重慶市南岸區(qū)第一一〇中學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題(含解析)

2023-2024學(xué)年度上期（九年級）學(xué)情調(diào)查數(shù)學(xué)試題（滿分：150分，時間：120分鐘）注意事項(xiàng)：1．答案書寫在答題卡上，不得在試卷上直接作答；2．作答前認(rèn)真閱讀答題卡上的注意事項(xiàng)；3．作圖（包括作輔助線）請一律用黑色2B鉛筆完成；4．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并收回．一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)正確答案所對應(yīng)的方框涂黑．1．4的相反數(shù)是（

）A． B． C．4 D．2．下列命題中，假命題是（

）A．有一個角為的平行四邊形是矩形 B．正方形的對角線互相垂直平分C．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 D．平行四邊形的對角線相等3．如圖，直線，是等邊三角形，則的大小為（

）A． B． C． D．4．如圖，和是位似圖形，點(diǎn)O是位似中心，若，的周長為9，則的周長為（

）A． B． C． D．5．反比例函數(shù)一定經(jīng)過的點(diǎn)是（

）A． B． C． D．6．某公司今年10月的營業(yè)額為2500萬元，按計劃12月的營業(yè)額要達(dá)到3600萬元，設(shè)該公司11，12兩月的營業(yè)額的月平均增長率為x，根據(jù)題意列方程，則下列方程正確的是（

）A． B． C． D．7．如圖，每個圖形都由同樣大小的“△”按照一定的規(guī)律組成，其中第①個圖形有5個“△”，第②個圖形有10個“△”，第③個圖形有15個“△”，…，則第⑦個圖形中“△”的個數(shù)為（

）A．30 B．35 C．40 D．468．估計的值應(yīng)為（）A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間9．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，將沿翻折到處，延長交于點(diǎn)G，延長交于點(diǎn)H，且，則的長是（

）A． B． C． D．10．已知兩個整式，我們在代數(shù)式中的“_”上添加加減乘除的運(yùn)算符號，將運(yùn)算結(jié)果叫做關(guān)于A，B的“三連運(yùn)算”，比如就是關(guān)于A，B的一種“三連運(yùn)算”．下列說法正確的個數(shù)是(

)①只存在一種關(guān)于A，B的“三連運(yùn)算”使得結(jié)果為1；②將分解因式后為；③三連運(yùn)算的解為A．0個 B．1個 C．2個 D．3個三、填空題（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上．11．計算：．12．已知一正多邊形的每個外角是，則該正多邊形是邊形．13．有4張正面分別寫有數(shù)字，，1，4的卡片，它們除數(shù)字外其余全部相同，現(xiàn)將它們背面朝上，洗勻后，隨機(jī)抽取一張卡片記下數(shù)字為a后不放回，再從余下的三張中隨機(jī)再抽取一張卡片記下數(shù)字為b，則滿足為非正數(shù)的概率是．14．如圖，一位同學(xué)通過調(diào)整自己的位置，設(shè)法使三角板的斜邊保持水平并且邊與點(diǎn)B在同一直線上，已知兩條邊，，測得，，則樹的高度為m．

15．如圖，在四邊形中，對角線相交于點(diǎn)E，，，，，則．16．若關(guān)于x的方程的解為負(fù)數(shù)，且關(guān)于x的不等式組無解．則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是．17．如圖，的頂點(diǎn)A在函數(shù)的圖象上，，過AO邊的三等分點(diǎn)M、N分別作x軸的平行線交于點(diǎn)P、Q．若四邊形的面積為6，則k的值為．18．對任意一個三位數(shù)k，如果滿足各個數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字等于百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字的平均數(shù)，那么稱這個數(shù)為快樂數(shù)”、例如，，因?yàn)?，所以是“快樂?shù)”．則最大的“快樂數(shù)”是：若一個“快樂數(shù)”（、b、，a、b、c為自然數(shù)），且使關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，且，則k的值為．三、解答題（本大題共2個小題，19題8分，20題10分，共18分），解題時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括作輔助線）．19．計算：(1)(2)20．如圖，在四邊形中，，連接，．(1)尺規(guī)作圖：作線段的垂直平分線交

于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接（不下結(jié)論、不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）所作圖中，證明四邊形為菱形，完成下列填空．證明：∵垂直平分．∴①，∴．∵∴，．∴．②∴．∴③；即．∵．∴．又∵④∴四邊形是⑤∵⑥∴四邊形為菱形．四、解答題（本大題共6個小題，每題10分，共60分），解題時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括作輔助線）．21．重慶市紅色旅游景點(diǎn)眾多，例如歌樂山烈士陵園、紅巖革命紀(jì)念館、劉伯承同志紀(jì)念館、聶榮臻元帥陳列館等等，某學(xué)校為了解初三學(xué)生對重慶歷史文化的了解程度，隨機(jī)抽取了男、女各50名學(xué)生進(jìn)行問卷測試，問卷共30道選擇題，現(xiàn)將得分情況統(tǒng)計，并繪制了如圖不完整的統(tǒng)計圖（數(shù)據(jù)分組為A組：，B組：，C組：，D組：，x表示問卷測試的分?jǐn)?shù)，大于20分為優(yōu)秀），其中男生得分處于C組的得分情況分別為：21，22，22，22，22，22，23，23，24，24，24，25，25，25．男生、女生得分的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、優(yōu)秀人數(shù)百分比如表所示：組別平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)優(yōu)秀人數(shù)所占百分比男20m22女202320n(1)填空：______，______，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖．(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為男生和女生對重慶歷史文化了解哪個更好？請說明理由（一條即可）．(3)已知該校初三年級共有男生450人，女生400人，請估計該校初三年級參加問卷測試成績處于C組的總?cè)藬?shù)．22．車?yán)遄?，含鐵量是水果之首，營養(yǎng)豐富，深受消費(fèi)者喜愛.某超市準(zhǔn)備花10000元購進(jìn)一批車?yán)遄樱瑢?shí)際購買時，由于在原進(jìn)價的基礎(chǔ)上打了八折，結(jié)果用同樣的錢比預(yù)期多購進(jìn)了100斤.(1)車?yán)遄拥膶?shí)際進(jìn)價為每斤多少元?(2)若該品種的車?yán)遄邮袌鍪蹆r為40元/斤，可售出200斤，根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，降低售價會促進(jìn)銷量的增加，即售價每斤降價1元，銷量相應(yīng)增加20斤，超市決定將部分車?yán)遄咏祪r促銷，當(dāng)售價定為多少元時，可使促銷部分的車?yán)遄荧@利4500元?23．如圖1，為等邊三角形，，點(diǎn)D從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位長度沿著運(yùn)動到A點(diǎn)停止，作交直線于E，設(shè)，點(diǎn)D的運(yùn)動時間為x．(1)直接寫出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并寫出對應(yīng)x的取值范圍：(2)在圖2的平面直角坐標(biāo)系中畫出y的圖象，并寫出函數(shù)y的一條性質(zhì)；(3)寫出時x的值．24．如圖，正方形中，E為上一點(diǎn)，過B作于G，延長至點(diǎn)F使(1)求證：；(2)求證：；(3)若，，求的長．25．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)在第一象限交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)P是x軸負(fù)半軸上一動點(diǎn)，連接PM，PN．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)若的面積為，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)E為直線上一點(diǎn)，點(diǎn)F為y軸上一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)E和點(diǎn)F，使得四邊形是平行四邊形?若存在，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．26．在中，，，于D，點(diǎn)E為線段上一動點(diǎn)，連接、．線段繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)B、E、F共線時，取的中點(diǎn)G，連接，求的長；(2)如圖②，連接，求證：；(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)E在直線上運(yùn)動時，取的中點(diǎn)Q，連接，將沿翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)處，連接，當(dāng)最大時，直接寫出此時點(diǎn)A到的距離．

參考答案與解析

1．D【分析】本題考查了相反數(shù)的定義，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握相反數(shù)的定義，只有符號不同的兩個數(shù)是互為相反數(shù)，正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，0的相反數(shù)是0，負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)．根據(jù)相反數(shù)的定義作答即可.【詳解】4的相反數(shù)是故選D2．D【分析】本題考查的是矩形，菱形的判定，正方形，平行四邊形的性質(zhì)，真假命題的判定，熟記特殊四邊形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵，根據(jù)判定方法與性質(zhì)逐一分析判斷即可．【詳解】解：有一個角為的平行四邊形是矩形，是真命題，故A不符合題意；正方形的對角線互相垂直平分，真命題，故B不符合題意；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，真命題，故C不符合題意；平行四邊形的對角線不一定相等，故D符合題意；故選D3．B【分析】此題考查等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出解答．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理解答即可．【詳解】解：如圖所示是等邊三角形，∥故選：Ｂ4．A【分析】本題考查的是位似變換的概念，熟記相似三角形的周長比等于相似比是解題的關(guān)鍵．根據(jù)位似圖形的概念，，，根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比即可解答．【詳解】解：和是位似圖形，，，，，的的周長是9，的周長是故選：A5．B【分析】本題考查反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)，將選項(xiàng)中各點(diǎn)的坐標(biāo)代入驗(yàn)證即可得到答案，熟記反比例函數(shù)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、，則反比例函數(shù)不經(jīng)過該點(diǎn)，不符合題意；B、，則反比例函數(shù)經(jīng)過該點(diǎn)，符合題意；C、，則反比例函數(shù)不經(jīng)過該點(diǎn)，不符合題意；D、，則反比例函數(shù)不經(jīng)過該點(diǎn)，不符合題意；故選：B．6．C【分析】利用該公司12月的營業(yè)額和該公司10月份的營業(yè)額，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：根據(jù)題意得：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．7．B【分析】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，由題意不難求得第n個圖中“△”的個數(shù)為：，則可求第⑦個圖形中“△”的個數(shù)．【詳解】解：∵第①個圖形有5個“△”，第②個圖形有10個“△”，第③個圖形有15個“△”，…，∴第n個圖形中“△”的個數(shù)為：，∴第⑦個圖形中“△”的個數(shù)為：．故選：B．8．C【分析】直接利用二次根式乘法運(yùn)算法則化簡，進(jìn)而估算無理數(shù)的大小即可．【詳解】解：，∵，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了估算無理數(shù)的大小，正確進(jìn)行二次根式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．9．A【分析】本題考查矩形的判定與性質(zhì)、翻折性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，綜合運(yùn)用相關(guān)知識求解是解答的關(guān)鍵．過E作于M，根據(jù)矩形性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理求得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】過E作于M，則，四邊形是矩形，，，沿翻轉(zhuǎn)到處，，，，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得則，，，，解得：故選：A．10．C【分析】本題考查因式分解與方程，掌握因式分解與解方程便可解決問題．找到兩種關(guān)于A、B的“三連運(yùn)算”使得結(jié)果為1，可判斷①，利用因式分解可判斷②，利用已知建立方程，解出方程可判斷③，從而可以得到答案．【詳解】解：，，故①不符合題意；，即故②符合題意；∵，∴，即，∴，∴，故③符合題意．故選：C．11．##【分析】先分別化簡負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和絕對值，然后再計算．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則準(zhǔn)確計算是解題關(guān)鍵．12．十【分析】根據(jù)正多邊形的外角和等于，即可求解．【詳解】正多邊形的外角和等于，當(dāng)每個外角是時，其邊數(shù)為：∴該正多邊形是十邊形．故答案為：十【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的外角和，熟練掌握多邊形的外角和為是解題的關(guān)鍵．13．【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法求概率：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再從中選出符合事件結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計算事件的概率．【詳解】解：根據(jù)題意，畫樹狀圖如下：共有12種等可能得結(jié)果，其中為非正數(shù)的有6種結(jié)果．所有滿足為非正數(shù)的概率是．故答案為：．14．9【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中整理出相似三角形的模型．利用和相似求得的長后加上的長即可求得樹高．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴．故答案為：9．15．【分析】此題考查了勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解決此類問題的關(guān)鍵．通過過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，作含30度角的直角三角形，計算求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，∵，∴，在中，，∵，，，，，∴，在中，，，，，，，∴．故答案為．16．3【分析】本題主要考查了根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù)，根據(jù)一元一次不等式組的解集情況求參數(shù)，先解分式方程得到，根據(jù)分式方程的解無解和分式有意義的條件求出且，再分別求出兩個不等式的解集，根據(jù)不等式組無解求出，據(jù)此確定a的取值范圍，從而確定符合題意的整數(shù)a，最后求和即可．【詳解】解：去分母得：，去括號得：，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：，∵關(guān)于x的方程的解為負(fù)數(shù)，∴且，∴且；解不等式①得，解不等式②得，∵關(guān)于x的不等式組無解，∴，∴且，∴滿足條件的整數(shù)a的值為1和2，∴所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是，故答案為：3．17．【分析】本題考查反比例函數(shù)圖像與解三角形的綜合應(yīng)用，反比例函數(shù)k的幾何意義，根據(jù)平面幾何知識得，由相似三角形的性質(zhì)：面積比等于相似比的平方可求出，進(jìn)而可求出的面積，則k的值可求出得選項(xiàng)．【詳解】解：，，又M、N是的三等分點(diǎn)，，，又四邊形的面積為6，，解得，又，，．由函數(shù)圖象可知：，，故答案為：．18．【分析】本題考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，一元二次方程根的判別式．理解題意，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“快樂數(shù)”的定義，可求最大的“快樂數(shù)”，由，可得，由關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，可得，即，進(jìn)而可求，由，、b、，a、b、c為自然數(shù)，可求，然后作答即可．【詳解】解：由題意知，，∴是最大的“快樂數(shù)”，∵，∴，∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，∴，即，∵，，∴，解得，，∴，∵，∴，∵、b、，a、b、c為自然數(shù)，∴，∴k的值為，故答案為：；．19．(1)(2)【分析】原式利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，以及完全平方公式化簡，去括號合并即可得到結(jié)果；原式括號中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分即可得到結(jié)果.【詳解】（1）原式（2）原式【點(diǎn)睛】此題考查了分式的混合運(yùn)算，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，以及完全平方公式，熟練掌握運(yùn)算法則及公式是解本題的關(guān)鍵.20．(1)畫圖見解析(2)①；②；③；④；⑤平行四邊形；⑥【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的作圖方法作圖即可；（2）先證明，再證，得到，再證明，接著證明四邊形是平行四邊形即可證明四邊形是菱形．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）證明：∵垂直平分，，，即∵∴四邊形是平行四邊形．∵．∴四邊形為菱形．故答案為：①；②；③；④；⑤平行四邊形；⑥．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，菱形的判定，直角三角形兩銳角互余等等，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)與作圖方法是解題的關(guān)鍵．21．(1)；(2)生了解更好，理由見解析(3)246人【分析】本題考查了扇形統(tǒng)計圖，條形統(tǒng)計圖，樣本估計總體等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確讀懂統(tǒng)計圖．（1）利用中位數(shù)的定義即可求得m的值；利用女生得分的條形圖求得女生得分為優(yōu)秀的人數(shù)，進(jìn)而求得優(yōu)秀率n的值；（2）利用中位數(shù)的特點(diǎn)即可求解；（3）用樣本中男生和女生各自C組所占的百分比乘以各自的總?cè)藬?shù)，然后相加即可求解．【詳解】（1）解：把男生得分從低到高排列，處在第25名和第26名的分?jǐn)?shù)為24分，25分，∴男生成績的中位數(shù)為分，∴；，∴女生優(yōu)秀人數(shù)所占百分比為，∴，故答案為：；；（2）解：男生了解更好，理由如下：從中位數(shù)來看，男生得分的中位數(shù)分大于女生得分的中位數(shù)23分，∴男生對歷史文化了解更好；（3）解：人，∴估計該校初三年級參加問卷測試成績處于C組的總?cè)藬?shù)為246人．22．(1)每斤20元(2)35元【詳解】（1）設(shè)原進(jìn)價為每斤x元，則實(shí)際購買時，車?yán)遄用拷?.8x元.根據(jù)題意，得-100，解得x=25.經(jīng)檢驗(yàn)，x=25是原方程的解，0.8x=0.8×25=20.答：車?yán)遄拥膶?shí)際進(jìn)價為每斤20元.（2）設(shè)售價定為m元時，可使促銷部分的車?yán)遄荧@利4500元.根據(jù)題意，得（m-20）[200+20（40-m）]=4500，化簡整理，得m2-70m+1225=0，解得m=35.答：當(dāng)售價定為35元時，可使促銷部分的車?yán)遄荧@利4500元.23．(1)(2)作圖見解析，當(dāng)時，y取最小值3(答案不唯一)(3)或.【分析】本題考查三角形綜合應(yīng)用，涉及一次函數(shù)及圖象，解題關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用．（1）根據(jù)題意，，，可得，，分兩種情況：當(dāng)時，可得；當(dāng)時，，可得．（2）描點(diǎn)在順次連接可得函數(shù)圖象，由圖象可得函數(shù)一條性質(zhì)．（3）觀察圖象可得答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，，，當(dāng)，如圖當(dāng)時，如圖

（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，畫出函數(shù)圖象如下：

由圖象可知，當(dāng)時，y取最小值3(答案不唯一)（3）觀察圖象可得，時，或.24．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等即可證明；（2）過C點(diǎn)作于H點(diǎn)，根據(jù)已知條件可證明，所以，，又因?yàn)?，所以可得，進(jìn)而證明；（3）在中，分別求出即可解決問題；【詳解】（1）∵是正方形，∴，∴，在三角形中，∵，∴；（2）過點(diǎn)C作，，，∵是正方形，∴，由（1），∴，．在三角形中，，，∴．（3）在三角形中，，∴，∴．，．，，，，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定以及勾股定理的運(yùn)用，熟練掌握正方形的性質(zhì)并證明是解答本題的關(guān)鍵．25．(1)反比例函數(shù)的表達(dá)式為，一次函數(shù)的表達(dá)式為