高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-2第一章1.4生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例

1.4生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例

生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題稱(chēng)為優(yōu)化問(wèn)題，優(yōu)化問(wèn)題有時(shí)也稱(chēng)為最值問(wèn)題．解決這些問(wèn)題具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義．通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ?，本節(jié)我們運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問(wèn)題。例1:海報(bào)版面尺寸的設(shè)計(jì)

學(xué)校或班級(jí)舉行活動(dòng)，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳，現(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖所示的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面積為128cm2,上下邊各空2cm,左右各空1cm,如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才能使四周空白面積最??？解：設(shè)版心的高為xcm,則寬為此時(shí)四周空白面積為類(lèi)型一：求面積、容積的最大問(wèn)題因此，x=16是函數(shù)s(x)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)。

所以，當(dāng)版心高為16cm,寬為8cm時(shí)，能使四周空白面積最小。答：當(dāng)版心高為16cm,寬為8cm時(shí)，海報(bào)四周空白面積最小。求導(dǎo)數(shù)，有解得，x=16(x=-16舍去)解法二：由解法(一)得例2、在邊長(zhǎng)為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的方底箱子，箱底邊長(zhǎng)為多少時(shí)，箱子容積最大？最大容積是多少？解:設(shè)箱底邊長(zhǎng)為x,則箱高h(yuǎn)=(60-x)/2.箱子容積

V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).令,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.由題意可知,當(dāng)x過(guò)小(接近0)或過(guò)大(接近60)時(shí),箱子的容積很小,因此,16000是最大值.答:當(dāng)x=40cm時(shí),箱子容積最大,最大容積是16000cm3.練習(xí)1、一條長(zhǎng)為l的鐵絲截成兩段，分別彎成兩個(gè)正方形，要使兩個(gè)正方形的面積和最小，兩段鐵絲的長(zhǎng)度分別是多少？則兩個(gè)正方形面積和為解：設(shè)兩段鐵絲的長(zhǎng)度分別為x,l-x,其中0<x<l由問(wèn)題的實(shí)際意義可知：方法與技巧：在求面積、容積最大值問(wèn)題時(shí)，要注意充分利用幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型，列出函數(shù)關(guān)系式，可以利用兩種方法求解：一是利用導(dǎo)數(shù)求最值；二是利用基本不等式求最值，無(wú)論使用哪種方法都應(yīng)該注意自變量的取值范圍?！窘狻吭O(shè)位于拋物線上的矩形的一個(gè)頂點(diǎn)為（x，y），且x

＞0，y

＞0，則另一個(gè)在拋物線上的頂點(diǎn)為（－x，y），在x軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)為（－x，0）、（x，0），其中0＜x

＜2．設(shè)矩形的面積為S，則S

＝2x（4－x2），0＜x

＜2．由S′（x）＝8－6x2＝0，得x

＝，易知x

＝是S在（0，2）上的極大值點(diǎn)，即最大值點(diǎn)。例1：圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最省？S=2πRh+2πR2由V=πR2h，得，則令

解得，，類(lèi)型二：用料最省、費(fèi)用最低問(wèn)題解：設(shè)圓柱的高為h，底半徑為R，則表面積Rh答：當(dāng)罐的高與底直徑相等時(shí)，所用材料最省即 h=2R因?yàn)镾(R)只有一個(gè)極值，所以它是最小值當(dāng)時(shí)，例2：如圖,鐵路線上AB段長(zhǎng)100km,

工廠C到鐵路的距離CA=20km.現(xiàn)在要在AB上某一處D,向C修一條公路.已知鐵路每噸千米與公路每噸千米的運(yùn)費(fèi)之比為3:5.為了使原料從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省,D應(yīng)修在何處?B

DAC解:設(shè)DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD=km.又設(shè)鐵路上每噸千米的運(yùn)費(fèi)為3t元,則公路上每噸千米的運(yùn)費(fèi)為5t元.這樣,每噸原料從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的總運(yùn)費(fèi)為令在的范圍內(nèi)有唯一解x=15.所以,當(dāng)x=15(km),即D點(diǎn)選在距A點(diǎn)15千米時(shí),總運(yùn)費(fèi)最省.B

DAC某商品生產(chǎn)成本Ｃ與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為,價(jià)格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為求產(chǎn)量q為何值時(shí)，利潤(rùn)L最大？類(lèi)型三：利潤(rùn)最大問(wèn)題例2.飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤(rùn)的影響（1）你是否注意過(guò)，市場(chǎng)上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？（2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤(rùn)越大？背景知識(shí)：某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料。瓶子的制造成本是分，其中r

是瓶子的半徑，單位是厘米.已知每出售1ml

的飲料，制造商可獲利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm.問(wèn)題(１)瓶子的半徑多大時(shí)，能使每瓶飲料的利潤(rùn)最大？

(２)瓶子的半徑多大時(shí)，每瓶的利潤(rùn)最??？解：由于瓶子的半徑為r，所以每瓶飲料的利潤(rùn)是令當(dāng)當(dāng)半徑r＞２時(shí)，f’(r)>0它表示f(r)單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤(rùn)越高；當(dāng)半徑r＜２時(shí)，f’(r)<0它表示f(r)單調(diào)遞減，

即半徑越大，利潤(rùn)越低．1.半徑為２cm時(shí)，利潤(rùn)最小，這時(shí)表示此種瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)還不夠瓶子的成本，此時(shí)利潤(rùn)是負(fù)值２．半徑為６cm時(shí)，利潤(rùn)最大

問(wèn)題3:如何使一個(gè)圓形磁盤(pán)儲(chǔ)存更多信息?解:存儲(chǔ)量=磁道數(shù)×每磁道的比特?cái)?shù).設(shè)存儲(chǔ)區(qū)的半徑介于r與R之間,由于磁道之間的寬度必須大于m,且最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息,所以磁道數(shù)最多可達(dá)(R-r)/m。由于每條磁道上的比特?cái)?shù)相同，為了獲得最大的存儲(chǔ)量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特?cái)?shù)可達(dá)到,所以，磁道總存儲(chǔ)量為：(1)它是一個(gè)關(guān)于r的二次函數(shù)，從函數(shù)的解析式可以判斷，不是r越小，磁盤(pán)的存儲(chǔ)量越大。解：存儲(chǔ)量=磁道數(shù)×每磁道的比特?cái)?shù)(2)為求f(r)的最大值，先計(jì)算解得優(yōu)化問(wèn)題優(yōu)化問(wèn)題解決方案用函數(shù)表示數(shù)學(xué)問(wèn)題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題這是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)建模過(guò)程利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路：建立數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)模型作答方法小結(jié)7、成功在于好的心態(tài)與堅(jiān)持，心態(tài)決定狀態(tài)，心胸決定格局，眼界決定境界。1、只有經(jīng)歷過(guò)地獄般的折磨，才有征服天堂的力量。只有流過(guò)血的手指才能彈出世間的絕唱。4、人生舞臺(tái)的大幕隨時(shí)都可能拉開(kāi)，關(guān)鍵是你愿意表演，還是選擇躲避。17、自己不能勝任的事情，切莫輕易答應(yīng)別人，一旦答應(yīng)了別人，就必須實(shí)踐自己的諾言。15、沒(méi)有礁石，就沒(méi)有美麗的浪花;沒(méi)有挫折，就沒(méi)有壯麗的人生。4、在這世上惟一件事比別人議論更糟，那就是無(wú)人議論你。10、你不用活得像任何人，你只要活得像你自己。16、人的價(jià)值就在于創(chuàng)造價(jià)值，就在于對(duì)社會(huì)的貢獻(xiàn)和責(zé)任。13、要在現(xiàn)代社會(huì)中生活很簡(jiǎn)單的，只要我們懂得如何去生活!8、環(huán)境永遠(yuǎn)不會(huì)十全十美，消極的人受環(huán)境控制，積極的人卻控制環(huán)境。5、一個(gè)能從別人的觀念來(lái)看事情，能了解別人心靈活動(dòng)的人，永遠(yuǎn)不必為自己的前途擔(dān)心。17、心系鄉(xiāng)民，用熱情去創(chuàng)造財(cái)富。1、就算會(huì)彷徨，也還要去闖我要的幸福，在不遠(yuǎn)處我的驕傲無(wú)可救藥。20、有些事情本身我們無(wú)法控制，只好控制自己。17、目標(biāo)的堅(jiān)定是性格中最必要