2022-2023學(xué)年江西省撫州市八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年江西省撫州市八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共6小題，共18.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.珍愛生命，遵守交通規(guī)則，下列標(biāo)志既是軸對稱又是中心對稱圖形的是（）

A.禁止掉頭B.禁止車輛長時(shí)間停放

C.U環(huán)島行駛D.立交直行和左轉(zhuǎn)行駛

2.若x<y,則下列不等式一定成立的是（）

A.—2x<—2yB.x—2<y—2C.nx>myD.

3.某等腰三角形的頂角50。，則其每個(gè)底角是（）

A.50°B.60°C.65°D.80°

4.下列因式分解正確的是()

A.2-8a2=2(1+2a)(1-2a)B.x2+4y2=(%+2y/

C.a2—b2={a—<)2D.x2—4y2=(%+4y)(x—4y)

5.如圖，直線y=kx+b交x軸于點(diǎn)2（-2,0）,直線y=mx+n

交x軸于點(diǎn)B（5,0）,這兩條線相交于點(diǎn)C（l,p）,則不等式fee+

6<小刀+n的解集為（）

A.x<—2

B.-2<x<1

C.x>5

D.x<1

6.如圖，△28C中，/-BAC=90°,AD1BC,N48C的平分線BE交4。于點(diǎn)F,4G平分

給出下歹！］結(jié)論：①NB4D=NC；@AE=AF；③乙EBC=心@FG//AC-,⑤EF=FG.其

中正確的結(jié)論有個(gè).（）

A

C.4

二、填空題(本大題共6小題，共18.0分)

7.將3/y-27y因式分解為.

8.已知點(diǎn)M(3a-9,1-a),將M點(diǎn)向左平移3個(gè)單位長度后落在y軸上，則M的坐標(biāo)是.

9.若正多邊形的內(nèi)角和是540。，則該正多邊形的一個(gè)外角為°.

10.如圖所示，已知AABC的周長是20,OB,OC分另U平分N4BC和A

/-ACB,OD1BC于D,且。。=3,則△28C的面積是,/\

11.已知關(guān)于x的方程=-m-4=:有增根，則TH的值為_____.

x—33—x

12.如圖，在平行四邊形ZBCD中，Z-ABC=105°,對角線月甲、-------------

AC,80交于點(diǎn)。，乙DAC=30°,AC=4,點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，\/\

沿著邊BC、CD運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。停止，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，若AOPC\\

是直角三角形，則CP的長是.去/__________

三、解答題(本大題共11小題，共84.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

13.(本小題6.0分)

(1)分解因式:6xy2-9x2y-y3；

(2)解不等式：5(%+5)<32+2%.

14.(本小題6。分)

(1%+3

解不等式組“〈亍，并把解集在如圖所示的數(shù)軸上表示出來.

(2(%+2)>%+1

一5一4一3—2—1012345

15.(本小題6.0分)

先化簡(2-a+1)+正竽，然后從-2<x<2的范圍內(nèi)選擇一個(gè)合適的整數(shù)作為x的值

%+1/a+1

代入求值.

16.(本小題6.0分)

如圖，已知4B=AC,AE=CE,四邊形BECF是平行四邊形，請僅用無刻度的直尺按要求作

圖：

(1)在圖1中作△4BC的高4H；

(2)在圖2中4&邊上作一點(diǎn)M,使EM=\BC.

圖?圖2

17.(本小題6.0分)

如圖，已知NC=ND=90。，BC與AD交于點(diǎn)E,AC=BD,求證：AE=BE.

18.(本小題8.0分)

某學(xué)校為了預(yù)防甲型流感，需要購買甲、乙兩種消毒液，已知購買3桶甲消毒液和2桶乙消毒

液，需費(fèi)用390元：4桶甲消毒液比5桶乙消毒液的費(fèi)用多60元.

(1)求甲、乙兩種消毒液每桶各多少元？

(2)若學(xué)校計(jì)劃購買甲、乙兩種消毒液共30桶，且甲消寄液的桶數(shù)不少于乙消毒液桶數(shù)的一半,

甲、乙兩種消海液的總費(fèi)用不超過2170元，該校共有哪幾種購買方案？采用哪一種購買方案

可使總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是多少元？

19.(本小題8.0分)

“三等分角”是被稱為幾何三大難題的三個(gè)古希臘作圖難題之一.如圖1所示的“三等分角儀”

是利用阿基米德原理做出的.這個(gè)儀器由兩根有槽的棒P4組成，兩根棒在P點(diǎn)相連并可

繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，C點(diǎn)是棒P4上的一個(gè)固定點(diǎn)，點(diǎn)4?？稍诎鬚4PB內(nèi)的槽中滑動(dòng)，且始終保持

OA=OC=PC.乙4OB為要三等分的任意角.則利用“三等分角儀”可以得到乙4PB=

^1AOB.

我們把“三等分角儀”抽象成如圖2所示的圖形，完成下面的證明.

已知：如圖2,點(diǎn)。，C分別在N4P8的邊PB,P2上，且。2=。。=PC.

1

求證：Z-APB=^AAOB.

20.(本小題8.0分)

如圖，在△28C中，點(diǎn)。為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，4E平分NBAC,CELAE,點(diǎn)F在4B

上，S.BF=DE.

(1)求證：四邊形BOEF是平行四邊形；

(2)線段AB,BF,4C之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你所得到的結(jié)論.

C

B-D

21.(本小題9。分)

定義：如果一個(gè)分式能化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱這個(gè)分式為

2.x—32%+2—52%+2

“和諧分式”如===U+六=1+占==

x+1%+1x+1x+1

-5則言和箸都是“和諧分式”

%+1'

(1)下列式子中，屬于“和諧分式”的是(填序號)；

①學(xué)②竽③答④等

(2)將“和諧分式”立罕化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式為：

a—1

a2—2a+3.

------+-----;

(3)應(yīng)用：先化簡普—二十一，并求x取什么整數(shù)時(shí)，該式的值為整數(shù).

x+1xxz+2x

22.(本小題9。分)

如圖①，在等邊AABC中，點(diǎn)。、E分別是AB、4c上的點(diǎn)，BD=AE,BE與CD交于點(diǎn)0.

(1)填空：乙B0C=______度；

(2)如圖②，以C。為邊作等邊△OCF,4F與B。相等嗎？并說明理由；

(3)如圖③，若點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，連接A。、G0,判斷4。與G。有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

23.(本小題12.0分)

如圖1,在四邊形4BCD中，AB=AD,Z.B+zXDC=180°,點(diǎn)E,F分別在四邊形2BCD的邊

BC,CD上，Z.EAF=^BAD,連接EF.

(1)思路梳理：將AABE繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AaDG,如圖1,使4B與4。重合，由NB+N4DC=

180°,得NFDG=180。，即點(diǎn)尸，D,G三點(diǎn)共線,易證△4FG三△AFE,故EF,BE,DF之間

的數(shù)量關(guān)系為;

(2)類比引申：如圖2,在圖1的條件下，若點(diǎn)E,F由原來的位置分別變到四邊形2BC的邊CB,

DC的延長線上，連接EF,試猜想EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；

(3)聯(lián)想拓展：如圖3,在仆ABC中,^BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D,E均在邊BC上,且ACME=45°,

若BD=1,EC=2,求OE的長.

答案和解析

L【答案】B

【解析】解：4、該圖形既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；

8、該圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，符合題意；

C、該圖形既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；

。、該圖形既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意.

故選：B.

根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能

夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

180%如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是

它的對稱中心，進(jìn)行逐一判斷即可.

本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握軸對稱圖形和中心對

稱圖形的定義.

2.【答案】B

【解析】解：x<y,

二由不等式的性質(zhì)3得一2%>-2y,

由不等式的性質(zhì)1，得x-2<y-2,

由不等式的性質(zhì)2,得與<與

m,幾的符號、大小不確定，

nx與my的大小不能確定，

故選：B.

根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算辨別即可.

此題考查了不等式性質(zhì)的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能根據(jù)不等式的變化正確選擇對應(yīng)的性質(zhì).

3.【答案】C

【解析】解：???等腰三角形的頂角50。，

???每個(gè)底角=jx(180°-50°)=65°,

故選：c.

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論.

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.【答案】A

【解析】解：4、2-8a2=2(1+2a)(l-2a),故A選項(xiàng)符合題意；

B、/+4y2不能進(jìn)行因式分解，故B選項(xiàng)不符合題意；

C、a?-=(a-b)(a+b),故C選項(xiàng)不符合題意；

D、x2—4y2s=(%+2y)(x—2y),故。選項(xiàng)不符合題意.

故選：A.

運(yùn)用平方差和完全平方公式分解因式，然后判斷即可.

本題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握平方差和完全平方公式，能夠運(yùn)用平方差公式分解因式

的多項(xiàng)式必須是二項(xiàng)式，兩項(xiàng)都能寫成平方的形式，且符號相反；能運(yùn)用完全平方公式分解因式

的多項(xiàng)式必須是三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)能寫成兩個(gè)數(shù)(或式)的平方和的形式，另一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)(或

式)的積的2倍；要注意公式的綜合應(yīng)用，分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止.

5.【答案】D

【解析】解：根據(jù)函數(shù)圖象，當(dāng)久<1時(shí)，kx+b<mx+n,

所以不等式kx+b<mx+幾的解集為工<1.

故選：D.

結(jié)合函數(shù)圖象，寫出直線y=kx+b不在直線y=rnx+n的上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可.

本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法.

6.【答案】B

【解析】解：連接EG,如圖所示：

VABAC=90°,AD1BC,

ZC+^ABC=90°,^ABC+ABAD=90°.

???Z-BAD=Z.C,

故①選項(xiàng)符合題意；

???BE,4G分另是N4BC、AEMC的平分線，

???/-ABF=乙EBD.

???Z.AFE=乙BAD+乙ABF,Z.AEB=zC+乙EBD,

???Z-AFE=Z-AEF,

AF=AE,

故②選項(xiàng)符合題意；

③假設(shè)4EBC=（C,

則有乙0=2乙480,

???Z.BAC=90°

???ZC=30°,

但4cH30°,

故③選項(xiàng)不符合題意；

④???AG是4D4c的平分線，AE=AF,

AN1BE,FN=EN,

???乙ANB=乙BNG=90°,

在4/8'與△GBN中，

NABN=2GBN

BN=BN,

/ANB=乙BNG

??△ABN三AGBNQ4S4）,

??.AN=GN,

???FN=EN,

???四邊形AFGE是平行四邊形，

??.GF//AE,

即GF〃4C,

故④選項(xiàng)符合題意；

⑤vAE=AF,AE-FG,

而△AEF不是等邊三角形，

EFHAE,

???EF豐FG,

故⑤選項(xiàng)不符合題意,

故正確的選項(xiàng)有：①②④，

故選：B.

連接EG,根據(jù)等角的余角相等可判斷①選項(xiàng)；根據(jù)3仄46分另|］是乙48。、4n4。的平分線，/員4。=

NC,可得到NAFE=N4EF,進(jìn)一步即可判斷②選項(xiàng)；假設(shè)NEBC=/C,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理

可得NC=30。，但NC力30。，可判斷③選項(xiàng)；④證明AABN三△GBNQISa),可得AN=GN,從

而證出四邊形AFGE是平行四邊形，可判斷④選項(xiàng)；⑤由4E=AF,AE=FG,而AAEF不是等邊

三角形，得到EFKAE,于是EFRFG,可判斷⑤選項(xiàng).

本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等，熟練掌握

這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.【答案】3文久+3)(%—3)

【解析】解:原式=3y(x2-9)=3y(x+3)(x-3),

故答案為：3y(x+3)(x-3).

先提公因式，再利用平方差公式可進(jìn)行因式分解.

本題考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前提.

8.【答案】(3,—3)

【解析】解：根據(jù)題意，得，3a-9一3=0,

解得a=4,

???”(3,-3),

故答案為(3,-3).

根據(jù)平移時(shí)，坐標(biāo)的變化規(guī)律“上加下減，左減右加”構(gòu)建方程求解即可.

此題考查了平移時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律：橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐標(biāo)上移加，下移減.

9【答案】72

【解析】解：???正多邊形的內(nèi)角和是540。，

???多邊形的邊數(shù)為540。+180°+2=5,

???多邊形的外角和都是360。，

二正多邊形的一個(gè)外角=360+5=72°.

故答案為：72.

根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式0-2)?180。求出正多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的外角和是固定的

360。，依此可以求出正多邊形的一個(gè)外角.

本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和之間的關(guān)系，關(guān)鍵是記住內(nèi)角和的公式與外角和的特征,

難度適中.

10.【答案】30

【解析】解：如圖，連接04太

?：OB、OC分另IJ平分NABC和NACB,/；\

???點(diǎn)。至火8、AC、BC的距離都相等，/94\

???△ABC的周長是20,OD1BC^D,且。D=3,口^\\

RDC

S4ABe=，X20X3=30.

故答案為：30.

根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得點(diǎn)。到AB、AC,BC的距離都相等，從而可得到

A4BC的面積等于周長的一半乘以。D,然后列式進(jìn)行計(jì)算即可求解.

本題考查的是角平分線的性質(zhì)，熟知角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)及判斷出三角

形的面積與周長的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

11.【答案】—3或1

【解析】解：去分母，可得：x-4-(m+4)(%-3)=-m,

整理，可得：(m+3)x=4?n+8①，

(1)方程①無實(shí)數(shù)根，即機(jī)+3=0且4nl+8H0,

解得：m=-3.

(2)方程①的根x=鬻是增根，則鬻=3,

解得：m=1.

綜上，可得：根=-3或1.

故答案為：-3或1.

根據(jù)題意，可得：關(guān)于X的方程號-加-4=產(chǎn)去分母后所得整式方程有增根，或解這個(gè)整式

方程得到的解使原方程的分母等于0,據(jù)此求出山的值是多少即可.

此題主要考查了分式方程的解，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確分式方程無解的條件：去

分母后所得整式方程無解，或解這個(gè)整式方程得到的解使原方程的分母等于0.

12.【答案】殍或「或/至

【解析】解：???四邊形4BC0是平行四邊形，

1

...OA=OC=^AC=2,AB］〔CD,AD//BC,

???乙OCD=ABAC,乙BCO=乙DAC=30°,乙BAD=180°-AABC=180°-105°=75°,

???乙OCD=Z.BAC=75°-30°=45°,

分三種情況：

??,乙BCO=30°,

OP=^-OC=—,CP=2OP

...OP=^OC=i,CP=HOP=C；

③當(dāng)點(diǎn)「在⑺上，NOPC=90。時(shí)，如圖3所示:

p

'o

淤---------------------------

圖3

???乙OCD=45°,

OPC是等腰直角三角形，

CP=OC=A/-2；

綜上所述，若AOPC是直角三角形，貝IJCP的長是當(dāng)m或C或，至，

故答案為：殍或C或，攵.

由平行四邊形的性質(zhì)得04=0C=|xc=2,AB11CD,AD//BC,求出NBC。=/.DAC=30°,

ZOCD=乙BAC=45°,分三種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在BC上，/.POC=90。時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)P在BC上，LOPC=

90。時(shí)；③當(dāng)點(diǎn)P在CD上，NOPC=90。時(shí)；由直角三角形的性質(zhì)分別求出CP即可.

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾

股定理等知識；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.【答案】解:(1)原式=一丫y一6久y+9/)

=-y(y—3x)2；

(2)5(%+5)<32+2x,

去括號，得：5%+25<32+2%,

移項(xiàng)，得：5%-2%<32-25,

合并同類項(xiàng)，得：3xW7,

系數(shù)化為1,得：%<|.

【解析】(1)直接提取公因式-y,再利用完全平方公式分解因式即可；

(2)直接利用一元一次不等式的解法，進(jìn)而得出答案.

此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式、一元一次不等式的解法，正確運(yùn)用公式法分

解因式是解題關(guān)鍵.

X<—(1)

14.【答案】解：“<2°,

(2(x+2)>x+l@

解不等式①得：%<3,

解不等式②得：%>-3,

???原不等式組的解集為：-3Wx<3,

.?.該不等式組的解集在數(shù)軸上表示如圖所示:

I|||III

—5—4—3—2—1012345

【解析】按照解一元一次不等式組的步驟，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握解一元一次不等式組的

步驟是解題的關(guān)鍵.

15.【答案】解：原式=島5-$)]?總?

a十j.a十J.(a—2)

_3—a2+la+1

—a+1Q-2)2

_4—a2

一(T)2

_(2—a)(2+a)

一(2一3

_a+2

-2^a

由分式有意義的條件可知：a#—l,a豐2,

二故a可取，a=0,

二原式=1=1.

【解析】根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，然后將a的值代入原式即可求出答案.

本題考查分式的運(yùn)算,解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的加減運(yùn)算以及乘除運(yùn)算,本題屬于基礎(chǔ)題型.

16.【答案】解：(1)4H即為所求;

(2)點(diǎn)M即為所求.

圖1圖2

【解析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)作圖；

(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及三角形三條中線的特點(diǎn)作圖.

本題考查了復(fù)雜作圖，掌握平行四邊形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

17.【答案】證明：???ZC=ZD=90°,

???△BD4是直角三角形，

在RtAACB^WRtA中，

(AB=BAamp-,

(XC=BDamp;'

???Rt△ACB=RtABDA(HL),

/.ABC=/.BAD,

AE=BE.

【解析】由HL證明RtAACB三&ABDA得出乙48C=NB2D,由等腰三角形的判定定理即可得出

結(jié)論.

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定；熟練掌握等腰三角形的判定定理，證

明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

18.【答案】解：(1)設(shè)每桶甲消毒液價(jià)格為x元，每桶乙消毒液的價(jià)格為y元，

由題思可得：晨-5；=6。,

解*方

答：每桶甲消毒液價(jià)格為90元，每桶乙消毒液的價(jià)格為60元；

(2)設(shè)購買甲消毒液a桶，乙消毒液(30-a)桶，

[90a+60(30—a)<2170

由題意得：,

(a>-(30-a)

解得10<a<121,

.??a=10、11、12,共三種購買方案，

方案一：購買甲消海液10桶，乙消毒液20桶.

方案二：購買甲消毒液11桶，乙酒毒液19桶，

方案三：購買甲消毒液12桶，乙消毒液18桶，

設(shè)總費(fèi)用為W元

w=90a+60(30—a)=30a+1800,

30>0,

???當(dāng)Q=10時(shí)，w數(shù)得最小值，此時(shí)w=2100,

答：購買甲消毒液10桶，乙消毒液20桶總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是2100元.

【解析】(1)設(shè)每桶甲消毒液價(jià)格為工元，每桶乙消毒液的價(jià)格為y元，根據(jù)“購買3桶甲消毒液和2

桶乙消毒液，需費(fèi)用390元：4桶甲消毒液比5桶乙消毒液的費(fèi)用多60元”列方程組，解方程組即

可；

(2)設(shè)購買甲消毒液Q桶，根據(jù)“消寄液的桶數(shù)不少于乙消毒液桶數(shù)的一半，甲、乙兩種消海液的

總費(fèi)用不超過2170元”求出。的取值范圍，再根據(jù)Q為整數(shù)確定出購買方案；再總費(fèi)用=兩種消毒

液費(fèi)用之和列出函數(shù)解析式，由函數(shù)的性質(zhì)求最小值即可.

本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵

是明確題意，列出相應(yīng)的方程組和不等式組，寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求最

值.

19.【答案】證明：如圖所示:

???OC=PC,

Z.P=Z.1,

???42=4尸+Z1,

z.2=2Z.P,

圖2

???OA=OC,

???Z2=Z.3,

z.3=2z.P,

???乙AOB=zP+z3,

Z.AOB=3/-P,

即乙4PB建乙4OB.

【解析】直接利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形的外角性質(zhì)得出答案.

此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖，正確運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)分析是解題

關(guān)鍵.

20.【答案】(1)證明：延長CE交4B于點(diǎn)G,

■：AE1CE,又2E平分NB4C,

AG=AC9

GE=EC.

???點(diǎn)。為邊的中點(diǎn)，

???OE為△CGB的中位線，

??.DE//AB.

DE=BF,

???四邊形BDEF是平行四邊形.

1

(2)解：BF=^AB-AC).

理由如下：

由(1)可得BF=DE=^BG.

-：AG=AC,

11

??.BF=^^AB-AG)=^AB-AC).

【解析】(1)根據(jù)等腰三角形“三線合一”得到4G=ac,再利用三角形的中位線定理證明DE〃/IB,

再加上條件DE=8F可證出結(jié)論；

111

(2)先證明=￡)￡'=加6,再由AG=4C,可得到BF=其48—4G)=/(AB—

此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，題目

綜合性較強(qiáng)，證明GE=EC,再利用三角形中位線定理證明DE〃4B是解決問題的關(guān)鍵.

21.【答案】解：⑴①③④

2

(2)aT，R

(3)原式=處—匕1.9+2)

⑼原八%+1x(x+l)(x-l)

3x+6x+2

x+1x+l

2%+4

x+l

_2(%+1)+2

%+1

=2+W，

x+1

???當(dāng)x+1=±1或％+1=±2時(shí)，分式的值為整數(shù)，

此時(shí)％=0或-2或1或一3,

又丫分式有意義時(shí)，x不0、1、—1、—2,

x——3.

【解析】

【解答】

解：⑴①也=1+工，是和諧分式；③生=生捍=1+士，是和諧分式；④安=1+當(dāng)

是和諧分式；

故答案為：①③④；

/c、—2a+3Q2—2tz+l+2(CL-1)^4-22

4，

'(2))----a-—-1----=------a--—-1------=-——a—-1=a-1H---a--—-17

故答案為：a—1;

(3)見答案.

【分析】

⑴由“和諧分式”的定義對①③④變形即可得；

(2)由原式=a2-2a+l+2=(a-lf+2=13可得；

a-1a-1a-1

(3)將原式變形為第=2+告，據(jù)此得出x+1=±1或久+1=±2,即尤=0或—2或1或一3,又

萬40、1、—1、-2,據(jù)此可得答案.

本題主要考查分式的化簡求值及分式的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的基本性質(zhì)及對"和諧

分式的定義的理解.

22.【答案】(1)120

(2)解：結(jié)論：AF=BO.

理由：如圖②中，

E

DB

???△FC。，△ACB都是等邊三角形，

??.CF=CO,CA=CB,乙FCO=乙ACB=60°,

???^FCO-^ACD=乙ACB-^ACD

即4FG4=乙OCB,

在△FC4和△OCB中，

CF=CO

^FCA=乙OCB,

CA=CB

??.△FCA=△0cB(S/S),

??.AF=BO.

(3)解：如圖③中，結(jié)論：AO=2OG.

理由：延長。G到H,使得GR=G。，連接CR,BR.

DB

圖③

???點(diǎn)G是BC的中點(diǎn),

??.GC=GB

在△CG。和△BGR中,

GC=GB

Z-CGO=乙BGR,

GO=GR

??.△CGO三△BGR(SZS),

.?.CO=BR=OF,Z-GCO=乙GBR,

CO//BR,

???△FCA=△OCB,

??.Z.AFC=乙BOC=120°,AF=BO,

???乙CFO=4COF=60°,

???^AFO=(COF=60°,

???AFI[CO,

AF//BR,

???Z-AFO=乙RBO,

在△AF。和△OBR中，

AF=OB

Z-AFO=乙OBR,

FO=BR

/.△AFO=△OBR(SAS),

OA=OR,

???OR=2OG,

??.OA=2OG.

【解析】解：(1)如圖①中，

圖①

???△ABC是等邊三角形，

???AB=BC,ZX=Z.CBD=60°,

在AEAB和△DBC中，

AE=BD

Z-EAB=Z.DBC,

AB=BC

.*.△EAB三△DBC(S/S),

Z.ABE=乙BCD,

???(BOD=(BCD+乙CBE=^ABE+乙CBE=^CBA=60°,

???乙BOC=180。-