考向39 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點微專題（新高考地區(qū)專用）

考向39直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1．（2013·重慶高考真題（理））已知圓C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圓C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|+|PN|的最小值為（）A．5﹣4 B．1 C．6﹣2 D．【答案】A【詳解】如圖圓C1關(guān)于x軸的對稱圓的圓心坐標(biāo)A（2，﹣3），半徑為1，圓C2的圓心坐標(biāo)（3，4），半徑為3，|PM|+|PN|的最小值為圓A與圓C2的圓心距減去兩個圓的半徑和，即：=5﹣4．故選A．2．（2021·全國高考真題）（多選題）已知點在圓上，點、，則（）A．點到直線的距離小于B．點到直線的距離大于C．當(dāng)最小時，D．當(dāng)最大時，【答案】ACD【分析】計算出圓心到直線的距離，可得出點到直線的距離的取值范圍，可判斷AB選項的正誤；分析可知，當(dāng)最大或最小時，與圓相切，利用勾股定理可判斷CD選項的正誤.【詳解】圓的圓心為，半徑為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，所以，點到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項正確，B選項錯誤；如下圖所示：當(dāng)最大或最小時，與圓相切，連接、，可知，，，由勾股定理可得，CD選項正確.故選：ACD.【點睛】結(jié)論點睛：若直線與半徑為的圓相離，圓心到直線的距離為，則圓上一點到直線的距離的取值范圍是.1.判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系．d<r?相交；d＝r?相切；d>r?相離．(2)代數(shù)法：eq\o(→,\s\up7(判別式),\s\do5(Δ＝b2－4ac))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(>0?相交；,＝0?相切；,<0?相離.))(3)點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi),可判斷直線與圓相交．上述方法中最常用的是幾何法,點與圓的位置關(guān)系法適用于動直線問題．2.直線與圓綜合問題的常見類型及解題策略(1)處理直線與圓的弦長問題時多用幾何法,即弦長的一半、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形．(2)圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑,從而建立關(guān)系解決問題．3、判斷圓與圓的位置關(guān)系時,一般用幾何法,其步驟是(1)確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長；(2)利用平面內(nèi)兩點間的距離公式求出圓心距d,求r1＋r2,|r1－r2|；(3)比較d,r1＋r2,|r1－r2|的大小,寫出結(jié)論．1.直線與圓的三種位置關(guān)系（1）直線與圓相離，沒有公共點；（2）直線與圓相切，只有一個公共點；（3）直線與圓相交，有兩個公共點．2.設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0),圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0).方法位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1,r2的關(guān)系代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程組成方程組的解的情況外離d>r1＋r2無解外切d＝r1＋r2一組實數(shù)解相交|r1－r2|<d<r1＋r2兩組不同的實數(shù)解內(nèi)切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一組實數(shù)解內(nèi)含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)無解【知識拓展】1.圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0,y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0,y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0,y0)作圓的兩條切線,則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2.兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)：①內(nèi)含：0條；②內(nèi)切：1條；③相交：2條；④外切：3條；⑤外離：4條．3.當(dāng)兩圓相交時,兩圓方程(x2,y2項系數(shù)相同)相減便可得公共弦所在直線的方程．1．（2021·四川閬中中學(xué)高二月考（理））已知圓，圓，點、分別是圓、圓上的動點，點為軸上的動點，則的最大值是（）A． B． C． D．2．（2022·全國高三專題練習(xí)（理））已知，，，平面ABC內(nèi)的動點P，M滿足，，則的最大值是（）A． B．C． D．3．（2021·全國高三專題練習(xí)（理））已知，方程表示圓，則圓心坐標(biāo)是______．4．（2021·全國高三專題練習(xí)（理））已知三個點，，，則的外接圓的圓心坐標(biāo)是___________.1．（2021·廣西南寧·高三模擬預(yù)測（理））已知圓，過點的直線l（不與x軸重合）與圓C相切，則直線l的方程為（）A． B． C． D．2．（2021·廣西南寧·高三模擬預(yù)測（文））已知直線與圓相切，則m的值為（）A．3或 B．1或C．0或4 D．或03．（2021·鄲城縣第一高級中學(xué)高三一模（文））若點為圓的弦的中點，則弦所在直線的方程為（）A． B． C． D．4．（2021·四川省武勝烈面中學(xué)校高二月考（理））已知圓，，則這兩圓的公共弦長為（）A．4 B． C．2 D．15．（2021·河南駐馬店·高三月考（理））過點作直線與圓相切于、兩點，則直線的方程為（）A． B． C． D．6．（2021·全國高三專題練習(xí)（文））已知圓與圓(是正實數(shù))相交于兩點，為坐標(biāo)原點.當(dāng)?shù)拿娣e最大時，則的最小值是（）A． B．8 C．7 D．7．（2021·肥城市教學(xué)研究中心高三模擬預(yù)測）（多選題）已知線段是圓的一條動弦，為弦的中點，，直線與直線相交于點，下列說法正確的是（）A．弦的中點軌跡是圓B．直線的交點在定圓上C．線段長的最大值為D．的最小值8．（2021·全國高三模擬預(yù)測）（多選題）設(shè)有一組圓，，下列四個命題正確的是（）A．存在，使得圓與軸相切 B．存在，使得圓與圓有公共點C．存在一條直線與所有的圓均相交 D．存在，使得圓經(jīng)過原點9．（2021·上海高三模擬預(yù)測）已知圓，則直線和圓的位置關(guān)系為___________.10．（2021·江蘇省阜寧中學(xué)高二月考）已知直線，若直線與直線平行，則實數(shù)的值為______，動直線被圓截得弦長的最小值為______．11．（2021·陜西高三模擬預(yù)測（文））已知拋物線，直線與拋物線交于、兩點，拋物線在點、處的切線互相垂直.（1）求拋物線的方程；（2）若以為直徑的圓與直線相切，求.12．（2020·浙江高三專題練習(xí)）已知橢圓與拋物線有相同的焦點，拋物線的準(zhǔn)線交橢圓于，兩點，且.（1）求橢圓與拋物線的方程；（2）為坐標(biāo)原點，若為橢圓上任意一點，以為圓心，為半徑的圓與橢圓的焦點為圓心，以為半徑的圓交于，兩點，求證：為定值.1．（2021·山東高考真題）“圓心到直線的距離等于圓的半徑”是“直線與圓相切”的（）A．充分沒必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也沒必要條件2．（2020·全國高考真題（理））若過點（2，1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為（）A． B． C． D．3．（2020·全國高考真題（理））已知⊙M：，直線：，為上的動點，過點作⊙M的切線，切點為，當(dāng)最小時，直線的方程為（）A． B． C． D．4．（2014·湖南高考真題（文））若圓與圓外切，則A．21 B．19 C．9 D．-115．（2008·重慶高考真題（理））圓O1：和圓O2：的位置關(guān)系是A．相離 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切6．（2020·浙江高考真題）設(shè)直線與圓和圓均相切，則_______；b=______．7．（2021·天津高考真題）若斜率為的直線與軸交于點，與圓相切于點，則____________．8．（2020·天津高考真題）已知直線和圓相交于兩點．若，則的值為_________．9．（2007·山東高考真題（理））與直線和曲線都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_________.10．（2019·全國專題練習(xí)）若⊙與⊙相交于A、B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是_________．11．（2021·全國高考真題（文））拋物線C的頂點為坐標(biāo)原點O．焦點在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點，且．已知點，且與l相切．（1）求C，的方程；（2）設(shè)是C上的三個點，直線，均與相切．判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．12．（2013·江蘇高考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，直線，設(shè)圓的半徑為1，圓心在上.（1）若圓心也在直線上，過點作圓的切線，求切線方程；（2）若圓上存在點，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍.1．【答案】B【分析】分析可知，設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為，可得出，求出的最大值，即可得解.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為．，又，，所以，．點關(guān)于軸的對稱點為，，所以，，故選：B．2．【答案】D【分析】建立直角坐標(biāo)系，取AC中點N，得到M軌跡為以N為圓心，為半徑的圓，由B，N，M三點共線時，為最大值求解．【詳解】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，取AC中點N，∵，，∴，∴M軌跡為以N為圓心，為半徑的圓，∴B，N，M三點共線時，取得最大值．又因為，，所以，，∴的最大值為，∴的最大值是，故選：D．3．【答案】【分析】先利用方程得到，求出或，然后分別求解即可．【詳解】方程表示圓，所以，解得或，當(dāng)時，方程，配方可得，所得圓的圓心坐標(biāo)為；當(dāng)時，方程，即，此時，方程不表示圓．綜上所述，圓心坐標(biāo)是．故答案為：．4．【答案】(1，3)【分析】設(shè)出圓的一般方程，代入三點坐標(biāo)后可求解.【詳解】設(shè)圓的方程為，則，解得，所以圓方程為，即，所以圓心坐標(biāo)為.故答案為：.1．【答案】D【分析】先求出圓心和半徑，然后設(shè)圓與x軸相切于點A，l與圓相切于點B，點，則可得，從而可求出直線l的傾斜角，再求出斜率，進(jìn)而可求出直線l的方程【詳解】圓C可化為，∴圓心C坐標(biāo)是，半徑是．設(shè)圓與x軸相切于點A，l與圓相切于點B，點，則，故，即直線l的斜率為，即l的方程為，即．故選：D2．【答案】A【分析】利用圓的切線性質(zhì)結(jié)合點到直線的距離公式列式計算即得.【詳解】圓的圓心為，半徑為，因直線與圓相切，則點到直線的距離為，整理得，解得或，所以m的值為3或.故選：A3．【答案】A【分析】圓的圓心，由給定條件結(jié)合圓的性質(zhì)可得，求出直線OP斜率即可計算作答.【詳解】依題意，圓的圓心，因點為圓的弦的中點，則有，而直線OP斜率為，于是得直線AB斜率，又直線過，因此有，即，所以弦所在直線的方程為.故選：A4．【答案】C【分析】先求出兩圓的公共弦所在直線的方程，用垂徑定理求弦長.【詳解】由題意知，，將兩圓的方程相減，得，所以兩圓的公共弦所在直線的方程為.又因為圓的圓心為，半徑，所以圓的圓心到直線的距離.所以這兩圓的公共弦的弦長為.故選：C.5．【答案】B【分析】求出，求出以點為圓心、以為半徑的圓的方程，然后與圓的方程作差可得出直線的方程.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，由圓的切線的性質(zhì)可得，則，所以，以點為圓心、以為半徑的圓的方程為，將圓的方程與圓的方程作差并化簡可得.因此，直線的方程為.故選：B.6．【答案】B【分析】由相交兩圓的方程，求出直線AB方程，最大時為直角，由點直線距離求出m，n的關(guān)系，利用函數(shù)單調(diào)性即可得解.【詳解】因圓與圓相交，則直線AB方程為：，又|OA|=|OB|=1，則，當(dāng)且僅當(dāng)取“=”，即為等腰直角三角形，點O到直線AB的距離為，則，，而是正實數(shù)，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，令函數(shù)，則，f(x)在上遞減，，所以的最小值是8.故選：B【點睛】方法點睛：圓的弦長的常用求法：(1)幾何法：求圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l，則；(2)代數(shù)方法：運用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式：.7．【答案】ACD【分析】設(shè)，，由已知結(jié)合垂徑定理求得的軌跡判斷；聯(lián)立兩直線方程消去判斷；由選項、及兩圓的位置關(guān)系判斷；由數(shù)量積運算結(jié)合選項求得數(shù)量積的最小值判斷．【詳解】對于選項A：設(shè)，因為，為弦的中點，所以.而，半徑為，則圓心到弦的距離為.又圓心，所以，即弦中點的軌跡是圓，故選項A正確；對于選項B：由，消去可得，得，選項B不正確；對于選項C：由選項A知，點的軌跡方程為：，又由選項B知，點的軌跡方程為：，所以，線段，故選項C正確；對于選項D：，故，由選項C知，，所以，故選項D正確.故選：．8．【答案】AC【分析】利用直線與圓的位置關(guān)系可判斷AC選項的正誤，利用圓與圓的位置關(guān)系可判斷B選項的正誤，利用點與圓的位置關(guān)系可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A，當(dāng)圓與軸相切時，，所以（舍）或（舍）或，故A正確；對于B，圓與圓的圓心距為，兩圓半徑之差為，所以圓內(nèi)含于圓，故B錯誤；對于C，因為所有圓的圓心均在定直線上，所以當(dāng)直線為時，它與所有的圓均相交，故C正確；對于D，若圓經(jīng)過原點，則，解得，無正整數(shù)解，故D錯誤.故選：AC.9．【答案】相交【分析】根據(jù)圓的一般方程求得圓的圓心和半徑，再求圓心到直線的距離，且與圓的半徑比較可得結(jié)論.【詳解】解：由圓得，圓心，半徑，圓心到直線的距離，所以直線和圓的位置關(guān)系為相交，故答案為：相交.10．【答案】【分析】根據(jù)兩直線的一般方程，利用直線平行的公式，代入即可求解；首先判斷直線過定點，利用直線與圓的位置關(guān)系，判斷當(dāng)過點且與垂直的弦的弦長最短.【詳解】由題意得，所以．當(dāng)時，兩直線重合，舍去，故．因為圓的方程可化為，即圓心為，半徑為5．由于直線過定點，所以過點且與垂直的弦的弦長最短，且最短弦長為．故答案為：；11．【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）設(shè)點、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求得，利用已知條件結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得正數(shù)的值，即可得出拋物線的方程；（2）求出以及線段的中點的坐標(biāo)，由已知條件可得出點到直線的距離等于，可得出關(guān)于的方程，即可解得的值.【詳解】（1）設(shè)點、，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式為，求導(dǎo)可得，因為拋物線在點、處的切線互相垂直，則，解得，因此，拋物線的方程為；（2），所以，，，所以，，設(shè)線段的中點為，則，，即點，因為以為直徑的圓與直線相切，則，即.①若，則，即，解得或，合乎題意；②若，則，即，判別式，方程無實解.綜上所述，或.12．【答案】（1）橢圓的方程為：，拋物線的方程為：；（2）證明見解析.【分析】（1）由題意，解方程組求得，的值，即可求解；（2）設(shè)，則，寫出圓和圓的方程，兩個圓的方程相減可得直線的方程，計算點到直線的距離為，再利用計算弦長即可.【詳解】（1）橢圓可得焦點，拋物線的焦點為，所以①，由可得，解得，所以②，由①②可得：，，所以橢圓的方程為：，拋物線C的方程為：；（2）設(shè)，則，圓的方程為：，圓的方程為：，所以直線的方程為：，設(shè)點到直線的距離為，則..所以為定值.【點睛】方法點睛：圓的弦長的求法：（1）幾何法，設(shè)圓的半徑為，弦心距為，弦長為，則；（2）代數(shù)法，設(shè)直線與圓相交于，，聯(lián)立直線與圓的方程，消去得到一個關(guān)于的一元二次方程，從而可求出，，根據(jù)弦長公式，即可得出結(jié)果.1．【答案】C【分析】由直線與圓相切的等價條件，易判斷【詳解】由于“圓心到直線的距離等于圓的半徑”“直線與圓相切”，因此充分性成立；“直線與圓相切”“圓心到直線的距離等于圓的半徑”，故必要性成立；可得“圓心到直線的距離等于圓的半徑”是“直線與圓相切”的充要條件故選：C2．【答案】B【分析】由題意可知圓心在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，可得圓的半徑為，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點在圓上，求得實數(shù)的值，利用點到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離.【詳解】由于圓上的點在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標(biāo)為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.【點睛】本題考查圓心到直線距離的計算，求出圓的方程是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題.3．【答案】D【分析】由題意可判斷直線與圓相離，根據(jù)圓的知識可知，四點共圓，且，根據(jù)可知，當(dāng)直線時，最小，求出以為直徑的圓的方程，根據(jù)圓系的知識即可求出直線的方程．【詳解】圓的方程可化為，點到直線的距離為，所以直線與圓相離．依圓的知識可知，四點四點共圓，且，所以，而，當(dāng)直線時，，，此時最小．∴即，由解得，．所以以為直徑的圓的方程為，即，兩圓的方程相減可得：，即為直線的方程．故選：D.【點睛】本題主要考查直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運算能力，屬于中檔題．4．【答案】C【詳解】試題分析：因為,所以且圓的圓心為,半徑為,根據(jù)圓與圓外切的判定(圓心距離等于半徑和)可得,故選C.考點：圓與圓之間的外切關(guān)系與判斷5．【答案】B【詳解】試題分析：由題意可知圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，又，所以圓和圓的位置關(guān)系是相交，故選B．考點：圓與圓的位置關(guān)系．6．【答案】【分析】由直線與兩圓相切建立關(guān)于k，b的方程組，解方程組即可.【詳解】設(shè)，，由題意，到直線的距離等于半徑，即，，所以，所以（舍）或者，解得.故答案為：【點晴】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，是一道基礎(chǔ)題.7．【答案】【分析】設(shè)直線的方程為，則點，利用直線與圓相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.【詳解】設(shè)直線的方程為，則點，由于直線與圓相切，且圓心為，半徑為，則，解得或，所以，因為，故.故答案為：.8．【答案】5【分析】根據(jù)圓的方程得到圓心坐標(biāo)和半徑，由點到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離，進(jìn)而利用弦長公式，即可求得．【詳解】因為圓心到直線的距離，由可得，解得．故答案為：．【點睛】本題主要考查圓的弦長問題，涉及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和點到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．9．【答案】【詳解】曲線化為，其圓心到直線的距離為所求的最小圓的圓心在直線上，其到直線的距離為，圓心坐標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)方程為．10．【答案】4【詳解】依題意得OO1＝＝5，且△OO1A是直角三角形，S△OO1A＝··OO1＝·OA·AO1，因此AB＝＝4.11．【答案】（1）拋物線，方程為；（2）相切，理由見解析【分析】（1）根據(jù)已知拋物線與相交，可得出拋物線開口向右，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用對稱性設(shè)出坐標(biāo)，由，即可求出；由圓與直線相切，求出半徑，即可得出結(jié)論；（2）先考慮斜率不存在，根據(jù)對稱性，即可得出結(jié)論；若斜率存在，由三點在拋物線上，將直線斜率分別用縱坐標(biāo)表示，再由與圓相切，得出與的關(guān)系，最后求出點到直線的距離，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）依題意設(shè)拋物線，，所以拋物線的方程為，與相切，所以半徑為，所以的方程為；（2）設(shè)若斜率不存在，則方程為或，若方程為，根據(jù)對稱性不妨設(shè)，則過與圓相切的另一條直