2019年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（含解析）

2019年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，，則A.{2} B.{2，3} C.{-1，2，3} D.{1，2，3，4}2.設(shè)變量滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值為A.2 B.3 C.5 D.63.設(shè)，則“”是“”()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.閱讀下邊程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出的值為A.5 B.8 C.24 D.295.已知拋物線焦點為，準線為.若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點A和點B，且（為原點），則雙曲線的離心率為A. B. C.2 D.6.已知，，，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.7.已知函數(shù)是奇函數(shù)，將的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為.若的最小正周期為，且，則（）A. B. C. D.8.已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.第Ⅱ卷二.填空題：本大題共6小題.9.是虛數(shù)單位，則的值為__________.10.展開式中的常數(shù)項為________.11.已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為.若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為__________.12.設(shè)，直線和圓（為參數(shù)）相切，則的值為____.13.設(shè)，則的最小值為______.14.在四邊形中，，，，，點在線段的延長線上，且，則__________.三.解答題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.16.設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨立.（Ⅰ）用表示甲同學(xué)上學(xué)期間三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）設(shè)為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件發(fā)生的概率.17.如圖，平面，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的余弦值為，求線段的長.18.設(shè)橢圓的左焦點為，上頂點為.已知橢圓的短軸長為4，離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)點在橢圓上，且異于橢圓上、下頂點，點為直線與軸的交點，點在軸的負半軸上.若（為原點），且，求直線的斜率.19.設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列.已知.（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足其中.（i）求數(shù)列的通項公式；（ii）求.20.設(shè)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù).（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當時，證明；（Ⅲ）設(shè)為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點，其中，證明.

2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類）第Ⅰ卷注意事項：1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。2.本卷共8小題。參考公式：·如果事件、互斥，那么.·如果事件、相互獨立，那么.·圓柱的體積公式，其中表示圓柱的底面面積，表示圓柱的高.·棱錐的體積公式，其中表示棱錐的底面面積，表示棱錐的高.一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，，則A.{2} B.{2，3} C.{-1，2，3} D.{1，2，3，4}【答案】D【解析】【分析】先求，再求．【詳解】因為，所以.故選D．【點睛】集合的運算問題，一般要先研究集合中元素的構(gòu)成，能化簡的要先化簡，同時注意數(shù)形結(jié)合，即借助數(shù)軸、坐標系、韋恩圖等進行運算．2.設(shè)變量滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值為A.2 B.3 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】畫出可行域，用截距模型求最值．【詳解】已知不等式組表示平面區(qū)域如圖中的陰影部分．目標函數(shù)的幾何意義是直線在軸上的截距，故目標函數(shù)在點處取得最大值．由，得，所以．故選C．【點睛】線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域，分界線是實線還是虛線，其次確定目標函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標函數(shù)最值或范圍．即：一畫，二移，三求．3.設(shè)，則“”是“”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】分別求出兩不等式的解集，根據(jù)兩解集的包含關(guān)系確定.【詳解】化簡不等式，可知推不出；由能推出，故“”是“”的必要不充分條件，故選B．【點睛】本題考查充分必要條件，解題關(guān)鍵是化簡不等式，由集合的關(guān)系來判斷條件．4.閱讀下邊的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出的值為A.5 B.8 C.24 D.29【答案】B【解析】【分析】根據(jù)程序框圖，逐步寫出運算結(jié)果．【詳解】，，結(jié)束循環(huán)，故輸出．故選B．【點睛】解答本題要注意要明確循環(huán)體終止的條件是什么，會判斷什么時候終止循環(huán)體．5.已知拋物線的焦點為，準線為.若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點A和點B，且（為原點），則雙曲線的離心率為A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】只需把用表示出來，即可根據(jù)雙曲線離心率的定義求得離心率．【詳解】拋物線的準線的方程為，雙曲線的漸近線方程為，則有∴，，，∴．故選D．【點睛】本題考查拋物線和雙曲線的性質(zhì)以及離心率的求解，解題關(guān)鍵是求出AB的長度．6.已知，，，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等中間值區(qū)分各個數(shù)值的大?。驹斀狻?，，，故，所以．故選A．【點睛】本題考查大小比較問題，關(guān)鍵選擇中間量和函數(shù)的單調(diào)性進行比較．7.已知函數(shù)是奇函數(shù)，將的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為.若的最小正周期為，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】只需根據(jù)函數(shù)性質(zhì)逐步得出值即可．【詳解】因為為奇函數(shù)，∴；又，，又∴，故選C．【點睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的求值問題，解題關(guān)鍵是求出函數(shù)．8.已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先判斷時，在上恒成立；若在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立．【詳解】∵，即，（1）當時，，當時，，故當時，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當函數(shù)單增，當函數(shù)單減，故，所以．當時，在上恒成立；綜上可知，的取值范圍是，故選C．【點睛】本題考查分段函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，進行綜合分析．第Ⅱ卷二.填空題：本大題共6小題.9.是虛數(shù)單位，則的值為__________.【答案】【解析】【分析】先化簡復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)模的定義求所給復(fù)數(shù)的模．【詳解】．【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)模的運算，是基礎(chǔ)題.10.展開式中的常數(shù)項為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式得出通項，根據(jù)方程思想得出的值，再求出其常數(shù)項．【詳解】，由，得，所以的常數(shù)項為.【點睛】本題考查二項式定理的應(yīng)用，牢記常數(shù)項是由指數(shù)冪為0求得的．11.已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為.若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為__________.【答案】.【解析】【分析】根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特點，確定所求的圓柱的高和底面半徑．【詳解】由題意四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為，借助勾股定理，可知四棱錐的高為，.若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，圓柱的底面半徑為，一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，故圓柱的高為，故圓柱的體積為．【點睛】本題主要考查了圓柱與四棱錐的組合，考查了空間想象力，屬于基礎(chǔ)題.12.設(shè)，直線和圓（為參數(shù)）相切，則的值為____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓的參數(shù)方程確定圓的半徑和圓心坐標，再根據(jù)直線與圓相切的條件得出滿足的方程，解之解得．【詳解】圓化為普通方程為，圓心坐標為，圓的半徑為，由直線與圓相切，則有，解得．【點睛】直線與圓位置關(guān)系可以使用判別式法，但一般是根據(jù)圓心到直線的距離與圓的半徑的大小作出判斷．13.設(shè)，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】把分子展開化為，再利用基本不等式求最值．【詳解】，當且僅當，即時成立，故所求的最小值為．【點睛】使用基本不等式求最值時一定要驗證等號是否能夠成立．14.在四邊形中，，，，，點在線段的延長線上，且，則__________.【答案】.【解析】【分析】建立坐標系利用向量的坐標運算分別寫出向量而求解．【詳解】建立如圖所示的直角坐標系，則，．因為∥，，所以，因為，所以，所以直線的斜率為，其方程為，直線的斜率為，其方程為．由得，，所以．所以．【點睛】平面向量問題有兩大類解法：基向量法和坐標法，在便于建立坐標系的問題中使用坐標方法更為方便．三.解答題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】【分析】(Ⅰ)由題意結(jié)合正弦定理得到的比例關(guān)系，然后利用余弦定理可得的值(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得的值，然后利用兩角和的正弦公式可得的值.【詳解】(Ⅰ)在中，由正弦定理得，又由，得，即.又因為，得到，.由余弦定理可得.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，從而，.故.【點睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理?余弦定理等基礎(chǔ)知識.考查計算求解能力.16.設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨立.（Ⅰ）用表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）設(shè)為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件發(fā)生的概率.【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【解析】【分析】(Ⅰ)由題意可知分布列為二項分布，結(jié)合二項分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二項分布的期望公式求解數(shù)學(xué)期望即可；(Ⅱ)由題意結(jié)合獨立事件概率公式計算可得滿足題意的概率值.【詳解】(Ⅰ)因為甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨立，且每天7:30之前到校的概率均為，故，從面.所以，隨機變量的分布列為：0123隨機變量的數(shù)學(xué)期望.(Ⅱ)設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù)為，則.且.由題意知事件與互斥，且事件與，事件與均相互獨立，從而由(Ⅰ)知：.【點睛】本題主要考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，互斥事件和相互獨立事件的概率計算公式等基礎(chǔ)知識.考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力.17.如圖，平面，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的余弦值為，求線段的長.【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】【分析】首先利用幾何體的特征建立空間直角坐標系(Ⅰ)利用直線BF的方向向量和平面ADE的法向量的關(guān)系即可證明線面平行；(Ⅱ)分別求得直線CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解線面角的正弦值即可；(Ⅲ)首先確定兩個半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值計算公式得到關(guān)于CF長度的方程，解方程可得CF的長度.【詳解】依題意，可以建立以A為原點，分別以的方向為x軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐標系(如圖)，可得.設(shè)，則.(Ⅰ)依題意，是平面ADE的法向量，又，可得，又因為直線平面，所以平面.(Ⅱ)依題意，，設(shè)為平面BDE的法向量，則，即，不妨令z=1，可得，因此有.所以，直線與平面所成角的正弦值為.(Ⅲ)設(shè)為平面BDF的法向量，則，即.不妨令y=1，可得.由題意，有，解得.經(jīng)檢驗，符合題意?所以，線段的長為.【點睛】本題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力.18.設(shè)橢圓的左焦點為，上頂點為.已知橢圓的短軸長為4，離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)點在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點為直線與軸的交點，點在軸的負半軸上.若（為原點），且，求直線的斜率.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或.【解析】【分析】(Ⅰ)由題意得到關(guān)于a,b,c的方程，解方程可得橢圓方程；(Ⅱ)聯(lián)立直線方程與橢圓方程確定點P的坐標，從而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表達式，最后利用直線垂直的充分必要條件得到關(guān)于斜率的方程，解方程可得直線的斜率.【詳解】(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，，又，可得，b=2，c=1.所以，橢圓方程為.(Ⅱ)由題意，設(shè).設(shè)直線的斜率為，又，則直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，整理得，可得，代入得，進而直線的斜率，在中，令，得.由題意得，所以直線的斜率為.由，得，化簡得，從而.所以，直線的斜率為或.【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)?直線方程等基礎(chǔ)知識.考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì).考查運算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力.19.設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列.已知.（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足其中.（i）求數(shù)列的通項公式；（ii）求.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（ii）【解析】分析】(Ⅰ)由題意首先求得公比和公差，然后確定數(shù)列的通項公式即可；(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)中的結(jié)論可得數(shù)列的通項公式，結(jié)合所得的通項公式對所求的數(shù)列通