高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 課時(shí)跟蹤檢測(cè)（十一）文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

課時(shí)跟蹤檢測(cè)（十一）一、選擇題1．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．12 B．18C．24 D．30解析：選C由三視圖知，該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體的一半再截去一個(gè)三棱錐后得到的，如圖所示，該幾何體的體積V＝eq\f(1,2)×4×3×5－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×3×(5－2)＝24，故選C.2．(2017·西安模擬)湖面上漂著一個(gè)小球，湖水結(jié)冰后將球取出，冰面上留下了一個(gè)直徑為12cm，深2cm的空穴，則該球的表面積是()A．100πcm2 B．200πcm2C.eq\f(400π,3)cm2 D．400πcm2解析：選D設(shè)球的半徑為r，如圖所示陰影部分以上為浸入水中部分，由勾股定理可知，r2＝(r－2)2＋62，解得r＝10.所以球的表面積為4πr2＝4π×100＝400πcm2.3．(2018屆高三·湖南五市十校聯(lián)考)圓錐的母線長(zhǎng)為L(zhǎng)，過(guò)頂點(diǎn)的最大截面的面積為eq\f(1,2)L2，則圓錐底面半徑與母線長(zhǎng)的比eq\f(r,L)的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))解析：選D設(shè)圓錐的高為h，過(guò)頂點(diǎn)的截面的頂角為θ，則過(guò)頂點(diǎn)的截面的面積S＝eq\f(1,2)L2sinθ，而0<sinθ≤1，所以當(dāng)sinθ＝1，即截面為等腰直角三角形時(shí)取最大值，故圓錐的軸截面的頂角必須大于或等于90°，得L>r≥Lcos45°＝eq\f(\r(2),2)L，所以eq\f(\r(2),2)≤eq\f(r,L)<1.4．(2017·太原模擬)如圖，已知在多面體ABC-DEFG中，AB，AC，AD兩兩互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，則該多面體的體積為()A．2 B．4C．6 D．8解析：選B過(guò)點(diǎn)C作CM∥AB，過(guò)點(diǎn)B作BM∥AC，且BM∩CM＝M，取DG的中點(diǎn)N，連接FM，F(xiàn)N，CN，CF，如圖所示．易知ABMC-DEFN是長(zhǎng)方體，且三棱錐F-BCM與三棱錐C-FGN的體積相等，故幾何體的體積等于長(zhǎng)方體的體積4.故選B.5．《九章算術(shù)》商功章有題：一圓柱形谷倉(cāng)，高1丈3尺3eq\f(1,3)寸，容納米2000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛為容積單位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，則圓柱底面圓周長(zhǎng)約為()A．1丈3尺 B．5丈4尺C．9丈2尺 D．48丈6尺解析：選B設(shè)圓柱底面圓半徑為r尺，高為h尺，依題意，圓柱體積V＝πr2h≈3×r2×13eq\f(1,3)＝2000×1.62，所以r2≈81，即r≈9，所以圓柱底面圓周長(zhǎng)為2πr≈54,54尺＝5丈4尺，即圓柱底面圓周長(zhǎng)約為5丈4尺，故選B.6．(2017·沈陽(yáng)質(zhì)檢)在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，點(diǎn)P在棱AC上運(yùn)動(dòng)，設(shè)CP的長(zhǎng)度為x，若△PBD的面積為f(x)，則f(x)的圖象大致是()解析：選A如圖，作PQ⊥BC于Q，作QR⊥BD于R，連接PR，則由鱉臑的定義知PQ∥AB，QR∥CD，PQ⊥QR.設(shè)AB＝BD＝CD＝1，CP＝x(0≤x≤1)，則eq\f(CP,AC)＝eq\f(x,\r(3))＝eq\f(PQ,1)，即PQ＝eq\f(x,\r(3))，又eq\f(QR,1)＝eq\f(BQ,BC)＝eq\f(AP,AC)＝eq\f(\r(3)－x,\r(3))，所以QR＝eq\f(\r(3)－x,\r(3))，所以PR＝eq\r(PQ2＋QR2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,\r(3))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)－x,\r(3))))2)＝eq\f(\r(3),3)eq\r(2x2－2\r(3)x＋3)，又由題知PR⊥BD，所以f(x)＝eq\f(\r(3),6)eq\r(2x2－2\r(3)x＋3)＝eq\f(\r(6),6)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(3),2)))2＋\f(3,4))，結(jié)合選項(xiàng)知選A.二、填空題7．有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是頂角的余弦值為0.5的等腰三角形．在容器內(nèi)放一個(gè)半徑為r的鐵球，并注水，使水面與球正好相切，然后將球取出，則這時(shí)容器中水的深度為_(kāi)_______．解析：如圖所示，作出軸截面，因軸截面是頂角的余弦值為0.5的等腰三角形，所以頂角為60°，所以該軸截面為正三角形．根據(jù)切線性質(zhì)知當(dāng)球在容器內(nèi)時(shí)，水的深度為3r，水面所在圓的半徑為eq\r(3)r，則容器內(nèi)水的體積V＝eq\f(1,3)π·(eq\r(3)r)23r－eq\f(4,3)πr3＝eq\f(5,3)πr3.將球取出后，設(shè)容器中水的深度為h，則水面圓的半徑為eq\f(\r(3),3)h，從而容器內(nèi)水的體積V′＝eq\f(1,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)h))2·h＝eq\f(1,9)πh3，由V＝V′，得h＝eq\r(3,15)r，所以這時(shí)容器中水的深度為eq\r(3,15)r.答案：eq\r(3,15)r8．已知球O的半徑為R，A，B，C三點(diǎn)在球O的球面上，球心O到平面ABC的距離為eq\f(\r(3),2)R，AB＝AC＝BC＝2eq\r(3)，則球O的表面積為_(kāi)_______．解析：設(shè)△ABC外接圓的圓心為O1，半徑為r，因?yàn)锳B＝AC＝BC＝2eq\r(3)，所以△ABC為正三角形，其外接圓的半徑r＝eq\f(2\r(3),2sin60°)＝2，因?yàn)镺O1⊥平面ABC，所以O(shè)A2＝OOeq\o\al(2,1)＋r2，即R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)R))2＋22，解得R2＝16，所以球O的表面積為4πR2＝64π.答案：64π9．(2017·云南調(diào)研)已知四棱錐P-ABCD的所有頂點(diǎn)都在體積為eq\f(500π,81)的球面上，底面ABCD是邊長(zhǎng)為eq\r(2)的正方形，則四棱錐P-ABCD體積的最大值為_(kāi)_______．解析：依題意，設(shè)球的半徑為R，則有eq\f(4π,3)R3＝eq\f(500π,81)，R＝eq\f(5,3)，正方形ABCD的外接圓半徑r＝1，球心到平面ABCD的距離h＝eq\r(R2－r2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))2－12)＝eq\f(4,3)，因此點(diǎn)P到平面ABCD的距離的最大值為h＋R＝eq\f(4,3)＋eq\f(5,3)＝3，因此四棱錐P-ABCD體積的最大值為eq\f(1,3)×(eq\r(2))2×3＝2.答案：2三、解答題10．(2017·洛陽(yáng)統(tǒng)考)如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AB∥CD，AB⊥BC，DC＝BC＝eq\f(1,2)AB＝1，點(diǎn)M在線段EC上．(1)證明：平面BDM⊥平面ADEF；(2)若AE∥平面MDB，求三棱錐E-BDM的體積．解：(1)證明：∵DC＝BC＝1，AB∥CD，AB⊥BC，∴BC⊥CD，BD＝eq\r(2).在梯形ABCD中，AD＝eq\r(2)，AB＝2，∴AD2＋BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD.又平面ADEF⊥平面ABCD，ED⊥AD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，ED?平面ADEF，∴ED⊥平面ABCD.∵BD?平面ABCD，∴BD⊥ED.又AD∩ED＝D，∴BD⊥平面ADEF.又BD?平面BDM，∴平面BDM⊥平面ADEF.(2)如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO，∵平面EAC∩平面MBD＝MO，AE∥平面MDB，AE?平面EAC，∴AE∥OM.又AB∥CD，∴eq\f(EM,MC)＝eq\f(AO,OC)＝eq\f(AB,CD)＝2，則S△EDM＝eq\f(2,3)S△EDC＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×1×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),3).∵ED⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴DE⊥BC.由(1)知，BC⊥CD，又ED∩DC＝D，∴BC⊥平面EDC.∴VE-BDM＝VB-EDM＝eq\f(1,3)S△EDM·BC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),3)×1＝eq\f(\r(2),9).11．(2017·石家莊質(zhì)檢)如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為梯形，AD∥BC，CD⊥BC，AD＝2，AB＝BC＝3，PA＝4，M為AD的中點(diǎn)，N為PC上一點(diǎn)，且PC＝3PN.(1)求證：MN∥平面PAB；(2)求點(diǎn)M到平面PAN的距離．解：(1)證明：在平面PBC內(nèi)作NH∥BC交PB于點(diǎn)H，連接AH，在△PBC中，NH∥BC，且NH＝eq\f(1,3)BC＝1，AM＝eq\f(1,2)AD＝1.又AD∥BC，∴NH∥AM且NH＝AM，∴四邊形AMNH為平行四邊形，∴MN∥AH，又AH?平面PAB，MN?平面PAB，∴MN∥平面PAB.(2)連接AC，MC，PM，平面PAN即為平面PAC，設(shè)點(diǎn)M到平面PAC的距離為h.由題意可得CD＝2eq\r(2)，AC＝2eq\r(3)，∴S△PAC＝eq\f(1,2)PA·AC＝4eq\r(3)，S△AMC＝eq\f(1,2)AM·CD＝eq\r(2)，由VM-PAC＝VP-AMC，得eq\f(1,3)S△PAC·h＝eq\f(1,3)S△AMC·PA，即4eq\r(3)h＝eq\r(2)×4，∴h＝eq\f(\r(6),3)，∴點(diǎn)M到平面PAN的距離為eq\f(\r(6),3).12．(2018屆高三·湖北七市(州)聯(lián)考)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中將底面為直角三角形的直棱柱稱為塹堵，將底面為矩形的棱臺(tái)稱為芻童．在如圖所示的塹堵ABM-DCP與芻童ABCD-A1B1C1D1的組合體中，AB＝AD，A1B1＝A1D1.(1)證明：直線BD⊥平面MAC；(2)若AB＝1，A1D1＝2，MA＝eq\r(3)，三棱錐A-A1B1D1的體積V′＝eq\f(2\r(3),3)，求該組合體的體積．解：(1)證明：由題可知ABM-DCP是底面為直角三角形的直棱柱，∴AD⊥平面MAB，∴AD⊥MA，又MA⊥AB，AD∩AB＝A，∴MA⊥平面ABCD，∴MA⊥BD，又AB＝AD，∴四邊形ABCD為正方形，∴B