2020-2021學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)-課時(shí)素養(yǎng)檢測一-正弦定理(含解析)新人教B版必修第四冊-2

2020-2021學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)素養(yǎng)檢測一正弦定理（含解析）新人教B版必修第四冊-2020_2021學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)素養(yǎng)檢測一正弦定理含解析新人教B版必修第四冊2020-2021學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)素養(yǎng)檢測一正弦定理（含解析）新人教B版必修第四冊-2020_2021學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)素養(yǎng)檢測一正弦定理含解析新人教B版必修第四冊PAGE/2020-2021學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)素養(yǎng)檢測一正弦定理（含解析）新人教B版必修第四冊-2020_2021學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)素養(yǎng)檢測一正弦定理含解析新人教B版必修第四冊一正弦定理(30分鐘60分)一、選擇題(每小題4分,共24分,多選題全部選對得4分,選對但不全對的得2分,有選錯(cuò)的得0分)1.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知c=1,b=QUOTE,B=60°,則C等于 ()A.30° B.45° C.150° D.30°或150°【解題指南】利用正弦定理解三角形,根據(jù)大邊對大角,即可得解.【解析】選A.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知c=1,b=QUOTE,B=60°,則由正弦定理可得QUOTE=QUOTE,所以sinC=QUOTE=QUOTE,因?yàn)閏<b,所以C=30°.2.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知A=105°,C=45°,c=QUOTE,則b= ()A.1 B.QUOTE C.QUOTE D.2【解析】選A.因?yàn)樵凇鰽BC中,A=105°,C=45°,所以B=180°-A-C=180°-105°-45°=30°.再由正弦定理QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得b=1.3.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,則△ABC的形狀為()A.銳角三角形 B.直角三角形C.等邊三角形 D.等腰三角形【解析】選B.由正弦定理可以得到sinBcosC+sinCcosB=sin2A,故sin(B+C)=sin2A,即sinA=sin2A.因?yàn)锳∈(0,π),故sinA≠0,所以sinA=1.因?yàn)锳∈(0,π),故A=QUOTE,所以△ABC為直角三角形.4.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=2ccosA,QUOTEsinA=1,則sinC的值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.因?yàn)镼UOTEsinA=1,即sinA=QUOTE.又a=2ccosA,cosA=QUOTE>0,所以cosA=QUOTE.由條件及正弦定理得sinA=2sinCcosA,即QUOTE=2×QUOTEsinC,所以sinC=QUOTE.5.在△ABC中,若a=18,b=24,A=45°,則此三角形 ()A.無解 B.有兩解C.有一解 D.解的個(gè)數(shù)不確定【解析】選B.如圖,因?yàn)閎sinA<a<b,所以B有兩解.6.(多選題)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若滿足sinBQUOTE=2sinAcosC+cosAsinC,則下列結(jié)論可能正確的是()A.a=2b B.b=2aC.C=QUOTE D.C<QUOTE【解析】選AC.由sinBQUOTE=2sinAcosC+cosAsinC,得sinB+2sinBcosC=2sinAcosC+cosAsinC,所以sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sin(A+C),cosC(2sinB-sinA)=0,所以cosC=0或2sinB=sinA,C=QUOTE或2b=a.二、填空題(每小題4分,共8分)7.在銳角△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對的邊,且QUOTEa=2csinA,則角C=________.

【解析】由QUOTEa=2csinA及正弦定理得QUOTE=QUOTE=QUOTE,因?yàn)閟inA≠0,所以sinC=QUOTE,又因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形,所以C=QUOTE.答案:QUOTE8.在△ABC中,若AB=QUOTE,AC=1,B=30°,則△ABC的面積為________.

【解析】如圖所示,由正弦定理得sinC=QUOTE=QUOTE.且AB>AC,所以C=60°或C=120°.所以A=90°或A=30°.所以S△ABC=QUOTEAC·AB·sinA=QUOTE或QUOTE.答案:QUOTE或QUOTE三、解答題(每小題14分,共28分)9.已知△ABC中,a=QUOTE,b=QUOTE,B=45°,求A,C和邊c.【解析】由正弦定理QUOTE=QUOTE,得sinA=QUOTE.因?yàn)閍>b,所以A=60°或A=120°.當(dāng)A=60°時(shí),C=180°-45°-60°=75°,c=QUOTE=QUOTE;當(dāng)A=120°時(shí),C=180°-45°-120°=15°,c=QUOTE=QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】若在△ABC中,AC=QUOTE,A=45°,C=75°,求BC,AB及B.【解析】在△ABC中,由A+B+C=180°得B=180°-A-C=60°,在△ABC中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE=QUOTE,故BC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,AB=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.10.在△ABC中,角A的平分線交BC于點(diǎn)D,△ADC是△ABD面積的QUOTE倍.(1)求QUOTE的值.(2)若A=30°,AB=1,求AD的值.【解題指南】(1)根據(jù)△ADC是△ABD面積的QUOTE倍列式,由此求得QUOTE的值.(2)用B表示C,利用正弦定理和兩角差的正弦公式,化簡(1)所得QUOTE的表達(dá)式,求得tanB的值,進(jìn)而求得∠ADB的值,利用正弦定理求得AD的值.【解析】(1)因?yàn)锳D平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD.所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(2)因?yàn)锳=30°,所以C=150°-B,由(1)得QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以sinB=QUOTEcosB+QUOTEsinB,即sinB=-QUOTEcosB,得tanB=-QUOTE.易得B=120°,因?yàn)锳D平分∠BAC,所以∠ADB=30°+15°=45°.因?yàn)锳B=1,由正弦定理知QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE=QUOTE,得AD=QUOTE.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題4分,共16分)1.已知△ABC中,a=1,b=QUOTE,B=45°,則A等于 ()A.150° B.90° C.60° D.30°【解析】選D.由正弦定理,得QUOTE=QUOTE,得sinA=QUOTE.又a<b,所以A<B=45°.所以A=30°.2.在△ABC中,若內(nèi)角滿足A>B,則下列結(jié)論一定正確的是 ()A.sinA>sinB B.sinA<sinBC.sinA>cosB D.cosA>cosB【解題指南】先由三角形大角對大邊,再由正弦定理變形公式判斷.【解析】選A.設(shè)A,B對應(yīng)的邊分別為a,b,因?yàn)锳>B,所以a>b,由正弦定理得,2RsinA>2RsinB,即sinA>sinB.3.在△ABC中,若sinA>sinB,則A與B的大小關(guān)系為 ()A.A>B B.A<BC.A≥B D.A,B的大小不能確定【解題指南】先由正弦定理說明a>b,然后再根據(jù)△ABC中大角對大邊的原理去判斷.【解析】選A.由正弦定理知a=2RsinA,b=2RsinB.因?yàn)閟inA>sinB.所以a>b,所以A>B.4.在△ABC中內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若QUOTE=QUOTE,則△ABC的形狀是 ()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【解析】選D.由已知QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE或QUOTE=0,即C=90°或QUOTE=QUOTE.由正弦定理,得QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,即sinCcosC=sinBcosB,即sin2C=sin2B,因?yàn)锽,C均為△ABC的內(nèi)角,所以2C=2B或2C+2B=180°,所以B=C或B+C=90°,所以△ABC為等腰三角形或直角三角形.二、填空題(每小題4分,共16分)5.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且a=QUOTEbsinA,則sinB=________.

【解析】由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,所以sinA=QUOTEsinB·sinA,故sinB=QUOTE.答案:QUOTE6.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bcosC+ccosB=2b,則QUOTE=________.

【解析】方法一:由正弦定理bcosC+ccosB=2b,即sinBcosC+sinCcosB=2sinB,即sin(B+C)=2sinB,sin(π-A)=2sinB,有sinA=2sinB,再由正弦定理得a=2b,QUOTE=2.方法二:如圖,作AD⊥BC于點(diǎn)D,則a=BC=BD+DC=ccosB+bcosC=2b,即QUOTE=2.答案:27.在△ABC中,角A,B,C的對邊a,b,c滿足2b=a+c,且A-C=90°,則cosB=________.

【解析】因?yàn)?b=a+c.所以由正弦定理,得2sinB=sinA+sinC.因?yàn)锳-C=90°,所以2sinB=sin(90°+C)+sinC.所以2sinB=cosC+sinC.所以2sinB=QUOTEsin(C+45°).①因?yàn)锳+B+C=180°且A-C=90°,所以C=45°-QUOTE,代入①式中,2sinB=QUOTEsinQUOTE.所以2sinB=QUOTEcosQUOTE.所以4sinQUOTEcosQUOTE=QUOTEcosQUOTE.所以sinQUOTE=QUOTE.所以cosB=1-2sin2QUOTE=1-QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.在銳角△ABC中,BC=1,B=2A,則QUOTE的值等于________,AC的取值范圍為________.

【解題指南】由正弦定理和二倍角公式求比值,利用余弦函數(shù)的值域求取值范圍.【解析】設(shè)A=θ?B=2θ.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=1?QUOTE=2.由銳角△ABC得0°<2θ<90°?0°<θ<45°,又0°<180°-3θ<90°?30°<θ<60°,故30°<θ<45°?QUOTE<cosθ<QUOTE,所以AC=2cosθ∈(QUOTE,QUOTE).答案:2(QUOTE,QUOTE)三、解答題(共38分)9.(12分)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,且b=6,a=2QUOTE,A=30°,試求ac的值.【解析】由正弦定理QUOTE=QUOTE得sinB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.由條件b=6,a=2QUOTE,b>a知B>A.所以B=60°或120°.(1)當(dāng)B=60°時(shí),C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°.在Rt△ABC中,C=90°,a=2QUOTE,b=6,c=4QUOTE,所以ac=2QUOTE×4QUOTE=24.(2)當(dāng)B=120°時(shí),C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°,所以A=C,則有a=c=2QUOTE.所以ac=2QUOTE×2QUOTE=12.10.(12分)已知在△ABC中,D為BC中點(diǎn),cos∠BAD=QUOTE,cos∠CAD=QUOTE,(1)求∠BAC的值.(2)求QUOTE的值.【解析】(1)因?yàn)閏os∠BAD=QUOTE,cos∠CAD=QUOTE,所以在△ABC中,∠BAD,∠CAD為銳角,所以sin∠BAD=QUOTE,sin∠CAD=QUOTE,cos∠BAC=cos(∠BAD+∠CAD)=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=QUOTE,因?yàn)?<∠BAC<π,所以∠BAC=QUOTE.(2)在△ABC中,QUOTE=QUOTE,在△ABD中,QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,又因?yàn)锽C=2BD,所以QUOTE=QUOTE.11.(14分)如圖所示,扇形AOB,圓心角∠AOB為60°,半徑為2,在弧AB上有一動(dòng)點(diǎn)P.過P引平行于OB的直線交OA于點(diǎn)C,設(shè)∠AOP=θ,求△POC面積的最大值及此時(shí)θ的值.【解析】因?yàn)镃P∥OB,所以∠CPO=∠POB=60°-θ,∠OCP=120°.在△POC中,由正弦定理,得QUOTE=QUOTE,所以C