2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊(cè) 8-5-1　直線與直線平行 學(xué)案

8.5空間直線、平面的平行8.5.1直線與直線平行新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知、了解空間中直線與直線平行的關(guān)系邏輯推理2.了解基本事實(shí)4及等角定理直觀想象把一張長(zhǎng)方形的紙對(duì)折兩次，打開以后如圖所示.問(wèn)題（1）為什么這些折痕互相平行？（2）初中所學(xué)的結(jié)論“在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”，如果去掉條件“在同一平面內(nèi)”，結(jié)論是否仍成立？

知識(shí)點(diǎn)一基本事實(shí)4平行于同一條直線的兩條直線平行.知識(shí)點(diǎn)二等角定理文字語(yǔ)言如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)圖形語(yǔ)言作用判斷或證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ)提醒對(duì)等角定理的兩點(diǎn)認(rèn)識(shí)：①等角定理是由平面圖形推廣到空間圖形而得到的，它是基本事實(shí)4的直接應(yīng)用；②當(dāng)這兩個(gè)角的兩邊方向分別相同或相反時(shí)，它們相等，否則它們互補(bǔ).因此等角定理用來(lái)證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ).1.已知a，b是異面直線，直線c∥直線a，那么c與b（）A.一定是異面直線B.一定是相交直線C.不可能是平行直線 D.不可能是相交直線解析：C假設(shè)c與b平行，由于c∥a，根據(jù)基本事實(shí)4可知a∥b，與a，b是異面直線矛盾，故c與b不可能是平行直線.故選C.2.已知∠BAC＝30°，AB∥A'B'，AC∥A'C'，則∠B'A'C'＝（）A.30° B.150°C.30°或150° D.大小無(wú)法確定解析：C當(dāng)∠B'A'C'與∠BAC的兩邊方向相同或相反時(shí)，∠B'A'C'＝30°，否則，∠B'A'C'＝150°.故選C.3.如圖所示，在長(zhǎng)方體AC1中，A1C1與B1D1相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別是B1O，C1O的中點(diǎn)，則長(zhǎng)方體的各棱中與EF平行的有（）A.3條 B.4條C.5條 D.6條解析：B由于E，F(xiàn)分別是B1O，C1O的中點(diǎn)，故EF∥B1C1，因?yàn)楹屠釨1C1平行的棱有AD，BC，A1D1，所以符合題意的棱共有4條.4.已知在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A'B'C'D'中，M，N分別為CD，AD的中點(diǎn)，則MN與A'C'的位置關(guān)系是.

解析：如圖所示，∵M(jìn)，N分別為CD，AD的中點(diǎn)，∴MN12AC，由正方體的性質(zhì)可得ACA'C'，∴MN12A'C'，即MN與A'C'答案：平行題型一證明直線與直線平行【例1】如圖所示，在空間四邊形ABCD（不共面的四邊形稱為空間四邊形）中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn).（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；（2）如果AC＝BD，求證：四邊形EFGH是菱形.證明（1）因?yàn)榭臻g四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝12AC所以EF∥HG，EF＝HG，所以四邊形EFGH是平行四邊形.（2）因?yàn)榭臻g四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，所以EH∥BD，EH＝12BD因?yàn)镋F＝12AC，AC＝BD，所以EH＝EF又因?yàn)樗倪呅蜤FGH是平行四邊形，所以四邊形EFGH是菱形.通性通法證明空間兩條直線平行的方法（1）平面幾何法：三角形中位線、平行四邊形的性質(zhì)等；（2）定義法：用定義證明兩條直線平行，要證明兩個(gè)方面，一是兩條直線在同一平面內(nèi)；二是兩條直線沒有公共點(diǎn)；（3）基本事實(shí)4：用基本事實(shí)4證明兩條直線平行，只需找到直線b，使得a∥b，同時(shí)b∥c，即可得到a∥c.已知棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A'B'C'D'中，M，N分別為CD，AD的中點(diǎn).求證：四邊形MNA'C'是梯形.證明：如圖所示，連接AC，由正方體的性質(zhì)可知AA'＝CC'，AA'∥CC'，∴四邊形AA'C'C為平行四邊形，∴A'C'＝AC，A'C'∥AC，又∵M(jìn)，N分別是CD，AD的中點(diǎn)，∴MN∥AC，且MN＝12AC∴MN∥A'C'，且MN≠A'C'.∴四邊形MNA'C'是梯形.題型二等角定理及應(yīng)用【例2】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為棱CC1，BB1，DD1的中點(diǎn)，試證明：∠BGC＝∠FD1E.證明因?yàn)镕為BB1的中點(diǎn)，所以BF＝12BB1，因?yàn)镚為DD1的中點(diǎn)，所以D1G＝12DD又BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以BF∥D1G，BF＝D1G.所以四邊形D1GBF為平行四邊形.所以D1F∥GB，同理D1E∥GC.又∠BGC與∠FD1E的對(duì)應(yīng)邊平行且方向相同，所以∠BGC＝∠FD1E.通性通法關(guān)于等角定理的應(yīng)用（1）根據(jù)空間中相應(yīng)的定理證明角的兩邊分別平行，即先證明線線平行；（2）根據(jù)角的兩邊的方向判定兩角相等或互補(bǔ).如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn).求證：（1）D1E∥BF；（2）∠B1BF＝∠A1ED1.證明：（1）如圖，取BB1的中點(diǎn)M，連接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得EM∥A1B1，EM＝A1B1，因?yàn)锳1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，所以EM∥C1D1，EM＝C1D1，所以四邊形EMC1D1為平行四邊形，所以D1E∥MC1.在矩形BCC1B1中，易得MB∥C1F，MB＝C1F.所以四邊形MBFC1為平行四邊形，所以BF∥MC1，所以D1E∥BF.（2）因?yàn)镈1E∥BF，BB1∥EA1，又∠B1BF與∠A1ED1的對(duì)應(yīng)邊方向相同，所以∠B1BF＝∠A1ED1.題型三利用線線平行判斷共面【例3】如圖，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC12AD，BE12AF，G，H分別是FA，F(xiàn)D（1）證明：四邊形BCHG是平行四邊形；（2）C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)是否共面？為什么？解（1）證明：由題意知，F(xiàn)G＝GA，F(xiàn)H＝HD，所以GH12AD，又BC12AD，故GH所以四邊形BCHG是平行四邊形.（2）C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面.理由如下：由BE12AF，G是FA的中點(diǎn)知，有BEGF所以四邊形BEFG是平行四邊形，所以EF∥BG，由（1）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EF，CH共面.又點(diǎn)D在直線FH上，所以C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面.通性通法根據(jù)兩平行直線確定一個(gè)平面，可以證明共面問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)是證明直線平行.如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，H，G分別是AD，CD上的點(diǎn)，滿足CGGD＝AH（1）求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；（2）設(shè)EH與FG交于點(diǎn)P，求證：B，D，P三點(diǎn)共線.證明：（1）如圖，連接AC，∵E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC.在△ADC中，∵CGGD＝AHHD，∴GH∥AC，∴EF∥∴E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.（2）∵EH∩FG＝P，∴P∈EH，又∵EH?平面ABD，∴P∈平面ABD，同理P∈平面BCD，∴P為平面ABD與平面BCD的一個(gè)公共點(diǎn).又平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD，即P，B，D三點(diǎn)共線.1.已知直線a∥直線b，直線b∥直線c，直線c∥直線d，則a與d的位置關(guān)系是（）A.平行B.相交C.異面 D.不確定解析：A∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d.故選A.2.若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA與O1A1方向相同，則下列結(jié)論正確的有（）A.OB∥O1B1且方向相同B.OB∥O1B1，方向可能不同C.OB與O1B1不平行D.OB與O1B1不一定平行解析：D當(dāng)∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA與O1A1的方向相同時(shí)，OB與O1B1不一定平行.故選D.3.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，且AE∶EB＝AF∶FC，則EF與B1C1的位置關(guān)系是.