經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)2.5-函數(shù)的微分

19五月20241第五節(jié)函數(shù)的微分

第二章三、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運算法則二、微分的幾何意義一、微分的定義四、微分在近似計算中的應(yīng)用（不要求）（Function’sDifferential）五、本章小結(jié)與思考題19五月20242一、微分的定義引例:

一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少?設(shè)薄片邊長為x

,面積為A,則面積的增量為關(guān)于△x

的線性主部高階無窮小時為故稱為函數(shù)在的微分當(dāng)x

在取得增量時,變到邊長由其（DefinitionofDifferentials）19五月20243的微分,在點的增量可表示為(A

為不依賴于△x

的常數(shù))則稱函數(shù)而稱為記作即定理函數(shù)在點可微的充要條件是即在點可微,定義

若函數(shù)19五月20244證:“必要性”已知在點可微,則故在點的可導(dǎo),且在點可微的充要條件是在點處可導(dǎo),且即定理

函數(shù)19五月20245在點可微的充要條件是在點處可導(dǎo),且即“充分性”已知即在點的可導(dǎo),則定理

函數(shù)19五月20246時,所以時很小時,有近似公式與是等價無窮小,當(dāng)故當(dāng)說明:19五月20247二、微分的幾何意義切線縱坐標(biāo)的增量當(dāng)很小時,則有從而導(dǎo)數(shù)也叫作微商自變量的微分,記作記19五月20248又如,例如,19五月20249三、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運算法則1．基本初等函數(shù)的微分公式(參看課本表格)2．函數(shù)和、差、積、商的微分法則設(shè)u(x),v(x)均可微,則(C

為常數(shù))19五月2024103．復(fù)合函數(shù)的微分法則分別可微,的微分為微分形式不變性則復(fù)合函數(shù)求例1解法1：解法2：利用“微分形式不變性”19五月202411求解:

利用一階微分形式不變性,有例2

設(shè)例3

在下列括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:說明:

上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.

注意:數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性.（點擊看其他例子）19五月202412數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性

,例如19五月202413四、微分在近似計算中的應(yīng)用當(dāng)很小時,使用原則:得近似等式:19五月202414很小時,常用近似公式:很小)證明:令得特別當(dāng)19五月202415的近似值.解:

設(shè)取則例4

求19五月202416的近似值.解:例5

計算19五月202417內(nèi)容小結(jié)1.微分概念

微分的定義及幾何意義

可導(dǎo)可微2.微分運算法則微分形式不變性:(u

是自變量或中間變量)3.微分在近似計算中的應(yīng)用19