第17講 銳角三角函數(shù)的應(yīng)用（4大考點(diǎn)）（解析版）

第17講銳角三角函數(shù)的應(yīng)用（4大考點(diǎn)）考點(diǎn)考點(diǎn)考向一、解直角三角形實(shí)際應(yīng)用的一般步驟（1）弄清題中名詞、術(shù)語，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；（2）將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題；（3）選擇合適的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算簡便、準(zhǔn)確；（4）得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，從而得到問題的解．二、坡度和坡角坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=．坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．三、仰角和俯角仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．四、方向角（或方位角）指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)．五、解直角三角形中“雙直角三角形”的基本模型：考點(diǎn)考點(diǎn)精講一．解直角三角形的應(yīng)用（共9小題）1．（2022?婁底模擬）如圖，一棵大樹被臺(tái)風(fēng)攔腰刮斷，樹根A到刮斷點(diǎn)P的長度是4m，折斷部分PB與地面成40°的夾角，那么原來樹的長度是（）A．4+米 B．4+米 C．4+4sin40°米 D．4+4cot40°米【分析】原來樹的長度是（PB+PA）的長．已知了PA的值，可在Rt△PAB中，根據(jù)∠PBA的度數(shù)，通過解直角三角形求出PB的長．【解答】解：Rt△PAB中，∠PBA＝40°，PA＝4；∴PB＝PA÷sin40°＝；∴PA+PB＝4+．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，能夠熟練運(yùn)用三角形邊角關(guān)系進(jìn)行求解是解答此類題的關(guān)鍵．2．（2022?鎮(zhèn)江一模）我們常用角（如圖中的∠AOB）的大小來描述一段臺(tái)階的陡緩程度，已知圖中的每一級(jí)臺(tái)階的高為15.5cm，寬為27cm，則∠AOB的大小接近于（）（參考數(shù)據(jù)：tan27.5°≈0.52，tan32.5°≈0.64，tan35°≈0.70，，）A．27.5° B．30° C．32.5° D．35°【分析】在直角三角形中，利用銳角三角函數(shù)的定義可得tan∠AOB≈0.57，然后根據(jù)tan27.5°≈0.52，tan32.5°≈0.64，即可解答．【解答】解：在Rt△AOB中，tan∠AOB＝≈0.57，∵tan27.5°≈0.52，tan32.5°≈0.64，∴27.5°＜∠AOB＜32.5，∵tan30°＝≈0.58，∴∠AOB的大小接近于30°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2022?太倉市模擬）圖1是一種折疊式晾衣架．晾衣時(shí)，該晾衣架水平放置并且左右晾衣臂張開后示意圖如圖2所示，兩支腳OC＝OD＝10分米，展開角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝10分米，晾衣臂（OA）撐開時(shí)與支腳（OC）的夾角∠AOC＝105°，則點(diǎn)A離地面的距離AM為（5+5）分米．（結(jié)果保留根號(hào)）【分析】過點(diǎn)O作OQ⊥AM，垂足為M，過點(diǎn)O作OP⊥CD，垂足為P，根據(jù)題意可得QM＝OP，∠QOP＝90°，先利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得∠COP＝30°，再在Rt△COP中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出OP的長，然后在Rt△AOQ中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AQ的長，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：過點(diǎn)O作OQ⊥AM，垂足為M，過點(diǎn)O作OP⊥CD，垂足為P，則QM＝OP，∠QOP＝90°，∵OC＝OD，∠COD＝60°，∴∠COP＝∠COD＝30°，在Rt△COP中，OC＝10分米，∴OP＝OC?cos30°＝10×＝5（分米），∴QM＝OP＝5分米，∵∠AOC＝105°，∴∠AOQ＝∠AOC+∠COP﹣∠QOP＝45°，在Rt△AOQ中，AO＝10分米，∴AQ＝AO?sin45°＝10×＝5（分米），∴AM＝AQ+QM＝（5+5）分米，∴點(diǎn)A離地面的距離AM為（5+5）分米，故答案為：（5+5）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．4．（2022?寶應(yīng)縣一模）如圖，某超市在一樓至二樓之間安裝有電梯，天花板與地面平行．請你根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計(jì)算回答，電梯最大通行高度BC為2.04m．（參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）【分析】根據(jù)題意可得∠CAB＝27°，然后在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長，即可解答．【解答】解：由題意得：∠CAB＝27°，在Rt△ABC中，AC＝4m，∴BC＝AC?tan27°≈4×0.51＝2.04（m），∴電梯最大通行高度BC為2.04m，故答案為：2.04．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．5．（2022?鎮(zhèn)江）如圖1是一張圓凳的造型，已知這張圓凳的上、下底面圓的直徑都是30cm，高為42.9cm．它被平行于上、下底面的平面所截得的橫截面都是圓．小明畫出了它的主視圖，是由上、下底面圓的直徑AB、CD以及、組成的軸對(duì)稱圖形，直線l為對(duì)稱軸，點(diǎn)M、N分別是、的中點(diǎn)，如圖2，他又畫出了所在的扇形并度量出扇形的圓心角∠AEC＝66°，發(fā)現(xiàn)并證明了點(diǎn)E在MN上．請你繼續(xù)完成MN長的計(jì)算．參考數(shù)據(jù)：sin66°≈，cos66°≈，tan66°≈，sin33°≈，cos33°≈，tan33°≈．【分析】連接AC，交MN于點(diǎn)H，設(shè)直線l交MN于點(diǎn)Q，利用三角函數(shù)求出MH，再根據(jù)對(duì)稱性求出MN即可．【解答】解：連接AC，交MN于點(diǎn)H，設(shè)直線l交MN于點(diǎn)Q，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)E在MN上，∴∠AEM＝∠CEM＝∠AEC＝33°，在△AEC中，EA＝EC，∠AEH＝∠CEH，∴EH⊥AC，AH＝CH，∵直線l是對(duì)稱軸，∴AB⊥l，CD⊥l，MN⊥l，∴AB∥CD∥MN，∴AC⊥AB，∴AC＝42.9cm，AH＝CH＝cm，在Rt△AEH中，sin∠AEH＝，即＝，則AE＝39，tan∠AEH＝，即＝，則EH＝33，∴MH＝6cm，∵該圖形為軸對(duì)稱圖形，∴MQ＝MH+HQ＝6+15＝21（cm），∴MN＝42（cm），即MN的長為42cm．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解直角三角形的知識(shí)，熟練運(yùn)用三角函數(shù)解直角三角形是解題的關(guān)鍵．6．（2022?淮安）如圖，湖邊A、B兩點(diǎn)由兩段筆直的觀景棧道AC和CB相連．為了計(jì)算A、B兩點(diǎn)之間的距離，經(jīng)測量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A、B兩點(diǎn)之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【分析】通過作高，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系，列方程求解即可．【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，在Rt△ACD中，∵∠DAC＝37°，AC＝80米，∴sin∠DAC＝，cos∠DAC＝，∴CD＝AC?sin37°≈80×0.60＝48（米），AD＝AC?cos37°≈80×0.80＝64（米），在Rt△BCD中，∵∠CBD＝58°，CD＝48米，∴tan∠CBD＝，∴BD＝≈＝30（米），∴AB＝AD+BD＝64+30＝94（米）．答：A、B兩點(diǎn)之間的距離約為94米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形的邊角關(guān)系，掌握直角三角形的邊角關(guān)系，即銳角三角函數(shù)，是正確解答的前提，通過作輔助線構(gòu)造直角三角形是常用的方法．7．（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)二模）小淇同學(xué)在學(xué)習(xí)了“平面鏡反射原理”后，用一個(gè)小平面鏡PQ做實(shí)驗(yàn)．他先將平面鏡放在平面上，如圖，用一束與平面成30°角的光線照射平面鏡上的A處，使光影正好落在對(duì)面墻面上一幅畫的底邊C點(diǎn)．他不改變光線的角度，原地將平面鏡轉(zhuǎn)動(dòng)了7.5°角，即∠PAP′＝7.5°，使光影落在C點(diǎn)正上方的D點(diǎn)，測得CD＝10cm．求平面鏡放置點(diǎn)與墻面的距離AB．（參考數(shù)據(jù)：≈1.73）【分析】設(shè)AB＝xcm，則DB＝xcm，根據(jù)CD＝BD﹣BC，構(gòu)建方程求解即可．【解答】解：由題意得：∠DAB＝37.5°+7.5°＝45°．設(shè)AB＝xcm，則DB＝xcm，在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，∵tan∠CAB＝，∴BC＝AB?tan∠CAB＝x，∵CD＝BD﹣BC，∴x﹣x＝10，∴x≈23.65．因此，平面鏡放置點(diǎn)與墻面的距離AB是23.65cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．8．（2022?沭陽縣模擬）如圖，一扇窗戶垂直打開，即打開到OM⊥OP的狀態(tài)，AC是長度不變的滑動(dòng)支架，其中一端固定在窗戶的點(diǎn)A處，另一端在OP上滑動(dòng)，將窗戶OM按圖示方向向內(nèi)旋轉(zhuǎn)45°到達(dá)ON位置，此時(shí)，點(diǎn)A、C的對(duì)應(yīng)位置分別是點(diǎn)B、D．測出此時(shí)∠ODB為30°，BO的長為20cm．求滑動(dòng)支架AC的長．（精確到1cm，≈1.41，≈1.73）．【分析】利用三角函數(shù)求出BE的長，根據(jù)BE求出BD的長即可得出AC的長．【解答】解：由題意可知：∠BOE＝45°，BO＝20cm，BE⊥OD，∴BE＝OE＝BO?sin45°＝10（cm），在Rt△BDE中，∠BDE＝30°，∴sin∠BDE＝，∴BD＝20cm，∵BD＝AC，∴AC＝20≈28（cm），答滑動(dòng)支架AC的長約為28cm．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解直角三角形的知識(shí)，熟練利用三角函數(shù)解直角三角形是解題的關(guān)鍵．9．（2022?鹽城）2022年6月5日，“神舟十四號(hào)”載人航天飛船搭載“明星”機(jī)械臂成功發(fā)射．如圖是處于工作狀態(tài)的某型號(hào)手臂機(jī)器人示意圖，OA是垂直于工作臺(tái)的移動(dòng)基座，AB、BC為機(jī)械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．機(jī)械臂端點(diǎn)C到工作臺(tái)的距離CD＝6m．（1）求A、C兩點(diǎn)之間的距離；（2）求OD長．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）【分析】（1）過點(diǎn)A作AE⊥CB，垂足為E，在Rt△ABE中，由AB＝5m，∠ABE＝37°，可求AE和BE，即可得出AC的長；（2）過點(diǎn)A作AF⊥CD，垂足為F，在Rt△ACF中，由勾股定理可求出AF，即OD的長．【解答】解：（1）如圖，過點(diǎn)A作AE⊥CB，垂足為E，在Rt△ABE中，AB＝5m，∠ABE＝37°，∵sin∠ABE＝，cos∠ABE＝，∴＝0.60，＝0.80，∴AE＝3m，BE＝4m，∴CE＝6m，在Rt△ACE中，由勾股定理AC＝＝3≈6.7m．（2）過點(diǎn)A作AF⊥CD，垂足為F，∴FD＝AO＝1m，∴CF＝5m，在Rt△ACF中，由勾股定理AF＝＝2m．∴OD＝2≈4.5m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、勾股定理等知識(shí)；正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．二．解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題（共10小題）10．（2022?海陵區(qū)一模）一個(gè)斜坡的坡度是1：，則這個(gè)斜坡的坡角等于30°．【分析】根據(jù)坡角的正切＝坡度，列式可得結(jié)果．【解答】解：設(shè)這個(gè)斜坡的坡角為α，由題意得：tanα＝1：＝，∴α＝30°．故答案為：30．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，明確坡度實(shí)際就是一銳角的正切值；在解決坡度的有關(guān)問題中，一般通過作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實(shí)質(zhì)也是解直角三角形問題．11．（2022?徐州二模）如圖是一防洪堤背水坡的橫截面圖，斜坡AB的長為18m，它的坡角為45°．為了提高該堤的防洪能力，現(xiàn)將背水坡改造成坡度為的斜坡AD，在CB方向距點(diǎn)B處9m處有一座房屋．（參考數(shù)據(jù)；）（1）求∠DAB的度數(shù)；（2）在背水坡改造的施工過程中，此處房屋是否需要拆除？【分析】（1）根據(jù)坡角的定義得出∠DAC的度數(shù)，進(jìn)而得出∠DAB的度數(shù)；（2）根據(jù)AB的長度先求出AC的長，然后求出BC的長度，根據(jù)將背水坡改造成坡度為1：的斜坡AD，求出CD，然后求出BD的長度，判斷房屋是否需要拆除．【解答】解：（1）∵坡度為的斜坡AD，∴tan∠ADC＝＝＝，∴∠ADC＝30°，∴∠DAC＝60°，∵AB的坡角為45°，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∴∠DAB＝60°﹣45°＝15°；（2）∵AB＝18m，∠BAC＝∠ABC＝45°，∴BC＝AC＝×18＝9（m），∴tan30°＝＝＝，解得：DC＝9，故DB＝DC﹣BC＝9﹣9≈9.324（米），∵9.324＞9，∴在背水坡改造的施工過程中，此處房屋需要拆除．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)坡度和坡角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)求解．12．（2022?宜興市校級(jí)二模）如圖所示，河堤橫斷面迎水坡AB的坡度i＝1：2，堤高BC＝6m，則坡面AB的長度是（）A．6m B．12m C．6m D．6m【分析】根據(jù)坡度的定義求出AC的長，再根據(jù)勾股定理求出AB的長即可．【解答】解：∵迎水坡AB的坡度i＝1：2，∴＝，∴AC＝2BC＝12（米），在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝＝6（米），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，掌握坡度的定義是解題的關(guān)鍵．13．（2022?無錫模擬）小明想測量一棵樹的高度，他發(fā)現(xiàn)樹的影子恰好落在地面和一斜坡上，如圖，此時(shí)測得地面上的影長為8米，坡面上的影長為4米．已知斜坡的坡角為30°，同一時(shí)刻，一根長為1米、垂直于地面放置的標(biāo)桿在地面上的影長為2米，則樹的高度為（）A．（）米 B．12米 C．（）米 D．10米【分析】延長AC交BF延長線于D點(diǎn)，則BD即為AB的影長，然后根據(jù)物長和影長的比值計(jì)算即可．【解答】解：延長AC交BF延長線于D點(diǎn)，則∠CEF＝30°，作CF⊥BD于F，在Rt△CEF中，∠CEF＝30°，CE＝4m，∴CF＝2（米），EF＝4cos30°＝2（米），在Rt△CFD中，∵同一時(shí)刻，一根長為1米、垂直于地面放置的標(biāo)桿在地面上的影長為2米，即CF＝2（米），CF：DF＝1：2，∴DF＝4（米），∴BD＝BE+EF+FD＝8+2+4＝12+2（米）在Rt△ABD中，AB＝BD＝（12+2）＝（+6）米．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用以及相似三角形的性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線得到AB的影長．14．（2022春?江都區(qū)月考）如圖，已知斜坡AC的坡度i＝1：2，小明沿斜坡AC從點(diǎn)A行進(jìn)10m至點(diǎn)B，在這個(gè)過程中小明升高2m．【分析】過點(diǎn)B作BD⊥水平面于點(diǎn)D，根據(jù)坡度的概念得到AD＝2BD，根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．【解答】解：過點(diǎn)B作BD⊥水平面于點(diǎn)D，∵斜坡AC的坡度i＝1：2，∴AD＝2BD，在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，即（2BD）2+BD2＝102，解得：BD＝2，∴在這個(gè)過程中小明升高了2m，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關(guān)鍵．15．（2022?常州模擬）北京冬奧會(huì)雪上項(xiàng)目競賽場地“首鋼滑雪大跳臺(tái)”巧妙地融入了敦煌壁畫“飛天”元素．如圖，賽道剖面圖的一部分可抽象為線段AB．已知坡AB的長為30m，坡角∠ABH約為37°，則坡AB的鉛直高度AH約為18m．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】根據(jù)正弦的定義計(jì)算，得到答案．【解答】解：在Rt△ABH中，∠ABH＝37°，AB＝30m，∵sin∠ABH＝，∴AH＝AB?sin∠ABH≈30×0.60＝18（m），故答案為：18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．16．（2022?姜堰區(qū)二模）2022年2月20日，舉世矚目的北京冬奧會(huì)圓滿落下帷幕．本次冬奧會(huì)的成功舉辦掀起了全民冰雪運(yùn)動(dòng)的熱潮．圖1、圖2分別是一名滑雪運(yùn)動(dòng)員在滑雪過程中某一時(shí)刻的實(shí)物圖與示意圖，已知運(yùn)動(dòng)員的小腿ED與斜坡AB垂直，大腿EF與斜坡AB平行，G為頭部，假設(shè)G，E，D三點(diǎn)共線且頭部到斜坡的距離GD為1.04m，上身與大腿夾角∠GFE＝53°，膝蓋與滑雪板后端的距離EM長為0.8m，∠EMD＝30°．（1）求此滑雪運(yùn)動(dòng)員的小腿ED的長度；（2）求此運(yùn)動(dòng)員的身高．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）【分析】（1）在Rt△DEM中，EM＝0.8m，∠EMD＝30°，sin30°＝＝，即可得出DE．（2）由（1）得，DE＝0.4m，則GE＝GD﹣ED＝0.64（m），在Rt△GEF中，tan53°＝≈，sin53°＝≈，解得EF＝0.48，F(xiàn)G＝0.8，根據(jù)運(yùn)動(dòng)員的身高為GF+EF+DE可得出答案．【解答】解：（1）在Rt△DEM中，EM＝0.8m，∠EMD＝30°，sin30°＝＝，解得DE＝0.4，∴此滑雪運(yùn)動(dòng)員的小腿ED的長度為0.4m．（2）由（1）得，DE＝0.4m，∴GE＝GD﹣ED＝1.04﹣0.4＝0.64（m），∵EF∥AB，∴∠GEF＝∠EDB＝90°，在Rt△GEF中，∠GFE＝53°，GE＝0.64m，tan53°＝≈，sin53°＝≈，∴EF＝0.48，F(xiàn)G＝0.8，∴運(yùn)動(dòng)員的身高為GF+EF+DE＝0.8+0.48+0.4＝1.68（m）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．17．（2022?丹陽市二模）已知一個(gè)不等臂蹺蹺板AB長4米，支撐柱OH垂直地面，如圖1，當(dāng)AB的一端A著地時(shí)，AB與地面夾角的正弦值為；如圖2，當(dāng)AB的另一端B著地時(shí)，AB與地面夾角的正弦值為，則支撐柱OH的長為（）A．0.5米 B．0.6米 C．米 D．0.8米【分析】根據(jù)正弦的定義得到OA＝2OH，OB＝3OH，根據(jù)題意列式計(jì)算即可．【解答】解：在Rt△AOH中，sinA＝＝，∴OA＝2OH，同理可得：OB＝3OH，∵AB＝4米，∴2OH+3OH＝4，解得：OH＝0.8（米），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握坡度的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．18．（2022春?崇川區(qū)校級(jí)月考）2022年北京第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)剛剛圓滿結(jié)束，很多學(xué)校都開展了冰雪項(xiàng)目學(xué)習(xí)，如圖，滑雪軌道由AB、BC兩部分組成，AB、BC的長度都為200米，一位同學(xué)乘滑雪板沿此軌道由A點(diǎn)滑到了C點(diǎn)，若AB與水平面的夾角α為30°，BC與水平面的夾角β為45°，則他下降的高度為（100+100）米（結(jié)果保留根號(hào)）?【分析】過點(diǎn)A作AD⊥水平面于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BF⊥水平面于點(diǎn)F，BE⊥AD于E，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出AE，根據(jù)正弦的定義求出BF，計(jì)算即可．【解答】解：過點(diǎn)A作AD⊥水平面于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BF⊥水平面于點(diǎn)F，BE⊥AD于E，則四邊形BFDE為矩形，∴DE＝BF，在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，AB＝200米，則AE＝AB＝100米，在Rt△BCF中，∠C＝45°，∴BF＝BC＝100米，∴他下降的高度為：（100+100）米，故答案為：（100+100）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．19．（2022?鎮(zhèn)江模擬）如圖，某廣場一燈柱AB被一鋼纜CD固定，CD與地面成40°夾角，且CB＝5米．（1）求鋼纜CD的長度；（精確到0.1米）（2）若AD＝2米，燈的頂端E距離A處1.6米，且∠EAB＝120°，則燈的頂端E距離地面多少米？（參考數(shù)據(jù)：tan40°＝0.84，sin40°＝0.64，cos40°＝）【分析】（1）利用三角函數(shù)求得CD的長；（2）過E作AB的垂線，垂足為F，根據(jù)三角函數(shù)求得BD、AF的長，則FB的長就是點(diǎn)E到地面的距離．【解答】解：（1）在Rt△BCD中，，∴≈6.7；（3分）（2）在Rt△BCD中，BC＝5，∴BD＝5tan40°＝4.2．（4分）過E作AB的垂線，垂足為F，在Rt△AFE中，AE＝1.6，∠EAF＝180°﹣120°＝60°，AF＝＝0.8（6分）∴FB＝AF+AD+BD＝0.8+2+4.20＝7米．（7分）答：鋼纜CD的長度為6.7米，燈的頂端E距離地面7米．（8分）【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)坡度坡角的理解及解直角的綜合運(yùn)用能力．三．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共8小題）20．（2022?南通）如圖，B為地面上一點(diǎn)，測得B到樹底部C的距離為10m，在B處放置1m高的測角儀BD，測得樹頂A的仰角為60°，則樹高AC為（1+10）m（結(jié)果保留根號(hào)）．【分析】在Rt△AED中，求出AE＝DE?tan60°，加上1即為AC的長．【解答】解：如圖，設(shè)DE⊥AC于點(diǎn)E，在Rt△AED中，AE＝DE?tan60°＝10×＝10，∴AC＝（1+10）（m）．故答案為：（1+10）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣﹣仰角俯角問題，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．21．（2022?通州區(qū)一模）如圖，小明為了測量旗桿AB高度，采用如下方案：在點(diǎn)C處測得旗桿頂B的仰角為45°，從與點(diǎn)C相距6m的E處測得旗桿頂B的仰角為60°．若CD＝EF＝1.9m，則旗桿AB的高度是16.1m（精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：≈1.73）【分析】延長CE，交AB于點(diǎn)G．則∠BGC＝90°．AG＝CD＝EF＝1.9m，設(shè)BG＝xm．先證CG＝BG＝xm，則GE＝（x﹣6）m．再由銳角三角函數(shù)定義，即可解決問題．【解答】解：延長CE，交AB于點(diǎn)G．如圖所示：則∠BGC＝90°．AG＝CD＝EF＝1.9m，設(shè)BG＝xm．在Rt△BGC中，∠BCG＝45°，∴△BCG是等腰直角三角形，∴CG＝BG＝xm，∵CE＝6m，∴GE＝（x﹣6）m．在Rt△BGE中，∠BEG＝60°，tan∠BEG＝＝tan60°＝，∴＝，解得：x＝9+3，∴AB＝BG+GA＝9+3+1.9≈16.1（m），故答案為：16.1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．22．（2022?吳中區(qū)模擬）同學(xué)甲為了測量教學(xué)樓ABCD的高度CD，在水平地面點(diǎn)F處，觀察點(diǎn)D的仰角為32°，再向點(diǎn)C處前行了15米到達(dá)點(diǎn)E，即EF＝15米，在點(diǎn)E處看點(diǎn)D的仰角為64°，則教學(xué)樓的高CD用三角函數(shù)表示為（）A．15sin32° B．15tan64° C．15sin64° D．15tan32°【分析】先結(jié)合三角形外角的性質(zhì)與等腰三角形的判定證得DE＝EF，再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：∵∠CED＝64°，∠F＝32°，∠CED＝∠F+∠EDF，∴∠EDF＝∠CED﹣∠F＝64°﹣32°＝32°，∴∠EDF＝∠F，∴DE＝EF，∵EF＝15米，∴DE＝15米，在Rt△CDE中，sin∠CED＝，∴CD＝DEsin∠CED＝15sin64°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，等腰三角形的判定，三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解決問題的關(guān)鍵．23．（2022?鎮(zhèn)江模擬）2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)日益臨近，國家跳臺(tái)滑雪中心建設(shè)已初具規(guī)模，國家跳臺(tái)滑雪中心的賽道S線剖面因與中國傳統(tǒng)吉祥飾物“如意”的S形曲線契合，被形象地稱為“雪如意”．“雪如意”的剖面示意圖如圖：跳臺(tái)由頂部的頂峰平臺(tái)AB、中部的大跳臺(tái)騰空起點(diǎn)C、賽道CE、底部的看臺(tái)區(qū)EF組成．為有效進(jìn)行工程施工監(jiān)測，現(xiàn)在C處設(shè)置了監(jiān)測標(biāo)志旗（標(biāo)志旗高度忽略不計(jì)），CE賽道可近似視作坡度為1：2.4的一段坡面，通過GPS高程測量儀測得A點(diǎn)、E點(diǎn)的海拔高度差（即AH）是160米，從頂峰平臺(tái)A點(diǎn)俯視C處的標(biāo)志旗，俯角約為37°．由C處釋放的遙控?zé)o人機(jī)豎直上升到與平臺(tái)AB水平位置D后，遙感測得AD之間距離為152米，若圖中各點(diǎn)均在同一平面，則CE賽道長度約為（）米．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．116.2 B．118.4 C．119.6 D．121.2【分析】根據(jù)題意可得四邊形ADMH是矩形，再利用37°的正切可得DC的長度，根據(jù)坡度可得ME的長度，最后由勾股定理可得答案．【解答】解：由題意可得：四邊形ADMH是矩形，∴DM＝AH＝160米，Rt△ADC中，∠DAC＝37°，∴DC＝AD?tan37°＝152×0.75＝114米，∴CM＝DM＝DC＝160﹣114＝46米，∵CE的坡度為1：2.4，∴CM：ME＝1：2.4，ME＝110.4，∴CE＝＝≈119.6米．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題綜合考查了仰角和坡度的定義，能夠正確地構(gòu)建出直角三角形，將實(shí)際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關(guān)鍵．24．（2022?海門市二模）狼山位于江蘇南通城南的狼山風(fēng)景名勝區(qū)，高不過百余米，卻與南岳衡山、中岳嵩山、江西廬山、北京香山等同列“中國佛教八小名山”，是江北著名的旅游佳地．如圖，亮亮同學(xué)去狼山風(fēng)景區(qū)旅游時(shí)，利用無人機(jī)從A處測得狼山頂部點(diǎn)B的仰角為45°，測得狼山底部點(diǎn)C的俯角為60°，此時(shí)無人機(jī)與BC的水平距離AD長為40m，那么亮亮同學(xué)測得狼山的高度BC約為109m（結(jié)果保留整數(shù)，≈1.73）．【分析】在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，可得AD＝BD＝40m，在Rt△ACD中，tan60°＝，解得CD＝，根據(jù)BC＝BD+CD可得出答案．【解答】解：由題意得，∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝40m，在Rt△ACD中，tan60°＝，解得CD＝，∴BC＝BD+CD≈109m．故答案為：109．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．25．（2022?如東縣一模）熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A看一棟樓頂部B的仰角α為30°，看這棟樓底部C的俯角β為60°，若這棟樓的樓高BC＝100m，則熱氣球A與該樓的水平距離為m（結(jié)果保留根號(hào)）．【分析】首先過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)題意得∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，設(shè)AD＝xm，然后利用三角函數(shù)求解即可求得答案．【解答】解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，則∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，設(shè)AD＝xm，在Rt△ABD中，BD＝AD?tan30°＝x（m），在Rt△ACD中，CD＝AD?tan60°＝x（m），∵x+x＝100，解得x＝25．∴熱氣球A與該樓的水平距離為25m．故答案為：25．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了仰角俯角問題．注意準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解此題的關(guān)鍵．26．（2022春?邗江區(qū)校級(jí)月考）為了疫情防控工作的需要，棗莊某學(xué)校在學(xué)校門口的大門上方安裝了一個(gè)人體體外測溫?cái)z像頭，學(xué)校大門高M(jìn)E＝7.5米，學(xué)生身高BD＝1.5米，當(dāng)學(xué)生準(zhǔn)備進(jìn)入識(shí)別區(qū)域時(shí)，在點(diǎn)B時(shí)測得攝像頭M的仰角為30°，當(dāng)學(xué)生剛好離開識(shí)別區(qū)域時(shí)，在點(diǎn)A時(shí)測得攝像頭M的仰角為60°，則體溫監(jiān)測有效識(shí)別區(qū)域AB的長是4米．（結(jié)果保留根號(hào)）【分析】首先分析圖形，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形．本題涉及多個(gè)直角三角形，應(yīng)利用其公共邊構(gòu)造三角關(guān)系，進(jìn)而可求出答案．【解答】解：根據(jù)題意可知：四邊形EFCA和ABDC是矩形，ME＝7.5米，∴CA＝EF＝BD＝1.5米，CD＝AB，設(shè)FC＝x，在Rt△MFC中，∵∠MCF＝60°，∴∠FMC＝30°，∴MC＝2FC＝2x，MF＝x，∵∠MDC＝30°，∴∠CMD＝60°﹣30°＝30°，∴CD＝CM＝2x，∵M(jìn)E＝MF+EF，∴x+1.5＝7.5，解得：x＝2，∴MC＝2x＝4（米），答：體溫監(jiān)測有效識(shí)別區(qū)域AB的長為4米．故答案為：4米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，銳角三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握以上知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．27．（2022?姑蘇區(qū)校級(jí)一模）如圖，有一寬為AB的旗子，小明在點(diǎn)D處測得點(diǎn)B的仰角為60°，隨后小明沿坡度為i＝1：的斜坡DE走到點(diǎn)E處，又測得點(diǎn)A的仰角為45°．已知DC＝6米，DE＝4米，求（1）E點(diǎn)到地面DC的距離；（2）旗子的寬度AB．（測角器的高度忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號(hào)）【分析】（1）過點(diǎn)E作EF⊥地面DC，垂足為F，根據(jù)已知可得＝，然后在Rt△EFD中，利用銳角三角函數(shù)的定義可得∠EDF＝30°，從而可得EF＝ED＝2米，即可解答；（2）過點(diǎn)E作EG⊥AC，垂足為G，則EF＝GC＝2米，EG＝CF，利用（1）的結(jié)論可得DF＝2米，從而可得EG＝FC＝（2+6）米，然后在Rt△AEG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AG的長，再在Rt△BDC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長，最后根據(jù)AB＝AG+GC﹣BC，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）過點(diǎn)E作EF⊥地面DC，垂足為F，∵斜坡DE的坡度為i＝1：，∴＝＝，在Rt△EFD中，tan∠EDF＝＝，∴∠EDF＝30°，∴EF＝ED＝2（米），∴E點(diǎn)到地面DC的距離為2米；（2）過點(diǎn)E作EG⊥AC，垂足為G，則EF＝GC＝2米，EG＝CF，∵＝，∴DF＝EF＝2（米），∵DC＝6米，∴EG＝FC＝DF+DC＝（2+6）米，在Rt△AEG中，∠AEG＝45°，∴AG＝EG?tan45°＝（2+6）米，在Rt△BDC中，∠BDC＝60°，∴BC＝CD?tan60°＝6（米），∴AB＝AG+GC﹣BC＝2+6+2﹣6＝（8﹣4）米，∴旗子的寬度AB為（8﹣4）米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．四．解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題（共9小題）28．（2022?工業(yè)園區(qū)校級(jí)一模）一艘漁船從港口A沿北偏東60°方向航行60海里到達(dá)C處時(shí)突然發(fā)生故障，位于港口A正東方向的B處的救援艇接到求救信號(hào)后，立即沿北偏東45°方向以40海里/小時(shí)的速度前去救援，救援艇到達(dá)C處所用的時(shí)間為（）A．小時(shí) B．小時(shí) C．小時(shí) D．小時(shí)【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB交AB的延長線于D，根據(jù)正弦的定義求出CD，再根據(jù)正弦的定義求出BC，計(jì)算即可．【解答】解：過點(diǎn)C作CD⊥AB交AB的延長線于D，在Rt△CAD中，∠CAD＝30°，AC＝60海里，則CD＝AC＝30海里，在Rt△CBD中，∠CBD＝45°，則BC＝CD＝30海里，∴救援艇到達(dá)C處所用的時(shí)間＝＝（小時(shí)），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—方向角問題，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．29．（2022?淮陰區(qū)模擬）如圖，避風(fēng)港M在島礁P正東方向上．一艘漁船正以60海里/小時(shí)的速度向正東方向航行，在A處測得島礁P在北偏東45°方向上，繼續(xù)航行1.5小時(shí)后到達(dá)B處時(shí)測得島礁P在北偏東22°方向，避風(fēng)港M在北偏東53°方向上．求此時(shí)漁船離避風(fēng)港的距離BM．（參考數(shù)據(jù)：tan22°≈0.40，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【分析】過點(diǎn)P、M分別作PC⊥AB于C，MD⊥AB于D，交AB的延長線于點(diǎn)C、D．于是得到AB＝60×1.5＝90海里，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到PC＝MD，設(shè)PC＝x海里，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解答】解：過點(diǎn)P、M分別作PC⊥AB于C，MD⊥AB于D，交AB的延長線于點(diǎn)C、D．由題意可知：AB＝60×1.5＝90海里，則四邊形PCDM為矩形，∴PC＝MD，設(shè)PC＝x海里，在Rt△APC中，AC＝tan45°?PC＝x，在Rt△BPC中，BC＝tan22°?PC≈0.4x，∵AC﹣BC＝AB，∴x﹣0.4x＝90，解得：x＝150，∴MD＝150，在Rt△BMD中，BM＝＝＝250（海里），答：漁船離避風(fēng)港的距離BM為250海里．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題：在解決有關(guān)方向角的問題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時(shí)所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等或一個(gè)角的余角等知識(shí)轉(zhuǎn)化為所需要的角．合理構(gòu)建直角三角形是解決此題的關(guān)鍵．30．（2022春?亭湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，一艘船由A港沿北偏東65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏東20°方向，則A，C兩港之間的距離為（30+10）km．【分析】過B作BE⊥AC于E，過C作CF∥AD，證出∠ACB＝60°，由題意得∠CAB＝65°﹣20°＝45°，AB＝30km，解直角三角形求出AE、CE的長，即可得到答案．【解答】解：如圖，過B作BE⊥AC于E，過C作CF∥AD，則CF∥AD∥BG，∠AEB＝∠CEB＝90°，∴∠ACF＝∠CAD＝20°，∠BCF＝∠CBG＝40°，∴∠ACB＝20°+40°＝60°，由題意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，AB＝30km，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵AB＝30km，∴AE＝BE＝AB＝30（km），在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，tan∠ACB＝，∴CE＝＝＝10（km），∴AC＝AE+CE＝30+10（km），∴A，C兩港之間的距離為（30+10）km，故答案為：（30+10）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，方向角問題，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握解直角三角形，作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．31．（2022?徐州一模）如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60°方向，距離燈塔60海里的小島A出發(fā)，沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔C的南偏東45°方向上的B處，這時(shí)輪船B與小島A的距離是（30+30）海里．【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB，則在Rt△ACD中易得AD的長，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的長．【解答】解：過C作CD⊥AB于D點(diǎn)，∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．在Rt△ACD中，AD＝AC＝30，cos∠ACD＝，∴CD＝AC?cos∠ACD＝60×＝30．在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD＝30，∴AB＝AD+BD＝30+30．答：這時(shí)輪船B與小島A的距離是（30+30）海里．故答案為：（30+30）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．32．（2022?東?？h二模）如圖輪船從島M向島N行駛，島M位于碼頭A的正南方向80海里處，在M處測得碼頭B在M的北偏西45°方向上，輪船行駛60海里到達(dá)島N，此時(shí)測得島M在島N的北偏東63°方向上，碼頭C在N的北偏西30°方向上，已知碼頭B，C都在碼頭A的正西方向，求碼頭B與碼頭C之間的距離．（結(jié)果精確到0.1海里．參考數(shù)據(jù)：sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96，≈1.73）【分析】證△ABM是等腰直角三角形，則AB＝AM＝80海里，過點(diǎn)N作ND⊥AC于D，過點(diǎn)M作ME⊥ND于E，再由銳角三角函數(shù)定義求出AD＝EM≈53.4（海里），EN≈27（海里），CD≈61.70（海里），即可解決問題．【解答】解：在Rt△ABM中，∠AMB＝45°，∴△ABM是等腰直角三角形，∴AB＝AM＝80海里，過點(diǎn)N作ND⊥AC于D，過點(diǎn)M作ME⊥ND于E，如圖所示：則四邊形AMED為矩形，∴AD＝EM，DE＝AM＝80海里，在Rt△NEM中，sin63°＝＝≈0.89，cos63°＝＝≈0.45，∴AD＝EM≈60×0.89＝53.4（海里），EN≈60×0.45＝27（海里），在Rt△CDN中，DN＝DE+EN≈80+27＝107（海里），tan30°＝＝，∴CD＝DN≈×107≈61.70（海里），∴BC＝AC﹣AB＝CD+AD﹣AB≈61.70+53.4﹣80＝35.1（海里），答：碼頭B與碼頭C之間的距離約為35.1海里．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—方向角問題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．33．（2022?東?？h一模）如圖，一艘漁船位于觀測站A的北偏東53.2°方向的點(diǎn)B處，它沿著點(diǎn)B的正南方向航行，航行15海里后，觀察站A測得該漁船位于南偏東63.4°方向的點(diǎn)D處．（1）求證：BD＝BA；（2）若漁船從點(diǎn)D處繼續(xù)按著原方向航行海里后到達(dá)點(diǎn)C時(shí)突然發(fā)生事故，漁船馬上向觀測站A處的救援隊(duì)求救，問救援隊(duì)從A處出發(fā)沿著哪個(gè)方向航行到達(dá)事故地點(diǎn)C的航程最短？（參考數(shù)據(jù)：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60）【分析】（1）分別求出∠ADB和∠BAD的度數(shù)可得結(jié)論；（2）過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，根據(jù)53.2°的正弦和余弦得到AH和BH的長度，再計(jì)算出CH的長度，根據(jù)特殊角的正切值可得答案．【解答】（1）證明：由題意得，∠ADB＝63.4°，∴∠BAD＝180°﹣63.4°﹣53.2°﹣63.4°，∴∠ADB＝∠BAD，∴BD＝BA；（2）解：過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，在Rt△ABH中，∠B＝53.2°，sin53.2°＝，cos53.2°＝，∴AH＝15×0.8≈12（海里），BH＝15×0.6≈9（海里），∴HD＝BD﹣BH＝15﹣9＝6（海里），∵CD＝（12﹣6）海里，∴HC＝（12﹣6）+6＝12（海里），∴tanC＝＝，即∠C＝30°，∴∠FAC＝∠C＝30°，答：救援隊(duì)從A處出發(fā)沿著南偏東30°方向航行到達(dá)事故地點(diǎn)C的航程最短．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—方向角問題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．34．（2022?興化市二模）如圖，某社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)小組實(shí)地測量兩岸互相平行的一段河的寬度，在河的南岸邊點(diǎn)A處，測得河的北岸邊點(diǎn)B在其北偏東20°方向，然后向西走35米到達(dá)C點(diǎn)，測得點(diǎn)B在點(diǎn)C的北偏東45°方向．（1）求∠CBA的度數(shù)；（2）求這段河的寬度約為多少米．（參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）【分析】（1由題意得：∠BAE＝90°﹣20°＝70°，∠BCA＝90°﹣45°＝45°，再由三角形的外角性質(zhì)即可得出答案；（2）過B作BD⊥CA于D，由銳角三角函數(shù)定義得≈，設(shè)BD＝11x米，則AD＝4x米，再由銳角三角函數(shù)定義得BD＝CD＝AC+AD，則11x≈35+4x，即可解決問題．【解答】解：（1）如圖，由題意得：∠BAE＝90°﹣20°＝70°，∠BCA＝90°﹣45°＝45°，∴∠CBA＝∠BAD﹣∠BCA＝70°﹣45°＝25°；（2）過B作BD⊥CA于D，則∠BDA＝90°，∵，∴，即，設(shè)BD＝11x米，則AD＝4x米，∵tan∠BCA＝tan45°＝＝1，∴BD＝CD＝AC+AD，∴11x≈35+4x，解得：x≈5，∴BD＝11x＝11×5＝55（米），答：這段河的寬度約為55米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—方向角問題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．35．（2022?惠山區(qū)校級(jí)二模）如圖，052D型驅(qū)逐艦“昆明艦”執(zhí)行任務(wù)后正返回葫蘆島軍港C，途經(jīng)渤海海域A處時(shí)，葫蘆島軍港C的中國海軍發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A在南偏東30°方向上，旅順軍港B的中國海軍發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A在正西方向上．已知軍港C在軍港B的北偏西60°方向，且B、C兩地相距120海里．（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）（1）求出此時(shí)點(diǎn)A到軍港C的距離；（2）若“昆明艦”從A處沿AC方向向軍港C駛?cè)ィ?dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)A′時(shí)，測得軍港B在A′的南偏東75°的方向上，求此時(shí)“昆明艦”的航行距離．【分析】（1）如圖所示：延長BA，過點(diǎn)C作CD⊥BA延長線于點(diǎn)D，由直角三角形的性質(zhì)得CD＝BC＝60海里，由銳角三角函數(shù)的定義求出AC＝40海里即可；（2）過點(diǎn)A′作A′N⊥BC于點(diǎn)N，由（1）得：CD＝60海里，AC＝40海里，證出A′B平分∠CBA，得A'E＝A'N，設(shè)AA′＝x，則AE＝AA'，A'N＝A′E＝AE＝x，證出A'C＝2A'N＝x，由題意得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）如圖所示：延長BA，過點(diǎn)C作CD⊥BA延長線于點(diǎn)D，由題意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，則CD＝BC＝60海里，∵cos∠ACD＝＝cos30°＝，即＝∴AC＝40（海里），即此時(shí)點(diǎn)A到軍港C的距離為40海里；（2）過點(diǎn)A′作A′N⊥BC于點(diǎn)N，如圖：由（1）得：CD＝60海里，AC＝40海里，∵A'E∥CD，∴∠AA'E＝∠ACD＝30°，∴∠BA′A＝45°，∵∠BA'E＝75°，∴∠ABA'＝15°，∴∠2＝15°＝∠ABA'，即A′B平分∠CBA，∴A'E＝A'N，設(shè)AA′＝x，則AE＝AA'，A'N＝A′E＝AE＝x，∵∠1＝60°﹣30°＝30°，A'N⊥BC，∴A'C＝2A'N＝x，∵A'C+AA'＝AC，∴x+x＝40，解得：x＝60﹣20，∴AA'＝（60﹣20）海里，即此時(shí)“昆明艦”的航行距離為（60﹣20）海里．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用以及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．36．（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)一模）在全民健身運(yùn)動(dòng)中，騎行運(yùn)動(dòng)頗受市民青睞．一市民騎自行車由A地出發(fā)，途經(jīng)B地去往C地，如圖．當(dāng)他由A地出發(fā)時(shí)，發(fā)現(xiàn)他的北偏東45°方向有一信號(hào)發(fā)射塔P．他由A地沿正東方向騎行4km到達(dá)B地，此時(shí)發(fā)現(xiàn)信號(hào)塔P在他的北偏東15°方向，然后他由B地沿北偏東75°方向騎行12km到達(dá)C地．（1）求A地與信號(hào)發(fā)射塔P之間的距離；（2）求C地與信號(hào)發(fā)射塔P之間的距離．（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）【分析】（1）根據(jù)題意得到∠PAB＝45°，∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，過點(diǎn)B作BD⊥AP于D點(diǎn)，求得AD＝BD＝4，得到∠PBD＝60°，由BD＝4，求得，于是得到結(jié)論；（2）過點(diǎn)P作PE⊥BC于E，根據(jù)∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，求得∠PBE＝60°，得到BE＝4，，根據(jù)BC＝12，于是得到結(jié)論．【解答】解：（1）依題意知：∠PAB＝45°，∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，過點(diǎn)B作BD⊥AP于D點(diǎn)，∵∠DAB＝45°，，∴AD＝BD＝4，∵∠ABD＝∠GBD＝45°，∠GBP＝15°，∴∠PBD＝60°，∵BD＝4，∴，∴PA＝（4+4）（km）；（2）∵∠PBD＝60°，BD＝4，∴PB＝8，過點(diǎn)P作PE⊥BC于E，∵∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，∴∠PBE＝60°，∵PB＝8，∴BE＝4，，∵BC＝12，∴CE＝8，∴PC＝＝4（km）．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題．此題難度適中，解此題的關(guān)鍵是將方向角問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的知識(shí)，利用三角函數(shù)的知識(shí)求解．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·江蘇崇川·九年級(jí)期末）如圖，電線桿CD的高度為h，兩根拉線AC與BC互相垂直（A，D，B在同一條直線上），設(shè)∠CAB=α，那么拉線BC的長度為（）A．h·sinα B．h·cosαC． D．【答案】D【分析】根據(jù)同角的余角相等得∠CAD＝∠BCD，由，即可求出BC的長度．【詳解】AC與BC互相垂直，，．在中，，．故選:D．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握同角的余角相等和三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2021·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)、點(diǎn)是同一幢樓上的兩個(gè)不同位置，從點(diǎn)觀測標(biāo)志物的俯角是65°，從點(diǎn)觀測標(biāo)志物的俯角是35°，則的度數(shù)為（）A．25° B．30° C．35° D．65°【答案】B【分析】如圖，標(biāo)注字母，由題意得：證明再利用從而可得答案．【詳解】解：如圖，標(biāo)注字母，由題意得：故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2021·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)教育集團(tuán)樹人學(xué)校九年級(jí)月考）如圖，在中，，是邊上的高，則下列選項(xiàng)中不能表示的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可推出△ABC、△ADB、△ADC均為直角三角形，再在三個(gè)直角三角形中分別表示出tanB即可．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AD是BC邊上的高，∴△ABC、△ADB、△ADC均為直角三角形，又∵∠C+∠B=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠B=∠DAC，在Rt△ABC中，tanB=，故A可以表示；在Rt△ABD中，tanB=，故B可以表示；在Rt△ADC中，tanB=tan∠DAC=，故C可以表示；D不能表示tanB；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形相關(guān)知識(shí)，熟練掌握銳角三角函數(shù)在直角三角形中的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．4．（2021·江蘇·鹽城市初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在直線上．若直線且間距相等，AB=5，BC=3，則tanα的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，可以得到BG的長，再根據(jù)∠ABG=90°，AB=5，可以得到∠BAG的正切值，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，可以得到∠BAG=∠α，從而可以得到tanα的值．【詳解】解：作CF⊥于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，設(shè)CB交于點(diǎn)G，

由已知可得,

GE∥BF，CE=EF，

∴△CEG∽△CFB，

∴,∵

∴

∵BC=3,

∴GB=

∵∥

∴∠α=∠GAB，

∵四邊形ABCD是矩形，AB=5，

∴∠ABG=90°，∴tan∠BAG==．

∴tanα的值為．

故選:A．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì),解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．5．（2021·江蘇蘇州·九年級(jí)專題練習(xí)）“大金鷹”雕塑雄居在重慶南山的鷂鷹巖上，水泥澆鑄，外敷金箔，內(nèi)沒通道，游客可以直登鷹的頭部，上設(shè)有觀景臺(tái)，憑欄遠(yuǎn)跳，重慶臨江兩岸景物盡收眼底．小南游覽時(shí)對(duì)大金鷹雕塑“身高”突發(fā)興趣，決定利用所學(xué)的三角函數(shù)的知識(shí)測量大金鷹的高度（即示意圖中的線段長度）．他先在景區(qū)入口處觀測到“大金鷹”頂部觀景臺(tái)的仰角是，然后他沿著水平步道前行23.8米后到達(dá)坡度的斜坡梯道起點(diǎn)處，拾級(jí)而上抵達(dá)處后，他一鼓作氣直上登臨觀景臺(tái)處，在觀景臺(tái)處俯視斜坡梯道起點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)此時(shí)俯角恰好是，圖中點(diǎn)同一平面內(nèi)，小南通過計(jì)算得出大金鷹雕塑“身高”約為（）米．（小南身高忽略不計(jì)，結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：．）A．31 B．32 C．33 D．34【答案】B【分析】先證AC=BC，設(shè)CN=3x米，則CM=4x米，再由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得AC=CM=4x（米），由BM+CM=CB=AC，得23.8+4x=4x，即可解決問題．【詳解】解：如圖，由題意得：∠C=90°，∠AMC=60°，∠ABC=45°，BM=23.8米，則△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，∵斜坡梯道MN的坡度i=3：4=CN：CM，∴設(shè)CN=3x米，則CM=4x米，在Rt△ACM中，∠MAC=90°-∠AMC=30°，∴AC=CM=4x（米），∵BM+CM=CB=AC，∴23.8+4x=4x，解得：x≈8.13，∴AN=23.8+4x-3x=23.8+x≈23.8+8.13≈32（米），故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題、坡度坡角問題，熟練掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．6．（2021·江蘇蘇州·一模）圖1是一個(gè)地鐵站入口的雙翼閘機(jī)．如圖2，當(dāng)雙翼收起時(shí)，可以通過閘機(jī)的物體的最大寬度是64cm，它的雙翼展開時(shí)，雙翼邊緣的端點(diǎn)A與B之間的距離為10cm，此時(shí)雙翼的邊緣AC、BD與閘機(jī)側(cè)立面夾角∠PCA＝∠BDQ＝30°，則雙翼的邊緣AC、BD（AC＝BD）的長度為（）A．cm B．cm C．27cm D．54cm【答案】D【分析】過A作AE⊥CP于E，過B作BF⊥DQ于F，則可得AE和BF的長，依據(jù)端點(diǎn)A與B之間的距離為10cm，即可得到雙翼的邊緣AC、BD（AC＝BD）的長度．【詳解】解：如圖，過A作AE⊥CP于E，過B作BF⊥DQ于F，∵點(diǎn)A與B之間的距離為10cm，可以通過閘機(jī)的物體的最大寬度是64cm，∴AE＝BF＝（64?10）÷2＝27（cm），Rt△ACE中，∠PCA＝30°，AC＝2AE＝27×2＝54（cm），故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，特殊角的三角函數(shù)值應(yīng)用廣泛，一是它可以當(dāng)作數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，二是具有三角函數(shù)的特點(diǎn)，在解直角三角形中應(yīng)用較多．7．（2021·江蘇·蘇州市南環(huán)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校二模）知識(shí)改變世界，科技改變生活，導(dǎo)航裝備的不斷更新極大方便了人們的出行．如圖，某校組織學(xué)生乘車到黑龍灘（用C地表示）開展社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，車到達(dá)A地后，發(fā)現(xiàn)C地恰好在A地的正北方向，且距離A地，導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏東方向行駛至B地，再沿北偏西方向行駛一段距離才能到達(dá)C地，則B，C兩地的距離為（）．（結(jié)果保留根號(hào)，參考數(shù)據(jù)：，，）A． B． C． D．【答案】C【分析】先作BD⊥AC于D點(diǎn)，根據(jù)題意可在Rt△ABD中，設(shè)，則，以及，然后在Rt△CBD中，利用正切函數(shù)的定義建立方程求解并檢驗(yàn)即可得出的值，從而得到BD的長度，同樣在Rt△CBD中，利用余弦的定義即可求出BC的長度．【詳解】解：如圖所示，作BD⊥AC于D點(diǎn)，則∠ADB=∠CDB=90°，則由題意可知，∠A=60°，∠ABD=30°，∠CBD=53°，在Rt△ABD中，設(shè)，則，∴，在Rt△CBD中，，即：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是上述分式方程的解，∴，∵，∴，即：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形，理解并熟練掌握三角函數(shù)的基本定義是解題關(guān)鍵．8．（2021·江蘇·蘇州市吳中區(qū)碧波中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，在中，，點(diǎn)D為內(nèi)一點(diǎn)，，連接，將繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使與重合，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，連接交于點(diǎn)F，則的長為（）．A． B． C．2 D．3【答案】B【分析】過點(diǎn)A作AG⊥DE于點(diǎn)G，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推出∠AED=∠ADG=45，∠AFD=60，利用銳角三角函數(shù)分別求出AG，GF，AF的長，再通過計(jì)算，即可求出答案．【詳解】解：過點(diǎn)A作AG⊥DE于點(diǎn)G，

由旋轉(zhuǎn)知：AD=AE，∠DAE=90，∠CAE=∠BAD=15，∴∠AED=∠ADG=45，在中，∠AFD=∠AED+∠CAE=60，在中，，在中，，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形等，解題的關(guān)鍵是能夠通過作適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造特殊的直角三角形，通過解直角三角形來解決問題．9．（2021·江蘇·蘇州吳中區(qū)木瀆實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，為了測量某建筑物AB的高度，在平地上C處測得建筑物頂端A的仰角為30°，沿CB方向前進(jìn)16m到達(dá)D處，在D處測得建筑物頂端A的仰角為45°，則建筑物AB的高度等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用所給的角的三角函數(shù)用AB表示出BD，CB；根據(jù)BC﹣DB＝CD即可求出建筑物AB的高度．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∴tan∠ACB＝tan30°＝，∴BC＝＝AB，∵在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴tan∠ADB＝tan45°＝，∴BD＝＝AB．∵CD＝BC﹣BD＝16，∴AB﹣AB＝16，解得：AB＝8（+1）m．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了仰角問題，解決此類問題的關(guān)鍵是正確的將仰角轉(zhuǎn)化為直角三角形的內(nèi)角并選擇正確的邊角關(guān)系解直角三角形．二、填空題10．（2021·江蘇通州·二模）如圖，從熱氣球C處測得地面A，B兩點(diǎn)的俯角分別為30°，45°，如果此時(shí)熱氣球C處的高度CD為100m，A，D，B三點(diǎn)在同一直線上，則A，B兩點(diǎn)間的距離是____m．【答案】【分析】根據(jù)題意及解直角三角形可進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意可得：∠A=30°，∠B=45°，∠CDB=∠CDA=90°，CD=100m，∴，∴；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握特殊三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．11．（2021·江蘇無錫·中考真題）一條上山直道的坡度為1：7，沿這條直道上山，則前進(jìn)100米所上升的高度為________米．【答案】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)BC=x，則AB=7x，AC=，列出方程，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：設(shè)BC=x，則AB=7x，由題意得：，解得：x=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理和坡度，掌握坡度的定義，利用勾股定理列出方程，是解題的關(guān)鍵．12．（2021·江蘇連云港·模擬預(yù)測）如圖，為了求出湖兩岸A、B兩點(diǎn)之間的距離，觀測者在湖邊找到一點(diǎn)C，并分別測，，又量得，則A、B兩點(diǎn)之間距離為____．【答案】【分析】根據(jù)，代入數(shù)值直接計(jì)算即可．【詳解】解：∵，，∴，即，AB=()故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)，直接代入數(shù)值求解．13．（2021·江蘇如皋·二模）如圖，熱氣球位于觀測塔Р的北偏西50°方向，距離觀測塔100km的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于觀測塔Р的南偏西37°方向的B處，這時(shí)，B處與觀測塔P相距____________km．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】128【分析】先在中，解直角三角形求出的長，再在中，解直角三角形即可得．【詳解】解：由題意得：，，由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得：，在中，，在中，，即處與觀測塔相距，故答案為：128．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．14．（2021·江蘇·沭陽縣修遠(yuǎn)中學(xué)九年級(jí)期末）已知水庫的攔水壩斜坡的坡度為，則這個(gè)攔水壩的坡角為______°【答案】30°【分析】根據(jù)坡度是坡角的正切值求解即可；【詳解】設(shè)坡角為，∵水庫的攔水壩斜坡的坡度為，∴，∴；故答案是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坡度的知識(shí)點(diǎn)，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算是解題的關(guān)鍵．15．（2021·江蘇·高港實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模）某人沿著坡度i＝1：的山坡走到離地面25米高的地方，則他走的路程為____米．【答案】50【分析】根據(jù)題意，作出圖形，再根據(jù)坡度可以求得此為30°的直角三角形，根據(jù)性質(zhì)即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，如下圖：由題意可知：，坡度i＝1：可知，∴∴故答案為50【點(diǎn)睛】此題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解坡度的概念，掌握特殊角三角函數(shù)的值．16．（2021·江蘇·蘇州市吳江區(qū)存志外國語學(xué)校九年級(jí)月考）如圖，一海輪位于燈塔的西南方向，距離燈塔海里的處，它沿正東方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔的南偏東方向上的處，航程的值為__________（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】【分析】過點(diǎn)作于，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出、，根據(jù)正切的定義求出，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．【詳解】解：過點(diǎn)作于，在中，，海里，∴（海里），在中，，，∴，∴海里，∴航程的值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用——方向角問題，掌握方向角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．17．（2021·江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）一座建于若干年前的水庫大壩，目前壩高4米，現(xiàn)要在不改變壩高的情況下修整加固，將背水坡AB的坡度由1：0.75改為1：2，則修整后的大壩橫截面積增加了__平方米．【答案】10【分析】根據(jù)坡度的概念分別求出CD、BC，進(jìn)而求出BD的長，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．【詳解】解：如圖：∵背水坡AB的坡度為1：0.75，AC＝4，∴＝0.75，解得，BC＝3，∵坡AD的坡度為1：2，AC＝4，∴CD＝8，∴BD＝DC﹣BC＝5，∴△ADB的面積＝×5×4＝10（平方米），故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，掌握坡度的概念是解題的關(guān)鍵．三、解答題18．（2021·江蘇·景山中學(xué)一模）小聰家想在某市買一套能全年正午都有太陽照射的新房．勤于思考的小聰通過查閱資料發(fā)現(xiàn):我們北半球冬至日正午太陽高度角（太陽光線與水平線的夾角）最小,樓房的影子會(huì)最長,如果這一天正午有太陽照射,那么整年都不會(huì)有問題．（1）五一假期他們來到正在銷售的A樓盤．該樓盤每幢樓均為17層,層高3米,南?北樓的間距為60米．小聰爸媽想在中間這幢樓購房．如果是你,你將建議父母選擇第幾層以上？說明你的理由．（該市區(qū)所在緯度約是32.5°N,冬至日的正午太陽高度角為90°﹣32.5°﹣23.5°＝34°．sin34°≈0.6,cos34°≈0.8,tan34°≈0.7）（2）假如每平方米單價(jià)y元與樓層n層之間滿足關(guān)系y=－60(n－15)2＋16375．小聰爸媽期望每平方米單價(jià)不超過13000元,請你幫助小聰家設(shè)計(jì)一下購買商品房樓層的方案．【答案】（1）建議選擇10層樓以上;（2）建議購買1到7層【分析】（1）設(shè)AB與右邊樓交于點(diǎn)F,過點(diǎn)B作,垂足為點(diǎn)E,得到,然后解直角三角形,得出EF的長,即可求出答案．（2）根據(jù)題意,列出不等式,求出n的取值范圍,即可得到答案．【詳解】（1）如圖,設(shè)AB與右邊樓交于點(diǎn)F,過點(diǎn)B作,垂足為點(diǎn)E,由題意可知:BE=30m,,在中,,即,解得EF=21m,則有,∴建議選擇10層樓以上．（2）由題意可知,即,解得:（不合題意,舍去）或,又∵且為整數(shù),∴n可以取1?2?3?4?5?6?7故建議購買1到7層．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際運(yùn)用,用不等式解決實(shí)際問題,解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造出直角三角形,列出相應(yīng)的不等式．19．（2021·江蘇·連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，海中有一小島P，在以P為圓心、半徑為16nmile的圓形海域內(nèi)有暗礁、一輪船自西向東航行，它在A處時(shí)測得小島P位于北偏東60°的方向上，且A、P之間的距離為32nmile．若輪船繼續(xù)向正東方向航行，輪船有無觸礁危險(xiǎn)？請通過計(jì)算加以說明．如果有危險(xiǎn)，輪船自A處開始沿南偏東至多多少度方向航行才能安全通過這一海域？【答案】有危險(xiǎn)，60度【分析】過點(diǎn)P作PB⊥AE，垂足為B，求出PB的長和16比較即可，作以點(diǎn)P為圓心，nmile為半徑的⊙P，過點(diǎn)A作⊙P的切線AQ，切點(diǎn)為Q，連接PQ，利用特殊角的三角函數(shù)值可求．【詳解】解：過點(diǎn)P作PB⊥AE，垂足為B，由題意得：∠PAB＝30°，在Rt△PBA中∠PBA＝90°，AP＝32，∴PB＝＝16，∵16＜，∴輪船繼續(xù)向正東方向航行，輪船有觸礁危險(xiǎn)．作以點(diǎn)P為圓心，nmile為半徑的⊙P，過點(diǎn)A作⊙P的切線AQ，切點(diǎn)為Q，連接PQ，∵AQ切⊙P于點(diǎn)Q∴∠AQP＝90°∵PQ＝，AP＝32∴sin∠PAQ＝∴∠PAQ＝60°∴∠SAQ＝180°－60°－60°＝60°∴輪船自A處開始沿南偏東至多60度方向航行才能安全通過這一海域．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，切線的性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是作出恰當(dāng)輔助線，利用三角函數(shù)知識(shí)進(jìn)行計(jì)算推理．20．（2021·江蘇徐州·二模）如圖1，和平大橋是徐州市地標(biāo)建筑，也是國內(nèi)跨鐵路最多的大橋，某數(shù)學(xué)小組的同學(xué)利用課余時(shí)間對(duì)該橋進(jìn)行了實(shí)地測量，如圖2所示的測量示意圖，測得如下數(shù)據(jù)；∠A＝27°，∠B＝31°，斜拉主跨度AB＝368米．（1）過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，求CD的長（結(jié)果精確到0.1）；（2）若主塔斜拉鏈條上的LED節(jié)能燈帶每米造價(jià)90元，求斜拉鏈條AC上燈帶的總造價(jià)是多少元？（參考數(shù)據(jù)tan27°≈0.5，sin27°≈0.45，cos27°≈0.9：tan31°≈0.6）【答案】（1）100.4米；（2）20080元【分析】（1）設(shè)CD＝x（米），在Rt△ADC中表示出AD＝2x，在Rt△BDC中，表示出BD＝x，根據(jù)AB＝AD+BD建立關(guān)于x的方程，解之求出x的值，從而得出答案；（2）先求出AC的長度，再乘以單價(jià)即可得出答案．【詳解】解：（1）∵CD⊥AB于點(diǎn)D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，設(shè)CD＝x，在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠A＝27°，∴tan27°＝，即≈0.5，∴AD＝2x，在Rt△BDC中，∠B＝31°，∵tan31°＝，即0.6≈，∴BD＝x，∵AB＝AD+BD．∴2x+x＝368，∴x＝100.4，∴CD＝100.4（米）；（2）在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠A＝27°，∴費(fèi)用：90×AC＝90×≈90×＝20080（元），答：斜拉鏈條AC上燈帶的總造價(jià)是20080元．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)的應(yīng)用、直角三角形的有關(guān)性質(zhì)．21．（2021·江蘇連云港·二模）如圖，甲船向正北方向航行，當(dāng)甲船位于A處時(shí)，乙船位于甲船南偏西75°方向的點(diǎn)B處，且乙船從B處按北偏東15°的方向航行，當(dāng)甲船到達(dá)點(diǎn)D處時(shí)，乙船航行到甲船南偏西60°方向的點(diǎn)C處，此時(shí)兩船相距15海里．（1）求的度數(shù)；（2）若甲船在D處停止不動(dòng)，乙船沿著原路線繼續(xù)航行至甲船的正北方E處，試求此時(shí)甲船和乙船之間的距離．（，結(jié)果精確到0.1海里）【答案】（1）；（2）41.0海里【分析】（1）根據(jù)角的和差以及平行線的性質(zhì)得出答案；（2）過點(diǎn)E作的延長線于點(diǎn)F，設(shè)DF=x海里，利用解直角三角形得出方程，求得x的值，從而確定海里．【詳解】（1）如圖，由題意可知∠BAG=75°，∠CBH=15°．因?yàn)椋裕裕?）過點(diǎn)E作交CD的延長線于點(diǎn)F．設(shè)DF=x海里，因?yàn)镃D=15海里，所以海里．因?yàn)?，所以∠DEF=30°．在Rt△EDF中，海里．因?yàn)锳E∥BH，所以∠GEB=15°．所以．所以在Rt△EDF中，EF=CF，即．所以．所以海里．答：此時(shí)甲船和乙船之間的距離為41.0海里．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握方向角的概念與三角函數(shù)的應(yīng)用．22．（2021·江蘇徐州·中考真題）如圖，斜坡的坡角，計(jì)劃在該坡面上安裝兩排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于點(diǎn)，過其另一端安裝支架，所在的直線垂直于水平線，垂足為點(diǎn)為與的交點(diǎn)．已知，前排光伏板的坡角．（1）求的長（結(jié)果取整數(shù)）；（2）冬至日正午，經(jīng)過點(diǎn)的太陽光線與所成的角．后排光伏板的前端在上．此時(shí)，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影響，則的最小值為多少（結(jié)果取整數(shù)）？參考數(shù)據(jù)：三角函數(shù)銳角13°28°32°0.220.470.530.970.880.850.230.530.62【答案】（1）；（2）【分析】（1）解Rt△ADF求出AF，再解Rt△AEF求出AE即可；（2）設(shè)DG交AB一直在點(diǎn)M，作AN⊥GD延長線于點(diǎn)N，解Rt△ADF求出DF，Rt△DFG求出FG，得到AG，解Rt△AMN求出AM，根據(jù)AM-AE可求出結(jié)論．【詳解】解：（1）在Rt△ADF中，∴===88cm在Rt△AEF中，∴（2）設(shè)DG交AB一直在點(diǎn)M，作AN⊥GD延長線于點(diǎn)N，如圖，則∴在Rt△ADF中，在Rt△DFG中，∴∴AG=AF+FG=88+75.8=∵AN⊥GD∴∠ANG=90°∴在Rt△ANM中，∴∴∴的最小值為【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．23．（2021·江蘇泰州·中考真題）如圖，游客從旅游景區(qū)山腳下的地面A處出發(fā)，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B處，乘直立電梯上升30m至C處，再乘纜車沿長為180m的索道CD至山頂D處，此時(shí)觀測C處的俯角為19°30′，索道CD看作在一條直線上．求山頂D的高度．（精確到1m，sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）【答案】114m【分析】過點(diǎn)C作CE⊥DG于E，CB的延長線交AG于F，在Rt△BAF中可求得BF的長，從而可得CF的長；在Rt△DCE中，利用銳角三角函數(shù)可求得DE的長，從而由DG=DE+CF即可求得山頂D的高度．【詳解】過點(diǎn)C作CE⊥DG于E，CB的延長線交AG于F，設(shè)山頂?shù)乃诰€段為DG，如圖所示在Rt△BAF中，α＝30°，AB=50m則BF=(m)∴CF=BC+BF=30+25=55(m)在Rt△DCE中，∠DCE，CD=180m∴(m)∵四邊形CFGE是矩形∴EG=CF∴DG=DE+EG=DE+CF=59+55=114(m)即山頂D的高度為114m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形在實(shí)際測量中的應(yīng)用，題目較簡單，但這里出現(xiàn)了坡角、俯角等概念，要理解其含義，另外通過作適當(dāng)?shù)妮o助線，把問題轉(zhuǎn)化為在直角三角形中解決．24．（2021·江蘇鹽都·二模）吾悅廣場準(zhǔn)備在地下停車場北側(cè)建設(shè)一個(gè)供小型貨車進(jìn)出的專用入口，如圖，入口設(shè)計(jì)示意圖中，一樓到地下停車場地面的垂直高度CD＝300cm，一樓到地平線的距離BC＝90cm．經(jīng)調(diào)查，送貨的小型貨車高度都低于268cm，為了保證貨物安全，入口處貨車頂部要留有不少于20cm的安全距離．為盡量減少施工量，應(yīng)在地面上距點(diǎn)B多遠(yuǎn)的A處開始斜坡AD的施工？【答案】應(yīng)在地面上距點(diǎn)B720cm的A處開始斜坡AD的施工【分析】根據(jù)勾股定理可以求得DH的長，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)，即可求得AB的長，本題得以解決．【詳解】解：過點(diǎn)C作CH⊥AD于H，則∠CDH＋∠DCH＝90°