第1節(jié)中值定理

中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章1第一節(jié)中值定理微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理，費(fèi)馬定理是它的預(yù)備定理，羅爾定理是它的特例，柯西定理是它的推廣.預(yù)備定理——費(fèi)馬(Fermat)定理費(fèi)馬（Fermat，1601-1665），法國(guó)人，與笛卡爾共同創(chuàng)立解析幾何.因提出費(fèi)馬大、小定理而著名于世.2幾何解釋?zhuān)侯A(yù)備定理——費(fèi)馬(Fermat)定理

曲線(xiàn)在最高點(diǎn)或最低點(diǎn)如果有切線(xiàn)，則切線(xiàn)必然是水平的.3證明:由極限的保號(hào)性，45一、羅爾(Rolle)定理xO

yCxby=f

(x)AB幾何解釋?zhuān)喝绻B續(xù)光滑的曲線(xiàn)y=f

(x)在端點(diǎn)A、B處的縱坐標(biāo)相等.那么，在曲線(xiàn)弧上至少有一點(diǎn)C(x,f(x))，曲線(xiàn)在C點(diǎn)的切線(xiàn)是水平的.a6證由費(fèi)馬引理,所以最大值和最小值不可能同時(shí)在端點(diǎn)取得.7注意：

f

(x)不滿(mǎn)足條件(1)

f

(x)不滿(mǎn)足條件(3)

f

(x)不滿(mǎn)足條件(2)BxO

yAabxO

yABabcxO

yABab

如果定理的三個(gè)條件有一個(gè)不滿(mǎn)足，則定理的結(jié)論就可能不成立.8例1驗(yàn)證9例2解10例3D（A）間斷；

（B）連續(xù)但不可導(dǎo)：

解不存在.11例4

不求導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)f

(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的導(dǎo)數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)，以及其所在范圍.解

f

(1)=f

(2)=f

(3)=0，f(x)在[1,2]，[2,3]上滿(mǎn)足羅爾定理的三個(gè)條件.在(1,2)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x1，使f

(x1)=0，x1是

f

(x)的一個(gè)零點(diǎn).在(2,3)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x2，使f

(x2)=0，x2也是f

(x)的一個(gè)零點(diǎn).

f

(x)是二次多項(xiàng)式，只能有兩個(gè)零點(diǎn)，分別在區(qū)間(1,2)及(2,3)內(nèi).思考：f

(x)的零點(diǎn)呢？12

如果函數(shù)f

(x)滿(mǎn)足：(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，(2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)x

(a,b)內(nèi)，使得幾何意義：

二、拉格朗日(Lagrange)中值定理C2hxO

yABaby=f(x)C1x13證明作輔助函數(shù)

14例815拉格朗日中值公式又稱(chēng)有限增量公式.或特別地,或拉格朗日中值公式另外的表達(dá)方式：16推論1證明17推論2證明即得結(jié)論.18例9證由推論1知,19利用拉格朗日定理證明不等式例10證20例11證由上式得21例12證類(lèi)似可證：

推論22三、柯西(Cauchy)中值定理

設(shè)函數(shù)f

(x)及g

(x)滿(mǎn)足條件：(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，(2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，(3)在(a,b)內(nèi)任何一點(diǎn)處g

(x)均不為零，則至少存在一點(diǎn)x

(a，b)內(nèi)，使得

如果取g(x)

x，那么柯西中值定理就變成了拉格朗日中值定理.說(shuō)明：證略.23例13證右端