2x-3=0的解是x１＝－３,x2＝１.∴不等式的解為－3<x<１．(2)整理,得x2－ｘ-6>0．∵Δ>0，方程x２－x-6＝0的解為x1=－2,x2＝3．∴所以,原不等式的解為x<-2,或x>3．（3)整理,得(２x＋１)2≥0.由于上式對任意實數x都成立,∴原不等式的解為一切實數.（４）整理,得(x-3）2≤0.由于當x=3時,（ｘ-3）2＝0成立;而對任意的實數x,（x-3)2<０都不成立，∴原不等式的解為ｘ=3．（5）整理，得ｘ2－x+