人教A版高中數(shù)學(xué)（選擇性必修二）同步講義第03講 4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（教師版）

第03講4.2.2等差數(shù)列的前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及求取思路，熟練掌握等差數(shù)列的五個(gè)量之間的關(guān)系并能由三求二，能用通項(xiàng)與和求通項(xiàng)。②會(huì)利用等差數(shù)列性質(zhì)簡(jiǎn)化求和運(yùn)算，會(huì)利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)特征求最值。③能處理與等差數(shù)列相關(guān)的綜合問題。能掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的相關(guān)計(jì)算公式，能熟練處理與等差數(shù)列的相關(guān)量之間的關(guān)系，用函數(shù)的思想解決數(shù)列的最大（?。╉?xiàng)、和的最大（?。┲祮栴}，會(huì)利用等差數(shù)列的性質(zhì)靈活解決與之相關(guān)的問題知識(shí)點(diǎn)01：等差數(shù)列的前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式1、首項(xiàng)為SKIPIF1<0，末項(xiàng)為SKIPIF1<0的等差數(shù)列的前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式SKIPIF1<02、首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列的前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式SKIPIF1<0【即學(xué)即練1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0均為等差數(shù)列．(1)設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(3)設(shè)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【答案】(1)260(2)21.7(3)49【詳解】（1）依題意，SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0.（3）設(shè)公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．知識(shí)點(diǎn)02：等差數(shù)列前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式的函數(shù)特征等差數(shù)列前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式可變形為SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，它是關(guān)于SKIPIF1<0的二次函數(shù)，表示為SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為常數(shù))．知識(shí)點(diǎn)03：等差數(shù)列前SKIPIF1<0項(xiàng)和性質(zhì)(1)若數(shù)列SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列,則數(shù)列SKIPIF1<0也是等差數(shù)列,且公差為SKIPIF1<0(2)設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0為其前SKIPIF1<0項(xiàng)和,則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,…組成公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列(3)在等差數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，它們的前SKIPIF1<0項(xiàng)和分別記為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0(4)若等差數(shù)列SKIPIF1<0的項(xiàng)數(shù)為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。(5)若等差數(shù)列SKIPIF1<0的項(xiàng)數(shù)為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【即學(xué)即練2】（2023春·云南曲靖·高二統(tǒng)考期末）等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】15【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案為：15題型01等差數(shù)列前SKIPIF1<0項(xiàng)和的基本量計(jì)算【典例1】（2023秋·天津和平·高三天津市第二十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若SKIPIF1<0，求n.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(2)11【詳解】（1）設(shè)公差為SKIPIF1<0，則由題意可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）由（1）可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【典例2】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，求解下列問題：(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(3)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求n．【答案】(1)2(2)1596(3)11【詳解】（1）由題意知數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0公差為d，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（2）數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0公差為d，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；（3）由題意知數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0公差為d，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），故SKIPIF1<0.【變式1】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）一個(gè)物體第1s下落4.90m，以后每秒比前一秒多下落9.80m．(1)如果它從山頂下落，經(jīng)過5s到達(dá)地面，那么這山的高度是多少米？(2)如果它從1960m的高空下落到地面，要經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間？【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由題意可知，物體每秒下落的高度構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列為SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故這山的高度是SKIPIF1<0.（2）由（1）可得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（負(fù)值舍去），所以要經(jīng)過SKIPIF1<0落地.【變式2】（2023·全國·高二課堂例題）已知數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列．(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(3)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求n．【答案】(1)2700(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0．【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)公式SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．（2）因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．根據(jù)公式SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．（3）把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．整理，得SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0（舍去）．所以SKIPIF1<0．題型02利用等差數(shù)列前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式判斷【典例1】（2023春·湖北十堰·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0均在函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，則數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【詳解】解：依題意得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)其公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.【典例2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知一個(gè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求證：該數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列；(2)若數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，求SKIPIF1<0滿足條件．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得數(shù)列SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列.（2）SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0時(shí)，數(shù)列SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，若數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．【變式1】（2023秋·重慶九龍坡·高二重慶市渝高中學(xué)校?？计谀┮阎獢?shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.（1）求證：SKIPIF1<0是等差數(shù)列；【答案】（1）證明見解析；【詳解】（1）由題意得①若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，②若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，經(jīng)檢驗(yàn)滿足上式.故SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可知，數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為23，公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列.【變式2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0SKIPIF1<0求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式SKIPIF1<0；SKIPIF1<0求證：數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）見解析【詳解】SKIPIF1<0解：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，即數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式SKIPIF1<0．SKIPIF1<0證明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0為常數(shù)，則數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列．題型03等差數(shù)列片段和性質(zhì)【典例1】（2023秋·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，即SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：A【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為等差數(shù)列，其公差為SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【典例3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．10 B．20 C．30 D．15【答案】A【詳解】由等差數(shù)列SKIPIF1<0有SKIPIF1<0成等差數(shù)列，設(shè)為d，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選：A【變式1】（2023秋·天津河?xùn)|·高三天津市第四十五中學(xué)校考階段練習(xí)）在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．90 B．40 C．50 D．60【答案】D【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0為等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0成等差數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：D【變式2】（2023秋·福建寧德·高二福建省寧德第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等差數(shù)列，且該數(shù)列的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故選：D.【變式3】（2023秋·上海閔行·高二校考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0是等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題型04比值問題（含同角標(biāo)和不同角標(biāo)）【典例1】（2023秋·天津武清·高三天津市武清區(qū)城關(guān)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和分別是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】由等差數(shù)列的前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式，得SKIPIF1<0，又由等差數(shù)列的性質(zhì)，得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若對(duì)任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【詳解】SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0【典例3】（2023春·黑龍江鶴崗·高二鶴崗一中?？计谥校┮阎炔顢?shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：B【變式1】（2023春·遼寧阜新·高二?？计谥校┮阎炔顢?shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0【變式2】（2023春·湖北·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由已知得SKIPIF1<0，可設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<0.【變式3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）等差數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和分別是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】空1：由等差數(shù)列的前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式，可得SKIPIF1<0，又由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.空2：設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.題型05等差數(shù)列前SKIPIF1<0項(xiàng)和的最值問題【典例1】（2023春·遼寧朝陽·高二建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）等差數(shù)列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0最小時(shí)n的值為（

）A．11 B．11或12 C．12 D．12或13【答案】C【詳解】根據(jù)題意由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0；由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取最小時(shí).故選：C【典例2】（2023春·遼寧鐵嶺·高二校聯(lián)考期末）記等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)求SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0的最小值．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式是SKIPIF1<0.（2）由（1）知，SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.【典例3】（2023春·甘肅臨夏·高二校考階段練習(xí)）記SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求等差數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)求SKIPIF1<0的最小值及對(duì)應(yīng)的n值．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，對(duì)應(yīng)SKIPIF1<0.【詳解】（1）等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0，所以等差數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式SKIPIF1<0.（2）由（1）知，等差數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞增，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此數(shù)列SKIPIF1<0前15項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，從第16項(xiàng)起均為正數(shù)，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0.【變式1】（多選）（2023春·河南南陽·高二校考階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0是公差為d的等差數(shù)列，SKIPIF1<0是其前n項(xiàng)和，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的最大值 D．SKIPIF1<0【答案】BCD【詳解】根據(jù)題意可知SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以可得公差SKIPIF1<0；所以A錯(cuò)誤，B正確；易知SKIPIF1<0是關(guān)于SKIPIF1<0的一元二次函數(shù)，且二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線SKIPIF1<0，開口向下，又因?yàn)镾KIPIF1<0為整數(shù)，所以當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0是單調(diào)遞增的，當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0是單調(diào)遞減的；又SKIPIF1<0和SKIPIF1<0關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，所以可得SKIPIF1<0，且為SKIPIF1<0的最大值，即C正確；根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知，距離對(duì)稱軸越近SKIPIF1<0的值越大，易知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0距離對(duì)稱軸比SKIPIF1<0距離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，所以可得SKIPIF1<0，即D正確.【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為.【答案】SKIPIF1<0【詳解】設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，對(duì)稱軸為SKIPIF1<0，開口向下，所以當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0最大，最大值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【變式3】（2023秋·山西大同·高三大同市第二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0的最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)78【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0.（2）由（1）知，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.由二次函數(shù)的性質(zhì)知，對(duì)稱軸方程為SKIPIF1<0，開口向下，所以，當(dāng)SKIPIF1<0取與SKIPIF1<0最近的整數(shù)即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0最大值，最大值為SKIPIF1<0.題型06符合條件的最值問題【典例1】（2023秋·湖南邵陽·高三湖南省邵東市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列 B．SKIPIF1<0C．當(dāng)SKIPIF1<0取得最大值時(shí)，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】ABC選項(xiàng)，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，B正確；∴公差SKIPIF1<0，等差數(shù)列SKIPIF1<0是遞減數(shù)列，A錯(cuò)誤；SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，SKIPIF1<0，D錯(cuò)誤.故選：B．【典例2】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0有最小值，且SKIPIF1<0，則使SKIPIF1<0成立的正整數(shù)n的最小值為（

）A．9 B．10 C．17 D．18【答案】D【詳解】由題意可知：等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0有最小值，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，可得SKIPIF1<0是過原點(diǎn)的二次函數(shù)式，且開口向上，因?yàn)镾KIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0又因?yàn)镾KIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以使SKIPIF1<0成立的正整數(shù)n的最小值為18.故選：D.【典例3】（多選）（2023秋·湖南株洲·高二株洲二中校考階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為d，前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0中最大項(xiàng)為第6項(xiàng)【答案】BCD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A、C：因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以等差數(shù)列SKIPIF1<0是遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤，C正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)榈炔顢?shù)列SKIPIF1<0是遞減數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0中最大項(xiàng)為第6項(xiàng)，故D正確；故選：BCD.【變式1】（2023春·甘肅白銀·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）設(shè)等差數(shù)列{SKIPIF1<0}的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0取得最大值時(shí)，SKIPIF1<0＝（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【詳解】在等差數(shù)列{SKIPIF1<0}中，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0取得最大值時(shí)，SKIPIF1<0．故選：C【變式2】（多選）（2023秋·河北保定·高三河北省唐縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0是公差為d的等差數(shù)列，SKIPIF1<0是其前n項(xiàng)的和，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【詳解】SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故A正確；SKIPIF1<0，故B錯(cuò)誤；SKIPIF1<0，故C正確；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0中，只有SKIPIF1<0最小，故D錯(cuò)誤.故選：AC．【變式3】（多選）（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0是其前n項(xiàng)和，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均為SKIPIF1<0的最大值【答案】BD【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故B正確；設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故A錯(cuò)誤；可知數(shù)列SKIPIF1<0為遞減數(shù)列，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C錯(cuò)誤；因?yàn)镾KIPIF1<0為最后一項(xiàng)正數(shù)，根據(jù)加法的性質(zhì)可知：SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的最大值，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均為SKIPIF1<0的最大值，故D正確；故選：BD.題型07求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和問題【典例1】（2023秋·江蘇蘇州·高二吳江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若等差數(shù)列SKIPIF1<0的首項(xiàng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；綜上所述：SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【典例2】（2023秋·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，適合上式，所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【典例3】（2023秋·河北保定·高三河北省唐縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）從①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并作答．問題：已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且__________，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【詳解】若選條件①，設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；若選條件②，設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；若選條件③，設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【變式1】（2023秋·江蘇南京·高二南京市第九中學(xué)校考階段練習(xí)）在公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；(2)65【詳解】（1）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以數(shù)列前10項(xiàng)為正數(shù)，第11項(xiàng)為0，從第12項(xiàng)起為負(fù)數(shù)，所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.【變式2】（2023秋·西藏林芝·高三校考階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）由（1）知：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.【變式3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.綜上所述，SKIPIF1<0題型08等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)和【典例1】（2023秋·甘肅·高二校考階段練習(xí)）一個(gè)等差數(shù)列共100項(xiàng)，其和為80，奇數(shù)項(xiàng)和為30，則該數(shù)列的公差為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為SKIPIF1<0，則由條件可知：數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)之和為SKIPIF1<0，①偶數(shù)項(xiàng)之和為SKIPIF1<0，②由②-①，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即該數(shù)列的公差為SKIPIF1<0.故選：D.【典例2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0項(xiàng)，若數(shù)列SKIPIF1<0中奇數(shù)項(xiàng)的和為SKIPIF1<0，偶數(shù)項(xiàng)的和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則公差SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：A.【典例3】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0中，前m（m為奇數(shù)）項(xiàng)的和為77，其中偶數(shù)項(xiàng)之和為33，且SKIPIF1<0，求通項(xiàng)公式．【答案】SKIPIF1<0【詳解】∵等差數(shù)列SKIPIF1<0中，前m（m為奇數(shù)）項(xiàng)的和為77，∴SKIPIF1<0，①∵其中偶數(shù)項(xiàng)之和為33，由題意可得偶數(shù)項(xiàng)共有SKIPIF1<0項(xiàng)，公差等于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0×SKIPIF1<0=33，②∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，③由①②③，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0．【變式1】（2023春·陜西寶雞·高三?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前30項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為SKIPIF1<0，偶數(shù)項(xiàng)的和為SKIPIF1<0，且