315358642022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義微專題2：對勾函數(shù)的性質(zhì)與圖像和高考真題交匯（學(xué)生版 教師版）

【學(xué)生版】微專題：對勾函數(shù)的性質(zhì)與圖像和高考真題交匯1、對勾函數(shù)的性質(zhì)與圖像對勾函數(shù)是一種類似于反比例函數(shù)的一般雙曲函數(shù)，又被稱為“雙勾函數(shù)”、“勾函數(shù)”、“對號函數(shù)”、“雙飛燕函數(shù)”；所謂的對勾函數(shù)，是形如：（）的函數(shù)；對勾函數(shù)，當(dāng)時,對勾函數(shù)是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)“疊加”而成的函數(shù).（1）當(dāng)同號時,對勾函數(shù)的圖像形狀酷似雙勾；故稱“對勾函數(shù)”；如下圖所示：（2）當(dāng)異號時,對勾函數(shù)的圖像形狀發(fā)生了變化，如下圖所示：2、例析相關(guān)的高考真題例1、（2021年乙卷）下列函數(shù)中最小值為4的是A．B．C．D．【提示】；【答案】；【解析】；【說明】；例2、（2017年浙江高考題）已知，函數(shù)在區(qū)間[1，4]上的最大值是5，則a的取值范圍是__________【答案】；【解析】；【說明】；例3、（2006年上海數(shù)學(xué)高考理）已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)，那么該函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（1）如果函數(shù)（）的值域為，求b的值；（2）研究函數(shù)（常數(shù)）在定義域上的單調(diào)性，并說明理由；（3）對函數(shù)和（常數(shù)）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例．研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫出結(jié)論，不必證明），并求函數(shù)（n是正整數(shù)）在區(qū)間上的最大值和最小值（可利用你的研究結(jié)論）．【提示】（1）結(jié)合的單調(diào)性求得函數(shù)的最小值，結(jié)合此時的值求得.（2）結(jié)合函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)單調(diào)性的定義，判斷出函數(shù)的單調(diào)性.（3）結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性進(jìn)行合情推理.結(jié)合的單調(diào)性求得在區(qū)間上的最大值和最小值.高考真題源于教材，素養(yǎng)、能力與思維品質(zhì)又高于教材?！揪毩?xí)】1、（2014年重慶）若，則的最小值是A． B． C． D．2、（2020年天津）已知，，且，則的最小值為．【教師版】微專題：對勾函數(shù)的性質(zhì)與圖像和高考真題交匯1、對勾函數(shù)的性質(zhì)與圖像對勾函數(shù)是一種類似于反比例函數(shù)的一般雙曲函數(shù)，又被稱為“雙勾函數(shù)”、“勾函數(shù)”、“對號函數(shù)”、“雙飛燕函數(shù)”；所謂的對勾函數(shù)，是形如：（）的函數(shù)；對勾函數(shù)，當(dāng)時,對勾函數(shù)是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)“疊加”而成的函數(shù).（1）當(dāng)同號時,對勾函數(shù)的圖像形狀酷似雙勾；故稱“對勾函數(shù)”；如下圖所示：（2）當(dāng)異號時,對勾函數(shù)的圖像形狀發(fā)生了變化，如下圖所示：2、例析相關(guān)的高考真題例1、（2021年乙卷）下列函數(shù)中最小值為4的是A．B．C．D．【提示】利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值，即可判斷選項，根據(jù)對勾函數(shù)與基本不等式以及取最值的條件，即可判斷選項，利用對勾函數(shù)與基本不等式求出最值，即可判斷選項，利用對勾函數(shù)與基本不等式或特殊值驗證，即可判斷選項；【答案】C；【解析】對于，，所以函數(shù)的最小值為3，故選項錯誤；對于，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，因為，所以等號取不到，所以，故選項錯誤；對于，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以函數(shù)的最小值為4，故選項正確；對于，（方法1）由，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)與圖像，沒有最值（方法2）因為當(dāng)時，，所以函數(shù)的最小值不是4，故選項錯誤．故選：；【說明】本題考查了函數(shù)最值的求解，涉及了二次函數(shù)最值的求解與對勾函數(shù)的性質(zhì)與圖像，利用基本不等式求解最值的應(yīng)用，在使用基本不等式求解最值時要滿足三個條件：一正、二定、三相等，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題；例2、（2017年浙江高考題）已知，函數(shù)在區(qū)間[1，4]上的最大值是5，則a的取值范圍是__________【答案】【解析】，分類討論：①當(dāng)時，，函數(shù)的最大值所，以，，舍去；②當(dāng)時，，此時命題成立；③當(dāng)時，，則：或，解得：或；綜上可得，實數(shù)的取值范圍是；【說明】本題利用對勾函數(shù)的性質(zhì)與圖像與基本不等式，由，得，通過對解析式中絕對值符號的處理，進(jìn)行有效的分類討論：①；②；③，問題的難點在于對分界點的確認(rèn)及討論上，屬于難題．解題時，應(yīng)仔細(xì)對各種情況逐一進(jìn)行討論；例3、（2006年上海數(shù)學(xué)高考理）已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)，那么該函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（1）如果函數(shù)（）的值域為，求b的值；（2）研究函數(shù)（常數(shù)）在定義域上的單調(diào)性，并說明理由；（3）對函數(shù)和（常數(shù)）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例．研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫出結(jié)論，不必證明），并求函數(shù)（n是正整數(shù)）在區(qū)間上的最大值和最小值（可利用你的研究結(jié)論）．【提示】（1）結(jié)合的單調(diào)性求得函數(shù)的最小值，結(jié)合此時的值求得.（2）結(jié)合函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)單調(diào)性的定義，判斷出函數(shù)的單調(diào)性.（3）結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性進(jìn)行合情推理.結(jié)合的單調(diào)性求得在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）該函數(shù)在上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，理由見解析；（3）在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，最大值，最小值；【解析】（1）依題意可知當(dāng)時，函數(shù)（）取得最小值是，則，故；（2）設(shè)，．當(dāng)時，，函數(shù)在上是增函數(shù)；當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；又是偶函數(shù)，故該函數(shù)在上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)；（3）可以把函數(shù)推廣為（常數(shù)），其中n是正整數(shù)，當(dāng)n是奇數(shù)時，函數(shù)在在上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)；當(dāng)n是偶數(shù)時，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)；．因此在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)；所以，當(dāng)或時，取得最大值；當(dāng)時，取得最小值．【說明】能順利解決本題的源頭是函數(shù)和函數(shù)的圖像與性質(zhì)，因為各小題都是由函數(shù)引申出來的研究學(xué)習(xí)性問題，也就是說在學(xué)習(xí)各類函數(shù)的過程中，對最為原始、最為基本的函數(shù)的圖像與性質(zhì)必須掌握牢固、理解透徹，有助于解決各類函數(shù)難題；高考真題源于教材，素養(yǎng)、能力與思維品質(zhì)又高于教材?！揪毩?xí)】1、（2014年重慶）若，則的最小值是A． B． C． D．【提示】利用對數(shù)的運(yùn)算法則可得，，再利用基本不等式即可得出【解析】，，．，，，，．，，則，當(dāng)且僅當(dāng)取等號；故選：；【說明】本題考查了對數(shù)的運(yùn)算法